第2节 二项式定理
[课程标准要求]
1.能用多项式运算法则和两个计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N*.
(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n).
二项展开式形式上的特点.
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性 当k<(n∈N*)时,随k的增加而增大
二项式系数的后半部分,随k的增加而减小
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值
二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角.
其中第n行是1,,,…,,,1.
1.(a+b)n的展开式的各二项式系数的和:+++…+=2n.
2.在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
1.(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1+2x)5的展开式中,第3项的系数等于( )
[A] 80 [B] 60 [C] 40 [D] 20
2.(苏教版选择性必修第二册P96 T9改编)已知a>0,若(x2+)6的展开式中,常数项等于240,则a等于( )
[A] 3 [B] 2
[C] 6 [D] 4
3.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T1(1)改编)在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,含x5的项的系数是( )
[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 11
4.(人教B版选择性必修第二册P32例2改编)x2(x－)7的展开式中的常数项是 .
5.在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为 .
考点一 二项展开式通项的应用
角度1 (a+b)n(n∈N*)型展开式
[例1] (2024·天津卷)在(+)6的展开式中,常数项为 .
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
角度2 (a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型展开式
[例2] (2025·江西宜春模拟)在(a－2b+1)(2a－b)6的展开式中,a3b4项的系数是 .
求解形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题的思路
(1)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5·(1－x)7=[(1+x)(1－x)]5(1－x)2=(1－x2)5·(1－x)2.
(2)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2·(c+d)n=(a2+2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解.
(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n展开式的通项,综合考虑.
角度3 (a+b+c)n(n∈N*)型展开式
[例3] (2025·辽宁沈阳模拟)(x2－－1)5展开式中含x2项的系数为( )
[A] －120 [B] －115 [C] 5 [D] 125
求形如(a+b+c)n展开式中特定项的步骤
[针对训练]
1.(角度1)(2023·北京卷)(2x－)5的展开式中,x的系数是( )
[A] －40 [B] 40
[C] －80 [D] 80
2.(角度3)(2025·山西大同模拟)(x+－2)6的展开式中,x3的系数为 .
3.(角度2)(2025·河北廊坊模拟)多项式(2a－b)2(a+b)8的展开式中,a3b7项的系数是 .
考点二 二项式系数与项的系数问题
角度1 二项展开式的系数和问题
[例4] (多选题)(2025·湖北武汉模拟)已知(1－x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则下列结论正确的是( )
[A] a2=15
[B] a1+a2+a3+…+a6=0
[C] a0+a2+a4+a6=64
[D] a1+2a2+3a3+…+6a6=0
二项展开式中各项系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可,对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
角度2 系数的最值问题
[例5] (2024·全国甲卷)(+x)10的展开式中,各项系数中的最大值为 .
二项展开式系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用解出k来.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·福建漳州模拟)在二项式()n的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a－b= .
2.(角度2)已知(3+2x)100=akxk,a0,a1,…,a100中的最大值是 .
考点三 二项式定理的综合应用
[例6] (2025·山西晋中模拟)设a,b,m(m>0)均为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m),如8和23被5除得的余数都是3,则记8≡23(mod 5).若a≡b(mod 10),且a=+×2+×22+…+×220,则b的值可以是( )
[A] 4 021 [B] 4 022
[C] 4 023 [D] 4 024
[典例迁移1] (变余数为实际问题)今天是星期二,经过8100天后是星期( )
[A] 三 [B] 四 [C] 五 [D] 六
[典例迁移2] (变余数为整除求参)若4×6n+5n－a(n∈N)能被25整除,则正整数a的最小值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
[典例迁移3] (变余数为近似数)1.0120最接近下列哪个数字( )
[A] 1.20 [B] 1.21
[C] 1.22 [D] 1.23
[典例迁移4] (增加问题情境)某校数学试卷的多选题计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,满分18分;②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得6分,有选错的得0分;③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分).已知在某次数学考试中,某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项,第三小题随机地选了一个选项,这名同学的多选题所有可能的总得分(相同总分只记录一次)共有n种情况,则7n除以36的余数是 .
二项式定理的应用
二项式定理是个恒等式,从右往左用,是把一个多项式合并,或者是一个求和公式,从左往右用,可解决整除性问题、余数问题、近似计算等.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
二项展开式通项的应用 1,5,6,7,8,9
二项式系数与项的系数问题 2,3,10,11,12,15
二项式定理的综合应用 4,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南郑州模拟)(－x)7的展开式中,含x5的项的系数为( )
[A] 98 [B] 49 [C] －128 [D] －147
2.若(2x－)n展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为( )
[A] 280 [B] －280
[C] 140 [D] －140
3.(2025·湖南长沙模拟)关于二项式(3x－1)5的展开式,下列说法不正确的是( )
[A] 第3项系数为270
[B] x2的系数为90
[C] 二项式系数和为25
[D] 系数和为25
4.已知函数f(x)=(4x－1)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则f(5)的个位数字是( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 5
5.(多选题)(2025·辽宁大连模拟)已知(x－)4的展开式中二项式系数的最大值与(x+)3的展开式中的系数相等,则实数a的值可能为( )
[A] [B] － [C] [D] －
6.(多选题)已知二项式(x－)10,则( )
[A] 展开式中x8y－2的系数为45
[B] 展开式中二项式系数最大的项是第5项
[C] 展开式中各项系数之和为1
[D] 展开式中系数最大的项是第5项或第7项
7.(5分)(2025·福建南平模拟)在(2+x)(－2x)6的展开式中,x3的系数为 .
8.(13分)用二项式定理展开(2x+)12.
(1)求展开式中x6的系数(用组合数表示即可,不用化简出最终答案);
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.
9.记M=“720的不同正因数的个数”,N=“(1+x－y)5的展开式中x2y2项的系数”,则( )
[A] 2M－N=0 [B] M－N=0
[C] M－N>0 [D] M+N<0
10.(多选题)已知(a+)10(a>0)的展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中( )
[A] 奇数项的二项式系数和为256
[B] 第6项的系数最大
[C] 存在常数项
[D] 有理项共有6项
11.(多选题)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
[A] +++…+=220
[B] 记第n行的第i个数为ai,则3i-1ai=4n
[C] 第2 023行中从左往右第1 011个数与第1 012个数相等
[D] 第30行中第12个数与第13个数之比为12∶19
12.(5分)在(x－)2 026的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于 .
13.(5分)设n为偶数,则7n+7n-1+7n-2+…+·7被9除的余数是 .
14.(17分)①只有第5项的二项式系数最大;②第3项与第7项的二项式系数相等;③所有二项式系数的和为28.
从以上三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面问题.
已知(2x－1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x－1)n的展开式中, .
(1)求n的值;
(2)求x3的系数;
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.
15.(多选题)(2025·浙江宁波模拟)已知(1－x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则( )
[A] 展开式的各二项式系数的和为0
[B] a1+a2+…+a2 025=－1
[C] 22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025=1
[D] ++…+=－1
第2节 二项式定理
[课程标准要求]
1.能用多项式运算法则和两个计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N*.
(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n).
二项展开式形式上的特点.
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性 当k<(n∈N*)时,随k的增加而增大
二项式系数的后半部分,随k的增加而减小
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值
二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角.
其中第n行是1,,,…,,,1.
1.(a+b)n的展开式的各二项式系数的和:+++…+=2n.
2.在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
1.(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1+2x)5的展开式中,第3项的系数等于( )
[A] 80 [B] 60 [C] 40 [D] 20
【答案】 C
【解析】 二项展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk,当k=2时,x2的系数为×22=40.
故选C.
2.(苏教版选择性必修第二册P96 T9改编)已知a>0,若(x2+)6的展开式中,常数项等于240,则a等于( )
[A] 3 [B] 2
[C] 6 [D] 4
【答案】 B
【解析】 二项展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r()r=arx12-3r,令12－3r=0,解得r=4,即常数项为T5=a4=240,解得a=2.
故选B.
3.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T1(1)改编)在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,含x5的项的系数是( )
[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 11
【答案】 C
【解析】 因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6中只有(1+x)5和(1+x)6的展开式中含有x5的项,(1+x)5的展开式中含有x5的项为x5,(1+x)6的展开式中含有x5的项为x5,所以(1+x)+(1+x)2+…+
(1+x)6的展开式中含x5的项的系数是1+=7.故选C.
4.(人教B版选择性必修第二册P32例2改编)x2(x－)7的展开式中的常数项是 .
【答案】 448
【解析】 二项式(x－)7的展开式的通项为Tr+1=x7-r(－)r=·(－2)r,r=0,1,…,7,令7－=－2,则r=6,所以x2(x－)7的展开式的常数项为x2··(－2)6x-2=448.
5.在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为 .
【答案】 10
【解析】 令x=1,所以(1+1)n=32,即2n=32,解得n=5,
所以(x+1)5的展开式通项为Tr+1=·x5－r,令5－r=2,则r=3,所以T4=x2=10x2.
考点一 二项展开式通项的应用
角度1 (a+b)n(n∈N*)型展开式
[例1] (2024·天津卷)在(+)6的展开式中,常数项为 .
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P35习题6.3 T6(2).
【答案】 20
【解析】 因为(+)6的展开式的通项为Tr+1=()6－r()r=36-2rx6(r-3),r=0,1,…,6,令6(r－3)=0,可得r=3,所以常数项为30=20.
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
角度2 (a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型展开式
[例2] (2025·江西宜春模拟)在(a－2b+1)(2a－b)6的展开式中,a3b4项的系数是 .
【答案】 380
【解析】 (2a－b)6展开式的通项为Tr+1=(2a)6-r(－b)r,
又(a－2b+1)(2a－b)6=a(2a－b)6－2b(2a－b)6+(2a－b)6,
其中a(2a－b)6的展开式中含a3b4的项为a·(2a)6-4·(－b)4=60a3b4,
－2b(2a－b)6的展开式中含a3b4的项为－2b(2a)6-3(－b)3=320a3b4,
(2a－b)6的展开式中不含a3b4项,故a3b4项的系数为60+320=380.
求解形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题的思路
(1)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5·(1－x)7=[(1+x)(1－x)]5(1－x)2=(1－x2)5·(1－x)2.
(2)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2·(c+d)n=(a2+2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解.
(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n展开式的通项,综合考虑.
角度3 (a+b+c)n(n∈N*)型展开式
[例3] (2025·辽宁沈阳模拟)(x2－－1)5展开式中含x2项的系数为( )
[A] －120 [B] －115 [C] 5 [D] 125
【答案】 B
【解析】 法一 (x2－－1)5是5个(x2－－1)之积,展开后得到x2有两种可能:1个取x2,4个取－1,得到含有x2的项为x2(－1)4=5x2;2个取x2,2个取－,1个取－1,得到含有x2的项为(－)2(－1)1=－120x2.因此含x2项的系数为－120+5=－115.故选B.
法二 (x2－－1)5=[－1+(x2－)]5,二项展开得(－1)5－k(x2－)k(k=0,1,2,3,4,5),
(－1)5-k(x2－)k二项展开得(－1)5-k+r2rx2k-3r(0≤r≤k,r∈N),由2k－3r=2得3r=2(k－1),所以或因此含x2项的系数为(－1)420+(－1)322=－115.故选B.
求形如(a+b+c)n展开式中特定项的步骤
[针对训练]
1.(角度1)(2023·北京卷)(2x－)5的展开式中,x的系数是( )
[A] －40 [B] 40
[C] －80 [D] 80
【答案】 D
【解析】 (2x－)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(－)r=(－1)r25-rx5-2r,
令5－2r=1得r=2,所以(2x－)5的展开式中x的系数为(－1)225-2=80.故选D.
2.(角度3)(2025·山西大同模拟)(x+－2)6的展开式中,x3的系数为 .
【答案】 －220
【解析】由题可得含x3的项为x3(－2)3+x4()1(－2)1=－220x3,
所以x3的系数为－220.
3.(角度2)(2025·河北廊坊模拟)多项式(2a－b)2(a+b)8的展开式中,a3b7项的系数是 .
【答案】 －24
【解析】 因为(2a－b)2(a+b)8=4a2(a+b)8－4ab(a+b)8+b2(a+b)8,其中(a+b)8展开式的通项为Tr+1=a8-rbr(0≤r≤8且r∈N),所以(2a－b)2(a+b)8的展开式中含a3b7的项为4a2ab7－4aba2b6+b2a3b5=－24a3b7,所以a3b7项的系数为－24.
考点二 二项式系数与项的系数问题
角度1 二项展开式的系数和问题
[例4] (多选题)(2025·湖北武汉模拟)已知(1－x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则下列结论正确的是( )
[A] a2=15
[B] a1+a2+a3+…+a6=0
[C] a0+a2+a4+a6=64
[D] a1+2a2+3a3+…+6a6=0
【答案】 AD
【解析】 对于A,(1－x)6的展开式通项为Tr+1=(－x)r=(－1)rxr,则a2=T3=(－1)2=15,故A正确;
对于B,令x=0,有a0=1,令x=1,则有a0+a1+a2+…+a6=(1－1)6=0,
故a1+a2+a3+…+a6=0－1=－1,故B错误;
对于C,令x=－1,则有a0－a1+a2－…+a6=(1+1)6=64,故a0+a2+a4+a6=
==32,故C错误;
对于D,令f(x)=(1－x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则f ′(x)=－6(1－x)5=a1+2a2x+…+6a6x5,则f ′(1)=－6×(1－1)5=a1+2a2+…+6a6=0,故D正确.故选AD.
二项展开式中各项系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可,对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
角度2 系数的最值问题
[例5] (2024·全国甲卷)(+x)10的展开式中,各项系数中的最大值为 .
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T1(7).
【答案】 5
【解析】 由题,二项展开式通项为
Tr+1=()10-r·xr,0≤r≤10且r∈Z.
设展开式中第r+1项系数最大,
则
即≤r≤,
又r∈Z,故r=8,
所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为()2=5.
二项展开式系数最大项的求法
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用解出k来.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·福建漳州模拟)在二项式()n的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a－b= .
【答案】 63
【解析】 二项式()n的展开式通项Tr+1=()n-r(－2)r()r=(－2)r,
r=0,1,2,…,n,令r=2,则可得n－3×2=0,所以n=6,
所以二项式()6的展开式中二项式系数和a=26=64,
令x=1,可得所有项的系数和b=(－1)6=1,则a－b=64－1=63.
2.(角度2)已知(3+2x)100=akxk,a0,a1,…,a100中的最大值是 .
【答案】 ·360·240
【解析】 二项式(3+2x)100展开式通项为Tk+1=3100－k(2x)k,设展开式中第k+1项系数最大,则
解得39+≤k≤40+,所以k=40,a0,a1,…,a100的最大值是a40=·360·240.
考点三 二项式定理的综合应用
[例6] (2025·山西晋中模拟)设a,b,m(m>0)均为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m),如8和23被5除得的余数都是3,则记8≡23(mod 5).若a≡b(mod 10),且a=+×2+×22+…+×220,则b的值可以是( )
[A] 4 021 [B] 4 022
[C] 4 023 [D] 4 024
【答案】 A
【解析】 a=+×2+×22+…+×220=(1+2)20=320=910=(10－1)10
=×1010+×109×(－1)+×108×(－1)2+…+×(－1)10
=10[×109+×108×(－1)+×107×(－1)2+…+×(－1)9]+1,
即a被10除得的余数为1,结合选项可知只有4 021被10除得的余数为1.故选A.
[典例迁移1] (变余数为实际问题)今天是星期二,经过8100天后是星期( )
[A] 三 [B] 四 [C] 五 [D] 六
【答案】 A
【解析】 一个星期的周期是7,则8100=(1+7)100=1+×7+×72+…+×7100
=1+(×7+×72+…+×7100),即8100除以7余数是1,所以今天是星期二,经过8100天后是星期三.故选A.
[典例迁移2] (变余数为整除求参)若4×6n+5n－a(n∈N)能被25整除,则正整数a的最小值为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 C
【解析】 因为4×6n+5n－a(n∈N)能被25整除,所以当n=1时,4×6+5－a=29－a,此时a=29－25k(k∈Z),a>0,当k=1时,a=4;当n≥2时,
4×(5+1)n+5n－a=4×(5n+×5n-1+…+×52+×5+1)+5n－a
=4×(5n+×5n-1+…+×52)+4×(×5+1)+5n－a
=4×25(5n-2+×5n-3+…+)+25n+4－a
=25(4×5n-2+4×5n-3+…+4+n)+4－a,
因此只需4－a能够被25整除即可,可知最小正整数a的值为4,综上所述,正整数a的最小值为4.故选C.
[典例迁移3] (变余数为近似数)1.0120最接近下列哪个数字( )
[A] 1.20 [B] 1.21
[C] 1.22 [D] 1.23
【答案】 C
【解析】 由题意得1.0120=(1+0.01)20,由二项式定理得(1+0.01)20=1+×1×0.01+×
(0.01)2+…+(0.01)20,而从第3项以后,后面的项相比4个选项非常小,可忽略,所以得到(1+0.01)20≈1+×1×0.01+×(0.01)2=1.219,则其与1.22更接近,故C正确.故选C.
[典例迁移4] (增加问题情境)某校数学试卷的多选题计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,满分18分;②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得6分,有选错的得0分;③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分).已知在某次数学考试中,某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项,第三小题随机地选了一个选项,这名同学的多选题所有可能的总得分(相同总分只记录一次)共有n种情况,则7n除以36的余数是 .
【答案】 13
【解析】 这名同学第一小题和第二小题都可能得0分,4分或6分,第三小题可能得0分,2分或3分,如图,当第三题得0分时,有可能总得分为0,4,6,8,10,12;
当第三题得2分时,有可能总得分为2,6,8,10,12,14;当第三题得3分时,有可能总得分为3,7,9,11,13,15,所以这名同学的多选题所有可能总得分(相同总分只记录一次)为0,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即n=14,
则714=(6+1)14=614+613+…+62+6+=(612+611+…+)62+14×6+1,
(14×6+1)÷36=85÷36=2…13.
二项式定理的应用
二项式定理是个恒等式,从右往左用,是把一个多项式合并,或者是一个求和公式,从左往右用,可解决整除性问题、余数问题、近似计算等.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
二项展开式通项的应用 1,5,6,7,8,9
二项式系数与项的系数问题 2,3,10,11,12,15
二项式定理的综合应用 4,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·河南郑州模拟)(－x)7的展开式中,含x5的项的系数为( )
[A] 98 [B] 49 [C] －128 [D] －147
【答案】 D
【解析】 展开式的通项为Tr+1=(－x)r=(－1)rxr,0≤r≤7,r∈N,
故含x5的项的系数为(－1)5=－147.故选D.
2.若(2x－)n展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为( )
[A] 280 [B] －280
[C] 140 [D] －140
【答案】 A
【解析】 (2x－)n展开式的二项式系数之和为2n=128,解得n=7,
所以(2x－)7展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r(－)r=·27-r(－1)r,
令7－r=1,解得r=4,所以展开式中x的系数为·23(－1)4=35×8=280.故选A.
3.(2025·湖南长沙模拟)关于二项式(3x－1)5的展开式,下列说法不正确的是( )
[A] 第3项系数为270
[B] x2的系数为90
[C] 二项式系数和为25
[D] 系数和为25
【答案】 B
【解析】 二项式(3x－1)5展开式的通项为Tr+1=(3x)5-r(－1)r=35-r(－1)rx5-r,r≤5,r∈N,
对于A,展开式中第3项的系数为×33×(－1)2=270,A正确;
对于B,令5－r=2,可得r=3,故展开式中含x2的项为第4项,该项的系数为×32×(－1)3=
－90,B错误;
对于C,(3x－1)5的展开式的二项式系数和为+++++=25,C正确;
对于D,二项式(3x－1)5的展开式的系数和为(3×1－1)5=25,D正确.故选B.
4.已知函数f(x)=(4x－1)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则f(5)的个位数字是( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 5
【答案】 A
【解析】 因为f(5)=(20－1)12,且(20－1)12的展开式的通项为Tk+1=·2012－k·(－1)k,
k=0,1,2,…,12,可知当k=0,1,2,…,11,Tk+1均为20的倍数,即个位数为0,当k=12时,T13=1,所以f(5)的个位数字是1.故选A.
5.(多选题)(2025·辽宁大连模拟)已知(x－)4的展开式中二项式系数的最大值与(x+)3的展开式中的系数相等,则实数a的值可能为( )
[A] [B] － [C] [D] －
【答案】 AB
【解析】 (x－)4的展开式中二项式系数最大值为=6,
(x+)3的展开式通项为Tr+1=x3-rarx-r=arx3-2r,令3－2r=－1得,r=2,故展开式中的系数为a2,故3a2=6,解得a=±.故选AB.
6.(多选题)已知二项式(x－)10,则( )
[A] 展开式中x8y－2的系数为45
[B] 展开式中二项式系数最大的项是第5项
[C] 展开式中各项系数之和为1
[D] 展开式中系数最大的项是第5项或第7项
【答案】 AD
【解析】 二项展开式通项为Tk+1=(－1)kx10－ky－k,当k=2时,T3=x8y-2,系数为45,故A正确;
由组合数性质可知,中间项二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项是第6项,故B错误;
令x=1,y=1,得展开式中各项系数之和为(1－1)10=0,故C错误;当k为奇数时,系数为负数,当k为偶数时,系数为正数,所以当k=4或k=6时,系数最大,D正确.故选AD.
7.(5分)(2025·福建南平模拟)在(2+x)(－2x)6的展开式中,x3的系数为 .
【答案】 240
【解析】 (2+x)(－2x)6=2(－2x)6+x(－2x)6,二项式(－2x)6展开式的通项为·()6－r·
(－2x)r=·(－2)r·x2r－6,其中的展开式中不含x3的项,含x2的项为·(－2)4x2=
240x2,
所以(2+x)(－2x)6的展开式中含x3的项为240x3,故x3的系数为240.
8.(13分)用二项式定理展开(2x+)12.
(1)求展开式中x6的系数(用组合数表示即可,不用化简出最终答案);
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.
【解】 (1)展开式的通项为Tr+1=·(2x)12-r·()r=·212-r·,
令12－=6,解得r=4,则展开式中x6的系数为256.
(2)设第r+1项的系数最大,
则解得≤r≤,由于r为整数,所以r=4,所以展开式中系数最大的项的二项式系数为=495.
9.记M=“720的不同正因数的个数”,N=“(1+x－y)5的展开式中x2y2项的系数”,则( )
[A] 2M－N=0 [B] M－N=0
[C] M－N>0 [D] M+N<0
【答案】 B
【解析】 因为720=24×32×5,所以720的约数有5×3×2=30(个),即M=30,又(1+x－y)5展开式的项可以看作从5个盒子中取出一个元素相乘,每个盒子中均有1,x,－y,要得到x2y2,需从2个盒子中取出x,2个盒子中取出－y,1个盒子中取出1,所以N==30,所以M=N,即M－N=0.故选B.
10.(多选题)已知(a+)10(a>0)的展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中( )
[A] 奇数项的二项式系数和为256
[B] 第6项的系数最大
[C] 存在常数项
[D] 有理项共有6项
【答案】 BCD
【解析】 令x=1,得(a+1)10=1 024,则a=1或a=－3(舍去).
所以(+)10的展开式的通项Tr+1=·()r=.
对于A,(++…+)=×210=512,故A错误;
对于B,由题意知展开式共11项,第6项的系数最大,故B正确;
对于C,令5－r=0,解得r=2,故存在常数项为第3项,故C正确;
对于D,当r=0,2,4,6,8,10时,为有理项,故有理项共有6项,故D正确.
故选BCD.
11.(多选题)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
[A] +++…+=220
[B] 记第n行的第i个数为ai,则3i-1ai=4n
[C] 第2 023行中从左往右第1 011个数与第1 012个数相等
[D] 第30行中第12个数与第13个数之比为12∶19
【答案】 BD
【解析】 对于A,由+=可得
+++…+=++++…+－1=+++…+－1=…=
－1=－1=219,故A错误;
对于B,3i-1ai=30+31+32+…+3n=(1+3)n=4n,故B正确;
对于C,第2 023行的二项式系数个数为偶数,中间两项最大,即和,
也就是第2 023行中第1 012个数和第1 013个数相等,故C错误;
对于D,第30行中第12个数与第13个数之比为∶=×=12∶19,故D正确.故选BD.
12.(5分)在(x－)2 026的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于 .
【答案】 －23 038
【解析】 由题得(x－)2 026=a0x2 026+a1x2 025+…+a2 025x+a2 026,
所以当x=时,有0=()2 026a0+()2 025a1+…+a2 025+a2 026,①
当x=－时,有=a0+a1+…－a2 025+a2 026,②
所以①－②得－23 039=2×()2 025a1+…+2a2 025=2S,故S=－=－23 038.
13.(5分)设n为偶数,则7n+7n-1+7n-2+…+·7被9除的余数是 .
【答案】 0
【解析】 由题意,可得7n+·7n-1+…+·7=7n+·7n-1+…+·7+1－1
=(7+1)n－1=8n－1=(9－1)n－1=9n+·9n-1·(－1)+·9n-2·(－1)2+…+·9·(－1)n-1+
(－1)n－1,
因为n为偶数,所以原式=9n+·9n-1·(－1)+·9n-2·(－1)2+…+·9·(－1)n-1,
因为9n+·9n-1·(－1)+·9n-2·(－1)2+…+·9·(－1)n-1能被9整除,
所以7n+7n-1+7n-2+…+·7被9除的余数是0.
14.(17分)①只有第5项的二项式系数最大;②第3项与第7项的二项式系数相等;③所有二项式系数的和为28.
从以上三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面问题.
已知(2x－1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x－1)n的展开式中, .
(1)求n的值;
(2)求x3的系数;
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.
【解】 (1)选择①时,只有第5项的二项式系数最大,则二项展开式共有9项,故n=8;
选择②时,有=,由组合数的性质可得,n=6+2=8;
选择③时,由所有二项式系数的和为+++…+=2n=28,解得n=8.
(2)由(1)可得(2x－1)8,其展开式的通项为Tr+1=(2x)8-r(－1)r=(－1)r28-rx8-r,r=0,1,2,…,8,
由8－r=3可得r=5,故x3的系数为－23=－8×56=－448.
(3)由通项知a1,a3,a5,a7为负数,a0,a2,a4,a6,a8为正数.
在(2x－1)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8中,取x=0,可得,a0=1,
取x=1,可得,a0+a1+a2+a3+…+a8=1,①
取x=－1,可得,a0－a1+a2－a3+…－a7+a8=38,②
由①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8)=38+1,将a0=1代入整理得,a2+a4+a6+a8=;
由①－②得2(a1+a3+a5+a7)=1－38,整理得,
a1+a3+a5+a7=,
而|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=－(a1+a3+a5+a7)+(a2+a4+a6+a8)
=－+=38－1=6 560.
15.(多选题)(2025·浙江宁波模拟)已知(1－x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则( )
[A] 展开式的各二项式系数的和为0
[B] a1+a2+…+a2 025=－1
[C] 22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025=1
[D] ++…+=－1
【答案】 BCD
【解析】 因为(1－x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,展开式的各二项式系数的和为22 025,所以A错误;
令x=0,得到a0=1,令x=1,得到a0+a1+a2+…+a2 025=0,所以a1+a2+…+a2 025=－1,所以B正确;
(1－x)2 025展开式通项为Tk+1=(－x)k=(－1)kxk,ak=(－1)k,
所以22 025-kak=22 025-k(－1)k,k=0,1,2,…,2 025,22 025(－1)0+22 024(－1)1+
22 023(－1)2+…+20(－1)2 025=[2+(－1)]2 025=1,所以22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+
a2 025=1,故C正确;
ak=(－1)k,k=0,1,…,2 025,==·=
·
=[+]=(+),
===+－…+(－1)2 025,
=(+),=[(+)－(+)+…+(－1)2 025(+)]=()=0,因为=1,所以++…+=－1,故D正确.
故选BCD.
(
第
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)(共91张PPT)
第2节 二项式定理
1.能用多项式运算法则和两个计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
(1)二项式定理:(a+b)n= ,n∈N*.
(2)二项展开式的通项:Tk+1= ,它表示通项为展开式的第 项.
知识梳理
1.二项式定理
k+1
an-kbk
二项展开式形式上的特点.
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
释疑
知识梳理
2.二项式系数的性质
释疑
知识梳理
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角.
其中第n行是1, .
重要结论
对点自测
1.(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1+2x)5的展开式中,第3项的系数等于( )
[A] 80 [B] 60
[C] 40 [D] 20
C
对点自测
B
对点自测
对点自测
3.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T1(1)改编)在(1+x)+(1+x)2+…+
(1+x)6的展开式中,含x5的项的系数是( )
[A] 5 [B] 6
[C] 7 [D] 11
C
对点自测
对点自测
448
5.在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为 .
对点自测
10
关键能力
课堂突破
角度1 (a+b)n(n∈N*)型展开式
考点一 二项展开式通项的应用
20
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P35习题6.3 T6(2).
解题策略
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
角度2 (a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型展开式
[例2] (2025·江西宜春模拟)在(a－2b+1)(2a－b)6的展开式中,a3b4项的系数
是 .
380
解题策略
求解形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题的思路
(1)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5·(1－x)7=[(1+x)(1－x)]5(1－x)2=
(1－x2)5·(1－x)2.
(2)若m,n中有一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2·(c+d)n=
(a2+2ab+b2)(c+d)n,然后分别求解.
(3)分别得到(a+b)m,(c+d)n展开式的通项,综合考虑.
角度3 (a+b+c)n(n∈N*)型展开式
B
解题策略
求形如(a+b+c)n展开式中特定项的步骤
D
[针对训练]
－220
3.(角度2)(2025·河北廊坊模拟)多项式(2a－b)2(a+b)8的展开式中,a3b7项的系数是 .
－24
考点二 二项式系数与项的系数问题
角度1 二项展开式的系数和问题
[例4] (多选题)(2025·湖北武汉模拟)已知(1－x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则下列结论正确的是( )
[A] a2=15
[B] a1+a2+a3+…+a6=0
[C] a0+a2+a4+a6=64
[D] a1+2a2+3a3+…+6a6=0
AD
二项展开式中各项系数和的求法
解题策略
角度2 系数的最值问题
5
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T1(7).
二项展开式系数最大项的求法
解题策略
63
[针对训练]
考点三 二项式定理的综合应用
A
[典例迁移1] (变余数为实际问题)今天是星期二,经过8100天后是星期( )
[A] 三 [B] 四 [C] 五 [D] 六
A
[典例迁移2] (变余数为整除求参)若4×6n+5n－a(n∈N)能被25整除,则正整数a的最小值为( )
[A] 2 [B] 3
[C] 4 [D] 5
C
因此只需4－a能够被25整除即可,可知最小正整数a的值为4,综上所述,正整数a的最小值为4.故选C.
[典例迁移3] (变余数为近似数)1.0120最接近下列哪个数字( )
[A] 1.20 [B] 1.21
[C] 1.22 [D] 1.23
C
[典例迁移4] (增加问题情境)某校数学试卷的多选题计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,满分18分;②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得6分,有选错的得0分;③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分).已知在某次数学考试中,某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项,第三小题随机地选了一个选项,这名同学的多选题所有可能的总得分(相同总分只记录一次)共有n种情况,则7n除以36的余数是 .
13
【解析】 这名同学第一小题和第二小题都可能得0分,4分或6分,第三小题可能得0分,2分或3分,如图,当第三题得0分时,有可能总得分为0,4,6,
8,10,12;
当第三题得2分时,有可能总得分为2,6,8,10,12,14;当第三题得3分时,有可能总得分为3,7,9,11,13,15,所以这名同学的多选题所有可能总得分(相同总分只记录一次)为0,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即n=14,
解题策略
二项式定理的应用
二项式定理是个恒等式,从右往左用,是把一个多项式合并,或者是一个求和公式,从左往右用,可解决整除性问题、余数问题、近似计算等.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
二项展开式通项的应用 1,5,6,7,8,9
二项式系数与项的系数问题 2,3,10,11,12,15
二项式定理的综合应用 4,13,14
基础巩固练
D
基础巩固练
A
3.(2025·湖南长沙模拟)关于二项式(3x－1)5的展开式,下列说法不正确的是( )
[A] 第3项系数为270
[B] x2的系数为90
[C] 二项式系数和为25
[D] 系数和为25
B
A
4.已知函数f(x)=(4x－1)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则f(5)的个位数字是
( )
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 5
AB
AD
240
综合运用练
9.记M=“720的不同正因数的个数”,N=“(1+x－y)5的展开式中x2y2项的系数”,则( )
[A] 2M－N=0 [B] M－N=0
[C] M－N>0 [D] M+N<0
B
BCD
BD
－23 038
0
14.(17分)①只有第5项的二项式系数最大;②第3项与第7项的二项式系数相
等;③所有二项式系数的和为28.
从以上三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面问题.
已知(2x－1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x－1)n的展开式中,
.
(1)求n的值;
(2)求x3的系数;
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.
应用创新练
BCD
