第4节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
[课程标准要求]
1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率.
2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.
4.会利用全概率公式计算概率.
1.事件的相互独立性
概念 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
性质 若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立
相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为 P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.条件概率
(1)条件概率的计算公式.
条件 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
记作 P(B|A)
计算 公式 ①样本点法:P(B|A)=; ②公式法:P(B|A)=
(2)条件概率的性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设 和B互为对立事件,则P(|A)=1－P(B|A).
(3)概率的乘法公式.
由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),我们称该式为概率的乘法公式.
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).我们称该公式为全概率公式.
如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1.(人教A版必修第二册P253 习题10.2 T5改编)已知样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,5,6},事件C={3,4,5,6},则下列选项错误的是( )
[A] A与B独立
[B] B与C独立
[C] A与C独立
[D] P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
2.(人教A版选择性必修第三册P50例5(1)改编)甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别是总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为( )
[A] 0.045 6 [B] 0.034 5
[C] 0.023 4 [D] 0.012 3
3.(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报报道:在元旦期间甲地降雨的概率为0.2,乙地降雨的概率为0.3.假设在这段时间内甲、乙两地降雨互不影响,则这两地中仅有一地降雨的概率为( )
[A] 0.38 [B] 0.56 [C] 0.6 [D] 0.64
4.(人教A版选择性必修第三册P52习题7.1 T3改编)甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛,甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.75,甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件A为“两人至少投中一次”,事件B为“甲投中”,则P(B|A)的值为 .
5.(2025·福建莆田模拟)有一道数学难题,在半小时内,甲、乙能解决的概率都是,丙能解决的概率是,若3人试图独立地在半小时内解决该难题,则该难题得到解决的概率为
.
考点一 事件的相互独立性
角度1 判断事件的独立性
[例1] (2025·山东泰安模拟)盒中有4个大小相同的小球,其中2个红球、2个白球,第一次在盒中随机摸出2个小球,记下颜色后放回,第二次在盒中也随机摸出2个小球,记下颜色后放回.设事件A=“两次均未摸出红球”,事件B=“两次均未摸出白球”,事件C=“第一次摸出的两个球中有红球”,事件D=“第二次摸出的两个球中有白球”,则( )
[A] A与B相互独立 [B] A与C相互独立
[C] B与C相互独立 [D] C与D相互独立
判断两个事件是不是相互独立的方法
(1)直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.
(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
(3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与,与B,与也相互独立.
角度2 相互独立事件的概率
[例2] (2025·湖北武汉模拟)如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件正常工作的概率均为,这个电路是通路的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件的概率,再求积.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·广东湛江模拟)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
[A] 事件M与事件N相互独立
[B] 事件X与事件Y相互独立
[C] 事件M与事件Y相互独立
[D] 事件N与事件Y相互独立
2.(角度2)(2025·海南海口模拟)在高二选科前,高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计,根据统计数据发现:选物理的同学占全班同学的80%,同时选物理和化学的同学占全班同学的60%,且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学,则该同学既不选物理也不选化学的概率为( )
[A] 0.125 [B] 0.1
[C] 0.075 [D] 0.05
考点二 条件概率
[例3] (2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为 .
求条件概率的常用方法
(1)定义法:P(B|A)=.
(2)样本点法:P(B|A)=.
(3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解.
[针对训练](2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6
[C] 0.5 [D] 0.4
考点三 全概率公式及其应用
[例4] (1)(2025·广东梅州模拟)为了解高中学生的体质健康水平,某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评,经过统计,甲校有30%的学生的等级为良好,乙校有60%的学生的等级为良好,丙校有50%的学生的等级为良好,且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,则该学生的等级为良好的概率为( )
[A] 0.40 [B] 0.47 [C] 0.49 [D] 0.55
(2)(多选题)(2025·江西南昌模拟)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则( )
[A] P(A1)= [B] P(B)=
[C] P(B|A1)= [D] P(A2|B)=
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准,将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)的和.
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率为P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
[针对训练] (2025·福建宁德模拟)某学校有A,B两家餐厅,甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.6;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为 .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
事件的相互独立性 1,2,4,5
条件概率及其应用 3,7,8,12
全概率公式及其应用 6,9,14
概率的综合应用 10,11,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某同学参加社团面试,已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若第一次未通过,仍可进行第二次面试,若两次均未通过,则面试失败,否则视为面试通过,则该同学通过面试的概率为( )
[A] 0.85 [B] 0.7 [C] 0.5 [D] 0.4
2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则( )
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
3.(2025·重庆模拟)用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数,则在数字1,3相邻的条件下,数字2,4,6也相邻的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
4.若古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4},事件A={1,2},事件A,B相互独立,则事件B可以是( )
[A] {1,3} [B] {1,2,3}
[C] {3,4} [D] {2,3,4}
5.(多选题)(2025·广西柳州模拟)已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)=0.6,下列说法正确的是( )
[A] 若P(AB)=0.12,则A,B相互独立
[B] 若A,B互斥,则A,B不相互独立
[C] 若P(B|A)=0.5,则P(AB)=0.1
[D] 若A B,则P(A|B)=0.2
6.(2025·安徽合肥模拟)已知事件A,B满足:P(B)=,P(|A)=,P(|)=,则P(A)等于( )
[A] [B] [C] [D]
7.(5分)随着经济发展越来越好,外出旅游的人越来越多,现有两名游客慕名来某城市旅游,他们分别从摩天轮、名人故居、古文化街、意式风情街、观光游船、音乐厅,这6个景点随机选择1个游玩,两名游客都选择摩天轮的概率为 .这两名游客中至少有一人选择摩天轮的条件下,他们选择的景点不相同的概率为 .
8.(12分)(2025·湖北孝感模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,在试生产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=, P2=, P3=.
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;
(2)如果第四道工序智能自动检测中次品芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.
9.盒中有4个白球,5个黄球,先随机地从中取出一个球,观察其颜色后放回,并另放入同色球2个,第二次再从盒中取一个球,则第二次取出的是黄球的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
10.(2025·湖南长沙模拟)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6 [C] 0.5 [D] 0.3
11.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
[A] p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
[B] 该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
[C] 该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
[D] 该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
12.(2025·江苏苏州模拟)某校举办“龙舟文化节”主题征文比赛,评审结果显示,获得一、二、三等奖的征文数量之比为2∶3∶5,男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的30%,60%,50%.现从所有获奖征文中任取一篇,记“取出一等奖的征文”为事件E,“取出男生的征文”为事件F,“取出女生的征文”为事件G,则( )
[A] P(F)>P(G) [B] P(F)P(G)>
[C] P(E|G)= [D] P(E|F)=
13.(5分)(2025·天津模拟)某单位为了提高员工身体素质,开展双人投篮比赛,现甲、乙两人为一组参加比赛,每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则此人继续投篮,若未投中,则换为对方投篮,无论之前投篮的情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ;已知在第2次投篮的人是乙的情况下,第1次投篮的人是甲的概率为 .
14.(17分)(2025·江苏常州模拟)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一个袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率;
(2)求第一次取出的是白球的概率;
(3)求第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率.
15.(2025·江西萍乡模拟)A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(A|B)=,P(A+)=,则下列选项错误的是( )
[A] P(B)= [B] P(A)=
[C] P(B)= [D] P(B|A)=
16.(5分)(2025·河北张家口模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛11分制,若比分打到10∶10时,需要一人比另一人多得两分,比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为,在两人的第一局比赛中,两人达到了10∶10,此局比赛结束时,两人的得分总和为n,则此时的概率P(n)= .
第4节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
[课程标准要求]
1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率.
2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.
4.会利用全概率公式计算概率.
1.事件的相互独立性
概念 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
性质 若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立
相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为 P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.条件概率
(1)条件概率的计算公式.
条件 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
记作 P(B|A)
计算 公式 ①样本点法:P(B|A)=; ②公式法:P(B|A)=
(2)条件概率的性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设 和B互为对立事件,则P(|A)=1－P(B|A).
(3)概率的乘法公式.
由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),我们称该式为概率的乘法公式.
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).我们称该公式为全概率公式.
如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1.(人教A版必修第二册P253 习题10.2 T5改编)已知样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,5,6},事件C={3,4,5,6},则下列选项错误的是( )
[A] A与B独立
[B] B与C独立
[C] A与C独立
[D] P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
【答案】 D
【解析】 P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=P(AC)=,
有P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),即A,B,C两两独立,ABC正确;但P(A)P(B)P(C)=≠0=P(ABC),D错误.故选D.
2.(人教A版选择性必修第三册P50例5(1)改编)甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别是总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为( )
[A] 0.045 6 [B] 0.034 5
[C] 0.023 4 [D] 0.012 3
【答案】 B
【解析】 从这批产品中任取一件,
则它是次品的概率为0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.034 5.故选B.
3.(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报报道:在元旦期间甲地降雨的概率为0.2,乙地降雨的概率为0.3.假设在这段时间内甲、乙两地降雨互不影响,则这两地中仅有一地降雨的概率为( )
[A] 0.38 [B] 0.56 [C] 0.6 [D] 0.64
【答案】 A
【解析】 设“甲地降雨”为事件A,“乙地降雨”为事件B,则A与B相互独立,仅有一地降雨为A∪B,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2×(1－0.3)+(1－0.2)×0.3=0.38.故选A.
4.(人教A版选择性必修第三册P52习题7.1 T3改编)甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛,甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.75,甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件A为“两人至少投中一次”,事件B为“甲投中”,则P(B|A)的值为 .
【答案】
【解析】 由题意P(A)=1－(1－0.8)×(1－0.75)=0.95,P(AB)=0.8×(1－0.75)+0.8×0.75=0.8,所以P(B|A)==.
5.(2025·福建莆田模拟)有一道数学难题,在半小时内,甲、乙能解决的概率都是,丙能解决的概率是,若3人试图独立地在半小时内解决该难题,则该难题得到解决的概率为
.
【答案】
【解析】 设在半小时内,甲、乙、丙能解决该难题分别为事件A,B,C,“在半小时内该难题得到解决”为事件D,则P(A)=P(B)=,P(C)=,D=A∪B∪C,表示事件“在半小时内没有解决该难题”,=,所以P()=P()= P()P()P()=××=,P(D)=1－P()=.
考点一 事件的相互独立性
角度1 判断事件的独立性
[例1] (2025·山东泰安模拟)盒中有4个大小相同的小球,其中2个红球、2个白球,第一次在盒中随机摸出2个小球,记下颜色后放回,第二次在盒中也随机摸出2个小球,记下颜色后放回.设事件A=“两次均未摸出红球”,事件B=“两次均未摸出白球”,事件C=“第一次摸出的两个球中有红球”,事件D=“第二次摸出的两个球中有白球”,则( )
[A] A与B相互独立 [B] A与C相互独立
[C] B与C相互独立 [D] C与D相互独立
【答案】 D
【解析】 依题意得P(A)==,P(B)==,P(AB)=0≠P(A)P(B),故A项错误;
P(C)==,P(AC)=0≠P(A)P(C),故B项错误;P(BC)==≠P(B)P(C),故C项错误;P(D)==,P(CD)===P(C)P(D),故D项正确.故选D.
判断两个事件是不是相互独立的方法
(1)直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.
(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
(3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与,与B,与也相互独立.
角度2 相互独立事件的概率
[例2] (2025·湖北武汉模拟)如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件正常工作的概率均为,这个电路是通路的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 元件B,C都不正常的概率p1=(1－)×(1－)=,则元件B,C至少有一个正常工作的概率为1－p1=,
而电路是通路,即元件A正常工作,元件B,C至少有一个正常工作同时发生,所以这个电路是通路的概率p=×=.
故选B.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件的概率,再求积.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·广东湛江模拟)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
[A] 事件M与事件N相互独立
[B] 事件X与事件Y相互独立
[C] 事件M与事件Y相互独立
[D] 事件N与事件Y相互独立
【答案】 C
【解析】 依题意甲、乙两人所选选项有如下情形:
①有一个选项相同,②两个选项相同,③两个选项不相同,
所以P(M)==,P(N)==,P(X)==,
P(Y)==,
因为事件M与事件N互斥,所以P(MN)=0,又P(M)·P(N)=,
所以事件M与事件N不相互独立,故A错误;
P(XY)==≠P(X)P(Y)=,故B错误;
由P(MY)===P(M)P(Y),则事件M与事件Y相互独立,故C正确;
因为事件N与事件Y互斥,
所以P(NY)=0,
又P(Y)·P(N)=,
所以事件N与事件Y不相互独立,故D错误.
故选C.
2.(角度2)(2025·海南海口模拟)在高二选科前,高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计,根据统计数据发现:选物理的同学占全班同学的80%,同时选物理和化学的同学占全班同学的60%,且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学,则该同学既不选物理也不选化学的概率为( )
[A] 0.125 [B] 0.1
[C] 0.075 [D] 0.05
【答案】 D
【解析】 设事件A=“选物理”,B=“选化学”,则有P(A)=0.8,P(AB)=0.6,
由该班同学选物理和选化学相互独立,即P(AB)=P(A)·P(B),则P(B)===0.75,故P()=1－0.8=0.2,P()=1－0.75=0.25,则P()=P()·P()=0.2×0.25=0.05.故选D.
考点二 条件概率
[例3] (2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为 .
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第三册P46例1.
【答案】
【解析】 法一(定义法) 设“甲选到A”为事件M1,“乙选到A”为事件M2,“乙选到B”为事件N,则甲选到A的概率为P(M1)==;
乙选了A活动,他再选择B活动的概率为P(N|M2)===.
法二(缩小样本空间法) 从五个活动中选三个的情况有=10种,其中甲选到A有=6种可能性,则甲选到A的概率为P==;乙选A活动有=6种可能性,其中再选B有=3种可能性,故乙选了A活动,他再选择B活动的概率为P==.
求条件概率的常用方法
(1)定义法:P(B|A)=.
(2)样本点法:P(B|A)=.
(3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解.
[针对训练](2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6
[C] 0.5 [D] 0.4
【答案】 A
【解析】 同时爱好两项的概率为0.5+0.6－0.7=0.4,记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,所以P(B|A)===0.8.
故选A.
考点三 全概率公式及其应用
[例4] (1)(2025·广东梅州模拟)为了解高中学生的体质健康水平,某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评,经过统计,甲校有30%的学生的等级为良好,乙校有60%的学生的等级为良好,丙校有50%的学生的等级为良好,且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,则该学生的等级为良好的概率为( )
[A] 0.40 [B] 0.47 [C] 0.49 [D] 0.55
(2)(多选题)(2025·江西南昌模拟)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则( )
[A] P(A1)= [B] P(B)=
[C] P(B|A1)= [D] P(A2|B)=
【答案】 (1)C (2)ABD
【解析】 (1)从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,
记“该学生来自甲校”为事件A1,“该学生来自乙校”为事件A2,“该学生来自丙校”为事件A3,
则P(A1)==0.25,P(A2)==0.4,P(A3)==0.35.
记“该学生的等级为良好”为事件B,则P(B|A1)=0.3,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.5,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.3+0.4×0.6+0.35×0.5=0.49.
故选C.
(2)依题意可得P(A1)=,P(A2)=,
P(B|A1)==,P(B|A2)==,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,故A正确,B正确,C错误;P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=×=,所以P(A2|B)===,故D正确.故选ABD.
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准,将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)的和.
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率为P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
[针对训练] (2025·福建宁德模拟)某学校有A,B两家餐厅,甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.6;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为 .
【答案】 0.7
【解析】 设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,根据题意得,P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
事件的相互独立性 1,2,4,5
条件概率及其应用 3,7,8,12
全概率公式及其应用 6,9,14
概率的综合应用 10,11,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某同学参加社团面试,已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若第一次未通过,仍可进行第二次面试,若两次均未通过,则面试失败,否则视为面试通过,则该同学通过面试的概率为( )
[A] 0.85 [B] 0.7 [C] 0.5 [D] 0.4
【答案】 A
【解析】 依题意,第一次面试不通过的概率为0.3,第二次面试不通过的概率为0.5,
因此面试失败的概率为0.3×0.5=0.15,所以该同学通过面试的概率为1－0.15=0.85.故选A.
2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则( )
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
【答案】 A
【解析】 由题意得,P(甲)=,P(乙)=,
P(丙)==,P(丁)==.
对于A,P(甲乙)=,所以P(甲)×P(乙)=P(甲乙),所以甲与乙相互独立,故A正确;
对于B,P(乙丙)=,所以P(乙)×P(丙)≠P(乙丙),所以乙与丙不是相互独立,故B不正确;
对于C,P(甲丙)=,所以P(甲)×P(丙)≠P(甲丙),所以甲与丙不是相互独立,故C不正确;
对于D,P(乙丁)=,所以P(乙)×P(丁)≠P(乙丁),所以乙与丁不是相互独立,故D不正确.
故选A.
3.(2025·重庆模拟)用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数,则在数字1,3相邻的条件下,数字2,4,6也相邻的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 设A=“数字1,3相邻”,设B=“数字2,4,6相邻”,则数字1,3相邻时的六位数有=240个,数字1,3相邻,数字2,4,6也相邻的六位数的个数为=72,
则P(B|A)===.故选A.
4.若古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4},事件A={1,2},事件A,B相互独立,则事件B可以是( )
[A] {1,3} [B] {1,2,3}
[C] {3,4} [D] {2,3,4}
【答案】 A
【解析】 由题意得P(A)==,A选项,P(B)==, A∩B={1},故P(A∩B)=,所以P(A∩B)=P(A)P(B),故事件A,B相互独立,A正确;B选项,P(B)=, A∩B={1,2},
故P(A∩B)==,所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立,B错误;C选项,
P(B)==,A∩B= ,故P(A∩B)=0,所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立,C错误;D选项,P(B)=,A∩B={2},故P(A∩B)=,所以P(A∩B)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立,D错误.故选A.
5.(多选题)(2025·广西柳州模拟)已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)=0.6,下列说法正确的是( )
[A] 若P(AB)=0.12,则A,B相互独立
[B] 若A,B互斥,则A,B不相互独立
[C] 若P(B|A)=0.5,则P(AB)=0.1
[D] 若A B,则P(A|B)=0.2
【答案】 ABC
【解析】 A项,因为事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),
P(A)P(B)=0.2×0.6=0.12=P(AB),所以A,B相互独立,故A正确;
B项,因为A,B互斥,则P(AB)=0≠P(A)P(B),故A,B不可能相互独立,故B正确;
C项,因为P(B|A)==0.5,所以P(AB)=P(B|A)×P(A)=0.5×0.2=0.1,故C正确;
D项,因为A B,所以P(AB)=P(A),
所以P(A|B)====≠0.2,故D错误.
故选ABC.
6.(2025·安徽合肥模拟)已知事件A,B满足:P(B)=,P(|A)=,P(|)=,则P(A)等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为P(B)=,所以P()=1－P(B)=1－=,设P(A)=x,则P()=1－P(A)=1－x,
P()=P(A)+P()=P(|A)P(A)+P(|)P()=x+(1－x)=x+=,
所以x=.故选B.
7.(5分)随着经济发展越来越好,外出旅游的人越来越多,现有两名游客慕名来某城市旅游,他们分别从摩天轮、名人故居、古文化街、意式风情街、观光游船、音乐厅,这6个景点随机选择1个游玩,两名游客都选择摩天轮的概率为 .这两名游客中至少有一人选择摩天轮的条件下,他们选择的景点不相同的概率为 .
【答案】
【解析】 设事件A表示“两名游客都选择摩天轮”,则P(A)==;
设事件B表示“两名游客中至少有一人选择摩天轮”,事件C表示“他们选择的景点不相同”,则P(B)=1－=,P(BC)=+=,所以P(C|B)===.
8.(12分)(2025·湖北孝感模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,在试生产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=, P2=, P3=.
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;
(2)如果第四道工序智能自动检测中次品芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.
【解】 (1)因为前三道工序的次品率分别为P1=, P2=, P3=,
所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为P=1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]=1－××=.
(2)设该款芯片“智能自动检测合格”为事件A,“人工抽检合格”为事件B,由已知得
P(A)=,P(AB)=1－P=1－=,
记“工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品”为事件B|A,
所以P(B|A)==×=.
9.盒中有4个白球,5个黄球,先随机地从中取出一个球,观察其颜色后放回,并另放入同色球2个,第二次再从盒中取一个球,则第二次取出的是黄球的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 设事件A表示“第一次抽取的是黄球”,
则P(A)=,P()=1－=,
事件B表示“第二次抽取的是黄球”,
因此有B=AB+B,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选A.
10.(2025·湖南长沙模拟)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6 [C] 0.5 [D] 0.3
【答案】 A
【解析】 设A1表示“该汽车是货车”,A2表示“该汽车是客车”,则P(A1)=,P(A2)=.
设B表示“中途停车修理”,则P(B|A1)=0.02,
P(B|A2)=0.01,
现有一辆汽车中途停车修理,该汽车是货车的概率为P(A1|B)====0.8.故选A.
11.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
[A] p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
[B] 该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
[C] 该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
[D] 该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
【答案】 D
【解析】 法一 设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为p乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为p丙,由题意可知,
p甲=2p1[p2(1－p3)+p3(1－p2)]=2p1p2+2p1p3－4p1p2p3,
p乙=2p2[p1(1－p3)+p3(1－p1)]=2p1p2+2p2p3－4p1p2p3,
p丙=2p3[p1(1－p2)+p2(1－p1)]=2p1p3+2p2p3－4p1p2p3,
所以p丙－p甲=2p2(p3－p1)>0,
p丙－p乙=2p1(p3－p2)>0,所以p丙最大.故选D.
法二(特殊值法) 不妨设p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率p甲=2p1[p2(1－p3)+p3(1－p2)]=0.4;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率p乙=2p2[p1(1－p3)+p3(1－p1)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率p丙=2p3[p1(1－p2)+p2(1－p1)]=0.6.所以p丙最大.故选D.
12.(2025·江苏苏州模拟)某校举办“龙舟文化节”主题征文比赛,评审结果显示,获得一、二、三等奖的征文数量之比为2∶3∶5,男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的30%,60%,50%.现从所有获奖征文中任取一篇,记“取出一等奖的征文”为事件E,“取出男生的征文”为事件F,“取出女生的征文”为事件G,则( )
[A] P(F)>P(G) [B] P(F)P(G)>
[C] P(E|G)= [D] P(E|F)=
【答案】 D
【解析】 因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为2∶3∶5,
那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为2m,3m,5m,
则获奖总数为10m.
因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的30%,60%,50%,
所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为0.6m,1.8m,2.5m,
则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为1.4m,1.2m,2.5m.
现从所有获奖征文中任取一篇,
则P(F)==0.49,
P(G)==0.51,
P(F)
P(F)P(G)=0.249 9<,所以选项B错误;
P(E|G)===≠,所以选项C错误;
P(E|F)===,所以选项D正确.故选D.
13.(5分)(2025·天津模拟)某单位为了提高员工身体素质,开展双人投篮比赛,现甲、乙两人为一组参加比赛,每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则此人继续投篮,若未投中,则换为对方投篮,无论之前投篮的情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ;已知在第2次投篮的人是乙的情况下,第1次投篮的人是甲的概率为 .
【答案】
【解析】 设“第i∈N*次是甲投篮”为事件Ai,“投篮命中”为事件B,
由题意可知,P(A1)=P()=,P(B|Ai)=,P(B|)=,则P(|Ai)=,P(|)=,
所以第2次投篮的人是甲的概率为P(A2)=P(B|A1)P(A1)+P(|)P()=×+×=;
在第2次投篮的人是乙的情况下,
第1次投篮的人是甲的概率为P(A1|)====.
14.(17分)(2025·江苏常州模拟)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一个袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率;
(2)求第一次取出的是白球的概率;
(3)求第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率.
【解】 (1)记“随机取到甲袋”为事件A1,“随机取到乙袋”为事件A2,“第一次取出的是白球”为事件B,“第二次取出的是白球”为事件C,则P(A1BC)=P(A1)P(BC|A1)=×=,
所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为.
(2)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,所以第一次取出的是白球的概率为.
(3)P(BC)=P(A1)P(BC|A1)+P(A2)P(BC|A2)=×+×=,所以P(C|B)===.
所以第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率为.
15.(2025·江西萍乡模拟)A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(A|B)=,P(A+)=,则下列选项错误的是( )
[A] P(B)= [B] P(A)=
[C] P(B)= [D] P(B|A)=
【答案】 C
【解析】 因为P(A|B)==,所以P(AB)=P(B),又因为P(A+)=1－P(B)=,所以P(B)=,故C错误;因为P(B)=P(B)－P(AB)=,所以P(B)－P(B)=,所以P(B)=,故A正确;
因为P(AB)=P(B)=,所以P(A)=P(A)－P(AB)==,故B正确;
P(B|A)===,故D正确.故选C.
16.(5分)(2025·河北张家口模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛11分制,若比分打到10∶10时,需要一人比另一人多得两分,比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为,在两人的第一局比赛中,两人达到了10∶10,此局比赛结束时,两人的得分总和为n,则此时的概率P(n)= .
【答案】 P(n)=
【解析】 因为比赛结束时,两人的得分总和为n,且两人的得分的差的绝对值为2,
所以n≥22,且n为偶数,
所以当n=2k－1,k≥11,k∈N时,P(n)=0,
当n=22时,P(n)=()2+()2==,
当n≥24,且n为偶数时,若甲赢得比赛,则最后两局比赛甲胜,余下比赛中,第21球开始,奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负,
所以事件甲赢得比赛的概率为(2××)()2=()()2,
同理乙赢得比赛的概率为(2××)()2=()()2,
所以P(n)=()+()=(),
n=22时,P(n)的值也符合关系P(n)=(),
所以P(n)=(),n=2k,k≥11,k∈N.
(
第
6
页
)(共87张PPT)
第4节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率.
2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.
4.会利用全概率公式计算概率.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.事件的相互独立性
B
释疑
相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为 P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.条件概率
(1)条件概率的计算公式.
知识梳理
A
B
(2)条件概率的性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)= ;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= ;
知识梳理
1
(3)概率的乘法公式.
由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若 P(A)>0,则P(AB)= ,我们称该式为概率的乘法公式.
P(B|A)+P(C|A)
1－P(B|A)
P(A)P(B|A)
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= .我们称该公式为全概率公式.
知识梳理
3.全概率公式
重要结论
如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
对点自测
1.(人教A版必修第二册P253 习题10.2 T5改编)已知样本空间Ω={1,2,3,4,5,
6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,5,6},事件C={3,4,5,6},则下列选项错误的是( )
[A] A与B独立
[B] B与C独立
[C] A与C独立
[D] P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D
对点自测
2.(人教A版选择性必修第三册P50例5(1)改编)甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别是总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为( )
[A] 0.045 6 [B] 0.034 5
[C] 0.023 4 [D] 0.012 3
对点自测
B
对点自测
【解析】 从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为0.25×0.05+0.35×
0.04+0.4×0.02=0.034 5.故选B.
3.(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报报道:在元旦期间甲地降雨的概率为0.2,乙地降雨的概率为0.3.假设在这段时间内甲、乙两地降雨互不影响,则这两地中仅有一地降雨的概率为( )
[A] 0.38 [B] 0.56
[C] 0.6 [D] 0.64
对点自测
A
对点自测
4.(人教A版选择性必修第三册P52习题7.1 T3改编)甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛,甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.75,甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件A为“两人至少投中一次”,事件B为“甲投中”,则P(B|A)的值为 .
对点自测
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
角度1 判断事件的独立性
[例1] (2025·山东泰安模拟)盒中有4个大小相同的小球,其中2个红球、
2个白球,第一次在盒中随机摸出2个小球,记下颜色后放回,第二次在盒中也随机摸出2个小球,记下颜色后放回.设事件A=“两次均未摸出红球”,事件B=“两次均未摸出白球”,事件C=“第一次摸出的两个球中有红球”,事件D=“第二次摸出的两个球中有白球”,则( )
[A] A与B相互独立 [B] A与C相互独立
[C] B与C相互独立 [D] C与D相互独立
考点一 事件的相互独立性
D
解题策略
判断两个事件是不是相互独立的方法
(1)直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率.
(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
角度2 相互独立事件的概率
B
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件的概率,再求积.
解题策略
1.(角度1)(2025·广东湛江模拟)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
[A] 事件M与事件N相互独立
[B] 事件X与事件Y相互独立
[C] 事件M与事件Y相互独立
[D] 事件N与事件Y相互独立
[针对训练]
C
2.(角度2)(2025·海南海口模拟)在高二选科前,高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计,根据统计数据发现:选物理的同学占全班同学的80%,同时选物理和化学的同学占全班同学的60%,且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学,则该同学既不选物理也不选化学的概率为( )
[A] 0.125 [B] 0.1
[C] 0.075 [D] 0.05
D
考点二 条件概率
[例3] (2024·天津卷)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为
.
[溯源探本]本例题源于人教A版选择性必修第三册P46例1.
求条件概率的常用方法
解题策略
[针对训练](2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6
[C] 0.5 [D] 0.4
A
[例4] (1)(2025·广东梅州模拟)为了解高中学生的体质健康水平,某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评,经过统计,甲校有30%的学生的等级为良好,乙校有60%的学生的等级为良好,丙校有50%的学生的等级为良好,且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5∶8∶7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生,则该学生的等级为良好的概率为( )
[A] 0.40 [B] 0.47 [C] 0.49 [D] 0.55
考点三 全概率公式及其应用
C
ABD
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准,将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)的和.
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率为P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
解题策略
[针对训练] (2025·福建宁德模拟)某学校有A,B两家餐厅,甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.6;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为 .
0.7
【解析】 设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第
2天去A餐厅用餐”,根据题意得,P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=
0.7.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
事件的相互独立性 1,2,4,5
条件概率及其应用 3,7,8,12
全概率公式及其应用 6,9,14
概率的综合应用 10,11,13,15,16
1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某同学参加社团面试,已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若第一次未通过,仍可进行第二次面试,若两次均未通过,则面试失败,否则视为面试通过,则该同学通过面试的概率为( )
[A] 0.85 [B] 0.7
[C] 0.5 [D] 0.4
基础巩固练
A
基础巩固练
【解析】 依题意,第一次面试不通过的概率为0.3,第二次面试不通过的概率为0.5,因此面试失败的概率为0.3×0.5=0.15,所以该同学通过面试的概率为1－0.15=0.85.故选A.
2.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则( )
[A] 甲与乙相互独立 [B] 乙与丙相互独立
[C] 甲与丙相互独立 [D] 乙与丁相互独立
A
A
4.若古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4},事件A={1,2},事件A,B相互独立,则事件B可以是( )
[A] {1,3} [B] {1,2,3}
[C] {3,4} [D] {2,3,4}
A
5.(多选题)(2025·广西柳州模拟)已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)=0.6,下列说法正确的是( )
[A] 若P(AB)=0.12,则A,B相互独立
[B] 若A,B互斥,则A,B不相互独立
[C] 若P(B|A)=0.5,则P(AB)=0.1
[D] 若A B,则P(A|B)=0.2
ABC
B
7.(5分)随着经济发展越来越好,外出旅游的人越来越多,现有两名游客慕名来某城市旅游,他们分别从摩天轮、名人故居、古文化街、意式风情街、观光游船、音乐厅,这6个景点随机选择1个游玩,两名游客都选择摩天轮的概率为 .这两名游客中至少有一人选择摩天轮的条件下,他们选择的景点不相同的概率为 .
综合运用练
A
10.(2025·湖南长沙模拟)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为( )
[A] 0.8 [B] 0.6
[C] 0.5 [D] 0.3
A
11.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
[A] p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
[B] 该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
[C] 该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
[D] 该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
D
【解析】 法一 设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为p乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为p丙,由题意可知,
p甲=2p1[p2(1－p3)+p3(1－p2)]=2p1p2+2p1p3－4p1p2p3,
p乙=2p2[p1(1－p3)+p3(1－p1)]=2p1p2+2p2p3－4p1p2p3,
p丙=2p3[p1(1－p2)+p2(1－p1)]=2p1p3+2p2p3－4p1p2p3,
所以p丙－p甲=2p2(p3－p1)>0,
p丙－p乙=2p1(p3－p2)>0,所以p丙最大.故选D.
D
【解析】 因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为2∶3∶5,
那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为2m,3m,5m,
则获奖总数为10m.
因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的30%,60%,
50%,
所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为0.6m,1.8m,2.5m,
则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为1.4m,1.2m,2.5m.
14.(17分)(2025·江苏常州模拟)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一个袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率;
14.(17分)(2025·江苏常州模拟)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一个袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(2)求第一次取出的是白球的概率;
14.(17分)(2025·江苏常州模拟)甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一个袋,再从该袋中先后随机取2个球.
(3)求第一次取出的是白球的前提下,第二次取出的依然是白球的概率.
应用创新练
C