第6节 二项分布、超几何分布与正态分布
[课程标准要求]
1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,
定义X=
如果P(A)=p,则P()=1－p,那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p, D(X)=p(1－p).
2.二项分布
(1)n重伯努利试验.
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布.
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p).
(3)二项分布的均值与方差.
如果X～B(n,p),那么E(X)=np, D(X)=np(1－p).
3.超几何分布
(1)超几何分布.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n－N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值.
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则E()=p,即E(X)==np.
“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.正态分布
(1)连续型随机变量.
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数.
①f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X～N(μ,σ2),则如上图所示, X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
(3)正态曲线的特点.
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图
所示.
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差.
若X～N(μ,σ2),则E(X)=μ, D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率.
P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ－3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
1.若X服从超几何分布,则E(X)=,D(X)=.
2.对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知
(1)对任意的a有P(X<μ－a)=P(X>μ+a);
(2)P(X(3)P(a1.(人教A版选择性必修第三册P59例1改编)设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于( )
[A] m [B] 2m(1－m)
[C] m(m－1) [D] m(1－m)
2.(人教A版选择性必修第三册P74例1改编)在100件产品中,有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则( )
[A] X～B(100,0.05) [B] X～B(100,0.95)
[C] X～B(10,0.05) [D] X～B(10,0.95)
3.(北师大版选择性必修第一册P224习题65 T3改编)若随机变量ξ～N(3,σ2),且P(ξ≥4)=0.3,则P(2<ξ<4)等于( )
[A] 0.4 [B] 0.5 [C] 0.2 [D] 0.3
4.(人教B版选择性必修第二册P80例3改编)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
5.(苏教版选择性必修第二册P146 T8改编)设随机变量X～B(3,p),若D(X)=,则P(X≥2)= .
考点一 n重伯努利试验与二项分布
角度1 n重伯努利试验的概率
[例1] (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1－α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1),则下列选项正确的是( )
[A] 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
[B] 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
[C] 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1－β)2+(1－β)3
[D] 当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
n重伯努利试验概率的求解策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
角度2 二项分布
[例2] (2025·江苏南通模拟)设随机变量X～B(2,p),且P(X=0)=,则p= ;若Y=2X－1,则Y的方差为 .
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1－p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量ξ服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b)(a,b为常数).
[针对训练]
1.(角度1)(2025·浙江杭州模拟)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
2.(角度2)(多选题)(2025·云南昆明模拟)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取一个球,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则( )
[A] X～B(4,)
[B] P(X=2)=
[C] X的期望E(X)=
[D] X的方差D(X)=
考点二 超几何分布
[例3] (2025·北京模拟)袋中有10个大小质地形状完全相同的小球,其中6个黄色4个红色,现从袋中随机取出3个球,则恰好有2个黄色小球的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
[典例迁移2] (变求概率为求期望)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚,《巢湖》是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后,第四个登上特种邮票的五大淡水湖之一.现从除《太湖》外的10枚邮票中随机抽取2枚,记抽取邮票《巢湖》的枚数为X,则E(X)等于( )
[A] [B] [C] 1 [D]
[典例迁移3] (变单变量为多变量)袋中有10个大小质地完全相同的小球,其中6个黄球,4个红球,现从中任取4个球,记随机变量X为其中红球的个数,随机变量Y为其中黄球的个数,若取出一个红球得2分,取出一个黄球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则
P(|Z－6|≤1)等于( )
[A] [B] [C] [D]
超几何分布的特征及其实质
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
考点三 正态分布
[例4] (多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
[A] P(X>2)>0.2 [B] P(X>2)<0.5
[C] P(Y>2)>0.5 [D] P(Y>2)<0.8
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
[针对训练] (多选题)坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌、斜方肌下束.甲是一个健身爱好者,他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位:kg)符合正态分布N(27.5,4),下列说法正确的是( )
参考数据:P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[A] 配重的平均数为4 kg
[B] P(23.5≤X≤29.5)≈0.818 6
[C] σ=2
[D] 1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的有135人
(分值:80分)
选题明细表
知识点、方法 题号
n重伯努利试验与二项分布 3,4,7,11,14
超几何分布 1,2
正态分布 5,6,8
概率分布模型的综合应用 9,10,12,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·广东深圳模拟)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
2.(2025·广西南宁模拟)一箱苹果共有12个,其中有n(2[A] 6 [B] 5 [C] 4 [D] 3
3.某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
4.(2025·四川绵阳模拟)某市政道路两旁需要进行绿化,计划从甲、乙、丙三种树木中选择一种进行栽种,通过民意调查显示,赞成栽种乙种树木的概率为,若从该地市民中随机选取4人进行访谈,则至少有3人建议栽种乙种树木的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
5.(2025·山东淄博模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:kg)服从正态分布N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在区间[82,106]内的产品估计有(附:若X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)( )
[A] 8 186件 [B] 6 826件
[C] 4 772件 [D] 2 718件
6.(2025·河南三门峡模拟)某超市销售的袋装大米的质量M(单位:kg)服从正态分布N(25,σ2),且P(24.925.1 kg的袋数的方差为( )
[A] 9.6 [B] 14.4
[C] 24 [D] 48
7.(5分)(2025·天津模拟)某篮球队对队员进行考核,规则是①每人进行5个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲第一轮通过的概率为 ;甲5个轮次通过的次数X的期望是 .
8.(2025·福建三明模拟)现实世界中的很多随机变量服从正态分布,例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,测量结果的误差X～N(0,),要控制|X|>的概率不大于0.002 7,至少要测量的次数为( )
(参考数据:P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
[A] 288 [B] 188 [C] 72 [D] 12
9.(2025·山西阳泉模拟)中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理,若随机变量ξ～B(n,p),当n充分大时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且η的均值、方差分别与随机变量ξ的均值、方差近似相等.某射手对目标进行400次射击,且每次射击命中目标的概率为,则估计射击命中次数不大于336的概率为( )
附:若η～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤η≤μ+3σ)≈
0.997 3.
[A] 0.998 7 [B] 0.977 3
[C] 0.841 4 [D] 0.5
10.(多选题)(2025·云南保山模拟)某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布X～N(17.4,2.632),且84.135%的幼苗株高符合优质种植标准,其中幼苗株高不低于12.14 cm即为合格种植标准,研究所采集了1 000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本,则下列说法正确的是(附:若 X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤
μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)( )
[A] 幼苗株高优质种植标准约为14.77 cm
[B] 此地杂交水稻合格率约为0.977 25
[C] 采集样本中,株高指标合格数量依然服从正态分布
[D] 采集样本中,株高指标合格数量最有可能是978株
11.(5分)(2025·吉林长春模拟)某中学招聘教师分笔试和面试两个环节,主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题,并独立完成所抽取的20道题,每道题答对得10分,答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为,答对面试每道题的概率为,且每道题答对与否互不影响,则甲得 分的概率最大.
12.(5分)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,…,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有 粒.
13.(13分)(2025·安徽蚌埠模拟)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况,从高一年级全部1 000名学生中随机抽取100名学生,调查他们每周的阅读时间(单位:h)并进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值(同组数据用该组数据区间的中点值表示),σ2=3.82.
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间小于6.8小时的人数(四舍五入取整);
(2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈,设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y,求随机变量Y的分布列,数学期望与方差.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
14.(多选题)如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n次后质点位于位置Xn,则下列结论正确的是( )
[A] P(X5=－1)=
[B] E(X5)=0
[C] D(X6)=3
[D] 移动6次后质点位于原点0的概率最大
第6节 二项分布、超几何分布与正态分布（解析版）
[课程标准要求]
1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,
定义X=
如果P(A)=p,则P()=1－p,那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p, D(X)=p(1－p).
2.二项分布
(1)n重伯努利试验.
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布.
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p).
(3)二项分布的均值与方差.
如果X～B(n,p),那么E(X)=np, D(X)=np(1－p).
3.超几何分布
(1)超几何分布.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n－N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值.
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则E()=p,即E(X)==np.
“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.正态分布
(1)连续型随机变量.
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数.
①f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X～N(μ,σ2),则如上图所示, X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
(3)正态曲线的特点.
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图
所示.
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差.
若X～N(μ,σ2),则E(X)=μ, D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率.
P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ－3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
1.若X服从超几何分布,则E(X)=,D(X)=.
2.对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知
(1)对任意的a有P(X<μ－a)=P(X>μ+a);
(2)P(X(3)P(a1.(人教A版选择性必修第三册P59例1改编)设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于( )
[A] m [B] 2m(1－m)
[C] m(m－1) [D] m(1－m)
【答案】 D
【解析】 由题意得,随机变量ξ服从两点分布,所以D(ξ)=m(1－m).故选D.
2.(人教A版选择性必修第三册P74例1改编)在100件产品中,有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则( )
[A] X～B(100,0.05) [B] X～B(100,0.95)
[C] X～B(10,0.05) [D] X～B(10,0.95)
【答案】 C
【解析】 采用放回的方式从中任意抽取10件,相当于做了10次相同条件下的试验,100件产品中有5件次品,说明每次试验成功(即取到次品)的概率为0.05.故选C.
3.(北师大版选择性必修第一册P224习题65 T3改编)若随机变量ξ～N(3,σ2),且P(ξ≥4)=0.3,则P(2<ξ<4)等于( )
[A] 0.4 [B] 0.5 [C] 0.2 [D] 0.3
【答案】 A
【解析】 由条件可知,P(3<ξ<4)=0.5－P(ξ≥4)=0.5－0.3=0.2,
所以P(2<ξ<4)=2P(3<ξ<4)=2×0.2=0.4.故选A.
4.(人教B版选择性必修第二册P80例3改编)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
【答案】
【解析】 设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,其中N=6,M=2,n=3,
则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
5.(苏教版选择性必修第二册P146 T8改编)设随机变量X～B(3,p),若D(X)=,则P(X≥2)= .
【答案】
【解析】 由题意知,3p(1－p)=,解得p=,
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=(1－)+=.
考点一 n重伯努利试验与二项分布
角度1 n重伯努利试验的概率
[例1] (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1－α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1),则下列选项正确的是( )
[A] 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
[B] 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
[C] 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1－β)2+(1－β)3
[D] 当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】 ABD
【解析】 对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积,
它们相互独立,所以所求概率为(1－β)(1－α)·(1－β)=(1－α)(1－β)2,A正确;
对于B,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件,
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积,
它们相互独立,所以所求概率为(1－β)·β·(1－β)=β(1－β)2,B正确;
对于C,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1和1,1,1的事件和,
它们互斥,由选项B知,所求的概率为β(1－β)2+(1－β)3=(1－β)2(1+2β),C错误;
对于D,由选项C知,三次传输,发送0,则译码为0的概率P=(1－α)2(1+2α),
单次传输发送0,则译码为0的概率P′=1－α,而0<α<0.5,
因此P－P′=(1－α)2(1+2α)－(1－α)=α(1－α)(1－2α)>0,即P>P′,D正确.故选ABD.
n重伯努利试验概率的求解策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
角度2 二项分布
[例2] (2025·江苏南通模拟)设随机变量X～B(2,p),且P(X=0)=,则p= ;若Y=2X－1,则Y的方差为 .
【答案】
【解析】 X～B(2,p),则P(X=k)=pk·(1－p)2-k,则P(X=0)=p0(1－p)2,解得p=,则D(X)=np(1－p)=2××=,Y=2X－1,则D(Y)=4D(X)=4×=.
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1－p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量ξ服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b)(a,b为常数).
[针对训练]
1.(角度1)(2025·浙江杭州模拟)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 根据题意,甲运动员前5场内需要赢3场,第6场甲胜,
则甲以4比2获胜的概率为··×=.故选D.
2.(角度2)(多选题)(2025·云南昆明模拟)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取一个球,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则( )
[A] X～B(4,)
[B] P(X=2)=
[C] X的期望E(X)=
[D] X的方差D(X)=
【答案】 ABCD
【解析】 从袋子中有放回地取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到黑球的概率
相等,
又每次取一个球,取到白球记0分,黑球记1分,故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数,
又每次摸到黑球的概率为,因为是有放回地取4次球,所以X～B(4,),故A正确;
P(X=2)=××=,故B正确;
根据二项分布期望公式得E(X)=4×=,故C正确;
根据二项分布方差公式得D(X)=4××=,故D正确.
故选ABCD.
考点二 超几何分布
[例3] (2025·北京模拟)袋中有10个大小质地形状完全相同的小球,其中6个黄色4个红色,现从袋中随机取出3个球,则恰好有2个黄色小球的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色小球”,则P(A)==.故选C.
[典例迁移1] (变由事件求概率为由概率求事件)袋中有10个大小质地完全相同的小球,其中6个黄球,4个红球,现从中任取4个球,那么概率是的事件为( )
[A] 恰有1个是红球
[B] 4个全是黄球
[C] 恰有2个是红球
[D] 至多有2个是红球
【答案】 C
【解析】 袋中有10个小球,从中随机抽取4个的总数为=210.
A选项,恰有1个红球的概率为=,A错误;
B选项,4个全是黄球的概率为=,B错误;
C选项,恰好2个是红球的概率为=,C正确;
D选项,至多2个红球的概率为=,D错误.故选C.
[典例迁移2] (变求概率为求期望)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚,《巢湖》是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后,第四个登上特种邮票的五大淡水湖之一.现从除《太湖》外的10枚邮票中随机抽取2枚,记抽取邮票《巢湖》的枚数为X,则E(X)等于( )
[A] [B] [C] 1 [D]
【答案】 A
【解析】 依题意, X的可能取值有0,1,2.则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
则E(X)=0×+1×+2×=.故选A.
[典例迁移3] (变单变量为多变量)袋中有10个大小质地完全相同的小球,其中6个黄球,4个红球,现从中任取4个球,记随机变量X为其中红球的个数,随机变量Y为其中黄球的个数,若取出一个红球得2分,取出一个黄球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则
P(|Z－6|≤1)等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意可知X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,由|Z－6|≤1,得5≤Z≤7,所以Z=5,Z=6,Z=7,因为P(Z=5)=P(X=1,Y=3)==,P(Z=6)=P(X=2,Y=2)==,
P(Z=7)=P(X=3,Y=1)==,所以P(|Z－6|≤1)=P(Z=5)+P(Z=6)+P(Z=7)=++=.故选B.
超几何分布的特征及其实质
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
考点三 正态分布
[例4] (多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
[A] P(X>2)>0.2 [B] P(X>2)<0.5
[C] P(Y>2)>0.5 [D] P(Y>2)<0.8
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P87习题7.5 T2.
【答案】 BC
【解析】 依题可知,=2.1,s2=0.01,
所以Y～N(2.1,0.12),
故P(Y>2)=P(Y>2.1－0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误;
因为X～N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),
因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1－0.841 3=0.158 7<0.2,
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,P(X>2)1.8)=0.5,B正确,A错误.故选BC.
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
[针对训练] (多选题)坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌、斜方肌下束.甲是一个健身爱好者,他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位:kg)符合正态分布N(27.5,4),下列说法正确的是( )
参考数据:P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[A] 配重的平均数为4 kg
[B] P(23.5≤X≤29.5)≈0.818 6
[C] σ=2
[D] 1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的有135人
【答案】 BC
【解析】 由配重X(单位:kg)符合正态分布N(27.5,4)可知,配重的平均数为27.5 kg,故A项错误;可知μ=27.5,σ=2,故C项正确;
可知P(23.5≤X≤29.5)=P(μ－2σ≤X≤μ+σ)
=P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)－[P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)－P(μ－σ≤X≤μ+σ)]≈0.954 5－×(0.954 5－
0.682 7)=0.818 6,故B项正确;
对于D项,因为P(X>33.5)=P(X>μ+3σ)=[1－P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)]
≈×(1－0.997 3)=0.001 35,
故1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的约有1 000×0.001 35=1.35≈2(人),故D项错误.故选BC.
(分值:80分)
选题明细表
知识点、方法 题号
n重伯努利试验与二项分布 3,4,7,11,14
超几何分布 1,2
正态分布 5,6,8
概率分布模型的综合应用 9,10,12,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·广东深圳模拟)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 根据题意,至少含有一个黑球的概率是=.故选D.
2.(2025·广西南宁模拟)一箱苹果共有12个,其中有n(2[A] 6 [B] 5 [C] 4 [D] 3
【答案】 C
【解析】 依题意可得=,即=,
整理得n2－13n+36=0,
解得n=4或9,因为23.某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 记“至少有两次击中目标”为事件A,连续射击三次击中目标的次数为X,
由每次射击击中目标的概率均为,则未击中目标的概率均为1－=,
则P(A)=P(X=2)+P(X=3)=()1()2+()3=+=.故选D.
4.(2025·四川绵阳模拟)某市政道路两旁需要进行绿化,计划从甲、乙、丙三种树木中选择一种进行栽种,通过民意调查显示,赞成栽种乙种树木的概率为,若从该地市民中随机选取4人进行访谈,则至少有3人建议栽种乙种树木的概率为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 赞成栽种乙种树木的人数设为X,则X～B(4,).根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙种树木的概率为P=()3()1+()4==.故选D.
5.(2025·山东淄博模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:kg)服从正态分布N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在区间[82,106]内的产品估计有(附:若X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)( )
[A] 8 186件 [B] 6 826件
[C] 4 772件 [D] 2 718件
【答案】 A
【解析】 依题意,产品的质量X(单位:kg)服从正态分布N(90,64),得μ=90,σ=8,所以P(82≤X≤106)≈0.954 5－=0.818 6,所以质量在区间[82,106]内的产品估计有
10 000×0.818 6=8 186(件).故选A.
6.(2025·河南三门峡模拟)某超市销售的袋装大米的质量M(单位:kg)服从正态分布N(25,σ2),且P(24.925.1 kg的袋数的方差为( )
[A] 9.6 [B] 14.4
[C] 24 [D] 48
【答案】 B
【解析】 根据题意,M～N(25,σ2),且P(24.9所以D(X)=60×0.4×(1－0.4)=14.4.故选B.
7.(5分)(2025·天津模拟)某篮球队对队员进行考核,规则是①每人进行5个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲第一轮通过的概率为 ;甲5个轮次通过的次数X的期望是 .
【答案】 0.84 4.2
【解析】 Ai=“第i次投中”,i=1,2,
则甲第一轮通过的概率为P=1－P()=1－P()P()=1－0.4×0.4=0.84.
X的可能取值为0,1,2,3,4,5,X～B(5,0.84),
则甲5个轮次通过的次数X的期望是E(X)=5×0.84=4.2.
8.(2025·福建三明模拟)现实世界中的很多随机变量服从正态分布,例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,测量结果的误差X～N(0,),要控制|X|>的概率不大于0.002 7,至少要测量的次数为( )
(参考数据:P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
[A] 288 [B] 188 [C] 72 [D] 12
【答案】 C
【解析】 因为X～N(0,),所以μ=0,σ=,根据题意得P(|X|>)≤0.002 7,则P(|X|≤)≥1－
0.002 7=0.997 3,即P(－≤X≤)≥0.997 3,因为μ=0,所以P(－3σ≤X≤3σ)≈0.997 3,所以3σ≤,所以≤,解得n≥72,
所以至少要测量的次数为72.故选C.
9.(2025·山西阳泉模拟)中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理,若随机变量ξ～B(n,p),当n充分大时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且η的均值、方差分别与随机变量ξ的均值、方差近似相等.某射手对目标进行400次射击,且每次射击命中目标的概率为,则估计射击命中次数不大于336的概率为( )
附:若η～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤η≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤η≤μ+3σ)≈
0.997 3.
[A] 0.998 7 [B] 0.977 3
[C] 0.841 4 [D] 0.5
【答案】 B
【解析】 射击命中次数X服从二项分布X～B(400,),
均值E(X)=400×=320,方差D(X)=400××(1－)=64,所以μ=320,σ=8,
P(X≤336)=P(X≤μ+2σ)=1－P(X>μ+2σ)=1－≈1－=0.977 25≈0.977 3.故选B.
10.(多选题)(2025·云南保山模拟)某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布X～N(17.4,2.632),且84.135%的幼苗株高符合优质种植标准,其中幼苗株高不低于12.14 cm即为合格种植标准,研究所采集了1 000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本,则下列说法正确的是(附:若 X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤
μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)( )
[A] 幼苗株高优质种植标准约为14.77 cm
[B] 此地杂交水稻合格率约为0.977 25
[C] 采集样本中,株高指标合格数量依然服从正态分布
[D] 采集样本中,株高指标合格数量最有可能是978株
【答案】 ABD
【解析】 由题意,得X～N(17.4,2.632),则μ=17.4,σ=2.63,
而P(X≥μ－σ)≈+=0.841 35,
所以当μ－σ=17.4－2.63=14.77 cm时,满足84.135%的幼苗株高符合优质种植标准,即幼苗株高优质种植标准约为14.77 cm,故A正确;
由P(X≥12.14)=P(X≥μ－2σ)≈0.5+=0.977 25,可知幼苗株高不低于12.14 cm的概率约为0.977 25,故B正确;
记这1 000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本指标值不低于12.14 cm的株数为ξ,
则ξ～B(1 000,p),其中p≈0.977 25,故C错误;
因为恰有k株指标值不低于12.14 cm的事件概率P(ξ=k)=pk(1－p)1 000-k,
则
解得977.227 25≤k≤978.227 25,
由此可知,指标值不低于12.14 cm的数量最有可能是978株,故D正确.故选ABD.
11.(5分)(2025·吉林长春模拟)某中学招聘教师分笔试和面试两个环节,主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题,并独立完成所抽取的20道题,每道题答对得10分,答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为,答对面试每道题的概率为,且每道题答对与否互不影响,则甲得 分的概率最大.
【答案】 112
【解析】 设应聘者答对笔试和面试备选题分别x,y道的概率最大,
易知P(x)=·()x·(1－)10-x=·()x·()10-x,P(y)=·()y·(1－)10-y=·()10,
所以 ≤x≤,即x=7,易知y=5时,P(y)最大,
所以得分(7+5)×10－(10－7+10－5)×1=112的概率最大.
12.(5分)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,…,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有 粒.
【答案】 50
【解析】 设A=“向右下落”,则=“向左下落”,且P(A)=P()=,
设Y=X－1,因为小球下落过程中共碰撞5次,所以Y～B(5,),
所以P(Y=k)=P(X=k+1)=()k(1－)5－k=()5(k=0,1,2,3,4,5),
所以P(X=3)=()5=,故投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有160×=50(粒).
13.(13分)(2025·安徽蚌埠模拟)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况,从高一年级全部1 000名学生中随机抽取100名学生,调查他们每周的阅读时间(单位:h)并进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值(同组数据用该组数据区间的中点值表示),σ2=3.82.
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间小于6.8小时的人数(四舍五入取整);
(2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈,设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y,求随机变量Y的分布列,数学期望与方差.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
【解】 (1)样本中100名学生每周阅读时间的均值约为2×0.1+6×0.2+10×0.3+14×0.25+18×0.15=10.6,
即μ=10.6,又σ=3.8,所以X～N(10.6,3.82),
所以P(X<6.8)=P(X<μ－σ)≈×(1－0.682 7)=0.158 65,
所以高一全体学生中每周阅读时间小于6.8小时的人数大约为0.158 65×1 000≈159(人).
(2)因为X～N(10.6,3.82),所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为P(X>10.6)=,
可得Y～B(5,),
故P(Y=0)=()5=,P(Y=1)=()5=,P(Y=2)=()5=,
P(Y=3)=()5=,P(Y=4)=()5=,P(Y=5)=()5=,
随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
故E(Y)=5×=,D(Y)=5××=.
14.(多选题)如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n次后质点位于位置Xn,则下列结论正确的是( )
[A] P(X5=－1)=
[B] E(X5)=0
[C] D(X6)=3
[D] 移动6次后质点位于原点0的概率最大
【答案】 ABD
【解析】 设随机变量ξ表示“移动n次后质点向右移动的次数”,则ξ～B(n,),
由题意知Xn=ξ－(n－ξ),即Xn=2ξ－n.
对于A,P(X5=－1)=P(ξ=2)=()5=,A正确;
对于B,E(X5)=E(2ξ－5)=2E(ξ)－5=2×5×－5=0,B正确;
对于C,D(X6)=D(2ξ－6)=4D(ξ)=4×6××=6,C错误;
对于D,X6=2ξ－6,X6的所有可能取值有－6,－4,－2,0,2,4,6,
P(X6=2i－6)=P(ξ=i)=()6,
当i=3时,()6最大,P(X6=0)=P(ξ=3)最大,D正确.
故选ABD.
(
第
4
页
)(共87张PPT)
第6节 二项分布、超几何
分布与正态分布
1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.两点分布
知识梳理
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从 或 .
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)= , D(X)= .
两点分布
0—1分布
p
p(1－p)
(1)n重伯努利试验.
①我们把只包含 个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果 .
知识梳理
2.二项分布
两
独立地重复
相互独立
知识梳理
(2)二项分布.
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 .
(3)二项分布的均值与方差.
如果X～B(n,p),那么E(X)= , D(X)= .
X～B(n,p)
np
np(1－p)
(1)超几何分布.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=
,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n－N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
3.超几何分布
知识梳理
知识梳理
次品率
次品率
np
释疑
“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.正态分布
知识梳理
(1)连续型随机变量.
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个 甚至 ,
但取一点的概率为 ,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
区间
整个实轴
0
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,
称它的图象为 ,简称正态曲线.
知识梳理
知识梳理
正态密度曲线
知识梳理
知识梳理
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从 分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当 , 时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X～N(μ,σ2),则如上图所示, X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域
的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域 的面积.
正态
μ=0
σ=1
A
B
知识梳理
知识梳理
(3)正态曲线的特点.
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图所示.
知识梳理
知识梳理
瘦高
集中
矮胖
分散
知识梳理
知识梳理
(4)正态分布的均值与方差.
若X～N(μ,σ2),则E(X)= , D(X)= .
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率.
P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
μ
σ2
释疑
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
[μ－3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
重要结论
对点自测
D
【解析】 由题意得,随机变量ξ服从两点分布,所以D(ξ)=m(1－m).故选D.
2.(人教A版选择性必修第三册P74例1改编)在100件产品中,有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则
( )
[A] X～B(100,0.05)
[B] X～B(100,0.95)
[C] X～B(10,0.05)
[D] X～B(10,0.95)
对点自测
C
对点自测
【解析】 采用放回的方式从中任意抽取10件,相当于做了10次相同条件下的试验,100件产品中有5件次品,说明每次试验成功(即取到次品)的概率为0.05.故选C.
3.(北师大版选择性必修第一册P224习题6-5 T3改编)若随机变量ξ～N
(3,σ2),且P(ξ≥4)=0.3,则P(2<ξ<4)等于( )
[A] 0.4 [B] 0.5 [C] 0.2 [D] 0.3
对点自测
A
【解析】 由条件可知,P(3<ξ<4)=0.5－P(ξ≥4)=0.5－0.3=0.2,
所以P(2<ξ<4)=2P(3<ξ<4)=2×0.2=0.4.故选A.
4.(人教B版选择性必修第二册P80例3改编)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
角度1 n重伯努利试验的概率
[例1] (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1－α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1),则下列选项正确的是( )
[A] 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
[B] 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
[C] 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1－β)2+(1－β)3
[D] 当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
考点一 n重伯努利试验与二项分布
ABD
解题策略
n重伯努利试验概率的求解策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
角度2 二项分布
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1－p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量ξ服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b)(a,b为常数).
解题策略
[针对训练]
D
ABCD
考点二 超几何分布
C
C
A
B
超几何分布的特征及其实质
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
解题策略
考点三 正态分布
BC
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P87习题7.5 T2.
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
解题策略
[针对训练] (多选题)坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌、斜方肌下束.甲是一个健身爱好者,他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位:kg)符合正态分布N(27.5,4),下列说法正确的是( )
参考数据:P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤
X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[A] 配重的平均数为4 kg
[B] P(23.5≤X≤29.5)≈0.818 6
[C] σ=2
[D] 1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的有135人
BC
故1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的约有1 000×0.001 35=
1.35≈2(人),故D项错误.故选BC.
课时作业
(分值:80分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
n重伯努利试验与二项分布 3,4,7,11,14
超几何分布 1,2
正态分布 5,6,8
概率分布模型的综合应用 9,10,12,13
基础巩固练
D
C
D
D
5.(2025·山东淄博模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:kg)服从正态分布N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在区间[82,106]内的产品估计有(附:若X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈
0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)( )
[A] 8 186件 [B] 6 826件
[C] 4 772件 [D] 2 718件
A
B
6.(2025·河南三门峡模拟)某超市销售的袋装大米的质量M(单位:kg)服从正态分布N(25,σ2),且P(24.9大米,则质量在25 kg～25.1 kg的袋数的方差为( )
[A] 9.6 [B] 14.4
[C] 24 [D] 48
7.(5分)(2025·天津模拟)某篮球队对队员进行考核,规则是①每人进行5个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲第一轮通过的概率为 ;甲5个轮次通过的次数X的期望是
.
0.84
4.2
综合运用练
C
B
10.(多选题)(2025·云南保山模拟)某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布X～N
(17.4,2.632),且84.135%的幼苗株高符合优质种植标准,其中幼苗株高不低于12.14 cm即为合格种植标准,研究所采集了1 000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本,则下列说法正确的是(附:若 X～N(μ,σ2),则P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈
0.682 7,P(μ－2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)( )
[A] 幼苗株高优质种植标准约为14.77 cm
[B] 此地杂交水稻合格率约为0.977 25
[C] 采集样本中,株高指标合格数量依然服从正态分布
[D] 采集样本中,株高指标合格数量最有可能是978株
ABD
112
12.(5分)如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,…,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有 粒.
50
13.(13分)(2025·安徽蚌埠模拟)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况,从高一年级全部1 000名学生中随机抽取100名学生,调查他们每周的阅读时间(单位:h)并进行统计,得到样本的频率分布直方图如图所示.
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值(同组数据用该组数据区间的中点值表示),σ2=3.82.
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间小于6.8小时的人数(四舍五入取整);
(2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈,设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y,求随机变量Y的分布列,数学期望与方差.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ－2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ－3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
14.(多选题)如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n次后质点位于位置Xn,则下列结论正确的是( )
应用创新练
ABD