微课培优7 概率与其他知识的交汇
以生活中的实际应用问题为依托,以频率分布直方图、折线图、条形图和扇形图为载体,以彼此互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式以及期望、方差的计算公式为工具,以古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布等概率分布模型为核心,甚至将数列、函数及导数等知识综合在一起命题,也是近年来考查概率相关内容的一大
趋向,该考查方式能够做到背景新颖,关联知识相互渗透,全面透彻地考查核心素养和关键能力.
类型一 概率与统计的交汇
[典例1] (2025·山东潍坊模拟)某市2018年至2024年城镇居民人均可支配收入如下表,将其绘制成散点图(如下图),发现城镇居民人均可支配收入y(单位:万元)与年份代号x具有线性相关关系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代 号x 1 2 3 4 5 6 7
人均可支 配收入y 万元 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
(1)求y关于x的经验回归方程=x+,并根据所求经验回归方程,预测2026年该市城镇居民人均可支配收入;
(2)某分析员从2018年至2024年人均可支配收入中,任取3年的数据进行分析,记其中人均可支配收入超过4.5万元的年份个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考数据及公式:yi=30.59,xiyi=129.36,
=,= .
概率与统计综合问题的求解技巧
高考常将分布列与统计图表、回归分析、独立性检验等交汇在一起进行考查,解题时要正确理解统计图表,合理利用公式;要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来;要准确地把握题中所涉及的事件,明确所求问题所属的事件类型.
[拓展演练1] (2025·福建莆田模拟)跑步是一种方便的体育锻炼方法,坚持跑步可以增强体质,提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人,调查他们是否喜欢跑步,得到的数据如表所示.
单位:人
性别 跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 40 20 60
女 15 25 40
合计 55 45 100
(1)依据α=0.005的独立性检验,能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关
(2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因,采用分层随机抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人,再从这11人中随机抽取4人进行调查,记最后抽取的4人中,女大学生的人数为X,求X的分布列与数学期望.
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
类型二 概率与数列的交汇
[典例2] (2025·广东广州模拟)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留继续投掷骰子;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.每次传球互不影响.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率;
(2)投掷n(n∈N*)次骰子后,记球在乙手中的概率为pn,求数列{pn}的通项公式;
(3)设an=,求证:a1+a2+…+an≤－.
概率与数列交汇的主要类型
(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望 E(Xn) 的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列),求出通项公式.
(2)求和:主要是应用数列中的倒序相加、错位相减、裂项相消等方法进行求和.
(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.
[拓展演练2] (2025·安徽安庆模拟)某校为了丰富教师的学习和生活,特举行了答题竞赛.在竞赛中,每名参赛教师答题若干次,每一次答题的赋分方法如下:第1次答题,答对得20分,答错得 10分,从第2次答题开始,答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分,答错得10分,教师甲参加答题竞赛,每次答对的概率均为,每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率.
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi).
(ⅰ)求E(X1),E(X2),E(X3),并猜想当i≥2时,E(Xi)与E(Xi－1)之间的关系式;
(ⅱ)若E(Xi)>320,求n的最小值.
类型三 概率与函数、导数的交汇
[典例3] (2025·河北沧州模拟)某景区的索道共有三种购票类型,分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水平,现对当日购票的120人征集意见,当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36,60和24.
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
(2)记单程下山票和双程票为回程票,若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人的购票类型相同,则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.
(ⅰ)试用含m的代数式表示p;
(ⅱ)若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为B的概率,试求g(p)的最大值及此时m
的值.
概率与函数、导数交汇问题的求解策略
在概率与函数、导数的交汇问题中,往往涉及概率、均值的最大(最小)值,尤其对方案进行决策时,决策的工具就是样本的数字特征或有关概率,决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,解决这类问题往往借助分段函数、二次函数的图象与性质、基本不等式或导数的有关知识来帮助实现.
[拓展演练3] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最
小值.
(分值:45分)
1.(13分)(2025·河南信阳模拟)某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两名同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M处和N处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表
所示:
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学
期望;
(2)在甲、乙两名同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率.
2.(15分)(2025·江苏南通模拟)某学校食堂每天都会提供A,B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为;前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.
(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率;
(2)证明:数列{Pn－}为等比数列;
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A套餐的人数X,用P(X=k)表示这100名学生中恰有k名学生选择A套餐的概率,求 P(X=k)取最大值时对应的k的值.
3.(17分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得－300分.设每次击鼓出现音乐的概率为p(0
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
(2)以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X);
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
微课培优7 概率与其他知识的交汇
以生活中的实际应用问题为依托,以频率分布直方图、折线图、条形图和扇形图为载体,以彼此互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式以及期望、方差的计算公式为工具,以古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布等概率分布模型为核心,甚至将数列、函数及导数等知识综合在一起命题,也是近年来考查概率相关内容的一大
趋向,该考查方式能够做到背景新颖,关联知识相互渗透,全面透彻地考查核心素养和关键能力.
类型一 概率与统计的交汇
[典例1] (2025·山东潍坊模拟)某市2018年至2024年城镇居民人均可支配收入如下表,将其绘制成散点图(如下图),发现城镇居民人均可支配收入y(单位:万元)与年份代号x具有线性相关关系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代 号x 1 2 3 4 5 6 7
人均可支 配收入y 万元 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
(1)求y关于x的经验回归方程=x+,并根据所求经验回归方程,预测2026年该市城镇居民人均可支配收入;
(2)某分析员从2018年至2024年人均可支配收入中,任取3年的数据进行分析,记其中人均可支配收入超过4.5万元的年份个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考数据及公式:yi=30.59,xiyi=129.36,
=,= .
【解】 (1)由题意得,=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=yi=×30.59=4.37,
(xi－)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
xiyi－7 =129.36－7×4×4.37=7,
故===0.25,= =4.37－0.25×4=3.37,
故经验回归方程为=0.25x+3.37,
又因为2026年的年份代号为9,将x=9代入=0.25x+3.37,解得=5.62,预测2026年该市城镇居民人均可支配收入为 5.62万元.
(2)由题中图表知,人均可支配收入超过4.5万的年份有3年,故X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
概率与统计综合问题的求解技巧
高考常将分布列与统计图表、回归分析、独立性检验等交汇在一起进行考查,解题时要正确理解统计图表,合理利用公式;要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来;要准确地把握题中所涉及的事件,明确所求问题所属的事件类型.
[拓展演练1] (2025·福建莆田模拟)跑步是一种方便的体育锻炼方法,坚持跑步可以增强体质,提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人,调查他们是否喜欢跑步,得到的数据如表所示.
单位:人
性别 跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 40 20 60
女 15 25 40
合计 55 45 100
(1)依据α=0.005的独立性检验,能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关
(2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因,采用分层随机抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人,再从这11人中随机抽取4人进行调查,记最后抽取的4人中,女大学生的人数为X,求X的分布列与数学期望.
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (1)零假设为H0:该校大学生是否喜欢跑步与性别无关,
根据列联表中的数据,计算得到χ2==≈8.249>7.879=x0.005,
根据α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)由题意可知抽取的男大学生有11×=8(人),女大学生有11×=3(人),
则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
可得P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=.
类型二 概率与数列的交汇
[典例2] (2025·广东广州模拟)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留继续投掷骰子;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.每次传球互不影响.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率;
(2)投掷n(n∈N*)次骰子后,记球在乙手中的概率为pn,求数列{pn}的通项公式;
(3)设an=,求证:a1+a2+…+an≤－.
(1)【解】 依题意,球在甲手中时,保留在自己手中的概率为,传给乙的概率为;
球在乙手中时,传给甲的概率为,传给丙的概率为;球在丙手中时,
传给甲和乙的概率都是.
则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类情况,
第一类情况:甲→甲→甲→甲,概率为××=;
第二类情况:甲→乙→甲→甲,概率为××=;
第三类情况:甲→乙→丙→甲,概率为××=;
第四类情况:甲→甲→乙→甲,概率为××=.
由互斥事件的概率加法公式,三次投掷骰子后球在甲手中的概率为+++=.
(2)【解】 由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为 1－pn,此时无论球在甲手中还是球在丙手中,均有=的概率传给乙,
故有pn+1=(1－pn),
变形为pn+1－=－(pn－).
又p1=,所以数列{pn－}是首项为p1－=,公比为－的等比数列.
所以pn－=×(－)n－1=－×(－)n.
所以数列{pn}的通项公式
pn=×(－)n.
(3)【证明】 由(2)可得an=
=
=6×
=6×[],
则a1+a2+…+an=6×[++…+]
=6×[].
①当n是奇数时,因为－(－)n+1=－()n+1是单调递增函数,故1－(－)n+1∈[,1),
则∈(1,],
于是,6×[]∈[－4,－2),故a1+a2+…+an<－2<－;
②当n是偶数时,因为－(－)n+1=()n+1是单调递减函数,故1－(－)n+1∈(1,],
则∈[,1),
于是,6×[]∈(－2,－],
故a1+a2+…+an≤－.
综上,所以a1+a2+…+an≤－.
概率与数列交汇的主要类型
(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望 E(Xn) 的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列),求出通项公式.
(2)求和:主要是应用数列中的倒序相加、错位相减、裂项相消等方法进行求和.
(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.
[拓展演练2] (2025·安徽安庆模拟)某校为了丰富教师的学习和生活,特举行了答题竞赛.在竞赛中,每名参赛教师答题若干次,每一次答题的赋分方法如下:第1次答题,答对得20分,答错得 10分,从第2次答题开始,答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分,答错得10分,教师甲参加答题竞赛,每次答对的概率均为,每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率.
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi).
(ⅰ)求E(X1),E(X2),E(X3),并猜想当i≥2时,E(Xi)与E(Xi－1)之间的关系式;
(ⅱ)若E(Xi)>320,求n的最小值.
【解】 (1)由题意,前3次的得分分别为20(对),40(对),10(错)或10(错),20(对),40(对),所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为P=2×()3=.
(2)(ⅰ)甲第1次答题得分20分,10分的概率分别为,则E(X1)=20×+10×=15,
甲第2次答题得分40分,20分,10分的概率分别为,,,
则E(X2)=40×+20×+10×=20,
甲第3次答题得分80分,40分,20分,10分的概率分别为,,,,
则E(X3)=80×+40×+20×+10×=25,
当i≥2时,因为甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1),
所以第i次答对题所得分数为2E(Xi－1),答错题所得分数为10分,其概率为,
所以E(Xi)=2E(Xi－1)×+10×=E(Xi－1)+5,
可猜想:E(Xi)=E(Xi－1)+5,i≥2.
(ⅱ)由(ⅰ)知数列{E(Xn)}是以15为首项,5为公差的等差数列,
根据等差数列的求和公式,可得E(Xi)=15n+×5=,
当n=9时,E(Xi)=315<320,
当n=10时,E(Xi)=375>320,
所以实数n的最小值为10.
类型三 概率与函数、导数的交汇
[典例3] (2025·河北沧州模拟)某景区的索道共有三种购票类型,分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水平,现对当日购票的120人征集意见,当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36,60和24.
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
(2)记单程下山票和双程票为回程票,若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人的购票类型相同,则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.
(ⅰ)试用含m的代数式表示p;
(ⅱ)若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为B的概率,试求g(p)的最大值及此时m
的值.
【解】 (1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3∶5∶2,所以这10人中,购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为10×=3,10×=5,10×=2,
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P==.
(2)(ⅰ)从m+2人中任选2人,有种选法,其中购票类型相同的有(+)种选法,则询问的某组被标为B的概率p=1－=1－=.
(ⅱ)由题意,5组中恰有3组被标为B的概率
g(p)=p3(1－p)2=10p3(1－2p+p2)=10(p3－2p4+p5),
所以g′(p)=10(3p2－8p3+5p4)=10p2(p－1)(5p－3),0所以当p∈(0,)时,g′(p)>0,函数g(p)单调递增,
当p∈(,1)时,g′(p)<0,函数g(p)单调递减,
所以当p=时,g(p)取得最大值,且最大值为g()=×()3×(1－)2=.
由p==,m>2且m∈N*,
得m=3.
当m=3时,5组中恰有3组被标为B的概率最大,且g(p)的最大值为.
概率与函数、导数交汇问题的求解策略
在概率与函数、导数的交汇问题中,往往涉及概率、均值的最大(最小)值,尤其对方案进行决策时,决策的工具就是样本的数字特征或有关概率,决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,解决这类问题往往借助分段函数、二次函数的图象与性质、基本不等式或导数的有关知识来帮助实现.
[拓展演练3] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最
小值.
【解】 (1)依题可知,在患病者的频率分布直方图中,第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%,所以95所以(c－95)×0.002=0.5%,解得c=97.5,
q(c)=0.01×(100－97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)当c∈[95,100]时,
f(c)=p(c)+q(c)=(c－95)×0.002+(100－c)×0.01+5×0.002=－0.008c+0.82≥0.02;
当c∈(100,105]时,
f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c－100)×0.012+(105－c)×0.002=0.01c－0.98>0.02,
故f(c)=
所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.
(分值:45分)
1.(13分)(2025·河南信阳模拟)某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两名同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M处和N处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表
所示:
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学
期望;
(2)在甲、乙两名同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率.
【解】 (1)甲同学两分球投篮命中的概率为=0.5,
甲同学三分球投篮命中的概率为=0.1,
设甲同学累计得分为X,
则P(X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225,
P(X=5)=0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.075,
则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.3,
所以甲同学通过测试的概率为0.3.
设这300名学生通过测试的人数为Z,由题意知Z～B(300,0.3),
所以E(Z)=300×0.3=90.
(2)乙同学两分球投篮命中率为=0.4,
乙同学三分球投篮命中率为=0.2.
设乙同学累计得分为Y,
则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128,
P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128.
设“甲得分比乙得分高”为事件A,“甲、乙两名同学均通过了测试”为事件B,
则P(AB)=P(X=5)·P(Y=4)=0.075×0.128=0.009 6,
P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]·[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.076 8,
由条件概率公式可得P(A|B)===.
2.(15分)(2025·江苏南通模拟)某学校食堂每天都会提供A,B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为;前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.
(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率;
(2)证明:数列{Pn－}为等比数列;
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A套餐的人数X,用P(X=k)表示这100名学生中恰有k名学生选择A套餐的概率,求 P(X=k)取最大值时对应的k的值.
(1)【解】 设B1=“第1天选择B套餐”,B2=“第2天选择B套餐”,则=“第1天不选择B套餐”.
根据题意可知P()=, P(B1)=,
P(B2|B1)=, P(B2|)=.
由全概率公式可得P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P()P(B2|)=×+×=.
(2)【证明】 设Bn=“第n天选择B套餐”,则Pn=P(Bn),P()=1－Pn,
根据题意P(Bn+1|Bn)=,
P(Bn+1|)=.
由全概率公式可得Pn+1=P(Bn+1)
=P(Bn)P(Bn+1|Bn)+P()P(Bn+1|)
=Pn+(1－Pn)=－Pn+,
整理得Pn+1－=－(Pn－),
且P1－=－≠0,所以{Pn－}是以－为首项,－为公比的等比数列.
(3)【解】 第二天选择A套餐的概率PA=×+×=,
由题意可得,学生第二天选择A套餐的概率为,则不选择A套餐的概率为,
所以X～B(100,),
则P(X=k)=()k·()100－k,
k=0,1,2,…,100,
当P(X=k)取最大值时,
则
即
即
解得≤k≤,且k∈N,
所以k=37.
3.(17分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得－300分.设每次击鼓出现音乐的概率为p(0(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
(2)以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X);
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【解】 (1)由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)=p(1－p)2=3p3－6p2+3p,
f ′(p)=3(3p－1)(p－1),
由f ′(p)=0得p=或p=1(舍去).
当p∈(0,)时,f ′(p)>0;当p∈(,)时,f ′(p)<0.
所以f(p)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,所以当p=时, f(p)有最大值,即f(p)的最大值点p0=.
(2)由(1)可知, p=p0=,则每盘游戏出现音乐的概率为p1=1－(1－)3=,由题可知X～B(3,).所以E(X)=3×=.
(3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ,则ξ的可能值为－300,50,100,150,
所以P(ξ=－300)=(1－p)3,
P(ξ=50)=p(1－p)2,
P(ξ=100)=p2(1－p),
P(ξ=150)=p3.
所以E(ξ)=－300(1－p)3+50p(1－p)2+100p2(1－p)+150p3=300(p3－3p2+p－1).
令g(p)=p3－3p2+p－1,p∈(0,),
则g′(p)=3p2－6p+=3(p－1)2+>0,
所以g(p)在(0,)上单调递增,
所以g(p)即E(ξ)<0.
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知,经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.
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微课培优7 概率与其他
知识的交汇
知识链接
以生活中的实际应用问题为依托,以频率分布直方图、折线图、条形图和扇形图为载体,以彼此互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式以及期望、方差的计算公式为工具,以古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布等概率分布模型为核心,甚至将数列、函数及导数等知识综合在一起命题,也是近年来考查概率相关内容的一大趋向,该考查方式能够做到背景新颖,关联知识相互渗透,全面透彻地考查核心素养和关键能力.
题型演绎
类型一 概率与统计的交汇
[典例1] (2025·山东潍坊模拟)某市2018年至2024年城镇居民人均可支配收入如下表,将其绘制成散点图(如下图),发现城镇居民人均可支配收入y(单位:万元)与年份代号x具有线性相关关系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入y万元 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入y万元 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入y万元 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
概率与统计综合问题的求解技巧
高考常将分布列与统计图表、回归分析、独立性检验等交汇在一起进行考查,解题时要正确理解统计图表,合理利用公式;要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算对应起来;要准确地把握题中所涉及的事件,明确所求问题所属的事件类型.
反思归纳
[拓展演练1] (2025·福建莆田模拟)跑步是一种方便的体育锻炼方法,坚持跑步可以增强体质,提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人,调查他们是否喜欢跑步,得到的数据如表所示.
单位:人
性别 跑步 合计
喜欢 不喜欢
男 40 20 60
女 15 25 40
合计 55 45 100
(1)依据α=0.005的独立性检验,能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别
有关
参考数据:
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
类型二 概率与数列的交汇
[典例2] (2025·广东广州模拟)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留继续投掷骰子;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中.每次传球互不影响.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率;
(2)投掷n(n∈N*)次骰子后,记球在乙手中的概率为pn,求数列{pn}的通项公式;
概率与数列交汇的主要类型
(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望 E(Xn) 的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列),求出通项公式.
(2)求和:主要是应用数列中的倒序相加、错位相减、裂项相消等方法进行求和.
(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.
解题策略
类型三 概率与函数、导数的交汇
[典例3] (2025·河北沧州模拟)某景区的索道共有三种购票类型,分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水平,现对当日购票的120人征集意见,当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36,
60和24.
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
(2)记单程下山票和双程票为回程票,若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人的购票类型相同,则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.
(ⅰ)试用含m的代数式表示p;
(ⅱ)若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为B的概率,试求g(p)的最大值及此时m的值.
概率与函数、导数交汇问题的求解策略
在概率与函数、导数的交汇问题中,往往涉及概率、均值的最大(最小)值,尤其对方案进行决策时,决策的工具就是样本的数字特征或有关概率,决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,解决这类问题往往借助分段函数、二次函数的图象与性质、基本不等式或导数的有关知识来帮助实现.
反思归纳
[拓展演练3] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
【解】 (1)依题可知,在患病者的频率分布直方图中,第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%,所以95所以(c－95)×0.002=0.5%,解得c=97.5,
q(c)=0.01×(100－97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
【解】 (2)当c∈[95,100]时,
f(c)=p(c)+q(c)=(c－95)×0.002+(100－c)×0.01+5×0.002=－0.008c+0.82≥0.02;
当c∈(100,105]时,
课时作业
(分值:45分)
1.(13分)(2025·河南信阳模拟)某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两名同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M处和N处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表所示:
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学期望;
则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.3,
所以甲同学通过测试的概率为0.3.
设这300名学生通过测试的人数为Z,由题意知Z～B(300,0.3),
所以E(Z)=300×0.3=90.
(2)在甲、乙两名同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率.
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A套餐的人数X,用P(X=k)表示这100名学生中恰有k名学生选择A套餐的概率,求 P(X=k)取最大值时对应的k的值.
(2)以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1及随机变量X的期望E(X);
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.