第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[课程标准要求]
1.了解任意角的概念和弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类.
按旋转方向不同分为正角、负角、零角;
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示.
(2)公式.
角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°= rad;1 rad=()°
弧长公式 弧长l=|α|r
扇形面积公式 S=lr=αr2(0<α<π)
角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,有着本质区别,因此同一表达式中采用的度量制度必须一致,不可混用.
3.任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(1)任意角α的sin α,cos α,tan α与点P(x,y)的位置无关,故我们在利用定义解题时常常可以在角α终边上取一个特殊点再求值.
(2)当角α的终边在y轴上时,tan α不存在.
1.象限角
2.轴线角
3.若α分别为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ象限角,则所在象限如图.
4.α,β终边关于x轴对称 β=－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于y轴对称 β=π－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于原点对称 β=π+α+2kπ,k∈Z.
1.－660°等于( )
[A] － rad [B] － rad
[C] － rad [D] － rad
2.角－870°的终边所在的象限是( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
3.(人教A版必修第一册P179例2改编)已知角α的终边上有一点P(－3,1),则cos α等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
4.(人教A版必修第一册P182练习 T4改编)若角θ满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
5.(人教A版必修第一册P176习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 .
考点一 角的概念及其表示
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
[B] 终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}
[C] 第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z}
[D] 在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
[A] [B]
[C] [D]
3.(多选题)若α是第二象限角,则( )
[A] －α是第一象限角
[B] +α是第二象限角
[C] 2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上
[D] 角π－α的终边与α的终边关于y轴对称
4.终边在直线y=x上,且在[－2π,2π)内的角α的集合为 .
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
(2)已知角α终边所在的象限,求2α,,π－α等角的终边所在象限问题,可由条件先写出α的范围,解不等式得出角2α,,π－α等的范围,再根据范围确定象限.
(3)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间.
③起始、终止边界的对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
考点二 扇形的弧长及面积公式
[例1] 已知一扇形的圆心角α=,半径R=10 cm,则此扇形的弧长为 cm,面积为
cm2.
[典例迁移1] 若本例条件不变,求扇形的弧所在弓形的面积.
[典例迁移2] 若例题条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长公式和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.
考点三 三角函数定义的应用
角度1 利用三角函数的定义求值
[例2] (1)(2025·福建福州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,cos α=,P(m,2)为其终边上一点,则m等于( )
[A] －4 [B] 4 [C] －1 [D] 1
(2)(2025·江苏徐州模拟)若角θ的终边经过两点(x,2),(－1,y),则xy等于( )
[A] 2 [B] －2 [C] －1 [D] 1
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值.根据定义中的两个量,列方程求参数值.
角度2 判断三角函数值的符号
[例3] (多选题)(2025·山东青岛模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1－m).若m>0,则下列各式的符号无法确定的是( )
[A] sin α [B] cos α
[C] sin α－cos α [D] sin α+cos α
熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值在各象限的符号规律概括为一全正、二正弦、三正切、四余弦.如图.
[针对训练]
1.(角度1)已知角α的终边在直线y=－3x上,则10sin α+的值为( )
[A] －6 [B] 6
[C] 0 [D] －3
2.(角度2)(多选题)(2025·重庆渝中模拟)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是( )
[A] sin <0 [B] tan >0
[C] sin >cos [D] >
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
角的概念及其表示 1,4
扇形的弧长及面积公式 5,10,12,14
三角函数定义的应用 2,3,6,7,8,11
综合应用 9,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.与终边相同的角的表达式中,正确的是( )
[A] 45°+2kπ,k∈Z
[B] k·360°+,k∈Z
[C] k·360°+315°,k∈Z
[D] 2kπ－,k∈Z
2.在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2,点C在x轴的正半轴上.在△AOC中,若cos∠AOC=－,则点A的横坐标为( )
[A] － [B] [C] －3 [D] 3
3.已知点P(sin(－30°),cos(－30°))在角θ的终边上,且θ∈[－2π,0),则角θ的大小为( )
[A] － [B] －π
[C] － [D] －
4.角α的终边落在第一象限,那么的终边不可能落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
[A] [B] [C] 3 [D]
6.(5分)已知sin α=,cos α=－,且α为第二象限角,则m= ,tan α= .
7.(5分)已知点A的坐标为(,),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OP,则点P的坐标为 .
8.(13分)若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
9.下列选项正确的是( )
[A] sin 300°>0 [B] cos(－305°)<0
[C] tan(－)>0 [D] sin 10<0
10.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°,面积为3π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M,N恰好重合),该圆锥顶点为P,底面圆的直径为AB,则cos∠APB的值为( )
[A] [B] [C] [D]
11.设θ是第三象限角,且|cos|=－cos ,则是( )
[A] 第一象限角 [B] 第二象限角
[C] 第三象限角 [D] 第四象限角
12.(5分)(2025·江西赣州模拟)如图是一个弓形(由弦BC与劣弧围成)展台的截面图,A是弧上一点,测得BC=10 m,∠ABC=15°,∠ACB=45°,则该展台的截面面积是
m2.
13.(5分)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点(,m),
且sin α·cos β<0,则cos α·sin β= .
14.(16分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角(正角)为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/m,弧线部分的装饰费用为9元/m.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值.
15.(多选题)(2025·云南昆明模拟)质点A,B在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动,点A的起点在射线y=x(x≥0)与圆O的交点处,点A的角速度为1 rad/s,点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处,点B的角速度为2 rad/s,则下列说法正确的是( )
[A] 在2 s末时,点B的坐标为(－cos 4,－sin 4)
[B] 在2 s末时,劣弧的长为2－
[C] 在5π s末时,点A与点B重合
[D] 当点A与点B重合时,点A的坐标可以为(－,)
16.(5分)鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”,是一种特殊的三角形,指分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点:在任何方向上都有相同的宽度,机械加工业上利用这个性质,把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状,就能在零件上钻出正方形的孔来.如图,已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为π,则线段AB的长为 ,该鲁洛克斯三角形的面积为 .
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[课程标准要求]
1.了解任意角的概念和弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类.
按旋转方向不同分为正角、负角、零角;
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示.
(2)公式.
角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°= rad;1 rad=()°
弧长公式 弧长l=|α|r
扇形面积公式 S=lr=αr2(0<α<π)
角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,有着本质区别,因此同一表达式中采用的度量制度必须一致,不可混用.
3.任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(1)任意角α的sin α,cos α,tan α与点P(x,y)的位置无关,故我们在利用定义解题时常常可以在角α终边上取一个特殊点再求值.
(2)当角α的终边在y轴上时,tan α不存在.
1.象限角
2.轴线角
3.若α分别为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ象限角,则所在象限如图.
4.α,β终边关于x轴对称 β=－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于y轴对称 β=π－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于原点对称 β=π+α+2kπ,k∈Z.
1.－660°等于( )
[A] － rad [B] － rad
[C] － rad [D] － rad
【答案】 C
【解析】 －660°=－660× rad=－ rad.故选C.
2.角－870°的终边所在的象限是( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 C
【解析】 －870°=－2×360°－150°,－870°和－150°的终边相同,故－870°的终边在第三象限.故选C.
3.(人教A版必修第一册P179例2改编)已知角α的终边上有一点P(－3,1),则cos α等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
【答案】 C
【解析】 点P(－3,1)到原点的距离为=,所以由三角函数定义可知cos α=－=－.故选C.
4.(人教A版必修第一册P182练习 T4改编)若角θ满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 D
【解析】 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二或第四象限.故θ的终边只能位于第四象限.
故选D.
5.(人教A版必修第一册P176习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 .
【答案】 12π
【解析】 因为α=30°=,l=αr,所以r===12,所以扇形面积S=lr=×2π×12=12π.
考点一 角的概念及其表示
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
[B] 终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}
[C] 第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z}
[D] 在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
【答案】 AD
【解析】 A项易知正确;B项,终边落在y轴上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z},角度与弧度不能混用,故错误;C项,第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},故错误;D项,所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°,k∈Z,令－720°≤45°+k·360°≤0°(k∈Z),解得 －≤k≤－(k∈Z),从而当k=－2时,β=－675°;当k=－1时,β=－315°,故正确.故选AD.
2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 当k取偶数时,比如k=0,此时≤α≤,故角的终边在第一象限或y轴正半轴;
当k取奇数时,比如k=1,
此时≤α≤,
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴,
综上,角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.故选C.
3.(多选题)若α是第二象限角,则( )
[A] －α是第一象限角
[B] +α是第二象限角
[C] 2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上
[D] 角π－α的终边与α的终边关于y轴对称
【答案】 CD
【解析】 由α是第二象限角,可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得－π－2kπ<－α<－－2kπ,k∈Z,此时－α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α位于第一象限,所以B错误;对于C,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上,所以C正确;对于D,因为=,所以角π－α的终边与α的终边关于y轴对称,所以D正确.
故选CD.
4.终边在直线y=x上,且在[－2π,2π)内的角α的集合为 .
【答案】
【解析】 在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角为,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有和;
在[－2π,0)内满足条件的角有－和－,故满足条件的角α构成的集合为.
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
(2)已知角α终边所在的象限,求2α,,π－α等角的终边所在象限问题,可由条件先写出α的范围,解不等式得出角2α,,π－α等的范围,再根据范围确定象限.
(3)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间.
③起始、终止边界的对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
考点二 扇形的弧长及面积公式
[例1] 已知一扇形的圆心角α=,半径R=10 cm,则此扇形的弧长为 cm,面积为
cm2.
【答案】
【解析】 由已知得α=,R=10 cm,
所以l=αR=×10=(cm),
S扇形=αR2=××102=(cm2).
[典例迁移1] 若本例条件不变,求扇形的弧所在弓形的面积.
【解】 S弓形=S扇形－S三角形=·R2·sin =×102×=(cm2).
[典例迁移2] 若例题条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【解】 由已知得,l+2R=20,则l=20－2R(0所以S=lR=(20－2R)R=10R－R2=－(R－5)2+25.
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,此时l=10 cm,α=2 rad.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长公式和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.
考点三 三角函数定义的应用
角度1 利用三角函数的定义求值
[例2] (1)(2025·福建福州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,cos α=,P(m,2)为其终边上一点,则m等于( )
[A] －4 [B] 4 [C] －1 [D] 1
(2)(2025·江苏徐州模拟)若角θ的终边经过两点(x,2),(－1,y),则xy等于( )
[A] 2 [B] －2 [C] －1 [D] 1
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)始边与x轴非负半轴重合,cos α=,P(m,2)为其终边上一点,
则=,且m>0,解得m=1.故选D.
(2)角θ的终边经过两点(x,2),(－1,y),则tan θ==(x≠0),
所以xy=－2.故选B.
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值.根据定义中的两个量,列方程求参数值.
角度2 判断三角函数值的符号
[例3] (多选题)(2025·山东青岛模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1－m).若m>0,则下列各式的符号无法确定的是( )
[A] sin α [B] cos α
[C] sin α－cos α [D] sin α+cos α
【答案】 AC
【解析】 由三角函数的定义得,
sin α=,cos α=.
对于A,当m∈(0,1)时,sin α>0;
当m∈(1,+∞)时,sin α<0;
当m=1时,sin α=0,所以sin α符号无法确定.
对于B,cos α=>0,
所以cos α符号确定.
对于C,sin α－cos α=.
当m∈(0,)时,sin α－cos α>0;
当m∈(,+∞)时,sin α－cos α<0;
当m=时,sin α－cos α=0,
所以sin α－cos α符号无法确定.
对于D,sin α+cos α=+=>0,
所以sin α+cos α符号确定.故选AC.
熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值在各象限的符号规律概括为一全正、二正弦、三正切、四余弦.如图.
[针对训练]
1.(角度1)已知角α的终边在直线y=－3x上,则10sin α+的值为( )
[A] －6 [B] 6
[C] 0 [D] －3
【答案】 C
【解析】 由题知,cos α≠0.
设角α的终边上一点(a,－3a)(a≠0),则r==|a|.
当a>0时,r=a,sin α==－,cos α==,
10sin α+=－3+3=0;
当a<0时,r=－a,sin α==,cos α==－,
10sin α+=3－3=0.故选C.
2.(角度2)(多选题)(2025·重庆渝中模拟)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是( )
[A] sin <0 [B] tan >0
[C] sin >cos [D] >
【答案】 BD
【解析】由题意,得2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,故kπ+<0,当k为
偶数时,为第一象限角,此时0.所以A,C错误,B,D正确.故选BD.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
角的概念及其表示 1,4
扇形的弧长及面积公式 5,10,12,14
三角函数定义的应用 2,3,6,7,8,11
综合应用 9,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.与终边相同的角的表达式中,正确的是( )
[A] 45°+2kπ,k∈Z
[B] k·360°+,k∈Z
[C] k·360°+315°,k∈Z
[D] 2kπ－,k∈Z
【答案】 D
【解析】 在同一个表达式中,角度制与弧度制不能混用,所以A,B错误.与终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)的形式,k=－2时,2kπ+=－,315°换算成弧度制为,所以C错误,D正确.故选D.
2.在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2,点C在x轴的正半轴上.在△AOC中,若cos∠AOC=－,则点A的横坐标为( )
[A] － [B] [C] －3 [D] 3
【答案】 A
【解析】 设点A的横坐标为x,则由题意知=－,解得x=－.故选A.
3.已知点P(sin(－30°),cos(－30°))在角θ的终边上,且θ∈[－2π,0),则角θ的大小为( )
[A] － [B] －π
[C] － [D] －
【答案】 D
【解析】 因为P(sin(－30°),cos(－30°)),
所以P(－,),所以θ是第二象限角,
又θ∈[－2π,0),所以θ=－.故选D.
4.角α的终边落在第一象限,那么的终边不可能落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
【答案】 D
【解析】 因为角α的终边落在第一象限,
所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,则<<+,k∈Z,
当k=3n(n∈Z)时,此时的终边落在第一象限,
当k=3n+1(n∈Z)时,此时的终边落在第二象限,
当k=3n+2(n∈Z)时,此时的终边落在第三象限,
综上,角α的终边不可能落在第四象限.故选D.
5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
[A] [B] [C] 3 [D]
【答案】 D
【解析】 如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,
则线段AB所对的圆心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足为M,
在Rt△AOM中,AO=r,
∠AOM=,
所以AM=r,AB=r.
所以l=r,
由弧长公式得α===.故选D.
6.(5分)已知sin α=,cos α=－,且α为第二象限角,则m= ,tan α= .
【答案】 4 －
【解析】 因为sin α=,cos α=－.所以()2+(－)2=1.所以m=4或m=.因为α为第二象限角,所以>0,－<0.所以m∈(－∞,－1)∪(,+∞).所以m=4,所以sin α=,cos α=－,所以tan α=－.
7.(5分)已知点A的坐标为(,),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OP,则点P的坐标为 .
【答案】 (－,)
【解析】 因为点A的坐标为(,),
可得∠xOA=,
所以∠xOP=+=.
可得xP=cos =－,
yP=sin =,
所以点P的坐标为(－,).
8.(13分)若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
【解】 (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0),
所以x=－4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ==－;
当a<0时,r=－5a,sin θ+cos θ=－+=.
综上,sin θ+cos θ=±.
(2)当a>0时,sin θ=∈(0,),cos θ=－∈(－,0),
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos ()·sin (－)<0;
当a<0时,sin θ=－∈(－,0),cos θ=∈(0,),
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos (－)·sin >0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;
当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.
9.下列选项正确的是( )
[A] sin 300°>0 [B] cos(－305°)<0
[C] tan(－)>0 [D] sin 10<0
【答案】 D
【解析】 300°=360°－60°,则300°是第四象限角,故sin 300°<0,A错误;－305°=－360°+55°,则 －305° 是第一象限角,故cos(－305°)>0,B错误;而－=－8π+,所以－是第二象限角,故tan (－)<0,C错误;因为3π<10<,所以10是第三象限角,故sin 10<0,D正确.故选D.
10.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°,面积为3π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M,N恰好重合),该圆锥顶点为P,底面圆的直径为AB,则cos∠APB的值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,
因为扇形的圆心角为,
所以S扇形=··l2==3π,解得l=3.
因为扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长,
所以·l=2πr,所以r=1.
所以圆锥的轴截面△ABP中,PA=PB=3,AB=2.
由余弦定理可得cos∠APB===.故选B.
11.设θ是第三象限角,且|cos|=－cos ,则是( )
[A] 第一象限角 [B] 第二象限角
[C] 第三象限角 [D] 第四象限角
【答案】 B
【解析】 由于θ是第三象限角,所以2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z),kπ+<12.(5分)(2025·江西赣州模拟)如图是一个弓形(由弦BC与劣弧围成)展台的截面图,A是弧上一点,测得BC=10 m,∠ABC=15°,∠ACB=45°,则该展台的截面面积是
m2.
【答案】 －25
【解析】如图,设展台所在的圆的圆心为O,半径为R m,∠BAC=180°－15°－45°=120°,
则2R===20,
即R=10,∠BOC=120°,
所以展台的面积为π·102－×10×10×=－25(m2).
13.(5分)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点(,m),
且sin α·cos β<0,则cos α·sin β= .
【答案】 ±
【解析】 由角β的终边与单位圆交于点(,m),
得cos β=,又由sin α·cos β<0,知sin α<0,
因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.
记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),
则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,
又由y=x得x=－,y=－,
所以cos α=x=－,
因为点(,m)在单位圆上,
所以()2+m2=1,解得m=±,
所以sin β=±,所以cos α·sin β=±.
14.(16分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角(正角)为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/m,弧线部分的装饰费用为9元/m.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值.
【解】 (1)由题意得,30=θ(10+x)+2(10－x),
所以θ=(0(2)花坛的面积为θ(102－x2)=(5+x)(10－x)=－x2+5x+50(0装饰总费用为9θ(10+x)+8(10－x)=170+10x(0所以花坛的面积与装饰总费用的比y=(0令t=17+x,则t∈(17,27),
则y=(t+)≤=,
当且仅当t=,即t=18时,
y取得最大值,最大值为,此时x=1,θ=.
故当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
15.(多选题)(2025·云南昆明模拟)质点A,B在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动,点A的起点在射线y=x(x≥0)与圆O的交点处,点A的角速度为1 rad/s,点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处,点B的角速度为2 rad/s,则下列说法正确的是( )
[A] 在2 s末时,点B的坐标为(－cos 4,－sin 4)
[B] 在2 s末时,劣弧的长为2－
[C] 在5π s末时,点A与点B重合
[D] 当点A与点B重合时,点A的坐标可以为(－,)
【答案】 BD
【解析】 由题意,2 s末时,射线OB逆时针旋转了4 rad,则点B的坐标为(cos 4,sin 4),
A错误;
点A的初始位置为(,),2 s后,射线OA逆时针旋转了2 rad,
则∠AOB=4－(2+)=2－,所以劣弧的长为2－,B正确;
设t时刻点A与点B重合,则2t－t=t=+2kπ(k∈Z),
令+2kπ=5π k= Z,所以在5π s末时,点A与点B不重合,C错误;
由C知,t=时,点A与点B第一次重合,此时射线OA逆时针旋转了,
射线OB逆时针旋转了,可得点A与点B重合
于(cos ,sin ),
此时点A的坐标为(－,),D正确.故选BD.
16.(5分)鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”,是一种特殊的三角形,指分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点:在任何方向上都有相同的宽度,机械加工业上利用这个性质,把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状,就能在零件上钻出正方形的孔来.如图,已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为π,则线段AB的长为 ,该鲁洛克斯三角形的面积为 .
【答案】 3
【解析】 因为△ABC是正三角形,所以以点C为圆心的弧所对的圆心角为,则有·AC=π,解得AC=3,所以AB=3.△ABC的面积为S1=×3×=,
弧与弦AB所对弓形面积为S2=×3×π－S1=,
所以鲁洛克斯三角形的面积为S=3S2+S1=3()+=.
(
第
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第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第四章 三角函数、解三角形
1.了解任意角的概念和弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.角的概念
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)分类.
按旋转方向不同分为 、 、 ;
按终边位置不同分为 和轴线角.
端点
正角
负角
零角
象限角
知识梳理
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
－α
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示.
半径长
(2)公式.
知识梳理
|α|r
释疑
角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,有着本质区别,因此同一表达式中采用的度量制度必须一致,不可混用.
3.任意角的三角函数
知识梳理
(1)任意角α的sin α,cos α,tan α与点P(x,y)的位置无关,故我们在利用定义解题时常常可以在角α终边上取一个特殊点再求值.
(2)当角α的终边在y轴上时,tan α不存在.
释疑
重要结论
1.象限角
重要结论
2.轴线角
重要结论
重要结论
4.α,β终边关于x轴对称 β=－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于y轴对称 β=π－α+2kπ,k∈Z.
α,β终边关于原点对称 β=π+α+2kπ,k∈Z.
对点自测
1.－660°等于( )
C
对点自测
2.角－870°的终边所在的象限是( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
C
【解析】 －870°=－2×360°－150°,－870°和－150°的终边相同,
故－870°的终边在第三象限.故选C.
对点自测
3.(人教A版必修第一册P179例2改编)已知角α的终边上有一点P(－3,1),则cos α等于( )
C
对点自测
对点自测
4.(人教A版必修第一册P182练习 T4改编)若角θ满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
D
对点自测
【解析】 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,
也可能与y轴的非正半轴重合;
由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二或第四象限.
故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
对点自测
12π
5.(人教A版必修第一册P176习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 .
关键能力
课堂突破
考点一 角的概念及其表示
AD
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
[B] 终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}
[D] 在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
C
[A] [B] [C] [D]
3.(多选题)若α是第二象限角,则( )
[A] －α是第一象限角
CD
[C] 2α是第三或第四象限角或在y轴非正半轴上
[D] 角π－α的终边与α的终边关于y轴对称
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
题后悟通
(3)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
②按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间.
③起始、终止边界的对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
题后悟通
考点二 扇形的弧长及面积公式
[典例迁移1] 若本例条件不变,求扇形的弧所在弓形的面积.
[典例迁移2] 若例题条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长公式和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.
解题策略
考点三 三角函数定义的应用
角度1 利用三角函数的定义求值
D
[A] －4 [B] 4 [C] －1 [D] 1
(2)(2025·江苏徐州模拟)若角θ的终边经过两点(x,2),(－1,y),则xy等于( )
[A] 2 [B] －2 [C] －1 [D] 1
B
解题策略
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值.根据定义中的两个量,列方程求参数值.
角度2 判断三角函数值的符号
[例3] (多选题)(2025·山东青岛模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1－m).若m>0,则下列各式的符号无法确定的是( )
[A] sin α [B] cos α
[C] sin α－cos α [D] sin α+cos α
AC
解题策略
熟练掌握三角函数在各象限的符号.三角函数值在各象限的符号规律概括为一全正、二正弦、三正切、四余弦.如图.
[针对训练]
C
2.(角度2)(多选题)(2025·重庆渝中模拟)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是( )
BD
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
角的概念及其表示 1,4
扇形的弧长及面积公式 5,10,12,14
三角函数定义的应用 2,3,6,7,8,11
综合应用 9,13,15,16
基础巩固练
D
A
3.已知点P(sin(－30°),cos(－30°))在角θ的终边上,且θ∈[－2π,0),则角θ的大小为( )
D
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
D
综上,角α的终边不可能落在第四象限.故选D.
5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
D
4
8.(13分)若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
8.(13分)若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0).
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
综合运用练
9.下列选项正确的是( )
D
B
10.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°,面积为3π的扇形OMN
(O为圆心)围成一个圆锥(点M,N恰好重合),该圆锥顶点为P,底面圆的直径为AB,则cos∠APB的值为( )
[A] 第一象限角 [B] 第二象限角
[C] 第三象限角 [D] 第四象限角
B
【解析】如图,设展台所在的圆的圆心为O,半径为R m,
∠BAC=180°－15°－45°=120°,
14.(16分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角(正角)为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/m,弧线部分的装饰费用为9元/m.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值.
应用创新练
BD
3
