第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[课程标准要求]
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠kπ+,k∈Z).
2.能利用单位圆的对称性推导出±α,π±α,－α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函数的诱导公式
公 式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α (k∈Z) π+α －α π－α －α +α
正 弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余 弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正 切 tan α tan α －tan α －tan α
诱导公式可推广归结为要求角k·±α(k∈Z)的三角函数值,只需直接求α的三角函数值,其转化过程及所得结果满足:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶,变与不变是指函数名称的变化.若k是奇数,则正、余弦互变;若k是偶数,则函数名称不变.“符号看象限”是把α当成锐角时,原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号.
同角三角函数的基本关系式的常见变形:
sin2α=1－cos2α=(1+cos α)(1－cos α);
cos2α=1－sin2α=(1+sin α)(1－sin α).
1.(人教A版必修第一册P185习题5.2 T6(1)改编)已知α是第三象限角,sin α=－,则tan α等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
2.(北师大版必修第二册P149例5改编)已知tan α=2,则等于( )
[A] [B]
[C] [D] 2
3.(多选题)(人教A版必修第一册P192例3改编)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
[A] sin(－x)=sin x
[B] sin(－x)=cos x
[C] cos(+x)=－sin x
[D] tan(x+π)=tan x
4.(2025·湖南长沙模拟)已知sin(+2α)=,则cos(－2α)等于( )
[A] [B] －
[C] [D] ±
5.已知cos α=－,则13sin α+5tan α= .
考点一 同角三角函数基本关系
角度1 “知一求二”问题
[例1] (2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ－cos θ= .
同角三角函数的基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系 tan α=和平方关系sin2α+cos2α=1.
角度2 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
[例2] (多选题)(2025·湖北荆州模拟)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
[A] sin θcos θ<0 [B] sin θ－cos θ=
[C] cos θ= [D] sin θ=
sin α+cos α,sin αcos α,sin α－cos α之间的关系
(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2=1－2sin αcos α.
(3)(sin α+cos α)2+(sin α－cos α)2=2.
(4)(sin α+cos α)2－(sin α－cos α)2=4sin αcos α.
角度3 关于sin α,cos α的齐次式问题
[例3] (1)(多选题)(2025·江苏常州模拟)已知角α的终边与单位圆交于点(,y0),则等于( )
[A] [B] － [C] － [D]
(2)(2025·广东广州模拟)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ等于( )
[A] － [B] [C] － [D]
形如asin α+bcos α和asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos2α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·山东青岛模拟)设－<α<0,若=,则sin α等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
2.(角度2)(2025·河北衡水模拟)已知sin x+cos x=,则sin4x+cos4x的值为( )
[A] [B] [C] [D]
3.(角度3)(2025·江西赣州模拟)已知θ为锐角,满足sin2θ+sin θcos θ－3cos2θ=,则tan θ=
.
考点二 诱导公式
[例4] (1)(多选题)已知cos(+α)=,则( )
[A] sin(+α)=
[B] cos(－α)=－
[C] sin(－α)=
[D] 角α可能是第二象限角
(2)化简:等于( )
[A] －sin θ [B] sin θ
[C] cos θ [D] －cos θ
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.
(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
2.常见的互余、互补的角
(1)互余的角:+α与－α,+α与－α等.
(2)互补的角:+θ与－θ,+θ与－θ等.
[针对训练] (1)(2025·河北沧州模拟)已知cos(+x)=,则sin(－x)等于( )
[A] － [B]
[C] [D] －
(2)已知f(α)=,若cos(α－)=－,则f(α)= .
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[例5] (1)(2025·广东深圳模拟)已知sin(+α)=,那么tan(－α)等于( )
[A] － [B] ±2
[C] [D] 2
(2)已知α为锐角,且2tan(π－α)－3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)－1=0,则sin α的值是( )
[A] [B]
[C] [D]
(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
[针对训练] (2025·江苏南通模拟)已知角α是第二象限角,若cos(α－70°)=,则sin(α+110°)= .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数的基本关系 2,3,5,7,9,14
诱导公式 1,4,6,10,11,12
综合应用 8,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知cos(α－)=,则cos(－α)等于( )
[A] － [B] －
[C] [D]
2.(2025·河北邯郸模拟)已知tan α=,α为第一象限角,则sin α的值为( )
[A] [B] [C] － [D] －
3.(2025·浙江丽水模拟)已知角α的顶点为原点,始边为x轴的非负半轴,若其终边经过点P(－2,),则等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
4.(2025·四川成都模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若角α的终边与角的终边相同,则等于( )
[A] +1 [B] －1
[C] －+1 [D] －－1
5.(2025·湖北武汉模拟)已知sin α－cos α=,α∈(－,),则等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
6.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是( )
[A] sin(A+B)=sin C
[B] sin()=cos
[C] tan(A+B)=－tan C(C≠)
[D] cos(A+B)=cos C
7.(5分)已知角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线x－y+3=0平行,则3sin2α－2sin αcos α= .
8.(10分)(1)若α是第二象限角,且cos(+α)=－,求tan α的值;
(2)已知f(α)=,化简f(α),在(1)的条件下,求f(α)的值.
9.(2025·青海西宁模拟)已知sin α+cos α=3cos αtan α,则cos2αtan α－1等于( )
[A] － [B] － [C] － [D] －
10.(2025·江苏盐城模拟)已知A=+(k∈Z)且sin α·cos α≠0,则A的值构成的集合是( )
[A] {1,－1,2,－2} [B] {－1,1}
[C] {2,－2} [D] {1,－1,0,2,－2}
11.(多选题)已知角θ和φ都是任意角,若满足θ+φ=+2kπ,k∈Z,则称θ与φ广义互余.若 sin(π+α)=－,则下列角β中,可能与角α广义互余的有( )
[A] sin β= [B] cos(π+β)=
[C] tan β= [D] tan β=
12.(5分)已知cos(75°+α)=,则cos(105°－α)+sin(15°－α)= .
13.(5分)已知sin α是方程5x2－7x－6=0的根,α是第三象限角,则·tan2(π－α)= .
14.(11分)在①sin α+cos α=,②log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并解答.
若α∈R,且 ,求tan α的值.
15.(2025·辽宁沈阳模拟)已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则α的最小正值为( )
[A] [B]
[C] [D]
16.(12分)是否存在α∈(－,),β∈(0,π),使等式sin(3π－α)=cos(－β),cos(－α)=－cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[课程标准要求]
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠kπ+,k∈Z).
2.能利用单位圆的对称性推导出±α,π±α,－α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函数的诱导公式
公 式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α (k∈Z) π+α －α π－α －α +α
正 弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余 弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正 切 tan α tan α －tan α －tan α
诱导公式可推广归结为要求角k·±α(k∈Z)的三角函数值,只需直接求α的三角函数值,其转化过程及所得结果满足:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶,变与不变是指函数名称的变化.若k是奇数,则正、余弦互变;若k是偶数,则函数名称不变.“符号看象限”是把α当成锐角时,原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号.
同角三角函数的基本关系式的常见变形:
sin2α=1－cos2α=(1+cos α)(1－cos α);
cos2α=1－sin2α=(1+sin α)(1－sin α).
1.(人教A版必修第一册P185习题5.2 T6(1)改编)已知α是第三象限角,sin α=－,则tan α等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得cos α<0,
且cos α=－=－,
故tan α==.故选B.
2.(北师大版必修第二册P149例5改编)已知tan α=2,则等于( )
[A] [B]
[C] [D] 2
【答案】 B
【解析】 因为tan α=2,
所以===.故选B.
3.(多选题)(人教A版必修第一册P192例3改编)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
[A] sin(－x)=sin x
[B] sin(－x)=cos x
[C] cos(+x)=－sin x
[D] tan(x+π)=tan x
【答案】 CD
【解析】 sin(－x)=－sin x,故A不符合题意;sin(－x)=－cos x,故B不符合题意;cos(+x)=－sin x,故C符合题意;tan(x+π)=tan x,故D符合题意.故选CD.
4.(2025·湖南长沙模拟)已知sin(+2α)=,则cos(－2α)等于( )
[A] [B] －
[C] [D] ±
【答案】 C
【解析】 因为sin(+2α)=,所以cos(－2α)=cos[－(+2α)]=sin(+2α)=.故选C.
5.已知cos α=－,则13sin α+5tan α= .
【答案】 0
【解析】 13sin α+5tan α=13sin α+5×==,
又cos α=－,所以13cos α+5=0,故13sin α+5tan α=0.
考点一 同角三角函数基本关系
角度1 “知一求二”问题
[例1] (2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ－cos θ= .
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P185习题5.2 T12.
【答案】 －
【解析】 因为θ∈(0,),则sin θ>0,cos θ>0,
又因为tan θ==,则cos θ=2sin θ,
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,
解得sin θ=或sin θ=－(舍去),
所以sin θ－cos θ=sin θ－2sin θ=－sin θ=－.
同角三角函数的基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系 tan α=和平方关系sin2α+cos2α=1.
角度2 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
[例2] (多选题)(2025·湖北荆州模拟)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
[A] sin θcos θ<0 [B] sin θ－cos θ=
[C] cos θ= [D] sin θ=
【答案】 ABD
【解析】 由sin θ+cos θ=①,以及sin2θ+cos2θ=1,对等式①两边取平方得1+2sin θcos θ=,sin θcos θ=－②,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,由②得cos θ<0,由①②知sin θ,cos θ可以看作是一元二次方程x2－x－=0的两个根,解得 sin θ=,cos θ=－,sin θ－cos θ=,故A,B,D正确,C错误.故选ABD.
sin α+cos α,sin αcos α,sin α－cos α之间的关系
(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2=1－2sin αcos α.
(3)(sin α+cos α)2+(sin α－cos α)2=2.
(4)(sin α+cos α)2－(sin α－cos α)2=4sin αcos α.
角度3 关于sin α,cos α的齐次式问题
[例3] (1)(多选题)(2025·江苏常州模拟)已知角α的终边与单位圆交于点(,y0),则等于( )
[A] [B] － [C] － [D]
(2)(2025·广东广州模拟)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ等于( )
[A] － [B] [C] － [D]
【答案】 (1)AC (2)D
【解析】 (1)因为角α的终边与单位圆交于点(,y0),
所以+=1,所以y0=±.
所以tan α==±.
当tan α=时,==;
当tan α=－时,==－.故选AC.
(2)由题意知tan θ=2,
则sin2θ+sin θcos θ====.
故选D.
形如asin α+bcos α和asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos2α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·山东青岛模拟)设－<α<0,若=,则sin α等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
【答案】 C
【解析】 由已知=,
得=,
因为－<α<0,所以sin α<0.
故=,
解得cos α=,sin α=－=－.
故选C.
2.(角度2)(2025·河北衡水模拟)已知sin x+cos x=,则sin4x+cos4x的值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 由sin x+cos x=,得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,得sin xcos x=－,
sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2－2sin2x·cos2x=1－2×(－)2=.故选D.
3.(角度3)(2025·江西赣州模拟)已知θ为锐角,满足sin2θ+sin θcos θ－3cos2θ=,则tan θ=
.
【答案】 2
【解析】 因为sin2θ+sin θcos θ－3cos2θ===,
整理得2tan2θ+5tan θ－18=0,解得tan θ=2或tan θ=－,
又因为θ为锐角,则tan θ>0,所以tan θ=2.
考点二 诱导公式
[例4] (1)(多选题)已知cos(+α)=,则( )
[A] sin(+α)=
[B] cos(－α)=－
[C] sin(－α)=
[D] 角α可能是第二象限角
(2)化简:等于( )
[A] －sin θ [B] sin θ
[C] cos θ [D] －cos θ
【答案】 (1)BC (2)A
【解析】 (1)由cos(+α)=,得+α是第一或第四象限角,当+α是第四象限角时,sin(+α)=－=－,A不正确;cos(－α)=cos[π－(+α)]=－cos(+α)=－,B正确;sin(－α)=sin[－(+α)]=cos(+α)=,C正确;因为+α是第一或第四象限角,所以α=(+α)－不可能是第二象限角,D不正确.故选BC.
(2)原式===－sin θ.
故选A.
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.
(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
2.常见的互余、互补的角
(1)互余的角:+α与－α,+α与－α等.
(2)互补的角:+θ与－θ,+θ与－θ等.
[针对训练] (1)(2025·河北沧州模拟)已知cos(+x)=,则sin(－x)等于( )
[A] － [B]
[C] [D] －
(2)已知f(α)=,若cos(α－)=－,则f(α)= .
【答案】 (1)A (2)±
【解析】 (1)sin(－x)=sin[－(+x)]=－cos(+x)=－.故选A.
(2)由题意得f(α)=
=
=cos α.
又因为cos(α－)=－sin α=－,所以sin α=,所以α为第一或第二象限角,
所以cos α=±=±,
所以f(α)=±.
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[例5] (1)(2025·广东深圳模拟)已知sin(+α)=,那么tan(－α)等于( )
[A] － [B] ±2
[C] [D] 2
(2)已知α为锐角,且2tan(π－α)－3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)－1=0,则sin α的值是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 (1)B (2)C
【解析】 (1)因为sin(+α)=,
所以cos(－α)=cos[－(+α)]=sin(+α)=,
则sin(－α)=±=±,
所以tan(－α)==±2.
故选B.
(2)由已知得消去 sin β,得tan α=3,
所以cos α=sin α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=,
又α为锐角,所以sin α>0,
则sin α=.
故选C.
(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
[针对训练] (2025·江苏南通模拟)已知角α是第二象限角,若cos(α－70°)=,则sin(α+110°)= .
【答案】 －
【解析】 sin(α+110°)=sin[(α－70°)+180°]=－sin(α－70°),
因为角α是第二象限角,cos(α－70°)=,
所以α－70°是第一象限角,
所以sin(α－70°)==,
所以sin(α+110°)=－.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数的基本关系 2,3,5,7,9,14
诱导公式 1,4,6,10,11,12
综合应用 8,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知cos(α－)=,则cos(－α)等于( )
[A] － [B] －
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 cos(－α)=cos[π－(α－)]=－cos(α－)=－.故选B.
2.(2025·河北邯郸模拟)已知tan α=,α为第一象限角,则sin α的值为( )
[A] [B] [C] － [D] －
【答案】 A
【解析】 因为tan α=,所以=.
又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+sin2α=1,sin2α=.
因为α为第一象限角,所以sin α=.故选A.
3.(2025·浙江丽水模拟)已知角α的顶点为原点,始边为x轴的非负半轴,若其终边经过点P(－2,),则等于( )
[A] － [B] －
[C] － [D] －
【答案】 B
【解析】 由题意知tan α=－,
则原式====－.故选B.
4.(2025·四川成都模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若角α的终边与角的终边相同,则等于( )
[A] +1 [B] －1
[C] －+1 [D] －－1
【答案】 C
【解析】 由题意得tan α=tan =－,
====tan α+1=－+1.
故选C.
5.(2025·湖北武汉模拟)已知sin α－cos α=,α∈(－,),则等于( )
[A] － [B]
[C] － [D]
【答案】 D
【解析】 由题意可得,(sin α－cos α)2=1－2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0,
又α∈(－,),可得α∈(0,),
即sin α>0,cos α>0,可得sin α+cos α>0,
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
所以sin α+cos α=,
所以==.故选D.
6.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是( )
[A] sin(A+B)=sin C
[B] sin()=cos
[C] tan(A+B)=－tan C(C≠)
[D] cos(A+B)=cos C
【答案】 ABC
【解析】 在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π－C)=sin C,A正确;
sin()=sin()=cos ,B正确;tan(A+B)=tan(π－C)=－tan C(C≠),C正确;
cos(A+B)=cos(π－C)=－cos C,D错误.故选ABC.
7.(5分)已知角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线x－y+3=0平行,则3sin2α－2sin αcos α= .
【答案】
【解析】 因为角α的终边与直线x－y+3=0平行,
即角α的终边在直线y=x上,
所以tan α=,
所以3sin2α－2sin αcos α====.
8.(10分)(1)若α是第二象限角,且cos(+α)=－,求tan α的值;
(2)已知f(α)=,化简f(α),在(1)的条件下,求f(α)的值.
【解】 (1)因为cos(+α)=－sin α=－,
所以sin α=.
又因为α是第二象限角,
所以cos α=－=－,
则tan α==－.
(2)f(α)===cos α,
由(1)知,cos α=－,
则f(α)=cos α=－.
9.(2025·青海西宁模拟)已知sin α+cos α=3cos αtan α,则cos2αtan α－1等于( )
[A] － [B] － [C] － [D] －
【答案】 A
【解析】 因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α,可得tan α=,
可得cos2αtan α=cos αsin α====,
所以cos2αtan α－1=－1=－.故选A.
10.(2025·江苏盐城模拟)已知A=+(k∈Z)且sin α·cos α≠0,则A的值构成的集合是( )
[A] {1,－1,2,－2} [B] {－1,1}
[C] {2,－2} [D] {1,－1,0,2,－2}
【答案】 C
【解析】 由题设sin α·cos α≠0可知,sin α,cos α均不为0,所以当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A==－2.所以A的值构成的集合是{2,－2}.故选C.
11.(多选题)已知角θ和φ都是任意角,若满足θ+φ=+2kπ,k∈Z,则称θ与φ广义互余.若 sin(π+α)=－,则下列角β中,可能与角α广义互余的有( )
[A] sin β= [B] cos(π+β)=
[C] tan β= [D] tan β=
【答案】 AC
【解析】 若α与β广义互余,则α+β=+2kπ(k∈Z),即β=+2kπ－α(k∈Z).
又由sin(π+α)=－,可得sin α=.
若α与β广义互余,则sin β=sin(+2kπ－α)=cos α=±=±,故A正确;若α与β广义互余,则cos β=cos(+2kπ－α)=sin α=,而由cos(π+β)=,可得cos β=－,故B错误;由A,B的分析可知sin β=±,cos β=,所以tan β==±,故C正确,D错误.故选AC.
12.(5分)已知cos(75°+α)=,则cos(105°－α)+sin(15°－α)= .
【答案】 0
【解析】 因为(105°－α)+(75°+α)=180°,(15°－α)+(75°+α)=90°,所以cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=－,sin(15°－α)=sin[90°－(75°+α)]=cos(75°+α)=.
所以cos(105°－α)+sin(15°－α)=－+=0.
13.(5分)已知sin α是方程5x2－7x－6=0的根,α是第三象限角,则·tan2(π－α)= .
【答案】 －
【解析】 因为方程5x2－7x－6=0的根为x=－或x=2,又α是第三象限角,
所以sin α=－,
所以cos α=－=－,所以tan α===,
所以原式=·tan2α=－tan2α=－.
14.(11分)在①sin α+cos α=,②log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并解答.
若α∈R,且 ,求tan α的值.
【解】 若选条件①,由sin α+cos α=两边平方得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=,即sin αcos α=,
可得=,即=,
得 2tan2α－5tan α+2=0,
解得tan α=或tan α=2.
若选条件②,
因为log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,
所以log4[(2sin α+cos α)·(sin α+2cos α)]=1,即(2sin α+cos α)·(sin α+2cos α)=4,化简得2sin2α+5sin αcos α+2cos2α=4,
所以=4,
即=4,
得2tan2α－5tan α+2=0,
解得tan α=或 tan α=2.
15.(2025·辽宁沈阳模拟)已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则α的最小正值为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 法一 由三角函数的定义可知
cos α=sin =sin(+)=cos ,
sin α=cos =cos(+)=－sin .
由诱导公式可得α=2kπ－,k∈Z,
所以当k=1时,α取得最小正值,为.
故选D.
法二 由题意得tan α====tan(－),
所以α=kπ－,k∈Z,
因为sin >0,cos <0,
所以角α是第四象限角.
所以当k=2时,α取得最小正值,为.
故选D.
16.(12分)是否存在α∈(－,),β∈(0,π),使等式sin(3π－α)=cos(－β),cos(－α)=－cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
【解】 假设存在α,β满足条件,
则由已知条件可得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
因为sin2α+cos2α=1,
所以sin2α=,所以sin α=±.
因为α∈(－,),所以α=±.
当α=时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式成立;
当α=－时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=,β=满足条件.
(
第
11
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)(共85张PPT)
第2节 同角三角函数的
基本关系与诱导公式
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系: .
sin2α+cos2α=1
知识梳理
2.三角函数的诱导公式
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
－tan α
释疑
重要结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形:
sin2α=1－cos2α=(1+cos α)(1－cos α);
cos2α=1－sin2α=(1+sin α)(1－sin α).
对点自测
B
对点自测
对点自测
B
对点自测
对点自测
3.(多选题)(人教A版必修第一册P192例3改编)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
CD
对点自测
对点自测
C
对点自测
对点自测
0
关键能力
课堂突破
考点一 同角三角函数基本关系
角度1 “知一求二”问题
[溯源探本]本例题源于人教A版必修第一册P185习题5.2 T12.
解题策略
ABD
角度2 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
sin α+cos α,sin αcos α,sin α－cos α之间的关系
(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2=1－2sin αcos α.
(3)(sin α+cos α)2+(sin α－cos α)2=2.
(4)(sin α+cos α)2－(sin α－cos α)2=4sin αcos α.
解题策略
角度3 关于sin α,cos α的齐次式问题
AC
(2)(2025·广东广州模拟)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ等于( )
D
形如asin α+bcos α和asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos2α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α.
解题策略
[针对训练]
C
D
2
考点二 诱导公式
BC
[A] －sin θ [B] sin θ
[C] cos θ [D] －cos θ
A
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.
解题策略
2.常见的互余、互补的角
解题策略
A
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
B
C
解题策略
(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
同角三角函数的基本关系 2,3,5,7,9,14
诱导公式 1,4,6,10,11,12
综合应用 8,13,15,16
基础巩固练
B
A
B
C
D
6.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是( )
ABC
综合运用练
9.(2025·青海西宁模拟)已知sin α+cos α=3cos αtan α,则cos2αtan α－1等于
( )
A
[A] {1,－1,2,－2} [B] {－1,1}
[C] {2,－2} [D] {1,－1,0,2,－2}
C
AC
0
应用创新练
D
