第4节 三角函数的图象与性质
[课程标准要求]
1.借助单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(－,)上的性质.
1.“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,0),(,1),
(π,0),(,－1),(2π,0).
(2)在确定余弦函数y=cos x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,1),(,0),
(π,－1),(,0),(2π,1).
要注意函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
2.三角函数的图象和性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
R R {x|x≠+kπ,k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 最小正周期:2π 最小正周期:2π 最小正周期:π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调 递增 区间 [－+2kπ,+2kπ] [－π+2kπ,2kπ] (－+kπ,+kπ)
单调 递减 区间 [+2kπ,+2kπ] [2kπ,π+2kπ] —
对称 中心 (kπ,0) (kπ+,0) (,0)
对称 轴 方程 x=kπ+ x=kπ —
对于y=tan x,不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ－,kπ+)(k∈Z)内单调
递增.
1.关于奇偶性的常用结论
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),f(x)为偶函数 φ=+kπ(k∈Z).
(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),f(x)为奇函数 φ=kπ(k∈Z).
2.三角函数的对称性与周期性
正弦、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其半个周期;图象与x轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是半个周期;函数取最值的点与其相邻的零点距离为个周期.
1.(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是( )
[A]
[B]
[C]
[D]
2.函数f(x)=2tan(2x－)图象的对称中心的坐标是( )
[A] (2kπ+,0),k∈Z
[B] (kπ+,0),k∈Z
[C] (+,0),k∈Z
[D] (+,0),k∈Z
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T16改编)函数f(x)=4sin(5x－)在[0,]上的值域为( )
[A] [－2,2] [B] [－2,4]
[C] [－2,4] [D] [－2,2]
4.(多选题)已知函数f(x)=sin(x－)(x∈R),下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的最小正周期为2π
[B] 函数f(x)在区间[0,]上单调递增
[C] 函数f(x)的图象关于直线x=0对称
[D] 函数f(x)是奇函数
5.(人教A版必修第一册P207例5改编)函数 f(x)=sin(2x+),x∈R的单调递减区间是 .
考点一 三角函数的定义域和值域
1.函数y=ln(3－2x－x2)+的定义域是( )
[A] [,1) [B] (－1,]
[C] (－3,] [D] [,]
2.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin 3(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在[－,]的最小值为( )
[A] － [B] －
[C] 0 [D]
3.函数y=sin x－cos x+sin xcos x(x∈R)的值域为 .
(1)求三角函数的定义域实际上就是解三角函数不等式(组),常借助三角函数性质及图象求解.涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
(2)三角函数值域的求法
①形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域.
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
考点二 三角函数的奇偶性、周期性与对称性
[例1] (1)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x－),下列说法中正确的有( )
[A] f(x)与g(x)有相同的零点
[B] f(x)与g(x)有相同的最大值
[C] f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D] f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)函数f(x)=3sin(2x－+φ)+1,φ∈(0,π),且f(x)为偶函数,则φ= ,f(x)图象的对称中心为 .
有关三角函数的奇偶性、周期性
和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式,同时不要忘记函数的定义域是否关于原点对称.
(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解.对于含绝对值的函数,可以借助函数图象特征或周期的定义求解.
(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
[针对训练] (1)(2025·陕西西安模拟)已知函数 f(x)=cos 2ωx－sin 2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象的一个对称中心为( )
[A] (－,0) [B] (,0)
[C] (－,10 [D] (,1)
(2)(2025·山东滨州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴,则f()等于( )
[A] － [B] －
[C] [D]
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间、比较大小
[例2] (1)(多选题)(2025·山东临沂模拟)下列各式中正确的是( )
[A] tan
[B] tan 2>tan 3
[C] cos(－)>cos(－)
[D] sin(－)(2)函数f(x)=sin(－2x+)的单调递减区间为 .
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化为同一个单调区间上的角.
(2)求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin t的相应单调区间内即可,注意若ω<0要先把x的系数化为正数,切莫忘记考虑函数自身的定义域.
(3)若在给定的区间上函数有两个或两个以上单调递增(减)区间,则两个单调递增(减)区间之间不能用并集符号“∪”和“或”连接,可以用“和”字或逗号连接.
角度2 已知函数的单调性求参数的值(或取值范围)
[例3] (2025·安徽马鞍山模拟)已知ω>1,函数 f(x)=sin(2ωx+)的一个零点是,且 f(x)在(－,)上单调,则ω等于( )
[A] [B]
[C] [D]
已知单调区间求参数范围的方法
(1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
(3)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解.
(4)图象法:画出函数的图象,观察图象.一般适用于选择、填空题.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·北京昌平模拟)已知函数 f(x)=cos2x－sin2x,则( )
[A] f(x)在(－,－)上单调递减
[B] f(x)在(－,)上单调递增
[C] f(x)在(0,)上单调递减
[D] f(x)在(,)上单调递增
2.(角度2)(2025·河北唐山模拟)函数f(x)=sin(2x－φ)(|φ|≤)在(0,)上为单调递增函数,则φ的取值范围为( )
[A] [－,－] [B] [－,0]
[C] [,] [D] [0,]
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数的定义域和值域 1,7,11
三角函数的奇偶性、周期性与对称性 3,5,12,13,15
三角函数的单调性 2,4,6
三角函数的综合应用 8,9,10,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.函数f(x)=的定义域为( )
[A] [+4kπ,+4kπ](k∈Z)
[B] [+4k,+4k](k∈Z)
[C] [+4kπ,+4kπ](k∈Z)
[D] [+4k,+4k](k∈Z)
2.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则( )
[A] a[C] c3.(2025·广东广州模拟)如果函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点(－,0)对称,则|φ|的最小值是( )
[A] [B]
[C] [D]
4.(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)的最小正周期为π,且在区间(,)内单调递增,则f(x)可能是( )
[A] f(x)=sin(x－)
[B] f(x)=cos(x－)
[C] f(x)=sin(2x－)
[D] f(x)=cos(2x－)
5.在函数①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )
[A] ①②③ [B] ①③④
[C] ②④ [D] ①③
6.(5分)(2025·江西宜春模拟)已知函数 f(x)=cos(ωx－)(ω>0)在区间[,π]上单调递减,则ω的取值范围是 .
7.(5分)已知函数f(x)=sin xcos ωx,x∈R.
(1)若ω=1,则f(x)的最小正周期是 ;
(2)若ω=2,则f(x)的值域是 .
8.(14分)设函数f(x)=(sin x+cos x)2－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在[0,]上的最大值,以及取得最大值时对应x的值.
9.(多选题)(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(4x+)+,则下列结论正确的是( )
[A] f(x)的最小正周期为
[B] f(x)的图象关于点(,)对称
[C] 若f(x+t)是偶函数,则t=+,k∈Z
[D] f(x)在区间[0,]上的值域为[0,1]
10.(2025·青海海南模拟)已知函数f(x)=cos(ωx－),ω>0,x∈R,且f(α)=－1,f(β)=0.若|α－β|的最小值为,则f(x)的单调递增区间为( )
[A] [－+kπ,+kπ],k∈Z
[B] [－+2kπ,+2kπ],k∈Z
[C] [－+kπ,+kπ],k∈Z
[D] [－+2kπ,+2kπ],k∈Z
11.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x－,若f(x)在区间[－,m]上的值域为[－,1],则实数m的取值范围是( )
[A] [,) [B] [,]
[C] [,) [D] [,]
12.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)图象的一个对称中心为(,0),其中ω为常数,且ω∈(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则 |x1－x2|的最小值是 .
13.(5分)(2025·河北衡水模拟)已知直线x=是函数 f(x)=sin(3πx+φ)(0<φ<)的一条对称轴,f(x)在区间(－t,t)(t>0)内恰好存在3个对称中心,则t的取值范围为 .
14.(15分)已知函数f(x)=asin(2x－)－2cos2(x+)(a>0),且满足 .
从①f(x)的最大值为1;②f(x)的图象与直线 y=－3的两个相邻交点的距离等于π;③f(x)的图象过点(,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
15.(5分)已知函数f(x)=sin ωx－2cos ωx(ω>0),且f(α+x)=f(α－x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且=π,则sin 4α= .
第4节 三角函数的图象与性质（解析版）
[课程标准要求]
1.借助单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(－,)上的性质.
1.“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,0),(,1),
(π,0),(,－1),(2π,0).
(2)在确定余弦函数y=cos x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,1),(,0),
(π,－1),(,0),(2π,1).
要注意函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
2.三角函数的图象和性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
R R {x|x≠+kπ,k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 最小正周期:2π 最小正周期:2π 最小正周期:π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调 递增 区间 [－+2kπ,+2kπ] [－π+2kπ,2kπ] (－+kπ,+kπ)
单调 递减 区间 [+2kπ,+2kπ] [2kπ,π+2kπ] —
对称 中心 (kπ,0) (kπ+,0) (,0)
对称 轴 方程 x=kπ+ x=kπ —
对于y=tan x,不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ－,kπ+)(k∈Z)内单调
递增.
1.关于奇偶性的常用结论
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),f(x)为偶函数 φ=+kπ(k∈Z).
(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0),f(x)为奇函数 φ=kπ(k∈Z).
2.三角函数的对称性与周期性
正弦、余弦函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其半个周期;图象与x轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是半个周期;函数取最值的点与其相邻的零点距离为个周期.
1.(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是( )
[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 D
【解析】 由五点法画图可知D正确.故选D.
2.函数f(x)=2tan(2x－)图象的对称中心的坐标是( )
[A] (2kπ+,0),k∈Z
[B] (kπ+,0),k∈Z
[C] (+,0),k∈Z
[D] (+,0),k∈Z
【答案】 D
【解析】 令2x－=,k∈Z,
解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)=2tan(2x－)图象的对称中心的坐标是(+,0),k∈Z.故选D.
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T16改编)函数f(x)=4sin(5x－)在[0,]上的值域为( )
[A] [－2,2] [B] [－2,4]
[C] [－2,4] [D] [－2,2]
【答案】 B
【解析】 因为x∈[0,],
所以5x－∈[－,],
所以sin(5x－)∈[－,1],
故f(x)=4sin(5x－)在[0,]上的值域为[－2,4].故选B.
4.(多选题)已知函数f(x)=sin(x－)(x∈R),下列结论正确的是( )
[A] 函数f(x)的最小正周期为2π
[B] 函数f(x)在区间[0,]上单调递增
[C] 函数f(x)的图象关于直线x=0对称
[D] 函数f(x)是奇函数
【答案】 ABC
【解析】 由题意得f(x)=－cos x,
对于A,T==2π,故A正确;
对于B,因为y=cos x在[0,]上单调递减,所以函数f(x)在[0,]上单调递增,故B正确;
对于C,f(－x)=－cos(－x)=－cos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,故C正确,D错误.故选ABC.
5.(人教A版必修第一册P207例5改编)函数 f(x)=sin(2x+),x∈R的单调递减区间是 .
【答案】 [+kπ,+kπ](k∈Z)
【解析】 由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ](k∈Z).
考点一 三角函数的定义域和值域
1.函数y=ln(3－2x－x2)+的定义域是( )
[A] [,1) [B] (－1,]
[C] (－3,] [D] [,]
【答案】 A
【解析】 由题知,由3－2x－x2>0,解得－3故选A.
2.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin 3(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在[－,]的最小值为( )
[A] － [B] －
[C] 0 [D]
【答案】 A
【解析】 f(x)=sin 3(ωx+)=sin(3ωx+π)=－sin 3ωx,由T==π得ω=,
即f(x)=－sin 2x,
当x∈[－,]时,2x∈[－,],
画出f(x)=－sin 2x,x∈[－,]的大致图象,如图,
由图可知,f(x)=－sin 2x在[－,]上单调递减,所以,当x=时,f(x)min=－sin =－.故选A.
3.函数y=sin x－cos x+sin xcos x(x∈R)的值域为 .
【答案】 [－,1]
【解析】 设t=sin x－cos x,
则t2=sin2x+cos2x－2sin xcos x=1－2sin xcos x,
所以sin xcos x=,且－≤t≤.
所以y=－+t+=－(t－1)2+1,t∈[－,].
当t=1时,ymax=1;
当t=－时,ymin=－.
所以函数的值域为[－,1].
(1)求三角函数的定义域实际上就是解三角函数不等式(组),常借助三角函数性质及图象求解.涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
(2)三角函数值域的求法
①形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域.
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
考点二 三角函数的奇偶性、周期性与对称性
[例1] (1)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x－),下列说法中正确的有( )
[A] f(x)与g(x)有相同的零点
[B] f(x)与g(x)有相同的最大值
[C] f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D] f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)函数f(x)=3sin(2x－+φ)+1,φ∈(0,π),且f(x)为偶函数,则φ= ,f(x)图象的对称中心为 .
【答案】 (1)BC (2) (+,1),k∈Z
【解析】 (1)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即,k∈Z为f(x)的零点,
令g(x)=sin(2x－)=0,解得x=+,k∈Z,即+,k∈Z为g(x)的零点,
显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;
B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;
C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴方程满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
g(x)的对称轴方程满足2x－=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.
故选BC.
(2)若f(x)=3sin(2x－+φ)+1为偶函数,则－+φ=kπ+,k∈Z,
则φ=+kπ,k∈Z,
又因为φ∈(0,π),
所以φ=.
所以f(x)=3sin(2x+)+1=3cos 2x+1,
由2x=+kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,
所以f(x)图象的对称中心为(+,1),k∈Z.
有关三角函数的奇偶性、周期性
和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式,同时不要忘记函数的定义域是否关于原点对称.
(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为求解.对于含绝对值的函数,可以借助函数图象特征或周期的定义求解.
(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
[针对训练] (1)(2025·陕西西安模拟)已知函数 f(x)=cos 2ωx－sin 2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象的一个对称中心为( )
[A] (－,0) [B] (,0)
[C] (－,10 [D] (,1)
(2)(2025·山东滨州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴,则f()等于( )
[A] － [B] －
[C] [D]
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)由题意得f(x)=2cos(2ωx+)+1(ω>0),由题意可知=π,所以ω=1.
所以f(x)=2cos(2x+)+1.
令2x+=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z),
所以f(x)的图象的对称中心为(+,1)(k∈Z),所以点(,1)符合.故选D.
(2)因为ω>0,且当x∈[0,2π]时,
ωx+∈[,2πω+],
由题意可得,4π≤2πω+<5π,解得≤ω<.
又因为直线x=为函数y=f(x)图象的一条对称轴,
则ω+=kπ+,k∈Z,解得ω=6k+2,k∈Z,
可知k=0,ω=2,即f(x)=sin(2x+),
所以f()=sin(+)=sin(π－)=sin =.故选C.
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间、比较大小
[例2] (1)(多选题)(2025·山东临沂模拟)下列各式中正确的是( )
[A] tan [B] tan 2>tan 3
[C] cos(－)>cos(－)
[D] sin(－)(2)函数f(x)=sin(－2x+)的单调递减区间为 .
【答案】 (1)AC (2)[kπ－,kπ+](k∈Z)
【解析】 (1)对于A,tan =tan(－π)=tan(－),因为正切函数y=tan x在(－,)上单调递增,且－<－<<,所以 tan(－)cos ,即cos(－)>cos(－),C正确;对于D,由于正弦函数y=sin x在(－,)上单调递增,且－<－<－<,所以 sin(－)>sin(－),D不正确.故选AC.
(2)由已知可得函数为y=－sin(2x－),欲求函数的单调递减区间,只需求y=sin(2x－)的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ+,k∈Z,
得kπ－≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为[kπ－,kπ+](k∈Z).
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化为同一个单调区间上的角.
(2)求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin t的相应单调区间内即可,注意若ω<0要先把x的系数化为正数,切莫忘记考虑函数自身的定义域.
(3)若在给定的区间上函数有两个或两个以上单调递增(减)区间,则两个单调递增(减)区间之间不能用并集符号“∪”和“或”连接,可以用“和”字或逗号连接.
角度2 已知函数的单调性求参数的值(或取值范围)
[例3] (2025·安徽马鞍山模拟)已知ω>1,函数 f(x)=sin(2ωx+)的一个零点是,且 f(x)在(－,)上单调,则ω等于( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 当x∈(－,),且ω>1时,
可得2ωx+∈(－ω+,ω+),
且－ω+<0<ω+,
若f(x)在(－,)上单调,
则解得1<ω≤2,
又因为f(x)的一个零点是,则πω+=kπ,k∈Z,解得ω=k－,k∈Z,
所以k=2,ω=.故选B.
已知单调区间求参数范围的方法
(1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
(3)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解.
(4)图象法:画出函数的图象,观察图象.一般适用于选择、填空题.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·北京昌平模拟)已知函数 f(x)=cos2x－sin2x,则( )
[A] f(x)在(－,－)上单调递减
[B] f(x)在(－,)上单调递增
[C] f(x)在(0,)上单调递减
[D] f(x)在(,)上单调递增
【答案】 C
【解析】 依题意可知f(x)=cos2x－sin2x=cos 2x,对于A,因为x∈(－,－),所以2x∈(－π,－),函数f(x)=cos 2x在(－,－)上单调递增,所以A不正确;对于B,因为x∈(－,),所以2x∈(－,),函数 f(x)=cos 2x在(－,)上不单调,所以B不正确;对于C,因为x∈(0,),所以 2x∈(0,),函数f(x)=cos 2x在(0,)上单调递减,所以C正确;对于D,因为x∈(,),所以2x∈(,),函数f(x)=cos 2x在(,)上不单调,所以D不正确.故选C.
2.(角度2)(2025·河北唐山模拟)函数f(x)=sin(2x－φ)(|φ|≤)在(0,)上为单调递增函数,则φ的取值范围为( )
[A] [－,－] [B] [－,0]
[C] [,] [D] [0,]
【答案】 C
【解析】 由x∈(0,)可得2x－φ∈(－φ,－φ),
又|φ|≤,则≤－φ≤,又f(x)在(0,)上为单调递增函数,
所以解得≤φ≤,
即φ的取值范围为[,].
故选C.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数的定义域和值域 1,7,11
三角函数的奇偶性、周期性与对称性 3,5,12,13,15
三角函数的单调性 2,4,6
三角函数的综合应用 8,9,10,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.函数f(x)=的定义域为( )
[A] [+4kπ,+4kπ](k∈Z)
[B] [+4k,+4k](k∈Z)
[C] [+4kπ,+4kπ](k∈Z)
[D] [+4k,+4k](k∈Z)
【答案】 B
【解析】 由题意,得2sin x－1≥0,sin x≥,
x∈[+2kπ,+2kπ](k∈Z),
则x∈[+4k,+4k](k∈Z).故选B.
2.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则( )
[A] a[C] c【答案】 D
【解析】 因为tan 5=tan(5－π),<5－π<2<3<π,且函数y=tan x在区间(,π)上单调递增,所以tan(5－π)3.(2025·广东广州模拟)如果函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点(－,0)对称,则|φ|的最小值是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根据题意,sin[2×(－)+φ]=0,
即－+φ=kπ,k∈Z,
解得φ=kπ+,k∈Z,当k=－1时,|φ|取得最小值.故选B.
4.(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)的最小正周期为π,且在区间(,)内单调递增,则f(x)可能是( )
[A] f(x)=sin(x－)
[B] f(x)=cos(x－)
[C] f(x)=sin(2x－)
[D] f(x)=cos(2x－)
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)的最小正周期为π,
所以当ω>0时,对正弦、余弦函数来说,ω===2,故排除A,B,
当x∈(,)时,2x－∈(0,),
因为y=sin t在(0,)上单调递增,y=cos t在(0,)上单调递减,故C正确,D错误.
故选C.
5.在函数①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )
[A] ①②③ [B] ①③④
[C] ②④ [D] ①③
【答案】 A
【解析】 ①y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期为T=π;
②由函数图象(图略)知y=|cos x|的最小正周期为T=π;
③y=cos(2x+)的最小正周期T==π;
④y=tan(2x－)的最小正周期T=.
故选A.
6.(5分)(2025·江西宜春模拟)已知函数 f(x)=cos(ωx－)(ω>0)在区间[,π]上单调递减,则ω的取值范围是 .
【答案】 [,]
【解析】 因为f(x)在区间[,π]上单调递减,
所以≥π－=,
则T≥,即≥,
所以0<ω≤,
因为x∈[,π],ω>0,
所以ωx－∈[,ωπ－],
因为0<ω≤,
所以∈(－,],ωπ－∈(－,],
因为f(x)在区间[,π]上单调递减,
所以
解得≤ω≤,
所以ω的取值范围为[,].
7.(5分)已知函数f(x)=sin xcos ωx,x∈R.
(1)若ω=1,则f(x)的最小正周期是 ;
(2)若ω=2,则f(x)的值域是 .
【答案】 (1)π (2)[－1,1]
【解析】 (1)当ω=1时,f(x)=sin xcos x=sin 2x,函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)当ω=2时,
f(x)=sin xcos 2x=sin x(1－2sin2x),
令sin x=t∈[－1,1],
g(t)=t(1－2t2)=－2t3+t,
求导得g′(t)=－6t2+1,
当－1≤t<－或当－0,
函数g(t)在[－1,－),(,1]上单调递减,在(－,)上单调递增,
g(－1)=1,g()=,
g(1)=－1,g(－)=－,所以g(t)min=－1,g(t)max=1,则f(x)的值域是[－1,1].
8.(14分)设函数f(x)=(sin x+cos x)2－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在[0,]上的最大值,以及取得最大值时对应x的值.
【解】 (1)f(x)=(sin x+cos x)2－cos 2x
=sin2x+2sin xcos x+cos2x－cos 2x
=1+2sin xcos x－cos 2x
=sin 2x－cos 2x+1
=2sin(2x－)+1,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x－)+1,
令z=2x－,因为y=sin z的单调递增区间是[－+2kπ,+2kπ],k∈Z,
所以－+2kπ≤2x－≤+2kπ,k∈Z.
解得－+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[－+kπ,+kπ],k∈Z.
(3)当x∈[0,]时,2x－∈[－,],
所以当2x－=,即x=时,
函数f(x)取到最大值3.
9.(多选题)(2025·天津南开模拟)已知函数f(x)=sin(4x+)+,则下列结论正确的是( )
[A] f(x)的最小正周期为
[B] f(x)的图象关于点(,)对称
[C] 若f(x+t)是偶函数,则t=+,k∈Z
[D] f(x)在区间[0,]上的值域为[0,1]
【答案】 ABC
【解析】 对于A,ω=4,T==,故A正确;
对于B,令4x+=kπ,得x=,k∈Z,
当k=1时,x=,
所以f(x)的图象关于点(,)对称,故B正确;
对于C,f(x+t)=sin(4x+4t+)+是偶函数,
所以4t+=+kπ,k∈Z,
解得t=+,k∈Z,故C正确;
对于D,当x∈[0,]时,4x+∈[,],
所以sin(4x+)∈[－,1],
所以f(x)在区间[0,]上的值域为[0,],故D错误.
故选ABC.
10.(2025·青海海南模拟)已知函数f(x)=cos(ωx－),ω>0,x∈R,且f(α)=－1,f(β)=0.若|α－β|的最小值为,则f(x)的单调递增区间为( )
[A] [－+kπ,+kπ],k∈Z
[B] [－+2kπ,+2kπ],k∈Z
[C] [－+kπ,+kπ],k∈Z
[D] [－+2kπ,+2kπ],k∈Z
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=cos(ωx－),ω>0,x∈R,且f(α)=－1,f(β)=0,|α－β|的最小值为,
则=,所以T=π,故=π,所以ω=2,所以f(x)=cos(2x－),
令2kπ－π≤2x－≤2kπ,k∈Z,得－+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[－+kπ,+kπ],k∈Z.
故选A.
11.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x－,若f(x)在区间[－,m]上的值域为[－,1],则实数m的取值范围是( )
[A] [,) [B] [,]
[C] [,) [D] [,]
【答案】 D
【解析】 依题意,函数f(x)=sin xcos x+cos2x－=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
当x∈[－,m]时,2x+∈[－,2m+],显然sin(－)=sin =－,sin =1,
且正弦函数y=sin t在[,]上单调递减,
因为f(x)在区间[－,m]上的值域为[－,1],
得≤2m+≤,
解得≤m≤,
所以实数m的取值范围是[,].
故选D.
12.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)图象的一个对称中心为(,0),其中ω为常数,且ω∈(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则 |x1－x2|的最小值是 .
【答案】
【解析】 因为函数f(x)=2sin(ωx+)图象的一个对称中心为(,0),
所以ω+=kπ,k∈Z,所以ω=3k－1,k∈Z.
因为ω∈(1,3),所以ω=2.
由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期,即==.
13.(5分)(2025·河北衡水模拟)已知直线x=是函数 f(x)=sin(3πx+φ)(0<φ<)的一条对称轴,f(x)在区间(－t,t)(t>0)内恰好存在3个对称中心,则t的取值范围为 .
【答案】 (,)
【解析】 直线x=是函数f(x)=sin(3πx+φ)(0<φ<)的一条对称轴,
故+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ,k∈Z,因为0<φ<,故φ=,
故f(x)=sin(3πx+),令3πx+=kπ(k∈Z),解得x=－+(k∈Z),
原点附近的6个对称中心分别为(－,0),(－,0),(－,0),(,0),(,0),(,0),
因为f(x)在区间(－t,t)(t>0)内恰有3个对称中心,且|－|<<|－|<<|－|<,
所以3个对称中心恰好是(－,0),(－,0),(,0),
则则故t的取值范围为(,].
14.(15分)已知函数f(x)=asin(2x－)－2cos2(x+)(a>0),且满足 .
从①f(x)的最大值为1;②f(x)的图象与直线 y=－3的两个相邻交点的距离等于π;③f(x)的图象过点(,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=asin(2x－)－2cos2(x+)
=asin(2x－)－cos(2x+)－1
=asin(2x－)－cos[(2x－)+]－1
=asin(2x－)+sin(2x－)－1
=(a+1)sin(2x－)－1.
若选择条件①f(x)的最大值为1,则a+1=2,解得a=1,
所以f(x)=2sin(2x－)－1,
则函数f(x)的最小正周期T==π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y=－3的两个相邻交点的距离等于π,
且f(x)的最小正周期T==π,
所以－(a+1)－1=－3,
解得a=1,
所以f(x)=2sin(2x－)－1.
若选择条件③f(x)的图象过点(,0),
则f()=(a+1)sin －1=0,
解得a=1.
所以f(x)=2sin(2x－)－1,
则函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x－)－1,
令f(x)=1,得sin(2x－)=1,
即2x－=+2kπ,k∈Z,
解得x=+kπ,k∈Z.
若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,则x=或x=,
所以实数m的取值范围是[,).
15.(5分)已知函数f(x)=sin ωx－2cos ωx(ω>0),且f(α+x)=f(α－x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且=π,则sin 4α= .
【答案】 －
【解析】 因为f(x)=sin ωx－2cos ωx=
sin(ωx－φ),其中tan φ=2,|f(x)|≤,
由f(α+x)=f(α－x),可得f(x)关于直线x=α对称,
又两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1－x2|min=π,
所以f(x)的最小正周期T=π,又ω>0,
所以T==π,
解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x－φ),
所以2α－φ=+kπ,k∈Z,
则2α=φ++kπ,k∈Z,
所以sin 4α=sin 2(φ++kπ)
=sin(2φ+π+2kπ)=－sin 2φ
====－.(共89张PPT)
第4节 三角函数的图象与性质
1.借助单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.“五点法”作图
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
(0,1)
(π,－1)
释疑
要注意函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
知识梳理
2.三角函数的图象和性质(下表中k∈Z)
知识梳理
[－1,1]
[－1,1]
2π
2π
π
知识梳理
释疑
重要结论
1.关于奇偶性的常用结论
重要结论
对点自测
1.(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是
( )
D
[A] [B] [C] [D]
对点自测
【解析】 由五点法画图可知D正确.故选D.
D
对点自测
对点自测
对点自测
B
对点自测
对点自测
ABC
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一 三角函数的定义域和值域
A
A
3.函数y=sin x－cos x+sin xcos x(x∈R)的值域为 .
(1)求三角函数的定义域实际上就是解三角函数不等式(组),常借助三角函数性质及图象求解.涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
题后悟通
题后悟通
(2)三角函数值域的求法
①形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域.
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,注意t的取值范围,化为关于t的二次函数再求值域.
考点二 三角函数的奇偶性、周期性与对称性
[A] f(x)与g(x)有相同的零点
[B] f(x)与g(x)有相同的最大值
[C] f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D] f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
解题策略
有关三角函数的奇偶性、周期性
和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式,同时不要忘记函数的定义域是否关于原点对称.
解题策略
(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
D
C
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间、比较大小
[例2] (1)(多选题)(2025·山东临沂模拟)下列各式中正确的是( )
AC
解题策略
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化为同一个单调区间上的角.
(2)求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin t的相应单调区间内即可,注意若ω<0要先把x的系数化为正数,切莫忘记考虑函数自身的定义域.
(3)若在给定的区间上函数有两个或两个以上单调递增(减)区间,则两个单调递增(减)区间之间不能用并集符号“∪”和“或”连接,可以用“和”字或逗号连接.
角度2 已知函数的单调性求参数的值(或取值范围)
B
解题策略
已知单调区间求参数范围的方法
(1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
(4)图象法:画出函数的图象,观察图象.一般适用于选择、填空题.
1.(角度1)(2025·北京昌平模拟)已知函数 f(x)=cos2x－sin2x,则( )
C
[针对训练]
C
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
三角函数的定义域和值域 1,7,11
三角函数的奇偶性、周期性与对称性 3,5,12,13,15
三角函数的单调性 2,4,6
三角函数的综合应用 8,9,10,14
基础巩固练
B
2.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则( )
[A] a[C] cD
B
C
A
[A] ①②③ [B] ①③④
[C] ②④ [D] ①③
7.(5分)已知函数f(x)=sin xcos ωx,x∈R.
(1)若ω=1,则f(x)的最小正周期是 ;
π
7.(5分)已知函数f(x)=sin xcos ωx,x∈R.
(2)若ω=2,则f(x)的值域是 .
[－1,1]
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
综合运用练
ABC
A
D
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
应用创新练