浙江省嘉兴市平湖2025年初中学业水平考试适应性练习（二）数学试题卷
1．（2025·平湖二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-2
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵|3|=3，|-3|=3，|1|=1，|-2|=2，
∴3=3>2>1，
∴与原点距离最近的是1，
故答案为：C.
【分析】到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.
2．（2025·平湖二模）截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约为40000000次，数据“40000000”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107，
故答案为：B.
【分析】将数据4000万转换为科学记数法，需先明确科学记数法的定义：形如a×10n，其中1≤|a|< 10.
3．（2025·平湖二模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是：
故答案为：D.
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案.
4．（2025·平湖二模）如图，在直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O。若点A（1，1）的对应点为A'（3，3），则点B（-1，2）的对应点B'的坐标为（ ）
A．（-3，6） B．（6，-3） C．（-6，3） D．（3，-6）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∴B点的坐标为(-1.2)，
∴点B'的对应点的坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故答案为：A.
【分析】根据点A与点A'的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可.
5．（2025·平湖二模）排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分。平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练。根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表：
中位数（次） 方差（次2）
第一阶段 36 216.02
第二阶段 38 151.46
则以下两个结论（ ）
①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分。②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定。
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：第二阶段的成绩的中位数是38次，40次及以上为满分，
∴平平第二阶段的训练成绩中至少一半低于满分，故①说法错误；
第二阶段的成绩的方差为151.46，第一阶段的成绩的方差为216.02，
∴第二阶段的成绩的方差小于第一阶段，即经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位数与方差的定义解答即可.
6．（2025·平湖二模）如图，正方形ABCD的边长是6，点E在边BC上，CE=2BE，连结AE，过点B作AE的垂线交CD于点G，连结AG，线段AG的长是（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长是6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵CE=2BE，
∴BC=BE+CE=3BE =6，
∴BE=2，
∵AE⊥BG，∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
∴△ABE △BCG(ASA)
∴BE=CG=2，
∴DG=CD-CG=6-2=4
在Rt△ADG中，由勾股定理得：
，
故答案为：D.
【分析】先求出BE=2，证明△ABE和△BCG全等得BE=CG=2，进而得DG=4，然后在Rt△ADG中，由勾股定理即可求出AG的长.
7．（2025·平湖二模）小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子。他的办法是：将一块含45°角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（ ）
A．AB B．BC
C．AC D．AB、AC、BC均可
【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图：
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=45°，
∴，
因此确定了BC，即可确定半径，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，继而得到△OBC为等腰直角三角形，那么得到，即可求解.
8．（2025·平湖二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短。用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺。问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
y-x=4.5，，故选项A不符合题意；选项B符合题意；
∴，，故选项C、D均不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后变形，即可判断哪个选项符合题意.
9．（2025·平湖二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：选项B中，由作图可知EF//BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项C中，由作图可知B、C、F、E四点共圆，
∴∠AEF=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC；
选项D中，由作图可知EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项A中，无法判断两个三角形相似.
故答案为：A.
【分析】分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断.
10．（2025·平湖二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC的长度是定值。在较长的对角线BD上有两点E，F，OE=OF，连结AE，AF，CE，CF。设四边形ABCD和四边形AECF的面积分别是m，n，若∠EAF+∠BAD=180°，则下列运算结果为定值的是（ ）
A．m+n B．m-n C．mn D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，，
，，
∵OE=OF，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴EO=FO，，
∴
∵∠EAF+∠BAD=180°
∴∠BAO+∠FAO=90°，
∴∠BAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠FAO=∠ABO，
又∵∠AOB=∠AOF=90°，
∴△ABO∽△FAO，
∴
∴AO2=OF·BO，
∴，
∵AC的长度是定值，
∴AO的长度是定值，
∴mn的值为定值，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质AC⊥BD，，，，通过证明平行四边形AECF是菱形，可得EO=FO，，，通过证明△ABO∽△FAO，可得即可求解.
11．（2025·平湖二模）因式分解：x2-4x= 。
【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．（2025·平湖二模）一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球。从中任意摸出1个球，是红球的概率为 。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，从5个球的袋子中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．（2025·平湖二模）如图，已知AB与⊙O相切于A点，连结OA，OB，若∠AOB=50°，则∠B的大小为 °。
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB与☉O相切于A点，
∴∠BAO=90°
∵∠AOB=50°，
∴∠B=180°-∠AOB-∠BAO=40°，
故答案为：40.
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论.
14．（2025·平湖二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：若，，，，则的值为 .
【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：a1=1※2=22-1-1=4-1-1-2，
a2=3※2=3-22-3-4=-1，
a3=3※4=42-3-1=16-3-1=12，
a4=5※4=5-42=5-16=-11，
则a1+a2+a3+a4=2-1+12-11=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规则，分别计算a1、a2、a3、a4的值，再将它们相加求和.
15．（2025·平湖二模）如图，点，均在反比例函数的图象上。连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点A'，B'，连结AB，AB'，A'B，A'B'。若，，则的值为 .
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，
∵点A(a，b)，B(b，a)均在反比例函数(k≠0)的图象上，
∴，ab=k，
由题意可知OA=OA'，OB=OB'，
∵点A(a，b)，B(b，a)，
∴OA2=a2+b2=OB2，
∴OA=OB，
∵OA=OA'，OB=OB'，
∴四边形ABA'B'是矩形，
∵AB=4，AB=8，
∴四边形ABA'B的面积为4×8=32，
∴，
∴
∵A(a，b)，B(b，a)，AB=4
∴(a-b2)+(b-a)2=16，
∴，
∴，
∴，
由解得，
∴k=ab=6，
故答案为：6.
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，即可得出，ab=k，证得四边形ABA'B'是矩形，即可求得四边形ABA'B的面积为4×8=32，，利用，求出ab值即为k值.
16．（2025·平湖二模）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，C为⊙O上异于A，B的一点。现将劣弧BC沿直线BC折叠，若弧BC与直径AB交于点D，BD=8，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，
∴∠A+∠BEC=180°
∵∠BEC+∠CEF=180°
∴∠A=∠CEF
∵∠F=∠F，
∴△CEF~△BAF
∴
∴CF·AC=EF·BF
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AB，BF关于BC对称
∴BF=AB=10，EF=AD=AB-BD=10-8=2，CF=AC，
∵CF·AC=EF·BF
∴2AC2=2×10，
∴AC2=10.
∴.
故答案为：.
【分析】作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，得到△CEF~△BAF，继而得到，CF·AC=EF·BF，推出AB，BF关于BC对称，求出AC2=10，进而即可得到答案.
17．（2025·平湖二模）
（1）计算：。
（2）解不等式：。
【答案】（1）解：原式=2-2+1
=1
（2）解：2(2x-1)≤9x+8
4x-2≤9x+8
4x-9x≤8+2
x≥-2
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)分步计算绝对值、根式、零次幂，再合并同类项；
(2)通过去分母消去分母，整理后求解不等式，注意系数为负数时不等号方向改变.
18．（2025·平湖二模）先化简，再求值：，其中。
【答案】解：原式=
=
=
=
当a=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行通分和约分化简，再代入a=2求值.
19．（2025·平湖二模）如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图。
（1）在图中作格点C，使得AC=BC。
（2）连结AC，BC，在图中作出△ABC的重心点G。（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：(1)如图，点C即为所求.
(2)如图，取BC的中点D，AC的中点E，连接AD，BE相交于点G，则点G即为所求.
【分析】(1)利用网格直接画图即可；
(2)结合三角形的重心的定义，取BC的中点D，AC的中点E，连接AD，BE相交于点G，则点G即为所求.
20．（2025·平湖二模）某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组：B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组。为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图。
（1）求C组人数占抽样人数的百分比。
（2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数。
【答案】（1）解：随机抽取的学生人数为：4÷10%=40(人)，
C组人数为40-4-16-12=8(人)，
C组人数占抽样人数的百分比为8÷40=20%
（2）解：估计该校参加无人机兴趣小组的学生人数为：260×30%=78(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据A组人数所占的比例求出调查的总人数，进而求出C组的学生人数，据此可得C组人数占抽样人数的百分比；
(2)利用样本估计总体的思想，进行求解即可.
21．（2025·平湖二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上。
（1）求证：AD平分∠CAE。
（2）若BC=3，AC=4，求∠CAE的正弦值。
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
而∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CAD(三线合一)，
又∠DAE=∠CAD，
即AD平分∠CAE.
（2）解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由(1)可知∠BAC=∠CAD=∠DAE
即∠BAD=∠CAE，
而AB=AD，∠ACB=90°
∴BD=2BC=6(三线合一)，
过点B作AD的垂线，垂足为点H，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，，.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)通过旋转的性质和等腰三角形的性质证明角平分线；
(2)利用勾股定理和正弦的倍角公式求解正弦值.
22．（2025·平湖二模）兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆。妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆。两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示。已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为y=kx+1920。
（1）求k与a的值。
（2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？
【答案】（1）解：当x=8时，640=8k+1920，解得k=-160
哥哥跑步回家时у与x的函数表达式为y=-160x+1920
当y=0时，0=-160a+1920，a=12
（2）解：原步行速度为640÷8＝80米/分钟，
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时(1200-640)÷80＝7分钟，
妹妹一共用时8+5+7=20分钟
哥哥跑步的速度为640+(12-8)=160米/分钟
哥哥一共用时12+3+1200÷160=22.5分钟，
所以妹妹比哥哥早到图书馆22.5-20＝2.5分钟
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)将坐标(8，640)代入y=kx+1920，得到关于k的一元一次方程并求解，从而得到该函数的具体形式，当y=0时，求出对应x的值，即a的值即可；
(2)利用时间=路程÷速度，分别求出妹妹和哥哥到达图书馆所用的时间并求差即可.
23．（2025·平湖二模）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），x与y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … t -3 m p n …
（1）当a=1时，
①若m=n，求二次函数解析式。
②若b>-4，求证：n>m。
（2）若b=-4a，且当2a-1≤x
【答案】（1）解：①当x=0时， y=c=-3
若m=n时，抛物线y=x2+bx-3对称轴为直线x=，解得Ь=-4
二次函数解析式为y＝x2-4x-3
②当x=1时，m=12+b-3=b-2，
当x=3时，n=32+3b-3=3b+6，
n-m=3b+6-(b-2)=2b+8
当b>-4时，2b>-8，2b+8>0
n-m>0， 即n>m
（2）解：若b=-4a时，二次函数解析式为y=ax2-4ax-3，
此抛物线的对称轴为直线x=
若a>0，2a-1≤x2a-1<2且2-(2a-1)≥a+3-2，解得0若a<0，当a+3>2时，函数y有最大值顶点的纵坐标，解得-1综上所述，0【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①由x=0可求出c=-3，再根据对称性求出b=-4，故可得抛物线的解析式；
②求得m=b-2，n=3b+6，n-m=2b+8，由b>-4得2b-8>0，从而可得结论；
(2)分a>0和a<0两种情况讨论求解即可.
24．（2025·平湖二模）已知四边形ABCD内接于，对角线AC、BD交于点E，P为BD上一点，连结AP。
（1）如图1，若AB为的直径，且与均为等腰直角三角形，
求证：。
（2）如图2，若与均为等边三角形，
①求证：。
②若，求的最小值。
【答案】（1）证明：∵ 和 为等腰直角三角形且
∴
∴，
即
∴
（2）解：①：△ADP和△ABC为等边三角形
∴AD=AP，AC=AB，∠DAP=∠CAB=60°
∴∠DAP-∠CAP=∠CAB-∠CAP
即∠DAC=∠PAB
∴△ACD≌△ABP (SAS)
∴CD =BP
②设，则由①可知
，则
∠DCA=∠ CAP=∠ EBA
∴△AEP∽△BEA
即
，
当时，有最小值
的最小值为。
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质得到，∠DAC=∠PAB，再利用相似三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
②设PE=x，则DE=1-x，利用相似三角形的判定与性质得到，，，再利用相似三角形的判定与性质求得AC，计算得到的值，最后利用配方法和非负数的意义解答即可.
1 / 1浙江省嘉兴市平湖2025年初中学业水平考试适应性练习（二）数学试题卷
1．（2025·平湖二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-2
2．（2025·平湖二模）截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约为40000000次，数据“40000000”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·平湖二模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·平湖二模）如图，在直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O。若点A（1，1）的对应点为A'（3，3），则点B（-1，2）的对应点B'的坐标为（ ）
A．（-3，6） B．（6，-3） C．（-6，3） D．（3，-6）
5．（2025·平湖二模）排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分。平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练。根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表：
中位数（次） 方差（次2）
第一阶段 36 216.02
第二阶段 38 151.46
则以下两个结论（ ）
①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分。②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定。
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
6．（2025·平湖二模）如图，正方形ABCD的边长是6，点E在边BC上，CE=2BE，连结AE，过点B作AE的垂线交CD于点G，连结AG，线段AG的长是（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2025·平湖二模）小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子。他的办法是：将一块含45°角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（ ）
A．AB B．BC
C．AC D．AB、AC、BC均可
8．（2025·平湖二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短。用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺。问长木多少尺？设木长x尺，绳长y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·平湖二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·平湖二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC的长度是定值。在较长的对角线BD上有两点E，F，OE=OF，连结AE，AF，CE，CF。设四边形ABCD和四边形AECF的面积分别是m，n，若∠EAF+∠BAD=180°，则下列运算结果为定值的是（ ）
A．m+n B．m-n C．mn D．
11．（2025·平湖二模）因式分解：x2-4x= 。
12．（2025·平湖二模）一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球。从中任意摸出1个球，是红球的概率为 。
13．（2025·平湖二模）如图，已知AB与⊙O相切于A点，连结OA，OB，若∠AOB=50°，则∠B的大小为 °。
14．（2025·平湖二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：若，，，，则的值为 .
15．（2025·平湖二模）如图，点，均在反比例函数的图象上。连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点A'，B'，连结AB，AB'，A'B，A'B'。若，，则的值为 .
16．（2025·平湖二模）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，C为⊙O上异于A，B的一点。现将劣弧BC沿直线BC折叠，若弧BC与直径AB交于点D，BD=8，则BC的长为 .
17．（2025·平湖二模）
（1）计算：。
（2）解不等式：。
18．（2025·平湖二模）先化简，再求值：，其中。
19．（2025·平湖二模）如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图。
（1）在图中作格点C，使得AC=BC。
（2）连结AC，BC，在图中作出△ABC的重心点G。（保留作图痕迹）
20．（2025·平湖二模）某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组：B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组。为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图。
（1）求C组人数占抽样人数的百分比。
（2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数。
21．（2025·平湖二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上。
（1）求证：AD平分∠CAE。
（2）若BC=3，AC=4，求∠CAE的正弦值。
22．（2025·平湖二模）兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆。妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆。两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示。已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为y=kx+1920。
（1）求k与a的值。
（2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？
23．（2025·平湖二模）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），x与y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … t -3 m p n …
（1）当a=1时，
①若m=n，求二次函数解析式。
②若b>-4，求证：n>m。
（2）若b=-4a，且当2a-1≤x24．（2025·平湖二模）已知四边形ABCD内接于，对角线AC、BD交于点E，P为BD上一点，连结AP。
（1）如图1，若AB为的直径，且与均为等腰直角三角形，
求证：。
（2）如图2，若与均为等边三角形，
①求证：。
②若，求的最小值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵|3|=3，|-3|=3，|1|=1，|-2|=2，
∴3=3>2>1，
∴与原点距离最近的是1，
故答案为：C.
【分析】到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万=40000000=4×107，
故答案为：B.
【分析】将数据4000万转换为科学记数法，需先明确科学记数法的定义：形如a×10n，其中1≤|a|< 10.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图是：
故答案为：D.
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，
∴B点的坐标为(-1.2)，
∴点B'的对应点的坐标为(-1×3，2×3)，即(-3，6)，
故答案为：A.
【分析】根据点A与点A'的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可.
5．【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：第二阶段的成绩的中位数是38次，40次及以上为满分，
∴平平第二阶段的训练成绩中至少一半低于满分，故①说法错误；
第二阶段的成绩的方差为151.46，第一阶段的成绩的方差为216.02，
∴第二阶段的成绩的方差小于第一阶段，即经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②说法正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位数与方差的定义解答即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长是6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵CE=2BE，
∴BC=BE+CE=3BE =6，
∴BE=2，
∵AE⊥BG，∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠ABG+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
∴△ABE △BCG(ASA)
∴BE=CG=2，
∴DG=CD-CG=6-2=4
在Rt△ADG中，由勾股定理得：
，
故答案为：D.
【分析】先求出BE=2，证明△ABE和△BCG全等得BE=CG=2，进而得DG=4，然后在Rt△ADG中，由勾股定理即可求出AG的长.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图：
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=45°，
∴，
因此确定了BC，即可确定半径，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，继而得到△OBC为等腰直角三角形，那么得到，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
y-x=4.5，，故选项A不符合题意；选项B符合题意；
∴，，故选项C、D均不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后变形，即可判断哪个选项符合题意.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：选项B中，由作图可知EF//BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项C中，由作图可知B、C、F、E四点共圆，
∴∠AEF=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC；
选项D中，由作图可知EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC；
选项A中，无法判断两个三角形相似.
故答案为：A.
【分析】分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断.
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，，
，，
∵OE=OF，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴EO=FO，，
∴
∵∠EAF+∠BAD=180°
∴∠BAO+∠FAO=90°，
∴∠BAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠FAO=∠ABO，
又∵∠AOB=∠AOF=90°，
∴△ABO∽△FAO，
∴
∴AO2=OF·BO，
∴，
∵AC的长度是定值，
∴AO的长度是定值，
∴mn的值为定值，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质AC⊥BD，，，，通过证明平行四边形AECF是菱形，可得EO=FO，，，通过证明△ABO∽△FAO，可得即可求解.
11．【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，从5个球的袋子中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
13．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB与☉O相切于A点，
∴∠BAO=90°
∵∠AOB=50°，
∴∠B=180°-∠AOB-∠BAO=40°，
故答案为：40.
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论.
14．【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：a1=1※2=22-1-1=4-1-1-2，
a2=3※2=3-22-3-4=-1，
a3=3※4=42-3-1=16-3-1=12，
a4=5※4=5-42=5-16=-11，
则a1+a2+a3+a4=2-1+12-11=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规则，分别计算a1、a2、a3、a4的值，再将它们相加求和.
15．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，
∵点A(a，b)，B(b，a)均在反比例函数(k≠0)的图象上，
∴，ab=k，
由题意可知OA=OA'，OB=OB'，
∵点A(a，b)，B(b，a)，
∴OA2=a2+b2=OB2，
∴OA=OB，
∵OA=OA'，OB=OB'，
∴四边形ABA'B'是矩形，
∵AB=4，AB=8，
∴四边形ABA'B的面积为4×8=32，
∴，
∴
∵A(a，b)，B(b，a)，AB=4
∴(a-b2)+(b-a)2=16，
∴，
∴，
∴，
由解得，
∴k=ab=6，
故答案为：6.
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，即可得出，ab=k，证得四边形ABA'B'是矩形，即可求得四边形ABA'B的面积为4×8=32，，利用，求出ab值即为k值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，
∴∠A+∠BEC=180°
∵∠BEC+∠CEF=180°
∴∠A=∠CEF
∵∠F=∠F，
∴△CEF~△BAF
∴
∴CF·AC=EF·BF
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AB，BF关于BC对称
∴BF=AB=10，EF=AD=AB-BD=10-8=2，CF=AC，
∵CF·AC=EF·BF
∴2AC2=2×10，
∴AC2=10.
∴.
故答案为：.
【分析】作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，得到△CEF~△BAF，继而得到，CF·AC=EF·BF，推出AB，BF关于BC对称，求出AC2=10，进而即可得到答案.
17．【答案】（1）解：原式=2-2+1
=1
（2）解：2(2x-1)≤9x+8
4x-2≤9x+8
4x-9x≤8+2
x≥-2
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)分步计算绝对值、根式、零次幂，再合并同类项；
(2)通过去分母消去分母，整理后求解不等式，注意系数为负数时不等号方向改变.
18．【答案】解：原式=
=
=
=
当a=2时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对分式进行通分和约分化简，再代入a=2求值.
19．【答案】（1）见解析
（2）见解析
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：(1)如图，点C即为所求.
(2)如图，取BC的中点D，AC的中点E，连接AD，BE相交于点G，则点G即为所求.
【分析】(1)利用网格直接画图即可；
(2)结合三角形的重心的定义，取BC的中点D，AC的中点E，连接AD，BE相交于点G，则点G即为所求.
20．【答案】（1）解：随机抽取的学生人数为：4÷10%=40(人)，
C组人数为40-4-16-12=8(人)，
C组人数占抽样人数的百分比为8÷40=20%
（2）解：估计该校参加无人机兴趣小组的学生人数为：260×30%=78(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据A组人数所占的比例求出调查的总人数，进而求出C组的学生人数，据此可得C组人数占抽样人数的百分比；
(2)利用样本估计总体的思想，进行求解即可.
21．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
而∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CAD(三线合一)，
又∠DAE=∠CAD，
即AD平分∠CAE.
（2）解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由(1)可知∠BAC=∠CAD=∠DAE
即∠BAD=∠CAE，
而AB=AD，∠ACB=90°
∴BD=2BC=6(三线合一)，
过点B作AD的垂线，垂足为点H，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，，.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)通过旋转的性质和等腰三角形的性质证明角平分线；
(2)利用勾股定理和正弦的倍角公式求解正弦值.
22．【答案】（1）解：当x=8时，640=8k+1920，解得k=-160
哥哥跑步回家时у与x的函数表达式为y=-160x+1920
当y=0时，0=-160a+1920，a=12
（2）解：原步行速度为640÷8＝80米/分钟，
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时(1200-640)÷80＝7分钟，
妹妹一共用时8+5+7=20分钟
哥哥跑步的速度为640+(12-8)=160米/分钟
哥哥一共用时12+3+1200÷160=22.5分钟，
所以妹妹比哥哥早到图书馆22.5-20＝2.5分钟
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)将坐标(8，640)代入y=kx+1920，得到关于k的一元一次方程并求解，从而得到该函数的具体形式，当y=0时，求出对应x的值，即a的值即可；
(2)利用时间=路程÷速度，分别求出妹妹和哥哥到达图书馆所用的时间并求差即可.
23．【答案】（1）解：①当x=0时， y=c=-3
若m=n时，抛物线y=x2+bx-3对称轴为直线x=，解得Ь=-4
二次函数解析式为y＝x2-4x-3
②当x=1时，m=12+b-3=b-2，
当x=3时，n=32+3b-3=3b+6，
n-m=3b+6-(b-2)=2b+8
当b>-4时，2b>-8，2b+8>0
n-m>0， 即n>m
（2）解：若b=-4a时，二次函数解析式为y=ax2-4ax-3，
此抛物线的对称轴为直线x=
若a>0，2a-1≤x2a-1<2且2-(2a-1)≥a+3-2，解得0若a<0，当a+3>2时，函数y有最大值顶点的纵坐标，解得-1综上所述，0【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①由x=0可求出c=-3，再根据对称性求出b=-4，故可得抛物线的解析式；
②求得m=b-2，n=3b+6，n-m=2b+8，由b>-4得2b-8>0，从而可得结论；
(2)分a>0和a<0两种情况讨论求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵ 和 为等腰直角三角形且
∴
∴，
即
∴
（2）解：①：△ADP和△ABC为等边三角形
∴AD=AP，AC=AB，∠DAP=∠CAB=60°
∴∠DAP-∠CAP=∠CAB-∠CAP
即∠DAC=∠PAB
∴△ACD≌△ABP (SAS)
∴CD =BP
②设，则由①可知
，则
∠DCA=∠ CAP=∠ EBA
∴△AEP∽△BEA
即
，
当时，有最小值
的最小值为。
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质得到，∠DAC=∠PAB，再利用相似三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
②设PE=x，则DE=1-x，利用相似三角形的判定与性质得到，，，再利用相似三角形的判定与性质求得AC，计算得到的值，最后利用配方法和非负数的意义解答即可.
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