【期末押题预测】期末核心考点 染色问题（含解析）2024-2025学年人教版数学五年级下册
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| 名称 | 【期末押题预测】期末核心考点 染色问题（含解析）2024-2025学年人教版数学五年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-08 21:50:29 | ||
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文档简介
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期末核心考点 染色问题
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 盘龙区期末）用棱长为1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。一面涂色的小正方体有6个的是（ ）
A． B．
C．
2．（2024春 武昌区校级期中）用27块正方体积木拼成下面的物体，然后将其表面涂成红色，那么有3个面涂红色的积木有（ ）块。
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
5．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 新郑市期中）如图，一个正方体的表面涂满了红色，然后切成27个小正方体，切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多 个。
7．（2024秋 六合区期末）一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中2面涂色的小正方体有 个。
8．（2024 鼓楼区）一个大正方体由若干个棱长1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体一共有6个，这个大正方体的体积是 立方厘米。
9．（2023秋 长春期末）如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有 个小正方形。只有2个面涂色的有 个小正方形，只有3个面涂色的有 个小正方形。只有4个面涂色的有 个小正方形，只有5个面涂色的有 个小正方形。
10．（2024 北碚区校级模拟）100000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为100厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是 个。
三．判断题（共5小题）
11．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。
12．（2021秋 太仓市期中）把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。
13．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。
14．（2022春 沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。
15．（2019春 南充期末）一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个．
四．应用题（共5小题）
16．（2019 北京模拟）一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
17．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
18．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
19．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
20．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 号长方形，左右面你挑选 号长方形，上下面你挑选 号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 cm。
期末核心考点 染色问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 盘龙区期末）用棱长为1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。一面涂色的小正方体有6个的是（ ）
A． B．
C．
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面涂色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：6÷6+2＝3（个）
所以每条棱上有3个小正方体，一面涂色的小正方体有6个的是。
故选：B。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
2．（2024春 武昌区校级期中）用27块正方体积木拼成下面的物体，然后将其表面涂成红色，那么有3个面涂红色的积木有（ ）块。
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】染色问题．
【专题】几何直观．
【答案】C
【分析】如果给这个物体表面涂色，有三个面涂成红色的是位于每个角上的积木，注意看不到的面；通过分析，从下往上数，第一层有4个满足题意的积木，第二层有1个满足题意的积木，第三层有4个满足题意的积木，据此解答即可。
【解答】解：如图：
从下往上数，第一层四个角上的4个小正方体有3个面涂红色；
第二层只有左下角的1个小正方体有3个面涂红色；
第三层有4个小正方体有3个面涂红色；
所以有3个面涂红色的积木有：
4+1+4＝9（块）
答：有3个面涂红色的积木有9块。
故选：C。
【点评】本题考查了探索表面涂色的正方体的有关规律，明确3个面涂红色的小正方体的位置是解题的关键，结合题意分析解答即可。
3．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】C
【分析】3面涂色的小正方体的个数等于原正方体的顶点的个数，正方体有8个顶点；据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，所以3面涂绿色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的小正方体除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
4．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱上，除去顶点处的正方体有两面涂色，在6个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色；据此解答。
【解答】解：96÷6＝16（个）
16＝4×4
4+2＝6（个 ）
1×6＝6（厘米）
答：大正方体的棱长是6厘米。
故选：A。
【点评】本题考查了数形结合的问题，关键明确正方体染色的特点。
5．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
【考点】染色问题；长方体的特征．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据正方体表面积的意义，把一个表面涂色的大正方体平均分成（4×4×4）个小正方体，8个顶点上的小正方体3面涂色，每条棱的中间的小正方体2面涂色，每个面的中间的小正方体1面涂色，内部的小正方体没有涂色。据此解答即可。
【解答】解：由分析得：3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，所以3面涂色的小正方体有8块。
答：3面涂色的小正方体有8块。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面的中间，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 新郑市期中）如图，一个正方体的表面涂满了红色，然后切成27个小正方体，切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多 4 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】4。
【分析】三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，正方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，棱长被切成3个小正方体，所以每条棱有（3﹣2）个两面油漆的小正方体，所以用（3﹣2）×12即可求出有几个两面涂色的小正方体；然后用两面涂红色的小正方体个数减去三面涂红色的小正方体个数，即可求出两面涂红色的比三面涂红色的多多少个。
【解答】解：（3﹣2）×12﹣8
＝12﹣8
＝4（个）
故切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多4个。
故答案为：4。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
7．（2024秋 六合区期末）一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中2面涂色的小正方体有 24 个。
【考点】染色问题．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】24。
【分析】把一个表面涂色的大正方体切成若干个相同的小正方体，位于顶点处的小正方体三面涂色，不论切成多少个小正方体，大正方体的顶点是固定的，因此，三面涂色的小正方体个数是固定的，有8个；位于每条棱非两端的两面涂色，一个正方体有12条棱，用每条棱上切的个数减2的差乘12，就是两面涂色小正方体的个数；位于每个面非边缘的小正方体一面涂色，即小正方体位于每个面的中间，一个正方体有6个面，用每条棱上切的个数减2的差的平方乘6，就是一面涂色的小正方形个数；位于大正方体内部的小正方体没有涂色，用每条棱上切的个数减2的差的立方就是没有涂色的小正方体的个数。沿这个涂色正方体的每条棱切三刀，即每条棱上被切成（3+1）个，即4个小正方体，结合前面的分析即可计算出2面涂色的小正方体个数。
【解答】解：如图：
3+1＝4（个）
一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，则每条棱上切成4个小正方体。
（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
答：2面涂色的小正方体有24个。
故答案为：24。
【点评】解答本题的关键一是：弄清位于什么位置上的小正方体2面涂色；二是这个涂色大正方体每条棱上被切成几个小正方体。
8．（2024 鼓楼区）一个大正方体由若干个棱长1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体一共有6个，这个大正方体的体积是 27 立方厘米。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】27。
【分析】只有一面涂色的小正方体一共有6个，即每个面有1个，可知这个大正方体的棱长是3厘米，根据“正方体体积＝棱长3”，代入数据计算即可。
【解答】解：3×3×3＝27（立方厘米）
答：这个大正方体的体积是27立方厘米。
故答案为：27。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
9．（2023秋 长春期末）如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有 0 个小正方形。只有2个面涂色的有 1 个小正方形，只有3个面涂色的有 2 个小正方形。只有4个面涂色的有 3 个小正方形，只有5个面涂色的有 2 个小正方形。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】0，1，2，3，2。
【分析】在每个正方体上标上能涂色的面的个数，然后再分类计数即可。
【解答】解：如下图：
如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有0个小正方形。只有2个面涂色的有1个小正方形，只有3个面涂色的有2个小正方形。只有4个面涂色的有3个小正方形，只有5个面涂色的有2个小正方形。
故答案为：0，1，2，3，2。
【点评】此题考查了学生对物体的空间想象与观察能力。
10．（2024 北碚区校级模拟）100000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为100厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是 58808 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】58808。
【分析】先求出大正方体内部没被油漆涂过的小正方体个数，再用小正方体总个数减去内部没被涂的个数就能得到至少有一面被油漆涂过的小正方体数目。
【解答】解：（100﹣2）×（100﹣2）×（100﹣2）
＝98×98×98
＝941192（个）
100000﹣941192＝58808（个）
答：这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是58808个。
故答案为：58808。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
三．判断题（共5小题）
11．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
12．（2021秋 太仓市期中）把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。 √
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】√
【分析】根据切割特点，把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，表面涂满色只有一种情况，即分成的8个小正方体都是三面涂色的；据此解答即可。
【解答】解：把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的；说法正确。
故答案为：√。
【点评】主要考查了正方体的组合与分割；要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作。
13．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】√
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个。
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答。
14．（2022春 沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】因为有27个小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为一面有颜色的在每个面的中间；据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
（3﹣2）×6
＝1×6
＝6（个）
所以一面涂色的小正方体有6个，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有六个面，每个面都是完全一样的正方形。
15．（2019春 南充期末）一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个． ×
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】×
【分析】因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，据此即可求得答案．
【解答】解：因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；
三面涂红色的都在顶点处，所以一共有8个，
一面涂红色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．
四．应用题（共5小题）
16．（2019 北京模拟）一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为10×10×10＝1000，根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体）3面三面涂色的小正方体都在顶点处，即可解答问题．
【解答】解：棱长为10厘米的正方体，表面涂漆，然后切成棱长为1厘米的小正方体，则每条棱上有10÷1＝10个小正方体；
（10﹣2）×（10﹣2）×6
＝64×6
＝384（个）
答：涂了一个面的正方体有384个．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
17．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】343个。
【分析】一面涂色的正方体的个数为150个，则正方体的一个面的中间就有150÷6＝25（个），因为5×5＝25，所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，则这个大正方体中的小正方体的总数为（7×7×7）个；据此解答即可。
【解答】解：150÷6＝25，因为5×5＝25，
所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，
则小正方体的总个数为：7×7×7＝343（个）
答：这个大正方体是由343个小正方体组成的。
【点评】根据大正方体的表面涂色的特点，得出一面涂色的小正方体都在大正方体的6个面的中间，并且每条棱长上的小正方体是2面涂色的（顶点除外），顶点处的小正方体是3面涂色的，抓住这个特点即可解决此类问题。
18．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】8块；12块。
【分析】
根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
3面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，所以有8个；
两面涂色的小正方体有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
答：三面涂有红色的有8块；两面涂有红色的有12块。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心。
19．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均涂色的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面涂色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆；最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1）
＝120÷1
＝120（个）
有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，
两面涂色的有：（6﹣2）×4+（5﹣2）×4+（4﹣2）×4
＝4×4+3×4+2×4
＝16+12+8
＝36（个）
一面涂色的有：[（6﹣2）×（5﹣2）+（6﹣2）×（4﹣2）+（5﹣2）×（4﹣2）]×2
＝[4×3+4×2+3×2]×2
＝[12+8+6]×2
＝26×2
＝52（个）
没有涂色的有：120﹣8﹣36﹣52＝24（个）
答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。
20．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 8 个，一面涂色的小正方体有 10 个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 ① 号长方形，左右面你挑选 ④ 号长方形，上下面你挑选 ⑤ 号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 44 cm。
【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】（1）36；
（2）8，10；
（3）①，④，⑤；（答案不唯一）
（4）44厘米。
【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可；
（2）三面涂色的为8个角上的正方体；一面涂色的为中间部分正方体，据此解答；
（3）36＝6×3×2，据此选择拼成的长方形即可；
（4）棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此解答。
【解答】解：（1）1×1×1＝1（立方厘米）
3×3×4×1
＝36×1
＝36（立方厘米）
答：长方体甲的体积是36立方厘米。
（2）2×4+2＝10（个）
答：若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有8个，一面涂色的小正方体有10个。
（3）如图，
长方体乙的前后面我挑选 ①号长方形，左右面你挑选 ④号长方形，上下面你挑选 ⑤号长方形。（答案不唯一）
（4）（6+3+2）×4
＝11×4
＝44（厘米）
答：拼成的长方体乙的棱长总和是44厘米。
【点评】本题主要考查了长方体的体积、棱长总和的求解方法，以及染色问题的灵活应用。
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期末核心考点 染色问题
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 盘龙区期末）用棱长为1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。一面涂色的小正方体有6个的是（ ）
A． B．
C．
2．（2024春 武昌区校级期中）用27块正方体积木拼成下面的物体，然后将其表面涂成红色，那么有3个面涂红色的积木有（ ）块。
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
5．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 新郑市期中）如图，一个正方体的表面涂满了红色，然后切成27个小正方体，切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多 个。
7．（2024秋 六合区期末）一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中2面涂色的小正方体有 个。
8．（2024 鼓楼区）一个大正方体由若干个棱长1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体一共有6个，这个大正方体的体积是 立方厘米。
9．（2023秋 长春期末）如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有 个小正方形。只有2个面涂色的有 个小正方形，只有3个面涂色的有 个小正方形。只有4个面涂色的有 个小正方形，只有5个面涂色的有 个小正方形。
10．（2024 北碚区校级模拟）100000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为100厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是 个。
三．判断题（共5小题）
11．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。
12．（2021秋 太仓市期中）把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。
13．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。
14．（2022春 沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。
15．（2019春 南充期末）一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个．
四．应用题（共5小题）
16．（2019 北京模拟）一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
17．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
18．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
19．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
20．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 号长方形，左右面你挑选 号长方形，上下面你挑选 号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 cm。
期末核心考点 染色问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 盘龙区期末）用棱长为1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。一面涂色的小正方体有6个的是（ ）
A． B．
C．
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面涂色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：6÷6+2＝3（个）
所以每条棱上有3个小正方体，一面涂色的小正方体有6个的是。
故选：B。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
2．（2024春 武昌区校级期中）用27块正方体积木拼成下面的物体，然后将其表面涂成红色，那么有3个面涂红色的积木有（ ）块。
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】染色问题．
【专题】几何直观．
【答案】C
【分析】如果给这个物体表面涂色，有三个面涂成红色的是位于每个角上的积木，注意看不到的面；通过分析，从下往上数，第一层有4个满足题意的积木，第二层有1个满足题意的积木，第三层有4个满足题意的积木，据此解答即可。
【解答】解：如图：
从下往上数，第一层四个角上的4个小正方体有3个面涂红色；
第二层只有左下角的1个小正方体有3个面涂红色；
第三层有4个小正方体有3个面涂红色；
所以有3个面涂红色的积木有：
4+1+4＝9（块）
答：有3个面涂红色的积木有9块。
故选：C。
【点评】本题考查了探索表面涂色的正方体的有关规律，明确3个面涂红色的小正方体的位置是解题的关键，结合题意分析解答即可。
3．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】C
【分析】3面涂色的小正方体的个数等于原正方体的顶点的个数，正方体有8个顶点；据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，所以3面涂绿色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的小正方体除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
4．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱上，除去顶点处的正方体有两面涂色，在6个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色；据此解答。
【解答】解：96÷6＝16（个）
16＝4×4
4+2＝6（个 ）
1×6＝6（厘米）
答：大正方体的棱长是6厘米。
故选：A。
【点评】本题考查了数形结合的问题，关键明确正方体染色的特点。
5．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
【考点】染色问题；长方体的特征．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据正方体表面积的意义，把一个表面涂色的大正方体平均分成（4×4×4）个小正方体，8个顶点上的小正方体3面涂色，每条棱的中间的小正方体2面涂色，每个面的中间的小正方体1面涂色，内部的小正方体没有涂色。据此解答即可。
【解答】解：由分析得：3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，所以3面涂色的小正方体有8块。
答：3面涂色的小正方体有8块。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面的中间，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
二．填空题（共5小题）
6．（2025春 新郑市期中）如图，一个正方体的表面涂满了红色，然后切成27个小正方体，切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多 4 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】4。
【分析】三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，正方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，棱长被切成3个小正方体，所以每条棱有（3﹣2）个两面油漆的小正方体，所以用（3﹣2）×12即可求出有几个两面涂色的小正方体；然后用两面涂红色的小正方体个数减去三面涂红色的小正方体个数，即可求出两面涂红色的比三面涂红色的多多少个。
【解答】解：（3﹣2）×12﹣8
＝12﹣8
＝4（个）
故切成的小正方体中两面涂红色的比三面涂红色的多4个。
故答案为：4。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
7．（2024秋 六合区期末）一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，平均分成若干个小正方体，那么其中2面涂色的小正方体有 24 个。
【考点】染色问题．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】24。
【分析】把一个表面涂色的大正方体切成若干个相同的小正方体，位于顶点处的小正方体三面涂色，不论切成多少个小正方体，大正方体的顶点是固定的，因此，三面涂色的小正方体个数是固定的，有8个；位于每条棱非两端的两面涂色，一个正方体有12条棱，用每条棱上切的个数减2的差乘12，就是两面涂色小正方体的个数；位于每个面非边缘的小正方体一面涂色，即小正方体位于每个面的中间，一个正方体有6个面，用每条棱上切的个数减2的差的平方乘6，就是一面涂色的小正方形个数；位于大正方体内部的小正方体没有涂色，用每条棱上切的个数减2的差的立方就是没有涂色的小正方体的个数。沿这个涂色正方体的每条棱切三刀，即每条棱上被切成（3+1）个，即4个小正方体，结合前面的分析即可计算出2面涂色的小正方体个数。
【解答】解：如图：
3+1＝4（个）
一个表面涂成红色的大正方体的表面积是48平方分米，如果沿它的每条棱切三刀，则每条棱上切成4个小正方体。
（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
答：2面涂色的小正方体有24个。
故答案为：24。
【点评】解答本题的关键一是：弄清位于什么位置上的小正方体2面涂色；二是这个涂色大正方体每条棱上被切成几个小正方体。
8．（2024 鼓楼区）一个大正方体由若干个棱长1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体一共有6个，这个大正方体的体积是 27 立方厘米。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】27。
【分析】只有一面涂色的小正方体一共有6个，即每个面有1个，可知这个大正方体的棱长是3厘米，根据“正方体体积＝棱长3”，代入数据计算即可。
【解答】解：3×3×3＝27（立方厘米）
答：这个大正方体的体积是27立方厘米。
故答案为：27。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
9．（2023秋 长春期末）如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有 0 个小正方形。只有2个面涂色的有 1 个小正方形，只有3个面涂色的有 2 个小正方形。只有4个面涂色的有 3 个小正方形，只有5个面涂色的有 2 个小正方形。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】0，1，2，3，2。
【分析】在每个正方体上标上能涂色的面的个数，然后再分类计数即可。
【解答】解：如下图：
如图的立体图形是由8个小正方体搭成的，它的表面（包括底面）涂上了颜色，只有1个面涂色的有0个小正方形。只有2个面涂色的有1个小正方形，只有3个面涂色的有2个小正方形。只有4个面涂色的有3个小正方形，只有5个面涂色的有2个小正方形。
故答案为：0，1，2，3，2。
【点评】此题考查了学生对物体的空间想象与观察能力。
10．（2024 北碚区校级模拟）100000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为100厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是 58808 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】58808。
【分析】先求出大正方体内部没被油漆涂过的小正方体个数，再用小正方体总个数减去内部没被涂的个数就能得到至少有一面被油漆涂过的小正方体数目。
【解答】解：（100﹣2）×（100﹣2）×（100﹣2）
＝98×98×98
＝941192（个）
100000﹣941192＝58808（个）
答：这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是58808个。
故答案为：58808。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
三．判断题（共5小题）
11．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
12．（2021秋 太仓市期中）把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。 √
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】√
【分析】根据切割特点，把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，表面涂满色只有一种情况，即分成的8个小正方体都是三面涂色的；据此解答即可。
【解答】解：把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的；说法正确。
故答案为：√。
【点评】主要考查了正方体的组合与分割；要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作。
13．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】√
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个。
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答。
14．（2022春 沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】因为有27个小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为一面有颜色的在每个面的中间；据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
（3﹣2）×6
＝1×6
＝6（个）
所以一面涂色的小正方体有6个，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有六个面，每个面都是完全一样的正方形。
15．（2019春 南充期末）一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个棱长为1cm的小正方体．其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个． ×
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】×
【分析】因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，据此即可求得答案．
【解答】解：因为3÷1＝3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；
三面涂红色的都在顶点处，所以一共有8个，
一面涂红色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．
四．应用题（共5小题）
16．（2019 北京模拟）一个棱长为10厘米的正方体，在它的表面涂上红色的油漆，再将它切成边长为1厘米的小正方体．求涂了一个面的正方体有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为10×10×10＝1000，根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体）3面三面涂色的小正方体都在顶点处，即可解答问题．
【解答】解：棱长为10厘米的正方体，表面涂漆，然后切成棱长为1厘米的小正方体，则每条棱上有10÷1＝10个小正方体；
（10﹣2）×（10﹣2）×6
＝64×6
＝384（个）
答：涂了一个面的正方体有384个．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
17．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】343个。
【分析】一面涂色的正方体的个数为150个，则正方体的一个面的中间就有150÷6＝25（个），因为5×5＝25，所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，则这个大正方体中的小正方体的总数为（7×7×7）个；据此解答即可。
【解答】解：150÷6＝25，因为5×5＝25，
所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，
则小正方体的总个数为：7×7×7＝343（个）
答：这个大正方体是由343个小正方体组成的。
【点评】根据大正方体的表面涂色的特点，得出一面涂色的小正方体都在大正方体的6个面的中间，并且每条棱长上的小正方体是2面涂色的（顶点除外），顶点处的小正方体是3面涂色的，抓住这个特点即可解决此类问题。
18．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】8块；12块。
【分析】
根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
3面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，所以有8个；
两面涂色的小正方体有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
答：三面涂有红色的有8块；两面涂有红色的有12块。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心。
19．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均涂色的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面涂色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆；最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1）
＝120÷1
＝120（个）
有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，
两面涂色的有：（6﹣2）×4+（5﹣2）×4+（4﹣2）×4
＝4×4+3×4+2×4
＝16+12+8
＝36（个）
一面涂色的有：[（6﹣2）×（5﹣2）+（6﹣2）×（4﹣2）+（5﹣2）×（4﹣2）]×2
＝[4×3+4×2+3×2]×2
＝[12+8+6]×2
＝26×2
＝52（个）
没有涂色的有：120﹣8﹣36﹣52＝24（个）
答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。
20．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 8 个，一面涂色的小正方体有 10 个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 ① 号长方形，左右面你挑选 ④ 号长方形，上下面你挑选 ⑤ 号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 44 cm。
【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】（1）36；
（2）8，10；
（3）①，④，⑤；（答案不唯一）
（4）44厘米。
【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可；
（2）三面涂色的为8个角上的正方体；一面涂色的为中间部分正方体，据此解答；
（3）36＝6×3×2，据此选择拼成的长方形即可；
（4）棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此解答。
【解答】解：（1）1×1×1＝1（立方厘米）
3×3×4×1
＝36×1
＝36（立方厘米）
答：长方体甲的体积是36立方厘米。
（2）2×4+2＝10（个）
答：若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有8个，一面涂色的小正方体有10个。
（3）如图，
长方体乙的前后面我挑选 ①号长方形，左右面你挑选 ④号长方形，上下面你挑选 ⑤号长方形。（答案不唯一）
（4）（6+3+2）×4
＝11×4
＝44（厘米）
答：拼成的长方体乙的棱长总和是44厘米。
【点评】本题主要考查了长方体的体积、棱长总和的求解方法，以及染色问题的灵活应用。
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