华东师范大学第二附属中学高一数学 5 月质量调研
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果.
1. 复数 的虚部是_____.
2. 数列 1,2,3,4 和数列 1,3,2,4_____(是/不是)同一数列.
3. 已知角 的终边经过点 ,则 _____.
4. 已知数列 是严格增数列且 ( 为正整数),则实数 的取值范围为_____.
5. 复数 _____.
6. 满足 的角 的集合为_____.
7. 将函数 的图像向左平移 个单位长度后与函数 的图像重合, 则 的最小值为_____.
8. 数列 中, ( 为正整数),且 ,则 的值为_____.
9. 塔是一种在亚洲常见的,有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图,为测量某塔的总高度 ,选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ,现测得 米,在 C 点测得塔顶 A 的仰角为 ,则塔的总高度为_____.
10. 设点 在内部,且 ,则 _____.
11. 已知复数 在复平面上对应的点分别为 ,且 为坐标原点, 则 的周长为_____
12. 给定平面向量 、 、 、已知对任意实数 ,都有 成立. 若 ,则 的取值范围是_____.
二、单选题(本大题共有 4 题,满分 18 分,第 13、14 题每题 4 分,第 15、16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
14. 下列四个选项中, 正确的是( )
A. 复平面内实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点都表示纯虚数
B. 若复数 满足 ,则 且
C. 若复数 满足 ,则
D. 设 为复数, ,若 ,则
15. 已知 是平面上的一定点, 是平面上不共线的三点,动点 满足 , ,则动点 的轨迹一定通过 的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
16. 令 表示全体平面向量构成的集合,若对于任意 ,都存在i唯一的正整数 (记为 ) 与之对应,且对任意向量 和任意实数 都有 ,则对于集合 中所含元素的个数说法 正确的是( )
A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素
C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知 ,且 .
( 1 )求 的值；
( 2 )求 的值.
18. 在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 .
(1) 求角 :
(2)若 为 的中点,且 ,求 的面积.
19. 已知 中, , , ,点 在边 上且满足 .
(1)用 、 表示 ,并求 ；
(2)若点 为边 中点,求 与 夹角的余弦值.
20. 已知复数 满足 ,且存在非零实数 ,使得
(1)若 ,求实数 的取值范围；
(2)若 ,求实数 的取值范围:
(3)设 ,且 ,求 的取值范围.
21. 复分析中的几何变换不仅是研究解析函数性质的核心工具, 更深刻揭示了复平面上的几何对称性与不变性. 此类变换能够将复杂的曲线映射成其他简单几何图形, 同时保持对称性、角度关系等关键性质. 这种“共形性” 在电磁学、流体力学等领域有着广泛应用. 在复平面上, 几何变换可通过复数运算实现.
定义 1: 任意给定 ,称 是 (对复数 的) 线性变换;
定义 2: 称 是 (对非零复数 的) 乘法逆变换;
定义 3: 给定 和非零实数 ,如果 满足 ,那么称 和 在复平面上关于集合 对称.
(1)设线性变换 ,请说明复数集 在复平面对应的图像的几何形状,并求 的最小值:
(2)设 为乘法逆变换,请说明复数集 在复平面对应的图像的几何形状,并求 的最小值,其中
(3)给定 , ,若 , 在复平面上关于集合 对称,是否存在 和 ,使得 和 在复平面上关于集合 对称,其中 为乘法逆变换.华东师范大学第二附属中学高一数学 5 月质量调研
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果.
1. 复数 的虚部是_____.
【解析】
数列 1,2,3,4 和数列 1,3,2,4_____(是/不是)同一数列.
【解析】不是
已知角 的终边经过点 ,则 _____.
【解析】
已知数列 是严格增数列且 ( 为正整数),则实数 的取值范围为_____.
【解析】
复数 _____.
【解析】
满足 的角 的集合为_____.
【解析】
将函数 的图像向左平移 个单位长度后与函数 的图像重合, 则 的最小值为_____.
【解析】
数列 中, ( 为正整数),且 ,则 的值为_____.
【解析】（计算器迭代，算周期T=4）
9. 塔是一种在亚洲常见的,有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图,为测量某塔的总高度 ,选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ,现测得 米,在 C 点测得塔顶 A 的仰角为 ,则塔的总高度为_____.
【解析】（正弦定理推导）
10.设点 在内部,且 ,则 _____.
【解析】（奔驰定理应用）
已知复数 在复平面上对应的点分别为 ,且 为坐标原点, 则 的周长为_____
【解析】（2022年福建高联预赛题，解二元二次方程转到复数的模）
给定平面向量 、 、 、已知对任意实数 ,都有 成立. 若 ,则 的取值范围是_____.
【解析】解: 设 ,由题意可知点 在 为直径的圆上运动 (不包括点 两点)以 为坐标原点, 为 轴建立平面直角坐标系,此时
则
于是
当且仅当 时,等号成立当 与 反向,且都为直径时,此时
于是
二、单选题(本大题共有 4 题,满分 18 分,第 13、14 题每题 4 分,第 15、16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】
14. 下列四个选项中, 正确的是( )
A. 复平面内实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点都表示纯虚数
B. 若复数 满足 ,则 且
C. 若复数 满足 ,则
D. 设 为复数, ,若 ,则
【解析】
15. 已知 是平面上的一定点, 是平面上不共线的三点,动点 满足 , ,则动点 的轨迹一定通过 的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【解析】（类似题，若分母中，答案如何选）
16. 令 表示全体平面向量构成的集合,若对于任意 ,都存在唯一的正整数 (记为 ) 与之对应,且对任意向量 和任意实数 都有 ,则对于集合 中所含元素的个数说法 正确的是( )
A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素
C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素
【解析】（非扩张映射）
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知 ,且 .
( 1 )求 的值；
( 2 )求 的值.
【解析】
(1)由题意
则 , ,所以
(2)由 , 为锐角,可得
-1
所以 ；
18. 在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 .
(1) 求角 :
(2)若 为 的中点,且 ,求 的面积.
【解析】
( 1 ) ,
由余弦定理得 ,
即 ,即
又 ,则 ；
由题意得 ,则由平行四边形法则
平方得， ,
即 ①,
又 ,即 ②,
联立①②得 ,
则
19. 已知 中, , , ,点 在边 上且满足 .
(1)用 、 表示 ,并求 ；
(2)若点 为边 中点,求 与 夹角的余弦值.
【解析】
(1) 点 在边 上,且 ,
,
,且 ,
;
(2) 点 为边 中点,
,
,
又 ,
.
20. 已知复数 满足 ,且存在非零实数 ,使得
(1)若 ,求实数 的取值范围；
(2)若 ,求实数 的取值范围:
(3)设 ,且 ,求 的取值范围.
【解析】
① 和 是方程 的根。判别式：
当 时,方程有共轭虚根,此时虚部不为零,满足 ，解得：
.
设虚根为 ,则模长为 。由根的和 ,根的积 ,解
得:
模长为: .
要求模长小于 2 ,即：
综上,当 时,所有条件均满足。
②略
③（复数三角形式，没意义）
21. 复分析中的几何变换不仅是研究解析函数性质的核心工具, 更深刻揭示了复平面上的几何对称性与不变性. 此类变换能够将复杂的曲线映射成其他简单几何图形, 同时保持对称性、角度关系等关键性质. 这种“共形性” 在电磁学、流体力学等领域有着广泛应用. 在复平面上, 几何变换可通过复数运算实现.
定义 1: 任意给定 ,称 是 (对复数 的) 线性变换;
定义 2: 称 是 (对非零复数 的) 乘法逆变换;
定义 3: 给定 和非零实数 ,如果 满足 ,那么称 和 在复平面上关于集合 对称.
(1)设线性变换 ,请说明复数集 在复平面对应的图像的几何形状,并求 的最小值:
(2)设 为乘法逆变换,请说明复数集 在复平面对应的图像的几何形状,并求 的最小值,其中
给定 , ,若 , 在复平面上关于集合 对称,是否存在 和 ,使得 和 在复平面上关于集合 对称,其中 为乘法逆变换.
【解析】
①设 ,则
根据条件Re ,即 ,对应斜率为 -1 的直线。
,设 ,即 。
代入得:
因此, 。当 时,取得最小值1。
②分析集合 的几何形状， ,同理可得 ,对应直线。
仅当 时成立,对应点(3, - 1)
求最小值 直线 到点(3, - 1)的距离为：
③对称性条件分析，已知 关于 对称,即
。若 和 关于
对称,则需满足：
结合 ,代入化简可
得:
由 展开得
,代入上式得 。
因此,存在 ,对任意 均成立。
