合肥一中瑶海校区 2024--2025 学年高二下数学素质拓展训练（5）
（满分：150 分 时间：120 分钟）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A {x | x 2 4}， B {x | 0 x 4}，则 A B （ A）
A. 0,2 B. 2,2 C. 0,4 D. 2,4
2.命题“ x 3, x2 2x 3”的否定是（ D ）
A x 3, x 2． 0 0 2x0 3 B． x 3, x
2
0 0 2x0 3
C 2 2． x0 3, x0 2x0 3 D． x0 3, x0 2x0 3
3.如图是根据一组观测数据得到海拔6 ~15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归
2 0.163x
方程为 y1 4.0x 68.5，决定系数为 R1 0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为 y2 132.9e ，
2
决定系数为 R2 0.99，则下列说法错误的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程 y1 4.0x 68.5可知，海拔每升高 1千米，大气压强必定降低 4.0 kPa
C．由方程 y1 4.0x 68.5可知，样本点 11,22.6 的残差为 1.9
D 0.163x．对比两个回归模型，结合实际情况，方程 y2 132.9e 的预报效果更好
【答案】B
4.下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设 A、B为两个集合，若 A B，则对任意 x A，都有 x B；
②设 A、B为两个集合，若 A B，则存在 x A，使得 x B；
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③ x {y∣y是无理数}， x2是有理数；
④ x {y∣y是无理数}， x3是无理数.
其中真命题的个数是（B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知变量 x和变量 y的一组成对样本数据 xi , yi (i 1,2,3, ,18)，其中 y 4，其经验回归方程为 y 2x 2，
现又增加了 2个样本点 (3.9,3.3)，(4.1,3.7)，得到新样本的经验回归方程为 y 3x a .在新的经验回归方程
下，若样本 (2.8,m)的残差为 1.1，则 m的值为（ ）
A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95
【答案】D
6.为了考查一种新疫苗预防某 X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进
1
行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的 2倍，接种且发病占接种的 ，没接种且发病的
6
1
占没接种的 ，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某 X疾病有关”
3
的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只
2
2
=
+ + + +
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
答案：B．
7.已知 a 0,b 0，a b 1，则下列结论正确的是（ ）
A． a2b ab2
1
的最小值为 B． a b 的最大值为 14
a 2b 2 1 4
C． 的最小值为7 4 2 D． 的最小值为 3
ab 2a b a 2b
【答案】D
8.将六枚棋子 A，B，C，D，E，F放置在 2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜
色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子 A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同
的放置与上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
【答案】C
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。答全得 6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
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选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．线性回归方程 y b x a 至少经过点 x1, y1 , x2 , y2 , x3, y3 , , xn , yn 中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
C．若设直线回归方程为 y 2x 1，则当变量 x增加 1个单位时， y平均增加 2个单位
D．对具有线性相关关系的变量 x， y，其线性回归方程为 y 0.3x m，若样本点的中心为 m, 2.8 ，
则实数m的值是 4 .
【答案】BCD
10.老张每天17 : 00下班回家，通常步行 5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A， B两条线路可以选
. A 2择 乘坐线路 所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N 44,2 ，下车后步行到家要 5分钟；乘坐线路 B所
2
需时间（单位：分钟）服从正态分布 N 33,4 ，下车后步行到家要 12分钟. 下列说法从统计角度认为不．
合．理．的是（ ）.
参考数据：若 Z N , 2 ，则P Z 0.6827， P 2 Z 2 0.9545，
P 3 Z 3 0.9973
A．若乘坐线路 B，18 : 00前一定能到家；
B．乘坐线路A比乘坐线路 B在17 :58前到家的可能性更大；
C．乘坐线路 B比乘坐线路A在17 :54前到家的可能性更大；
D．若乘坐线路A，则在17 : 48前到家的可能性不超过1% .
1
【详解】对于 A，因为 P(B 45) [1 P(21 Z 45)]
1
(1 0.9973) 0.00135，
2 2
即乘坐线路18 : 02能到家的概率为0.00135，
所以乘坐线路 B，18 : 00前不一定能到家，所以 A错误；
对于 B，乘坐线路 A在17 :58前到家的概率为
P(A 48) 1 [1 P(40 Z 48)] P(40 Z 48) 1 (1 0.9545) 0.9545 0.9772 5，
2 2
乘坐线路 B在17 :58前到家的概率为
P(B 1 41) [1 P(25 Z 41)] P(25 Z 41) 1 (1 0.9545) 0.9545 0.97725，
2 2
所以乘坐线路 A和乘坐线路 B在17 :58前到家的可能性一样，所以 B错误；
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1
对于 C，乘坐线路 A在17 :54前到家的概率为 P(A 44) ，
2
乘坐线路 B在17 :54前到家的概率为
P(B 37) 1 [1 P(29 Z 37)] P(29 1 Z 37) (1 0.6827) 0.6827 0.84135 1 ，
2 2 2
所以乘坐线路 B比乘坐线路 A在17 :54前到家的可能性更大，故 C正确；
对于，乘坐线路 A，则在17 : 48前到家的概率为
P(A 1 38) [1 P(38 Z 50)] 1 (1 0.9973) 0.00135 0.01，所以 D正确.
2 2
故答案为： AB
ln x k
11.函数 f x ex 1在 0, 上有唯一零点 x0，则（ ）x
A． x ex00 1
1
B． x0 1 C． k 1 D． k 12
【分析】
由 f x 0 x，可得 xe x ln x k 0 k xex ln xex，即 ，
u x xex令 ，其中 x 0，则u x x 1 ex 0，
x
所以，函数u x xe 在区间 0, 上单调递增，则u x u 0 0，
令 g t t ln t，其中 t 0， g t 1 1 t 1 .
t t
当0 t 1时， g t 0，此时函数 g t 单调递减；
当 t 1时， g t 0，此时函数 g t 单调递增.
所以， g t g 1min 1 .
若函数 f x 在 0, 上有唯一零点 x0，则 k 1 .
x
所以，u x0 x0e 0 1，由于函数 u x 在 0, 上单调递增，
u 1 e
1 1
1，u 1 e 1，即u u x u 1 ， x 1，
2 2 2
0
2 0
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
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二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 6 非空集合M 满足M x Z | N ，则满足条件的集合M 的个数是 ．
x 3
【答案】15
13.已知命题“ x R， x2 2x a 0 ” 是真命题，则实数 a的取值范围为__ 1， ________
14.以maxM 表示数集M 中最大的数.设0 x y 1，则max xy, xy x y 1, x y 2xy 的最小值
4
为________
9
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13分) 2已知集合 A x∣x 2x 3 0 ,B x∣x2 2m 1 x 2m 0 .
(1)当m 1时，求 A B；
(2)若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【详解】（1）由 x2 2x 3 0，解得 1 x 3，所以 A x | 1 x 3 ，
当m 1 2时，由 x 2m 1 x 2m 0 ，得 x2 x 2 0，解得 1 x 2，
所以 B x | 1 x 2 ，
所以 A B x | 1 x 3 .
（2）因为 x A是 x B的充分不必要条件，所以A真包含于 B，
由（1）知 A x | 1 x 3 ，
而 B x∣x 2 2m 1 x 2m 0 x∣ x 1 x 2m 0 ，
当 2m
1
1，即m 时， B x∣2m x 1 ，显然不满足题意；
2
2m 1当 1，即m 时， B ，显然不满足题意；
2
1
当 2m 1，即m 时， B x∣ 1 x 2m ，
2
3
此时 2m 3，即m ；
2
综上，m
3
.
2
16. (15分)某企业举行招聘考试，共有 1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分 100分，初试通过后
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参加复试．
(1) 2若所有考生的初试成绩 X近似服从正态分布 N , ，其中 65, 10，试估计初试成绩不低于 75
分的人数；（精确到个位数）
(2)复试共三道题，每答对一题得 10分，答错得 0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知
3 3
某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否
4 5
互不影响．记该考生的复试成绩为 Y，求 Y的分布列及期望．
2
附：若随机变量 X服从正态分布 N , ，则： P( X ) 0.6827，
P( 2 X 2 ) 0.9545,P( 3 X 3 ) 0.9973．
【详解】（1）由学生初试成绩 X 服从正态分布 N ( , 2 )，其中 65， 10，得 75 65 10 ，
因此 P(X 75) P(X
1 1 0.6827
) [1 P( X )] 0.15865，
2 2
所以估计初试成绩不低于的人数为0.15865 1000 159 人.
（2）Y的可能取值为0，10， 20，30，
则 P(Y 0) (1
3
) (1 3)2 1 3 3 3 2 3 6 ， P(Y 10) (1 )2 (1 ) C1 ，
4 5 25 4 5 4 2 5 5 25
P(Y 20) 3 C1 2 3 (1 3) (3 9 2 )
2 ， P(Y 30)
3 (3)2 27 ，
4 5 5 4 5 20 4 5 100
所以Y的分布列为：
Y 0 10 20 30
1 6 9 27
P
25 25 20 100
1 6 9 27
数学期望为 E Y 0 10 20 30 19.5 .
25 25 20 100
17. (15分)一只药用昆虫的产卵数 y与一定范围内的温度 x有关，现收集了该种药用昆虫的 6组观测数据如
下表：
温度 x / C 21 23 24 27 29 32
产卵数 y /个 6 11 20 27 57 77
1 6 1 6 6 6 6
经计算得： x xi 26, y yi 33, xi x y 2 26 i y 557, xi x 84, yi y 3930,线性i 1 6 i 1 i 1 i 1 i 1
6
回归模型的残差平方和 yi y 2i 236.64,e8.0605 3167，其中 xi , yi 分别为观测数据中的温差和产卵数，
i 1
i 1,2,3,4,5,6 .
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(1)若用线性回归方程，求 y关于 x的回归方程 y b x a （精确到 0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得 y关于 x回归方程为 y 0.06e0.2303 x，且相关指数 R2 0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据 x , y 1 1 , x2 , y2 , , xn , yn ，其回归直线 y bx a 的斜率和截距的最小二乘估计为
n n
xi x yi y y y 2i i
b i 1 2n , a y bx；相关指数 R 1
i 1
n .
x x 2 y y 2i i
i 1 i 1
6 6
【详解】（1）由题意 n 6，则 x
1 1
6 xi 26， y 6 yi 33，i 1 i 1
6
(xi x )(yi y)
b i 1 557 6 6.6， a 33 6.6 26 138.6，
(x x )2 84i
i 1
y关于 x的线性回归方程为 y 6.6x 138.6 .
6 6
（2 2 2）（i）对于线性回归模型， (yi y) 3930， (yi yi ) 236.64，
i 1 i 1
6
(y i y )2i
相关指数为1 i 1 1
236.64
6 1 0.0602 0.9398，
(y y )2 3930i
i 1
因为 0.9398 0.9522，所以用非线性回归模型拟合效果更好.
（ii）当 x 35，时 y 0.06e0.2303 35 0.06 e8.0605 0.06 3167 190.02 190（个）
所以温度为35 C时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190个.
18.(17 3分)已知函数 f x x k ln x k R ， f x 为 f x 的导函数.
（1）当 k 6时，
（i）求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
9
（ii）求函数 g x f x f x 的单调区间和极值；
x
f x f x f x f x
（2）当 k 3时，求证：对任意的 x1, x2 1, x x
1 2 1 2 且 1 2 ，有 .2 x1 x2
【详解】
（1）（i）当 k 6时， f x x3 6ln x，故 f x 3x2 6 .
x
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可得 f 1 1， f 1 9，
所以曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 1 9 x 1 ，即 y 9x 8 .
3 6 3
（ii 3）依题意， g(x) x 3x2 6ln x ， x 0, 2，从而求导可得 g (x) 3x 6x ，整
x x x2
3
理可得 g (x) 3(x 1) (x 1) .
x2
令 g x 0，解得 x 1 .
当 x变化时， g x ， g x 的变化情况如下表：
x 0,1 1 1,
g x 0 +
g x 极小值
所以，函数 g x 的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, ； g x 的极小值为 g 1 1，无极大
值.
3 2 k
（2）证明：由 f x x k ln x，得 f x 3x .
x
x
对任意的 x1, x
1
2 1, ，且 x1 x2 ，令 t(t 1)x ，则2
x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 f x2
x x 3x2 k k 1 2 1 3x22 2 x3 x3
x
1
x x 1 2
k ln
x 1 2 2
x3 x3 2 2
x1 x2 x1
1 2 3x1 x2 3x1x2 k 2k ln
x2 x1 x2
x32 t3 3t2 3t 1 k 1 t 2ln t . ①
t
令 h(x) x
1
2ln x， x 1, .
x
2
当 x 1时， h (x) 1 1 2 2
1
1
0，由此可得 h x 在 1, 单调递增，x x x
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1
所以当 t 1时， h t h 1 ，即 t 2 ln t 0，
t
因为 x2 1， t3 3t 2 3t 1 (t 1)3 0， k 3，
x3 t3 3t 2 3t 1 k t 1 2ln t t3 2所以 2 3t 3t 1 3 1 t t 2ln t t
t3 3t 2 6 ln t 3 1. ②
t
3 2 3
由（1）（ii）可知，当 t 1时， g t g 1 ，即 t 3t 6ln t 1，
t
t3 3故 3t 2 6ln t 1 0 . ③
t
由①②③可得 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 f x2 0 .
f x f
1 x2 f x1 f x2
所以，当 k 3时，对任意的 x1, x2 1, ，且 x1 x2 ，有 .2 x1 x2
19.在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 a1,a2 ,a3 表示，其中 ai 0,1 1 i 3, i N .而在
n维空间中 n 2,n N ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 n维坐标 a1,a2 ,a3 , ,an ，其中
ai 0,1 1 i n,i N .现有如下定义：在 n维空间中，P a1,a2 ,a3 , ,a n ，Q b1,b2 ,b3, ,bn 两点的曼
哈顿距离为 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn
(1)在 3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为 1的概率；
(2)在 n n 2 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 X 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 X 的分布列与期望；
n
（ii）证明：随机变量 X 的方差小于 .
4
12 3
【详解】（1）记“所取两点的曼哈顿距离为 1为事件 A”，则 P A C2 8 7
3
答：所取两点的曼哈顿距离为 1的概率为 .
7
（2）（i）对于 X k的随机变量，在坐标 a1,a2 ,a3, ,an 与 b1,b2 ,b3, ,bn 中有 k个坐标值不同，即 ai bi，
剩下 n k 个坐标值满足 ai bi .
k n 1 k
Ck 2n 1 P X k Cn 2 Cn此时所对应情况数为 n 种.即 C2 n 2n 12
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故分布列为：
X 1 2 … n
C1 C2 Cn
P n n n
2n
…
1 2n 1 2n 1
E X 1 C
1
n 2 C
2
n n C
n
数学期望 n
2n 1 2n 1 2n 1
E X n C0 C1 C2 n倒序相加得 n n n Cn 2 2n 1 n 2 1 2 n ，
即 E X
n
2 1 2 n .
（ii）D X E X 2 E 2 X
1 2 n
E 2 X C nn 4
Cn 2 Cn
2 1 2n
n ，
1 2n 1
设 (1 x)n C0 1n xCn x
2C2 x3C3 n nn n x Cn，
n(1 x)n 1两边求导得， C1n 2xC
2
n 3x
2C3n nx
n 1Cnn，
x nx(1 x)n 1 xC1 2x2C2 3 3 n n两边乘以 后得， n n 3x Cn nx Cn，
n 2 1 2 2 2 2 3 2 n 1 n
两边求导得， n(1 x) (1 nx) Cn 2 xCn 3 x Cn n x Cn，
x 1 C1 22C2 32C3 n 2Cn令 得， n n n n n (n 1) 2
n 2
，
n(n 1) 2n 2
2
2n 1 n n(n 1 ) 2n 2 n 2
n 2 2n n 12
所以D X E X 2n 1 2n 1 2n 1 22n 1
n 2
n 2n n 1 n 22n n 2n 2n n
4 n 2 4 2 2n
2 1 2 2
n 1 4 ．
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（满分：150 分 时间：120 分钟）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A {x | x 2 4}， B {x | 0 x 4}，则 A B （ ）
A. 0,2 B. 2,2 C. 0,4 D. 2,4
2.命题“ x 3, x2 2x 3”的否定是（ ）
A． x 20 3, x0 2x0 3 B． x 3, x
2
0 0 2x0 3 C x 3, x
2
． 0 0 2x
2
0 3 D． x0 3, x0 2x0 3
3.如图是根据一组观测数据得到海拔6 ~15千米的大气压强散
点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为
y1 4.0x 68.5 2，决定系数为 R1 0.99；根据非线性回归模型
y 132.9e 0.163x得到经验回归方程为 2 ，决定系数为 R
2
2 0.99，
则下列说法错误的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程 y1 4.0x 68.5可知，海拔每升高 1千米，大气压强必定降低 4.0 kPa
C．由方程 y1 4.0x 68.5可知，样本点 11,22.6 的残差为 1.9
D y 132.9e 0.163x．对比两个回归模型，结合实际情况，方程 2 的预报效果更好
4.下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设 A、B为两个集合，若 A B，则对任意 x A，都有 x B；
②设 A、B为两个集合，若 A B，则存在 x A，使得 x B；
③ x {y∣y是无理数}， x2是有理数；④ x {y∣y是无理数}， x3是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知变量 x和变量 y的一组成对样本数据 xi , yi (i 1,2,3, ,18)，其中 y 4，其经验回归方程为 y 2x 2，
现又增加了 2个样本点 (3.9,3.3)， (4.1,3.7)，得到新样本的经验回归方程为 y 3x a .在新的经验回归方程下，
若样本 (2.8,m)的残差为 1.1，则 m的值为（ ）
A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95
6.为了考查一种新疫苗预防某 X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了
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1
抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的 2倍，接种且发病占接种的 ，没接种且发病的占没接种
6
1
的 ，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某 X疾病有关”的结论，则
3
被抽查的没接种动物至少有（ ）只
2
2
= + + + +
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．35 B．36 C．37 D．38
7.已知 a 0,b 0，a b 1，则下列结论正确的是（ ）
1
A． a2b ab2的最小值为 B． a b 的最大值为 14
a 2b 2 1 4
C． 的最小值为7 4 2 D． 的最小值为 3
ab 2a b a 2b
8.将六枚棋子 A，B，C，D，E，F放置在 2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色
不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子 A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放
置与上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。答全得 6 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9.下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．线性回归方程 y b x a 至少经过点 x1, y1 , x2 , y2 , x3, y3 , , xn , yn 中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
C．若设直线回归方程为 y 2x 1，则当变量 x增加 1个单位时， y平均增加 2个单位
D．对具有线性相关关系的变量 x， y，其线性回归方程为 y 0.3x m，若样本点的中心为 m, 2.8 ，则实
数m的值是 4 .
10.老张每天17 : 00下班回家，通常步行 5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A， B两条线路可以选择.乘
坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N 44,22 ，下车后步行到家要 5分钟；乘坐线路 B所需时间（单
2
位：分钟）服从正态分布 N 33,4 ，下车后步行到家要 12分钟. 下列说法从统计角度认为不．合．理．的是（ ）.
2
参考数据：若 Z N , ，则P Z 0.6827，P 2 Z 2 0.9545，
P 3 Z 3 0.9973
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A．若乘坐线路 B，18 : 00前一定能到家；
B．乘坐线路A比乘坐线路 B在17 :58前到家的可能性更大；
C．乘坐线路 B比乘坐线路A在17 :54前到家的可能性更大；
D．若乘坐线路A，则在17 : 48前到家的可能性不超过1% .
11.函数 f x ex ln x k 1在 0, 上有唯一零点 x ，则（ ）
x 0
A． x ex 100 1 B． x0 1 C． k 1 D． k 12
二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 6 非空集合M 满足M x Z | N ，则满足条件的集合M 的个数是 ．
x 3
13.已知命题“ x R ， x2 2x a 0 ” 是真命题，则实数 a的取值范围为__________
14.以maxM 表示数集M 中最大的数.设0 x y 1，则max xy, xy x y 1, x y 2xy 的最小值为
________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 ) 2 2分 已知集合 A x∣x 2x 3 0 ,B x∣x 2m 1 x 2m 0 .
(1)当m 1时，求 A B；
(2)若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16. (15分)某企业举行招聘考试，共有 1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分 100分，初试通过后参加
复试．
(1)若所有考生的初试成绩 X近似服从正态分布 N , 2 ，其中 65, 10，试估计初试成绩不低于 75分的
人数；（精确到个位数）
(2)复试共三道题，每答对一题得 10分，答错得 0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考
3 3
生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记
4 5
该考生的复试成绩为 Y，求 Y的分布列及期望．
2
附：若随机变量 X服从正态分布 N , ，则： P( X ) 0.6827，
P( 2 X 2 ) 0.9545,P( 3 X 3 ) 0.9973．
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17. (15分)一只药用昆虫的产卵数 y与一定范围内的温度 x有关，现收集了该种药用昆虫的 6组观测数据如下表：
温度 x / C 21 23 24 27 29 32
产卵数 y /个 6 11 20 27 57 77
1 6 1 6 6 6 6
经计算得： x xi 26, y yi 33, xi x yi y 557, x x 2i 84, yi y 2 3930,线性回归6 i 1 6 i 1 i 1 i 1 i 1
6
2 8.0605
模型的残差平方和 yi y i 236.64,e 3167，其中 xi , yi 分别为观测数据中的温差和产卵数，
i 1
i 1,2,3,4,5,6 .
(1)若用线性回归方程，求 y关于 x的回归方程 y b x a （精确到 0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得 y关于 x回归方程为 y 0.06e0.2303 x，且相关指数 R2 0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用 R2说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据 x1, y1 , x2 , y2 , , xn , yn ，其回归直线 y b x a 的斜率和截距的最小二乘估计为
n n
xi x yi y y y 2i i
b i 1 n , a y bx
2
；相关指数 R 1 i 1n .
x x 2i y 2i y
i 1 i 1
18.(17 ) f x x3分 已知函数 k ln x k R ， f x 为 f x 的导函数.
（1）当 k 6时，
（i）求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（ii）求函数 g x f x f x 9 的单调区间和极值；
x
f x1 f x2 f x1 f x2
（2）当 k 3时，求证：对任意的 x1, x2 1, 且 x1 x2 ，有 .2 x1 x2
19.(17分)在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 a1,a2 ,a3 表示，其中 ai 0,1 1 i 3, i N .而
在 n维空间中 n 2,n N ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 n维坐标 a1,a2 ,a3 , ,an ，其中
ai 0,1 1 i n,i N .现有如下定义：在 n维空间中，P a1,a2 ,a3 , ,a n ，Q b1,b2 ,b3, ,bn 两点的曼哈顿
距离为 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn
(1)在 3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为 1的概率；
(2)在 n n 2 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 X 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 X 的分布列与期望；
n
（ii）证明：随机变量 X 的方差小于 .
4
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