湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学复习之立体几何(含答案)

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名称 湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学复习之立体几何(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-10 09:37:10

文档简介

2025年荆门市德艺高级中学高二下学期期末数学专题复习卷
------立体几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
下列说法中正确的个数是( )
①在空间直角坐标系中,已知点P(3,-2,-5),点Q与点P关于Ozx平面对称,则 点Q的坐标是(3,2,-5).
②已知向量,,且与互相垂直,则k的值是.
③设直线l的方向向量为=(-1,-1,1),平面α的法向量为=(2,2,4),则直线l与平面α的位置关系为l∥α.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案:C
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,
则O点到平面ABC1D1的距离是(  )
A. B. C. D.
解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).∵O为A1C1的中点,∴O(,,1),=(,-,0).设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),又=(-1,0,1),=(0,1,0),则有即取n=(1,0,1),∴O到平面ABC1D1的距离为d===. 答案:B
3.已知空间向量=(1,0,-1),=(-1,1,0),则向量在向量上的投影向量是(  )
A.( -,0,) B.( ,-,0) C.( 1,-1,0) D. (,-,0)
解析:根据投影向量的公式,向量a在向量b上的投影向量为·=·=·=(,-,0).故选D.
4.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为(  )
A. B.- C. D.-
解析:=-x+=-x+(-)=-x+,
又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,
∴-x+=1,解得x=-.
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱AC的三等分点,且AC=3AE,F是棱B1C1的中点,若,则=(  )
A B.
C. D.
解析] 如图,取BC的中点D,连接AD,AF,DF.
则=+=++=a+b+c. 因为==b,
所以=-=a+b+c-b=a+b+c. 故选D.
6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的
正方形,侧棱AA1=2且∠A1AD=∠A1AB=60°,则AC1=(  )
A.2 B. C.2 D.
[解析] (1)∵底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2且∠A1AD=∠A1AB=60°,
则=1,=1,=4,·=0,·=||·||·cos∠A1AB=1,·=||·||·cos∠A1AD=1,则||
=|++|=

==.故选B.
7.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,
M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为(  )
A.(1,1,1) B.(,,1)
C.(,,1) D.(,,1)
解析:设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),M(x,x,1),=(x-,x-,1),
则即解得令b=1,则n=(1,1,).
又AM∥平面BDE,所以n·=0,即2(x-)+=0,得x=,
所以M(,,1).故选C.
8.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(  )
A. B. C. D.
解析:由题意,分别以OD,OB,OS所在的直线为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系,如图.
易知O(0,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),S(0,0,3).
又SE=SB,所以=+=+
=(0,0,3)+(0,3,-3)=(0,,),
=(-3,0,-3),则cos<,>===-.
设异面直线SC与OE所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=,θ为锐角,
则sin θ=,所以tan θ===.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图,在矩形AEFC中,AE=2,EF=4,B为EF的中点,现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折,使点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则(  )
A. AC⊥BP
B.三棱锥P-ABC的体积为;
C.直线PA与直线BC所成角的余弦值为;
D.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
解析:对于A,由题意可得BP⊥AP,BP⊥CP,又AP∩CP=P,AP,CP 平面PAC,
所以BP⊥平面PAC,又AC 平面PAC,故AC⊥BP,故A正确;
对于B,在△PAC中,PA=PC=2,AC边上的高为=2,
所以VP-ABC=VB-PAC=××4×2×2=,故B错误;
对于C,在△PAC中,cos∠APC==,BC==4,
cos<,>=====,
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为,故C正确;
对于D,S△PBC=PB·PC=2,设点A到平面PBC的距离为d,
由VB-PAC=VA-PBC,得×2d=,解得d=,
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为==,故D错误;故选AC.
10.三棱锥中,,则( )
A.三棱锥的体积为; B.三棱锥外接球的表面积为;
C.过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1;
D.当时,的最小值为.
答案:ACD
11.如图,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,则(  )
A. AF∶FD=2∶1 B. AF∶FD=1∶1
C.若PA=1,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D.若PA=1,则直线PE与平面ABCD所成的角为30°
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=a,
则B(1,0,0),C(1,1,0),E(,1,0),P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),0≤y≤1,
则=(-1,y,0),=(,1,-a),
∵BF⊥PE,∴·=0,即-+y=0,
解得y=,即点F的坐标为(0,,0),
∴F为AD的中点,∴AF∶FD=1∶1,B正确,A不正确.
若PA=1,则P(0,0,1),=(,1,-1),=(0,1,0),cos<,>==,故C正确. 若PA=1,则平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),
∴cos<,>==-,|cos<,>|≠cos 60°,故D不正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为    .
解析:因为=(1,1,-1),=(2,2,2),所以点A到直线BC的距离为=.
13.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,
∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为    .
解析:因为·=8×6×cos 60°=24,·=8×4×cos 135°=-16,设异面直线OA与BC的夹角为θ,则cos θ====.
14.已知空间向量是相互垂直的单位向量,若向量满足=2,则的最小值是    .
解析:分别以a,b为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),
则a=(1,0,0),b=(0,1,0),设c=(x,y,z),则x2+y2+z2=25,
又c·a=x=2,c·b=y=2,所以x=y=2,
所以z=±3,则c-ma+nb=(2-m,2+n,±3),
所以=,
所以当m=2,n=-2时,|c-ma+nb|取得最小值3.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,M为棱AB的中点,N是A1C的中点.
(1)证明:MN∥平面BCC1B1;
(2)求直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值.
解:(1)证明:连接CM,因为AC=BC=,M为棱AB的中点,
所以CM⊥AB. 过点M作ME∥A1A,交A1B1于E.
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以ME⊥平面ABC.
因为BM,CM 平面ABC,所以ME⊥BM,ME⊥CM.
故以M为坐标原点,MB,MC,ME所在直线分别为
x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
因为AB=AA1=2,所以BM=AM=1.
由勾股定理得CM==2,
所以A1(-1,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,2),M(0,0,0),N(-,1,1),所以=(-1,2,0),=(0,0,2),=(-,1,1).
设平面BCC1B1的法向量为m=(a,b,c),
所以
解得c=0,令b=1,则a=2,故m=(2,1,0),
所以·m=(-,1,1)·(2,1,0)=-1+1=0,
所以⊥m,又MN 平面BCC1B1,故MN∥平面BCC1B1.
(2)=(1,2,-2),=(1,0,2).
设平面B1MN的法向量为n=(x,y,z),则
令z=1,则x=-2,y=-2,故n=(-2,-2,1).设直线A1C与平面B1MN所成的角为θ,
则sin θ====,
故直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值为.
16.在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.
(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.
解:(1)证明:取AD的中点为O,连接QO,CO.
因为QA=QD,OA=OD,则QO⊥AD,
而AD=2,QA=,故QO==2.
在正方形ABCD中,因为AD=2,所以DO=1,
故CO=.因为QC=3,所以QC2=QO2+OC2,故△QOC为直角三角形且QO⊥OC.
又因为OC∩AD=O,OC与AD在平面ABCD内,所以QO⊥平面ABCD.
又QO 平面QAD,故平面QAD⊥平面ABCD.
(2)在平面ABCD内,过O作OT∥CD,交BC于T,则OT⊥AD,
结合(1)中的QO⊥平面ABCD,故可建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),
故=(-2,1,2),=(-2,2,0).设平面QBD的法向量n=(x,y,z),
则即取x=1,则y=1,z=,故可取n=(1,1,).
而平面QAD的一个法向量为m=(1,0,0),故cos<m,n>==. 由题意得,
二面角A-QD-C的平面角为直角,故二面角B-QD-A的平面角为锐角,故其余弦值为.
17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,
EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
[解](1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a(a>0),则A1(a,0,0),B1(0,0,0),
C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),
B(0,0,4),D(0,2,2),G(,1,0),
所以=(0,2,2),=(-a,0,0),
=(0,2,-2).所以·=0+0+0=0,·=0+4-4=0.
所以⊥,⊥,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,
AB与BD在平面ABD内,所以B1D⊥平面ABD.
(2)证明:由(1)可得=(-a,0,0),=(0,2,-2),
=(-,0,0),=(0,1,-1),所以=2,=2,所以∥,∥.所以GF∥AB,EF∥BD,又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.
(3)由(1)(2)知,是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到面ABD的距离就是两平面的距离,设为d.因为=(0,0,3),=(0,2,2),
所以d===,即两平面间的距离为.
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,点A,B,C,D在圆O上,AB=AD=2,∠BAD=120°,顶点P在底面上的射影为圆心O,点E在线段PD上.
(1)若AB∥CD,PE=λPD,当AE∥平面PBC时,求λ的值.
(2)若AB与CD不平行,四棱锥P-ABCD的体积为,
PO=,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
解:(1)过E作EF∥PC交线段DC于F,连接AF,如图.
∵EF∥PC,EF 平面PBC,PC 平面PBC,∴EF∥平面PBC,
又AE∥平面PBC,EF∩AE=E,EF,AE 平面AEF,
∴平面AEF∥平面PBC.
∵平面AEF∩平面ABCD=AF,平面PBC∩平面ABCD=BC,∴AF∥BC.
又AB∥CD,∴四边形ABCF是平行四边形,∴CF=AB=2,
又A,B,C,D四点共圆且∠BAD=120°,∴四边形ABCD为等腰梯形,∴CD=4,故CF=CD,从而PE=PD,λ=.
(2)由锥体的体积公式可得VP-ABCD=S·PO(S为四边形ABCD的面积),则S·=,解得S=3.连接BD,则S△ABD=×2×2×sin 120°=,∴S△BCD=S-S△ABD=2.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,则BD=2.
设△BCD的边BD上的高为h,则×2×h=2,解得h=2.
所以点C在与BD平行且到BD的距离为2的直线l上,如图所示,该直线与圆O有两个交点C1,C2,则点C的位置有C1,C2两种可能性.
设四边形ABCD的外接圆半径为R,根据正弦定理得2R==4,
∴R=2,∴点O到直线BD的距离与点O到直线l的距离相等,
∴DC1与BC2均为直径,∴DC1=BC2=4.
若点C位于C1处,则DA=AB=BC=2,此时AB∥CD,不满足题意,
∴点C只能在C2处,此时BC为圆O的直径.
以O为坐标原点,OB,OP所在直线分别为y轴、z轴,过O且垂直
于BC的直线为x轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则A(,1,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),P(0,0,),
∴=(,1,-),=(0,2,-),=(0,-2,-),
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,则z=,x=,∴平面PAB的一个法向量为n=(,1,).
设直线PC与平面PAB所成的角为θ,则sin θ===,
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
19.如图,正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.
(1)求证:AC⊥BF;
(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥
平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
[解] (1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF 平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.∵AC 平面ABCD,∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H(图略),则BH=1,AH=,CH=3,∴AC=2,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB.∵AB∩AF=A,AB,AF 平面FAB,∴AC⊥平面FAB.∵BF 平面FAB,
∴AC⊥BF.
(2)存在.理由如下:
由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,
,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(-1,,2).假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,
设=λ,0<λ<1,则P(,,).设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).
由=(,,),=(0,2,0),
得即取x=1,则z=,
所以m=(1,0,)为平面PAC的一个法向量.
同理,可求得n=(1,,1)为平面BCEF的一个法向量. 当m·n=0,即1+=0,
解得λ=时,平面PAC⊥平面BCEF,故存在满足题意的点P,此时=.2025年荆门市德艺高级中学高二下学期期末数学专题复习卷
------立体几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
下列说法中正确的个数是( )
①在空间直角坐标系中,已知点P(3,-2,-5),点Q与点P关于Ozx平面对称,则 点Q的坐标是(3,2,-5).
②已知向量,,且与互相垂直,则k的值是.
③设直线l的方向向量为=(-1,-1,1),平面α的法向量为=(2,2,4),则直线l与平面α的位置关系为l∥α.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,
则O点到平面ABC1D1的距离是(  )
A. B. C. D.
3.已知空间向量=(1,0,-1),=(-1,1,0),则向量在向量上的投影向量是(  )
A.( -,0,) B.( ,-,0) C.( 1,-1,0) D. (,-,0)
4.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为(  )
A. B.- C. D.-
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱AC的三等分点,且AC=3AE,F是棱B1C1的中点,若,则=(  )
A B. C. D.
6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的
正方形,侧棱AA1=2且∠A1AD=∠A1AB=60°,则AC1=(  )
A.2 B. C.2 D.
7.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,
M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为(  )
A.(1,1,1) B.(,,1)
C.(,,1) D.(,,1)
8.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(  )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图,在矩形AEFC中,AE=2,EF=4,B为EF的中点,现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折,使点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则(  )
A. AC⊥BP
B.三棱锥P-ABC的体积为;
C.直线PA与直线BC所成角的余弦值为;
D.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
10.三棱锥中,,则( )
A.三棱锥的体积为; B.三棱锥外接球的表面积为;
C.过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1;
D.当时,的最小值为.
11.如图,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,则(  )
A. AF∶FD=2∶1 B. AF∶FD=1∶1
C.若PA=1,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D.若PA=1,则直线PE与平面ABCD所成的角为30°
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为    .
13.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,
∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为    .
14.已知空间向量是相互垂直的单位向量,若向量满足
=2,则的最小值是    .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,M为棱AB的中点,N是A1C的中点.
(1)证明:MN∥平面BCC1B1;
(2)求直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值.
16.在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.
(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.
17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,
EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,点A,B,C,D在圆O上,AB=AD=2,∠BAD=120°,顶点P在底面上的射影为圆心O,点E在线段PD上.
(1)若AB∥CD,PE=λPD,当AE∥平面PBC时,求λ的值.
(2)若AB与CD不平行,四棱锥P-ABCD的体积为,
PO=,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
19.如图,正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.
(1)求证:AC⊥BF;
(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥
平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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