2025年荆门市德艺高级中学高二下学期期末数学专题复习卷
------立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
下列说法中正确的个数是（ ）
①在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，－5），点Q与点P关于Ozx平面对称，则 点Q的坐标是（3，2，－5）.
②已知向量，，且与互相垂直，则k的值是.
③设直线l的方向向量为＝(－1，－1，1)，平面α的法向量为＝(2，2，4)，则直线l与平面α的位置关系为l∥α.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，
则O点到平面ABC1D1的距离是（ ）
A. B. C. D.
解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1）.∵O为A1C1的中点，∴O（，，1），＝（，－，0）.设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z），又＝（－1，0，1），＝（0，1，0），则有即取n＝（1，0，1），∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. 答案：B
3．已知空间向量＝(1，0，－1)，＝(－1，1，0)，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.( －，0，) B.( ，－，0) C.( 1，－1，0) D. (，－，0)
解析：根据投影向量的公式，向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝·＝（，－，0）.故选D.
4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（ ）
A. B.－ C. D.－
解析：＝－x＋＝－x＋（－）＝－x＋，
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x＋＝1，解得x＝－.
5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是棱B1C1的中点，若，则＝（ ）
A B.
C. D.
解析] 如图，取BC的中点D，连接AD，AF，DF.
则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 因为＝＝b，
所以＝－＝a＋b＋c－b＝a＋b＋c. 故选D.
6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的
正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A.2 B. C.2 D.
[解析] （1）∵底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
则＝1，＝1，＝4，·＝0，·＝｜｜·｜｜·cos∠A1AB＝1，·＝｜｜·｜｜·cos∠A1AD＝1，则｜｜
＝｜＋＋｜＝
＝
＝＝.故选B.
7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，
M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（ ）
A.（1，1，1） B.（，，1）
C.（，，1） D.（，，1）
解析：设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），M（x，x，1），＝（x－，x－，1），
则即解得令b＝1，则n＝（1，1，）.
又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，
所以M（，，1）.故选C.
8．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
解析：由题意，分别以OD，OB，OS所在的直线为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，如图.
易知O（0，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），S（0，0，3）.
又SE＝SB，所以＝＋＝＋
＝（0，0，3）＋（0，3，－3）＝（0，，），
＝（－3，0，－3），则cos＜，＞＝＝＝－.
设异面直线SC与OE所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝，θ为锐角，
则sin θ＝，所以tan θ＝＝＝.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝4，B为EF的中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则（ ）
A. AC⊥BP
B.三棱锥P－ABC的体积为；
C.直线PA与直线BC所成角的余弦值为；
D.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
解析：对于A，由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，又AP∩CP＝P，AP，CP 平面PAC，
所以BP⊥平面PAC，又AC 平面PAC，故AC⊥BP，故A正确；
对于B，在△PAC中，PA＝PC＝2，AC边上的高为＝2，
所以VP－ABC＝VB－PAC＝××4×2×2＝，故B错误；
对于C，在△PAC中，cos∠APC＝＝，BC＝＝4，
cos＜，＞＝＝＝＝＝，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，S△PBC＝PB·PC＝2，设点A到平面PBC的距离为d，
由VB－PAC＝VA－PBC，得×2d＝，解得d＝，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为＝＝，故D错误；故选AC.
10．三棱锥中，，则（ ）
A．三棱锥的体积为； B．三棱锥外接球的表面积为；
C．过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1；
D．当时，的最小值为.
答案：ACD
11．如图，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，则（ ）
A. AF∶FD＝2∶1 B. AF∶FD＝1∶1
C.若PA＝1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D.若PA＝1，则直线PE与平面ABCD所成的角为30°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝a，
则B（1，0，0），C（1，1，0），E（，1，0），P（0，0，a）.
设点F的坐标为（0，y，0），0≤y≤1，
则＝（－1，y，0），＝（，1，－a），
∵BF⊥PE，∴·＝0，即－＋y＝0，
解得y＝，即点F的坐标为（0，，0），
∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1，B正确，A不正确.
若PA＝1，则P（0，0，1），＝（，1，－1），＝（0，1，0），cos＜，＞＝＝，故C正确. 若PA＝1，则平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），
∴cos＜，＞＝＝－，｜cos＜，＞｜≠cos 60°，故D不正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知A（2，1，0），B（1，0，1），C（3，2，3），则点A到直线BC的距离为 .
解析：因为＝（1，1，－1），＝（2，2，2），所以点A到直线BC的距离为＝.
13．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为 .
解析：因为·＝8×6×cos 60°＝24，·＝8×4×cos 135°＝－16，设异面直线OA与BC的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝.
14．已知空间向量是相互垂直的单位向量，若向量满足＝2，则的最小值是 .
解析：分别以a，b为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），
则a＝（1，0，0），b＝（0，1，0），设c＝（x，y，z），则x2＋y2＋z2＝25，
又c·a＝x＝2，c·b＝y＝2，所以x＝y＝2，
所以z＝±3，则c－ma＋nb＝（2－m，2＋n，±3），
所以＝，
所以当m＝2，n＝－2时，｜c－ma＋nb｜取得最小值3.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝，AB＝AA1＝2，M为棱AB的中点，N是A1C的中点.
（1）证明：MN∥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值.
解：（1）证明：连接CM，因为AC＝BC＝，M为棱AB的中点，
所以CM⊥AB. 过点M作ME∥A1A，交A1B1于E.
因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以ME⊥平面ABC.
因为BM，CM 平面ABC，所以ME⊥BM，ME⊥CM.
故以M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为
x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
因为AB＝AA1＝2，所以BM＝AM＝1.
由勾股定理得CM＝＝2，
所以A1（－1，0，2），B（1，0，0），C（0，2，0），B1（1，0，2），M（0，0，0），N（－，1，1），所以＝（－1，2，0），＝（0，0，2），＝（－，1，1）.
设平面BCC1B1的法向量为m＝（a，b，c），
所以
解得c＝0，令b＝1，则a＝2，故m＝（2，1，0），
所以·m＝（－，1，1）·（2，1，0）＝－1＋1＝0，
所以⊥m，又MN 平面BCC1B1，故MN∥平面BCC1B1.
（2）＝（1，2，－2），＝（1，0，2）.
设平面B1MN的法向量为n＝（x，y，z），则
令z＝1，则x＝－2，y＝－2，故n＝（－2，－2，1）.设直线A1C与平面B1MN所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝＝，
故直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值为.
16．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B－QD－A的平面角的余弦值.
解：（1）证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.
因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，
而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2.
在正方形ABCD中，因为AD＝2，所以DO＝1，
故CO＝.因为QC＝3，所以QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC.
又因为OC∩AD＝O，OC与AD在平面ABCD内，所以QO⊥平面ABCD.
又QO 平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.
（2）在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，
结合（1）中的QO⊥平面ABCD，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
则D（0，1，0），Q（0，0，2），B（2，－1，0），
故＝（－2，1，2），＝（－2，2，0）.设平面QBD的法向量n＝（x，y，z），
则即取x＝1，则y＝1，z＝，故可取n＝（1，1，）.
而平面QAD的一个法向量为m＝（1，0，0），故cos＜m，n＞＝＝. 由题意得，
二面角A－QD－C的平面角为直角，故二面角B－QD－A的平面角为锐角，故其余弦值为.
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，
EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
[解]（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB＝a（a＞0），则A1（a，0，0），B1（0，0，0），
C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），
B（0，0，4），D（0，2，2），G（，1，0），
所以＝（0，2，2），＝（－a，0，0），
＝（0，2，－2）.所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.
所以⊥，⊥，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，
AB与BD在平面ABD内，所以B1D⊥平面ABD.
（2）证明：由（1）可得＝（－a，0，0），＝（0，2，－2），
＝（－，0，0），＝（0，1，－1），所以＝2，＝2，所以∥，∥.所以GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD.
（3）由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.因为＝（0，0，3），＝（0，2，2），
所以d＝＝＝，即两平面间的距离为.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，点A，B，C，D在圆O上，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，顶点P在底面上的射影为圆心O，点E在线段PD上.
（1）若AB∥CD，PE＝λPD，当AE∥平面PBC时，求λ的值.
（2）若AB与CD不平行，四棱锥P－ABCD的体积为，
PO＝，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
解：（1）过E作EF∥PC交线段DC于F，连接AF，如图.
∵EF∥PC，EF 平面PBC，PC 平面PBC，∴EF∥平面PBC，
又AE∥平面PBC，EF∩AE＝E，EF，AE 平面AEF，
∴平面AEF∥平面PBC.
∵平面AEF∩平面ABCD＝AF，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴AF∥BC.
又AB∥CD，∴四边形ABCF是平行四边形，∴CF＝AB＝2，
又A，B，C，D四点共圆且∠BAD＝120°，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴CD＝4，故CF＝CD，从而PE＝PD，λ＝.
（2）由锥体的体积公式可得VP－ABCD＝S·PO（S为四边形ABCD的面积），则S·＝，解得S＝3.连接BD，则S△ABD＝×2×2×sin 120°＝，∴S△BCD＝S－S△ABD＝2.
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，则BD＝2.
设△BCD的边BD上的高为h，则×2×h＝2，解得h＝2.
所以点C在与BD平行且到BD的距离为2的直线l上，如图所示，该直线与圆O有两个交点C1，C2，则点C的位置有C1，C2两种可能性.
设四边形ABCD的外接圆半径为R，根据正弦定理得2R＝＝4，
∴R＝2，∴点O到直线BD的距离与点O到直线l的距离相等，
∴DC1与BC2均为直径，∴DC1＝BC2＝4.
若点C位于C1处，则DA＝AB＝BC＝2，此时AB∥CD，不满足题意，
∴点C只能在C2处，此时BC为圆O的直径.
以O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，过O且垂直
于BC的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则A（，1，0），B（0，2，0），C（0，－2，0），P（0，0，），
∴＝（，1，－），＝（0，2，－），＝（0，－2，－），
设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令y＝1，则z＝，x＝，∴平面PAB的一个法向量为n＝（，1，）.
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
19．如图，正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
（1）求证：AC⊥BF；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥
平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
[解] （1）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC 平面ABCD，∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝，CH＝3，∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF 平面FAB，
∴AC⊥BF.
（2）存在.理由如下：
由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，
，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（－1，，2）.假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，
设＝λ，0＜λ＜1，则P（，，）.设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）.
由＝（，，），＝（0，2，0），
得即取x＝1，则z＝，
所以m＝（1，0，）为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n＝（1，，1）为平面BCEF的一个法向量. 当m·n＝0，即1＋＝0，
解得λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时＝.2025年荆门市德艺高级中学高二下学期期末数学专题复习卷
------立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
下列说法中正确的个数是（ ）
①在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，－5），点Q与点P关于Ozx平面对称，则 点Q的坐标是（3，2，－5）.
②已知向量，，且与互相垂直，则k的值是.
③设直线l的方向向量为＝(－1，－1，1)，平面α的法向量为＝(2，2，4)，则直线l与平面α的位置关系为l∥α.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，
则O点到平面ABC1D1的距离是（ ）
A. B. C. D.
3．已知空间向量＝(1，0，－1)，＝(－1，1，0)，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.( －，0，) B.( ，－，0) C.( 1，－1，0) D. (，－，0)
4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（ ）
A. B.－ C. D.－
5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是棱B1C1的中点，若，则＝（ ）
A B. C. D.
6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的
正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（ ）
A.2 B. C.2 D.
7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，
M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（ ）
A.（1，1，1） B.（，，1）
C.（，，1） D.（，，1）
8．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝4，B为EF的中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则（ ）
A. AC⊥BP
B.三棱锥P－ABC的体积为；
C.直线PA与直线BC所成角的余弦值为；
D.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
10．三棱锥中，，则（ ）
A．三棱锥的体积为； B．三棱锥外接球的表面积为；
C．过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1；
D．当时，的最小值为.
11．如图，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，则（ ）
A. AF∶FD＝2∶1 B. AF∶FD＝1∶1
C.若PA＝1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D.若PA＝1，则直线PE与平面ABCD所成的角为30°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知A（2，1，0），B（1，0，1），C（3，2，3），则点A到直线BC的距离为 .
13．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为 .
14．已知空间向量是相互垂直的单位向量，若向量满足
＝2，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝，AB＝AA1＝2，M为棱AB的中点，N是A1C的中点.
（1）证明：MN∥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值.
16．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B－QD－A的平面角的余弦值.
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，
EF与B1D相交于点H.
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，点A，B，C，D在圆O上，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，顶点P在底面上的射影为圆心O，点E在线段PD上.
（1）若AB∥CD，PE＝λPD，当AE∥平面PBC时，求λ的值.
（2）若AB与CD不平行，四棱锥P－ABCD的体积为，
PO＝，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
19．如图，正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
（1）求证：AC⊥BF；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥
平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
