(共15张PPT)
第七章 复 数
章末总结
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知识体系构建
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高考热点追踪
A. －i B. i C. 0 D. 1
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，其对应的点位于第一象限，故选A.
A
A
1
2
3
4
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D
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3
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16
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
A. 1 B. 2
D. 5
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
A. －2＋4i B. －2－4i
C. 6＋2i D. 6－2i
解析：（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2
C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
A
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
C
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
A. 1 B. 5
C. 7 D. 25
D
B
1
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3
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5
6
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A. a＝1，b＝－3 B. a＝－1，b＝3
C. a＝－1，b＝－3 D. a＝1，b＝3
解析：（b＋i）i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3，故选B.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15. （2020·江苏卷）已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i）（2－i）的实部是 .
解析：z＝（1＋i）（2－i）＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.
4＋i
3
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16. （2013·上海卷）已知复数z1满足（z1－2）·（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复 数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.
解：（z1－2）（1＋i）＝1－i z1＝2－i，
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1z2＝（2－i）（a＋2i）
＝（2a＋2）＋（4－a）i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
1
2
3
4
5
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16第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
@研习任务一 复数的有关概念
走进 教材
[问题1] 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1.
[知识梳理]
复数的有关概念
把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 .全体复数构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集.
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中的a与b分别叫做复数z的 实部 与 虚部 .
温馨提示：
（1）i2＝－1.
（2）i和实数之间能进行加法、乘法运算.
（3）a，b∈R.
（4）两个虚数不能比较大小.
题型 调研
[典例1] （1）若复数2－bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（ A ）
A.2 B.
C.－ D.－2
（2）下列命题中，正确命题的个数是（ A ）
①复数－2i的实部为－2；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①复数－2i＝0－2i，所以实部是0，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
巧归纳
1.对于复数的实部、虚部，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.
2.虚数不能比较大小，但实数可以.若两个复数具有确定的大小关系（不含相等），则说明两个复数均为实数.
[练习题1] 下列选项中，正确的是（ C ）
A.两个复数可以比较大小
B.若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C.1＋i2＝0
D.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是3＋i
解析：复数不能比较大小，A错误；只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n，B错误；因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，C正确；3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故所得复数为3－3i，D错误.故选C.
@研习任务二 复数的分类
走进 教材
[问题2] 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？
提示：b＝0.
[问题3] 复数集C与实数集R之间有什么关系？
提示：从集合的观点，实数集是复数集的子集.
[知识梳理]
1.分类
复数
2.Venn图表示
温馨提示：
a＝0是复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件.
题型 调研
[典例2] （1）复数z＝（a＋1）＋（a2－3）i，若z＜0，则实数a的值是（ B ）
A. B.－
C.－1 D.1
解析：能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±，又z＜0，即a＋1＜0，所以a＜－1，故a＝－.
（2）当实数m取什么值时，复数z＝＋（m2－2m）i是①实数；②虚数；③纯虚数.
解：①当即m＝2时，复数z是实数.
②当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
③当即m＝－3时，复数z是纯虚数.
巧归纳
复数分类的关键
（1）对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足z＝a＋bi（a，b∈R）时应先转化形式.
（2）注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi（a，b∈R），则①若z为实数 b＝0，②若z为虚数 b≠0，③若z为纯虚数 a＝0，b≠0，④若z＝0 a＝0，且b＝0.
[练习题2] （1）已知复数z1＝k2－4＋（k2－5k＋6）i，z2＝3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R）.若z1＜z2，则k的值为（ C ）
A.2 B.3
C.2或3 D.不存在
解析：由z1＜z2，得解得k＝2或k＝3.故选C.
（2）已知复数z＝＋（x2－2x－15）i，则当实数x取什么值时，z是①实数？②虚数？③纯虚数？
解：①当x满足即x＝5时，z是实数.
②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数.
③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数.
@研习任务三 复数相等的充要条件
走进 教材
[问题4] 你能说出两个复数相等的条件么？
提示：两个复数相等的充要条件是它们对应的实部和虚部对应相等.
[知识梳理]
设a，b，c，d∈R，那么a＋bi与c＋di相等当且仅当 a＝c且b＝d .
题型 调研
[典例3] （2024·河北衡水检测）在复数集C＝{a＋bi｜a，b∈R}中的两个数2＋bi与a－3i相等，则实数a，b的值分别为（ B ）
A.2，3 B.2，－3
C.－2，3 D.－2，－3
解析：∵2＋bi＝a－3i，∴故选B.
巧归纳
应用复数相等的充要条件时，要注意：
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组.
（2）利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
[练习题3] 若关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
解：设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，a∈R，
所以
解得a＝11或－.
@课后提素养
1.若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋（a－2）i＝1＋i，则a＋b的值为（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由b＋（a－2）i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
2.若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为（ C ）
A.－1 B.±1 C.1 D.－2
解析：因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
3.（2024·河北唐山月考）设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则下列结论正确的是（ D ）
A.A∪B＝C
B.A＝B
C.A∩（綂CB）＝
D.（綂CA）∪（綂CB）＝C
解析：集合A，B，C的关系如下图，
由图可知，只有（綂CA）∪（綂CB）＝C正确.故选D.
4.已知＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝ 3 .
解析：因为x∈R，所以∈R，则由复数相等的充要条件，
得解得x＝3.
@课时作业（十八）
基础巩固
1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（ B ）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.故选B.
2.（多选）对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（ BC ）
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
解析：对于A，当b＝0时，a＋bi＝0为实数，故A错误；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i的平方为－1，故D错误.
3.若a，b∈R，且（1＋i）a＋（1－i）b＝2，则a，b的值分别为（ C ）
A.a＝1，b＝－1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1
4.（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ BD ）
A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
C.－1没有平方根
D.当m＝4时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数
解析：取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误； a∈R，a2＋1＞0恒成立，所以（a2＋1）i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确.故选BD.
5.（2024·山东荷泽期中）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R），若z1为纯虚数，则m＝ －2 ；若z1＝z2，则λ的取值范围为 [2，6] .
解析：若z1为纯虚数，则解得m＝－2.若z1＝z2，则∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，当sin θ＝－1时，λmax＝6，∴实数λ的取值范围为[2，6].
6.以i－的虚部为实部，以8i2＋i的实部为虚部的复数是 －8i .
7.已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝ .若z1＞z2，则a的取值集合为 {0} .
解析：由z1为纯虚数，得
∴a＝.由z1＞z2，得解得a＝0.
8.若实数x，y满足x＋yi＝－1＋（x－y）i（i是虚数单位），则xy＝ .
9.（2024·河南鹤壁高一月考）方程（2x2－3x－2）＋（x2－5x＋6）i＝0的实数解是x＝ 2 .
解析：由（2x2－3x－2）＋（x2－5x＋6）i＝0，得解得x＝2.
10.已知复数z＝＋（a2－5a－6）i（a∈R）.
（1）若复数z是实数，求实数a的值；
（2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
（3）复数z能不能是纯虚数？若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由.
解：（1）若复数z是实数，
则
即所以a＝6.
（2）若复数z是虚数，则
即所以实数a的取值范围为{a｜a≠±1且a≠6}.
（3）复数z不可能为纯虚数.理由如下：
若复数z是纯虚数，则
即
此时无解，故复数z不可能为纯虚数.
更上层楼
11.已知关于x的方程x2＋（m＋2i）x＋2＋2i＝0（m∈R）有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（ B ）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
解析：由题意，知n2＋（m＋2i）n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2ni＝－2－2i，所以解得所以z＝3－i.
12.已知i为虚数单位，复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ（θ∈R）相等，则θ的值为（ D ）
A. B.或
C.2kπ＋（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z）
解析：由复数相等的充要条件，知sin θ＝cos θ，解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
13.已知z＝sin A＋（ksin A＋cos A－1）i，A为△ABC的一个内角.若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围.
解：∵z总是虚数，∴ksin A＋cos A－1≠0恒成立，
∵A为△ABC的内角，∴A∈（0，π），
∴sin A≠0，∴k≠.
又＝＝tan，
其中A∈（0，π）.
∵当∈（0，）时，tan∈（0，＋∞），
∴的值域为（0，＋∞），
∴当k≤0时，≠k恒成立，
即当k≤0时，不论A为何值，ksin A＋cos A－1≠0恒成立，z总是虚数.
14.已知集合M＝{2，m2－2m＋（m2＋m－2）i}，N＝{－1，2，4i}，若M∪N＝N，求实数m的值.
解：因为M∪N＝N，所以M N，
所以m2－2m＋（m2＋m－2）i＝－1，
或m2－2m＋（m2＋m－2）i＝4i.
由复数相等的充要条件得，
或
解得m＝1或m＝2.
所以实数m的值是1或2.
探究发现·（重点班选做）
15.已知复数z1＝m＋（4－m2）i，m∈R，z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i，λ∈R，θ∈R，且z1＝z2，求λ的取值范围.
解：∵z1＝z2，∴
∴λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4－.
∵－1≤sin θ≤1，∴λ∈.
7.1.2 复数的几何意义
@研习任务一 复数与复平面内点的关系
走进 教材
[问题1] 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？
提示：因为任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对（a，b）是一一对应的.而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
[知识梳理]
1.复平面
通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集C和复平面内的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi（a，b为实数）一一对应复平面内的点（a，b）.
题型 调研
[典例1] （1）写出如图所示的复平面内各点所表示的复数（每个正方形的边长均为1）.
解：如题图所示，点A的坐标为（4，3），则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H对应的复数分别为
3－3i，－3＋2i，－2，5i，－5i.
（2）当实数m为何值时，复数（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i在复平面内的对应点：①位于第四象限；②位于x轴的负半轴上.
解：①由
得
∴－7＜m＜3.
②由
得
∴m＝4.
巧归纳
利用复数与点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据.
（2）列出方程：此类问题可建立关于复数的实部与虚部的方程或不等式，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
[练习题1] （1）在复平面内，复数 z＝sin 2＋icos 2对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：∵sin 2＞0，cos 2＜0，∴复数对应的点在第四象限，故选D.
（2）在复平面内，若复数－1－（a2－2a）i（i为虚数单位）对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，2）
B.（－∞，0）∪（2，＋∞）
C.[0，2]
D.（－∞，0]∪[2，＋∞）
解析：∵复数－1－（a2－2a）i在复平面内对应的点位于第二象限，
∴－（a2－2a）＞0，∴0＜a＜2，故选A.
@研习任务二 复数与复平面内向量的关系
走进 教材
[问题2] 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
提示：如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即
复数z＝a＋bi 平面向量
这是复数的另一种几何意义.
[知识梳理]
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi（a，b∈R），连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定.
温馨提示：
复数与平面向量一一对应
题型 调研
[典例2] （1）在复平面内，O为原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ C ）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
解析：由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），
所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0.
（2）在复平面内作出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.
解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，（－1，0），，则向量，，如图所示.在复平面内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上.
巧归纳
复数与平面向量的对应关系
（1）当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
[练习题2] （1）已知在复平面中，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（ B ）
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
解析：向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝（2，－3），＝（－3，2）.
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
（2）已知复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋（2c－6）i（c∈R），在复平面内对应的向量分别是，，，若·＜0，O为坐标原点，求c的取值范围.
解：由条件知，Z1（3，4），Z2（0，0），Z3（c，2c－6），
所以＝（－3，－4），＝（c－3，2c－10）.
又·＝－3（c－3）＋（－4）×（2c－10）＝49－11c＜0，
解得c＞，
所以c的取值范围是.
@研习任务三 复数的模与共轭复数
走进 教材
[问题3] 设＝（a，b），那么｜｜的值是什么？
提示：｜｜＝，我们称为复数a＋bi的模.
[知识梳理]
1.复数的模
（1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.
（2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模记为 ｜z｜或｜a＋bi｜ .
（3）公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.
如果b＝0，那么z＝a＋bi（a，b∈R）是一个实数a，它的模就等于｜a｜（a的绝对值）.
2.共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为 相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi（a，b∈R），那么＝ a－bi .
题型 调研
题型一 复数模的计算
[典例3] 已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（ A ）
A.2 B.2 C.4 D.
解析：由题意可得x＋xi＝2＋yi，
结合复数相等的充要条件可知
故｜x＋yi｜＝｜2＋2i｜＝＝2.
巧归纳
计算复数模的步骤
（1）确定复数的实部和虚部：首先，明确复数z＝a＋bi的实部a和虚部b.
（2）应用模的公式：将a和b代入模的公式｜z｜＝中.
（3）计算平方和：计算a2和b2，并将这两个值相加.
（4）开方：对上一步得到的和进行开方运算，得到的非负实数即为复数z的模.
[练习题3] 已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是（ D ）
A.z1＞z2 B.z1＜z2
C.｜z1｜＞｜z2｜ D.｜z1｜＜｜z2｜
解析：∵复数不能比较大小，∴A、B不正确；
又｜z1｜＝＝，
｜z2｜＝＝，
∴｜z1｜＜｜z2｜，故C不正确，D正确.
题型二 复数模的几何意义
[典例4] 设z∈C，且z在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
（1）｜z｜＝2；
（2）1≤｜z｜≤2.
解：（1）解法一：｜z｜＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，
这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
解法二：设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z｜＝2，得a2＋b2＝4，
故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.
（2）不等式1≤｜z｜≤2可以转化为不等式组
不等式｜z｜≤2的解集是圆｜z｜＝2及该圆内部所有点的集合.
不等式｜z｜≥1的解集是圆｜z｜＝1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
巧归纳
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是｜z｜表示点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.
[练习题4] （1）设复数z＝（x＋1）＋（x－3）i，x∈R，则｜z｜的最小值为（ C ）
A.1 B.2
C.2 D.4
解析：∵z＝（x＋1）＋（x－3）i，x∈R，
∴｜z｜＝
＝
＝
≥2（当x＝1时取等号）.
∴｜z｜的最小值为2.
（2）已知复数z1＝x2＋i，z2＝（x2＋a）i对于任意x∈R，均有｜z1｜＞｜z2｜成立，则实数a的取值范围是 （－1，］ .
解析：由｜z1｜＞｜z2｜，得x4＋x2＋1＞（x2＋a）2，则（1－2a）x2＋（1－a2）＞0对x∈R恒成立.
当1－2a＝0，即a＝时，不等式＞0成立.
当1－2a≠0，即a≠时，
当且仅当
解得－1＜a＜.
故实数a的取值范围为（－1，］.
题型三 共轭复数
[典例5] （2024·四川成都名校联盟高一期末）已知i为虚数单位，＝2－3i，则复数z的虚部为（ A ）
A.3 B.－3 C.3i D.－3i
解析：因为＝2－3i，所以z＝2＋3i，所以复数z的虚部为3.故选A.
巧归纳
共轭复数问题常常围绕定义，即实部相等虚部互为相反数，或者共轭复数的模相等展开题目.
[练习题5] （2024·山东泰安高一下期中）若复数z满足＝｜z｜＋3i，则z＝（ D ）
A.2＋3i B.1－2i
C.－3i D.－3i
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，｜z｜＝，所以a－bi＝＋3i，
所以解得
即z＝－3i.
@课后提素养
1.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则＝（ B ）
A.－＋2i B.－－2i
C.－＋3i D.－－3i
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），
则∴b＝2，∴z＝－＋2i，
∴＝－－2i，故选B.
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ C ）
A.4＋8i B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
3.当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由＜m＜1，得
∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
4.若复数z满足｜z｜2－｜z｜－2＝0，则复数z对应的点Z的轨迹是（ B ）
A.2个点 B.1个圆
C.2个圆 D.4个点
解析：由｜z｜2－｜z｜－2＝0，可得（｜z｜＋1）·（｜z｜－2）＝0，而｜z｜＋1＞0，所以｜z｜＝2，由复数模的几何意义可知，复数z对应的点到原点的距离等于2，即点Z的轨迹是1个圆.故选B.
@课时作业（十九）
基础巩固
1.复数z＝－sin 100°＋icos 100°在复平面内对应的点Z位于（ C ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是（ B ）
A.关于实轴对称
B.关于虚轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y＝x对称
解析：在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为（a，－b）和（－a，－b）关于虚轴对称.
3.已知复数z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ A ）
A.（－3，1） B.（－1，3）
C.（1，＋∞） D.（－∞，－3）
4.（多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ AC ）
A.｜z｜＝
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为－1＋2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解析：｜z｜＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选AC.
5.已知i为虚数单位，若（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是（ D ）
A.3，3 B.5，1
C.－1，－1 D.－1，1
6.将向量＝（，1）按逆时针方向旋转60°所对应的复数为（ B ）
A.－＋i B.2i
C.1＋i D.－1＋i
解析：设向量＝（，1）的方向与x轴正方向夹角为θ，tan θ＝＝，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°，又｜｜＝2，∴旋转后对应的复数为2i.故选B.
7.（多选）已知z1，z2为复数，则下列说法不正确的是（ BCD ）
A.若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B.若z1≠z2，则｜z1｜≠｜z2｜
C.若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D.若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
解析：因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋i｜，所以B项不正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，所以C项不正确；因为两个虚数之间不能比较大小，所以D项不正确.故选BCD.
8.若复数z＝（m2－9）＋（m2＋2m－3）i是纯虚数，其中m∈R，则｜z｜＝ 12 ，＝ －12i .
解析：由题意得所以m＝3，因此z＝12i，故｜z｜＝12，＝－12i.
9.已知i为虚数单位，复数z1＝1＋i，在复平面中将z1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝ －－i .
解析：z1＝1＋i在复平面内对应的点为A（1，），所以｜OA｜＝＝2，且OA与x轴正方向的夹角为60°，将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为60°＋165°－180°＝45°，所以对应的点为A'（－，－），所以z2＝－－i.
10.当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝（m2－4m）＋（m2－m－6）i对应的点满足下列条件？
（1）在第三象限；
（2）在虚轴上；
（3）在直线x－y＋3＝0上.
解：复数z＝（m2－4m）＋（m2－m－6）i在复平面内对应点的坐标为Z（m2－4m，m2－m－6）.
（1）由点Z在第三象限，得
解得所以0＜m＜3.
（2）由点Z在虚轴上，
得m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.
（3）点Z在直线x－y＋3＝0上，
则（m2－4m）－（m2－m－6）＋3＝0，
即－3m＋9＝0，所以m＝3.
更上层楼
11.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应点的集合是（ A ）
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析：由题意知，（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.
∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，
∴复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.
12.（多选）（2024·河北沧州重点高中高一期中联考）关于复数，下列说法错误的是（ ABC ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1或±i
B.复数6＋5i与－3＋4i在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为9＋i
C.若z是复数，则z2＋1＞0
D.若复数z满足1≤｜z｜＜，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
解析：对于A，取z＝＋i，则｜z｜＝1，故A错误；
对于B，＝（6，5），＝（－3，4），则＝－＝（－9，－1），对应的复数为－9－i，故B错误；
对于C，取z＝i，则i2＝－1，z2＋1＝0，故C错误；
对于D，设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则由1≤｜z｜＜可知，1≤x2＋y2＜2，
故复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D正确.故选ABC.
13.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y（O为原点，x，y∈R），则x＋y的值是 5 .
解析：由已知，得＝（－1，2），＝（1，－1），＝（3，－2），所以x＋y＝x（－1，2）＋y（1，－1）＝（－x＋y，2x－y）.由＝x＋y，可得解得所以x＋y＝5.
14.已知i为虚数单位，在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.
解：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点坐标为，
由平行四边形的性质知，该点也是BD的中点，
设D（x，y），则解得
即点D的坐标为（3，3），
∴点D对应的复数为3＋3i.
探究发现·（重点班选做）
15.（2024·山东枣庄三中高一月考）已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－2－i｜的取值范围为 [2，4] .
解析：｜z｜＝1表示z在复平面内对应的点是单位圆上的点，
｜z－2－i｜的几何意义表示单位圆上的点和点（2，）之间的距离，
所以｜z－2－i｜的取值范围由点（2，）到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，如图所示.
最大距离为＋1＝4，最小距离为－1＝2，
所以｜z－2－i｜的取值范围为[2，4].
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
@研习任务一 复数的加、减运算
走进 教材
[问题1] 复数加减法的运算跟多项式的加减法有何联系？
提示：从运算角度，复数加减法非常类似多项式的加减法里面的合并同类项，即实部相加减作为实部，虚部相加减作为虚部，而且复数的加减法也满足交换律和结合律.
[知识梳理]
1.运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则
（1）z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i；
（2）z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i.
2.加法的运算律
（1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.
题型 调研
[典例1] 计算：（1）（－1＋i）＋｜i｜＋（1＋i）；
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]；
（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）.
解：（1）原式＝（－1＋i）＋＋（1＋i）＝（－1＋i）＋1＋（1＋i）＝1＋2i.
（2）原式＝5i－（4＋i）＝－4＋4i.
（3）原式＝（a－2a）＋（b＋3b－3）i＝－a＋（4b－3）i.
巧归纳
几个复数相加减，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
[练习题1] （1）（2024·四川成都期末）设复数z满足z＋3－i＝－1＋i，则｜z｜＝（ B ）
A.5 B.2
C.4 D.5
解析：由题意知，z＝－1＋i－3＋i＝－4＋2i，∴｜z｜＝＝2，故选B.
（2）已知复数z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算：
①＋；②.
解：①＋＝（1－2i）＋（3＋4i）＝4＋2i.
②z1＋z2＝1＋2i＋3－4i＝4－2i，＝4＋2i.
@研习任务二 复数加、减运算的几何意义
走进 教材
[问题2] 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
提示：设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝（a，b），＝（c，d）.由平面向量的坐标运算法则，得＋＝（a＋c，b＋d）.
这说明两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如图），这就是复数加法的几何意义.
[知识梳理]
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 z1＋z2 对应，向量与复数 z1－z2 对应.
题型 调研
[典例2] 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
（2）平行四边形ABCD的面积.
解：（1）设O为坐标原点，∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，∴向量对应的复数为3－i，即＝（3，－1）.
设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜sin B＝××＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
巧归纳
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
[练习题2] 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：
（1）对应的复数；
（2）对应的复数；
（3）△AOB的面积.
解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋，于是＝－，
而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
（2）因为＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，
即对应的复数是5.
（3）因为＝＝－＝，＝＝，
所以·＝－，
而｜｜＝，｜｜＝，
所以××cos∠AOB＝－，
因此cos∠AOB＝－，
故sin∠AOB＝，
故S△AOB＝｜｜·｜｜sin∠AOB＝×××＝，即△AOB的面积为.
@研习任务三 复数加减法几何意义的综合应用
题型 调研
[典例3] （1）如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋i＋1｜的最小值是（ A ）
A.1 B. C.2 D.
解析：设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，且｜Z1Z2｜＝2，
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以｜ZZ3｜min＝1，
所以｜z＋i＋1｜min＝1.
（2）在复平面内，复数z满足｜z－1－i｜＝｜z＋2＋i｜其对应的动点Z的集合表示的图形是什么？
解：｜z－1－i｜＝｜z＋2＋i｜表示动点Z到点A（1，1），B（－2，－1）距离相等的点的集合，所以动点Z的集合表示的图形是线段AB的垂直平分线.
（3）已知复数z1＝3＋4i，复数z满足｜z－z1｜＝2，求｜z｜的最值.
解：设复数z在复平面内对应的点为Z，
∵｜z－z1｜＝2，∴｜z－（3＋4i）｜＝2，
∴动点Z的集合表示的图形是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.
∵｜z｜表示动点Z到原点（0，0）的距离，
∴｜z｜min＝5－2＝3，｜z｜max＝5＋2＝7.
巧归纳
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0在复平面内对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式.
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0在复平面内对应的点为圆心，r为半径的圆.
（3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
[练习题3] （1）（2024·浙江宁波六校高一期中）已知复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝1，若｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜，则｜z｜的最大值为（ B ）
A.2 B.3 C. D.1
解析：根据题意得｜z｜＝｜（z2－z）－z2｜≤｜z2－z｜＋｜z2｜＝｜z1－1｜＋1≤｜z1｜＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜＝2，此时｜z｜＝3，
所以｜z｜max＝3.故选B.
（2）若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋i＋z｜的取值范围是（ D ）
A.[1，3] B.[1，4]
C.[0，3] D.[0，4]
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内所对应的点为Z.可知点Z（a，b）的集合是以坐标原点为圆心，2为半径的圆.
｜1＋i＋z｜表示点Z（a，b）到点M（－1，－）的距离.
∵（－1，－）在｜z｜＝2表示的圆上，
∴所求距离最小是0，最大是直径4.故选D.
（3）设z1，z2∈C，已知｜z1｜＝｜z2｜＝1，｜z1＋z2｜＝，求｜z1－z2｜.
解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，（a＋c）2＋（b＋d）2＝2.
又由（a＋c）2＋（b＋d）2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.
∴｜z1－z2｜2＝（a－c）2＋（b－d）2＝a2＋c2＋b2＋d2－（2ac＋2bd）＝2，
∴｜z1－z2｜＝.
@课后提素养
1.已知复数z满足z－（1－i）＝2i，则z＝ （ A ）
A.1＋i B.－1－i
C.－1＋i D.1－i
解析：z＝2i＋（1－i）＝1＋i.
2.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（ B ）
A.5 B.1 C.0 D.－3
解析：因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，
所以a－b＝1.故选B.
3.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i（i为虚数单位）.在复平面内，z1－z2对应的点在（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.若复数z满足｜z｜－1－3i＝z，则z＝ 4－3i ，z－＝ －6i .
解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），依题意有－1－3i＝x＋yi，于是解得于是z＝4－3i，＝4＋3i.∴z－＝（4－3i）－（4＋3i）＝－6i.
@课时作业（二十）
基础巩固
1.｜（3＋2i）－（4－i）｜＝（ B ）
A. B.
C.2 D.－1＋3i
解析：原式＝｜－1＋3i｜＝＝.
2.设z1＝2＋bi（b∈R），z2＝a＋i（a∈R），当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（ D ）
A.1＋i B.2＋i
C.3 D.－2－i
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝（ B ）
A.－1＋2i B.－2－2i
C.1＋2i D.1－2i
解析：＝（－2，－1），＝（0，1），∴z1＝－2－i，z2＝i，∴z1－z2＝－2－2i.
4.（多选）下列命题是真命题的是（ AD ）
A.纯虚数z的共轭复数是－z
B.若z1－z2＝0，则z1＝
C.若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D.若z1－z2＝0，则z1与互为共轭复数
解析：根据共轭复数的定义，显然A是真命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝，当z1，z2是虚数时，z1≠，所以B是假命题；若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与互为共轭复数，所以D是真命题.
5.在复平面上，△ABC的顶点分别与复数1＋2i，6＋6i，－3＋7i对应，则△ABC是（ D ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：依题意，点A（1，2），B（6，6），C（－3，7），则｜AB｜＝，｜AC｜＝，｜BC｜＝，满足｜BC｜2＝｜AB｜2＋｜AC｜2.故选D.
6.已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝ 2 .
解析：z1＋z2＝（－2mi）＋（－m＋m2i）＝（－m）＋（m2－2m）i.
∵z1＋z2＞0，
∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
7.已知｜z｜＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝ ±2－2i .
8.设f（z）＝｜z｜，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝ 5 .
解析：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝5＋5i，∴f（z1－z2）＝f（5＋5i）＝｜5＋5i｜＝5.
9.已知复数z1＝1＋2i，复数z2满足z1－z2＝｜z1｜2＋8i，求z1＋z2－i的值.
解：因为z1＝1＋2i，所以｜z1｜2＝5.由题意，得z1－z2＝｜z1｜2＋8i，所以1＋2i－z2＝5＋8i，所以z2＝1＋2i－（5＋8i）＝－4－6i，所以z1＋z2－i＝1＋2i＋（－4－6i）－i＝－3－5i.
10.（2024·辽宁沈阳回民中学期中）已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0），＋z2∈R.
（1）求实数a的值；
（2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围.
解：（1）由题意得＝1－（10－a2）i，
所以＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i，
因为＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3.
（2）由（1）知，z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以A（0，1）为圆心，2为半径的圆，
易知｜z｜表示圆A上的点到坐标原点的距离，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜≤3.
故｜z｜的取值范围为[1，3].
更上层楼
11.若｜z－1｜＝｜z＋1｜，则复数z在复平面内对应的点在（ B ）
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
解析：设z在复平面内对应的点为Z，
∵｜z－1｜＝｜z＋1｜，∴点Z到（1，0）和（－1，0）的距离相等，即点Z在以（1，0）和（－1，0）为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上.
12.已知i为虚数单位，复数z满足1≤｜z＋1＋i｜≤，则｜z－1－i｜的最大值为（ D ）
A.2－1 B.2＋1
C.2 D.3
解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z＋1＋i｜＝｜（x＋1）＋（y＋1）i｜.因为1≤｜z＋1＋i｜≤，所以1≤（x＋1）2＋（y＋1）2≤2，所以（x，y）在如图所示的阴影区域.因为｜z－1－i｜＝｜z－（1＋i）｜表示z在复平面内对应的点Z到点（1，1）的距离，而点（1，1）到点（－1，－1）的距离为2，又大圆的半径为，所以｜z－1－i｜的最大值为3.故选D.
13.（多选）下面关于复数z＝2－i的说法中，正确的是（ ACD ）
A.｜z－｜＝2
B.复数2z＋在复平面内对应的点在第二象限
C.若z－2（x＋yi）（x，y∈R）是纯虚数，则x＝1且y≠－
D.若复数z＋（x2－3x）＋（y－1）i（x，y∈R）在复平面内对应的向量＝（0，3），则或
解析：因为z＝2－i，＝2＋i，则z－＝－2i，所以｜z－｜＝2，A正确；复数2z＋＝2（2－i）＋（2＋i）＝6－i在复平面内对应的点（6，－1）在第四象限，B错误；要使复数z－2（x＋yi）＝（2－2x）－（1＋2y）i是纯虚数，则2－2x＝0且1＋2y≠0，即x＝1且y≠－，C正确；由z＋（x2－3x）＋（y－1）i＝（x2－3x＋2）＋（y－2）i，得＝（x2－3x＋2，y－2）＝（0，3），所以解得或D正确.故选ACD.
14.已知集合M＝{z∈C｜｜z＋1｜＝1}，N＝{z∈C｜｜z＋i｜＝｜z－i｜}，则M∩N＝ {0，－2} .
解析：在复平面内，｜z＋1｜＝1的几何意义是复数z对应的点的集合是以点（－1，0）为圆心，1为半径的圆.｜z＋i｜＝｜z－i｜的几何意义是到点A（0，1）和点B（0，－1）距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是实轴.M∩N的几何意义是实轴与圆的公共点对应的复数，故z＝0或z＝－2，∴M∩N＝{0，－2}.
探究发现·（重点班选做）
15.已知｜z1｜＝1，｜z2｜＝，｜z1－z2｜＝2，则｜z1＋z2｜＝ 2 .
解析：设z1对应的向量为，z2对应的向量为，则z1－z2对应的向量为，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1＋z2对应的向量为，
∵｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
∴平行四边形OACB为矩形，
∴｜｜＝｜｜，
故｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜＝2.
16.已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－2i｜的取值范围为 [1，3] .
解析：｜z｜＝1表示z在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上.｜z－2i｜的几何意义表示单位圆上的点和点（0，2）之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为[1，3].
7.2.2 复数的乘、除运算
@研习任务一 复数乘法的运算法则和运算律
走进 教材
[问题1] 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示：复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
[问题2] 类比实数乘法的运算律，复数的乘法是否满足交换律、结合律？复数乘法对加法满足分配律么？
提示：复数的乘法满足交换律、结合律，对加法满足分配律.容易得到对于任意z1，z2，z3∈C，有
z1z2＝z2z1，
（z1z2）z3＝z1（z2z3），
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
[知识梳理]
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ （ac－bd）＋（ad＋bc）i .
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝ z2z1
结合律 （z1z2）z3＝ z1（z2z3）
乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝ z1z2＋z1z3
温馨提示：
（1）若z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝｜z｜2.
（2）复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.
（3）常用结论
①（a±bi）2＝a2±2abi－b2（a，b∈R）；
②（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）；
③（1±i）2＝±2i.
题型 调研
[典例1] 计算：（1－i）2·（－＋i）3.
解：原式＝－2i·［（－＋i）2·（－＋i）］＝－2i·［（－－i）（－＋i）］
＝－2i·1＝－2i.
巧归纳
复数乘法运算的技巧
（1）复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可.
（2）三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致.
（3）在进行复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算.例如（a±bi）2＝a2±2abi＋（bi）2，（a＋bi）（a－bi）＝a2－（bi）2等.
[练习题1] （1）（多选）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝，z1＋z2＝1＋i，则下列结论中正确的是（ AD ）
A.z1＋z2的共轭复数为1－i
B.（z1＋z2）10＝32
C.若z1＋z2是方程x2＋mx＋n＝0（m，n∈R）的根，则m＝1
D.｜z1－z2｜＝
解析：对于A，因为z1＋z2＝1＋i，所以z1＋z2的共轭复数为1－i，所以A正确；
对于B，因为z1＋z2＝1＋i，所以（z1＋z2）2＝（1＋i）2＝2i，所以（z1＋z2）10＝＝（2i）5＝32i5＝32i，所以B错误；
对于C，易知方程x2＋mx＋n＝0的根为1－i和1＋i，所以（1－i）＋（1＋i）＝－m，解得m＝－2，所以C错误；
对于D，设z1－z2＝a＋bi（a，b∈R），因为z1＋z2＝1＋i，所以z1＝＋i，z2＝＋i，因为｜z1｜＝｜z2｜＝，所以＋＝2，＋＝2，解得a2＋b2＝6，所以｜z1－z2｜＝，所以D正确.故选AD.
（2）已知（x＋i）（1－i）＝y，则实数x，y满足（ D ）
A.x＝－1，y＝1 B.x＝－1，y＝2
C.x＝1，y＝1 D.x＝1，y＝2
解析：由（x＋i）（1－i）＝y，得（x＋1）＋（1－x）i＝y.又因为x，y为实数，所以有解得
@研习任务二 复数除法的运算法则
走进 教材
[问题3] 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则.
提示：复数除法的法则是：（a＋bi）÷（c＋di）＝＋i（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
在进行复数除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式，再把分子与分母都乘上分母的共轭复数c－di，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”.
[知识梳理]
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的商（a＋bi）÷（c＋di）＝＋i（c＋di≠0）.
温馨提示：
（1）复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
（2）注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi（a，b∈R）的形式.
题型 调研
[典例2] （1）（2024·山东荷泽期末）若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为（ A ）
A.0 B.－1 C.1 D.2
解析：z＝＝＝＝＋i，因为复数z的实部与虚部相等，所以＝，解得a＝0.故选A.
（2）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（ C ）
A.2 B.0 C.－2 D.
解析：设＝b（其中b∈R），则a－i＝2b＋bi，故b＝－1，a＝2b＝－2.
（3）若z＝1＋i，求的模.
解：＝＝＝1－i，
所以的模为.
巧归纳
（1）根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.
（2）复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即实部与虚部完全分开的形式.
（3）设z1，z2都是复数，则｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，＝（z2≠0）.
[练习题2] （1）复数z＝在复平面内对应的点位于（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为z＝＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限.故选A.
（2）已知复数z＝，给出以下说法：①z的实部是；②z的虚部是；③z的共轭复数为＋i；④｜z｜＝.其中正确说法的个数是（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：z＝＝＝－i，则z的实部是，虚部是－，z的共轭复数为＋i，｜z｜＝＝，故①③④正确，②不正确.故选C.
（3）计算：＝ .
答案：＋i
@研习任务三 复数的乘方运算
题型 调研
[典例3] 计算：
（1）（2＋）－（）22；
（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）；
（3）＋－.
解：（1）原式＝（2＋）－
＝（2＋i）－＝2＋i－i11＝2＋i－i3
＝2＋i＋i＝2＋2i.
（2）原式＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i）
＝2（12－3i－4i＋i2）＋（28－4i－21i＋3i2）
＝2（11－7i）＋25（1－i）
＝47－39i.
（3）原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·－
＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
巧归纳
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，从而达到迅速简捷、少出错的效果.比如（1±i）2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i，＝b－ai，＝1等.
[练习题3] 计算：
（1）（1＋i）12＋（1－i）12；
（2）i＋i3＋i5＋…＋i33.
解：（1）（1＋i）12＋（1－i）12＝[（1＋i）2]6＋[（1－i）2]6＝（2i）6＋（－2i）6＝64i6＋64i6＝－64－64＝－128.
（2）i＋i3＋i5＋…＋i33＝＝i.
@研习任务四 复数范围内解方程
题型 调研
[典例4] （1）在复数范围内，方程z2－4z＋5＝0的根是 2±i .
解析：方法一：由z2－4z＋5＝0，
得（z－2）2＝－1，
所以z－2＝±i，即z＝2±i，
即方程的根为2±i.
方法二：因为Δ＝（－4）2－4×5＝－4＜0，
所以z＝＝2±i.
（2）在复数范围内因式分解：x4－1＝ .
答案：（x＋1）（x－1）（x＋i）（x－i）
解析：x4－1＝（x2＋1）（x2－1）
＝（x2－i2）（x2－1）
＝（x＋1）（x－1）（x＋i）（x－i）.
（3）已知实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根为4－i，那么p＝ －8 ，q＝ 17 .
解析：由题意可知，实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个虚根分别为4－i和4＋i，
由根与系数的关系，
得解得
巧归纳
1.关于复数范围内解方程
（1）配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根.
（2）公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ＜0时，x＝.
（3）根与系数的关系仍然成立.
2.关于复数范围内分解因式
在复数范围内分解因式，实质是因为产生了虚数根，所以在实数范围内分解的基础上，可以进一步分解，即需要先求出虚数根，再继续分解.
[练习题4] （1）在复数范围内分解因式3x2－2x＋1＝ 3（x－）（x－） .
解析：3x2－2x＋1＝3（x－）（x－）.
（2）已知m∈R，一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＋1＝0的一个根z是纯虚数，则｜z＋m｜＝ .
解析：由题意可设复数根z＝bi，b∈R且b≠0，
因为z是一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＋1＝0的复数根，
所以（bi）2－（2m－1）bi＋m2＋1＝0，
即（－b2＋1＋m2）－（2m－1）bi＝0，
所以
解得m＝，b2＝，b＝±，
所以z＝±i，z＋m＝±i，
所以｜z＋m｜＝＝.
@课后提素养
1.若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则＝（ D ）
A.－1＋i B.1＋i
C.－1－i D.1－i
2.（多选）（2024·江苏泰州月考）已知i为虚数单位，复数z＝，则以下说法为真命题的是（ AD ）
A.z的共轭复数为－
B.z的虚部为
C.｜z｜＝3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
解析：z＝＝＝＝＋，故＝－，故A正确；z的虚部为，故B错误；｜z｜＝＝≠3，故C错误；z在复平面内对应的点为（，），在第一象限，故D正确.故选AD.
3.若复数z满足方程i＝1－i，则z＝ －1＋i .
解析：由题意可得＝＝＝－i·（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i.
4.（2024·山东临沂蒙阴第一中学月考）已知复数z＝（m＋1）（m－2）＋（m－2）i（m∈R），其中i为虚数单位.
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝3，z是关于x的实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个复数根，求实数a，b的值.
解：（1）因为复数z＝（m＋1）（m－2）＋（m－2）i（m∈R）是纯虚数，
所以解得m＝－1.
（2）当m＝3时，z＝（m＋1）（m－2）＋（m－2）i＝4＋i.
因为z是关于x的实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个复数根，所以z的共轭复数＝4－i也是实系数方程x2＋ax＋b＝0的根，
所以（4＋i）＋（4－i）＝－a，（4＋i）（4－i）＝b，
解得a＝－8，b＝17.
@课时作业（二十一）
基础巩固
1.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝（ A ）
A.4＋2i B.2＋i
C.2＋2i D.3＋i
2.复数＝（ D ）
A.1＋i B.－1＋i
C.1－i D.－1－i
解析：＝＝＝－1－i.故选D.
3.若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ D ）
A.－2 B.－
C. D.2
4.若z＝2－i－（x∈R）且｜z｜＝1，则x取值的集合为（ C ）
A. B.
C.{3，7} D.{1，3}
解析：z＝2－i－＝＝，因为｜z｜＝1，所以＝1，即＝1，可得（5－x）2＋1＝5，解得x＝3或7.故选C.
5.已知z是纯虚数，是实数，则z＝（ D ）
A.2i B.i
C.－i D.－2i
6.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（ C ）
A.4 B.5
C.6 D.8
解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），
则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，
得
当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，解得a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，解得｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍），即b＝±（－2）.
综上，原方程在复数集内共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i.故选C.
7.已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋i，则复数＝（ A ）
A.－1＋i B.－1－i
C.1＋i D.1－i
解析：∵＝1＋i，∴z＝＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，∴＝－1＋i.故选A.
8.（多选）若复数z满足（1＋i）z＝3＋i（其中i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ABD ）
A.｜z｜＝
B.复数z的实部是2
C.复数z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点位于第一象限
解析：∵（1＋i）z＝3＋i，∴z＝＝＝＝2－i，∴｜z｜＝，故A正确；复数z的实部是2，故B正确；复数z的虚部是－1，故C错误；复数＝2＋i在复平面内对应的点为（2，1），位于第一象限，故D正确.故选ABD.
9.复数＝ －2i .
解析：＝＝＝＝－2i.
10.计算：（1）；
（2）＋；
（3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）.
解：（1）＝
＝－（＋i）3
＝－[（）3＋3×（）2i＋3i2＋i3]
＝－2i.
（2）＋＝＋
＝i（1＋i）＋
＝－1＋i＋（－i）1 010
＝－1＋i－1＝－2＋i.
（3）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
更上层楼
11.已知i是虚数单位，则化简的结果为（ D ）
A.i B.－i
C.－1 D.1
解析：因为＝＝＝i，所以＝i2 024＝1.故选D.
12.（多选）已知复数z满足·z＋2＝3＋ai，a∈R，则实数a的值可能是（ ABC ）
A.1 B.－4 C.0 D.5
解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi，
∴x2＋y2＋2i（x－yi）＝3＋ai，
∴ y2＋2y＋－3＝0，
∴Δ＝4－4（－3）≥0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的值可能是1，－4，0.故选ABC.
13.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝ 1 ，b＝ － .
解析：由题意得，－i是该方程的另一个根，由韦达定理得，＋＝－，＝，解得
14.设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝ 4 .
探究发现·（重点班选做）
15.已知复数z＝（m∈R，i是虚数单位）.
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）设是z的共轭复数，复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
解：z＝＝3－2m－（3＋2m）i.
（1）因为z为纯虚数，所以解得m＝.
（2）因为是z的共轭复数，
所以＝3－2m＋（3＋2m）i，
所以－2z＝2m－3＋（9＋6m）i.
因为复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以解得－＜m＜.
所以实数m的取值范围是.
7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
@研习任务一 复数的三角表示式
走进 教材
[问题1] 如图，复数z＝a＋bi与向量＝（a，b）一一对应，复数z由向量的坐标（a，b）唯一确定，我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
提示：向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由题图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画的方向.
[知识梳理]
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r（cos θ＋isin θ） 的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r（cos θ＋isin θ）叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， a＋bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
2.辐角的主值
规定在 0≤θ＜2π 范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
温馨提示：
零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
题型 调研
[典例1] （1）下列复数是复数三角形式表示的是（ D ）
A.（cos－isin）
B.－（cos＋isin）
C.（sin－icos）
D.cos＋isin
解析：选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0；选项C，不是cos＋isin的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D.
（2）复数2＋2i的三角形式为 4（cos＋isin） .
解析：设复数的辐角主值为θ，则tan θ＝＝.
∴θ＝，又∵r＝＝4，
∴复数2＋2i的三角形式为4（cos＋isin）.
巧归纳
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出其三角形式.
[练习题1] 请将下列复数表示成三角形式（辐角取主值）.
（1）1＋i；（2）－i.
解：（1）r＝＝，cos θ＝＝.
∵1＋i对应的点在第一象限，
∴arg（1＋i）＝.
∴1＋i＝.
（2）r＝＝1，cos θ＝.
∵－i对应的点在第四象限，
∴arg＝.
∴－i＝cos＋isin.
[典例2] 把下列复数表示成代数形式.
（1）z1＝3；
（2）z2＝；
（3）z3＝2.
解：（1）z1＝3cos＋i＝＋i.
（2）z2＝cos＋i＝－－i.
（3）z3＝2cos－i＝－＋i.
巧归纳
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
[练习题2] 将下列复数表示成代数形式.
（1）2；
（2）.
解：（1）2＝2i.
（2）＝＝－＋i.
@研习任务二 复数三角形式的乘法法则与几何意义
走进 教材
[问题2] 如果把复数z1，z2分别写成三角形式z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？
提示：根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝r1r2（cos θ1＋isin θ1）（cos θ2＋isin θ2）＝r1r2[（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）＋i（sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2）]＝r1r2·[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，
即r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].
[知识梳理]
复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 积 ，积的辐角等于各复数的辐角的 和 .
r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝ r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）] .
题型 调研
[典例3] 已知复数z1＝2（cos＋isin），z2＝（cos＋isin），求z1z2.
解：z1z2＝2（cos＋isin）×（cos＋isin）＝2×［cos（＋）＋isin（＋）］＝（cos＋isin）＝－＋i.
巧归纳
涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围.
[练习题3] 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值.
解：∵z1＝4＋4i＝4（cos＋isin），
z2＝－1－i＝（cos＋isin），
∴θ1＝，θ2＝，
∴θ1＋θ2＝.
@研习任务三 复数三角形式的除法法则与几何意义
4 走进 教材
[问题3] 根据复数除法定义，两复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1）和z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）（z1≠0）相除的结果是什么呢？
提示：＝
＝
＝[（cos θ1cos θ2＋sin θ1sin θ2）＋i（sin θ1cos θ2－cos θ1sin θ2）]
＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）].
[知识梳理]
1.两复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 商 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 差 .
2.复数除法的几何意义
两个复数z1，z2相除时，先画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角 θ2 （如果θ2＜0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的 ，所得向量就表示复数z1，z2的商（如图）.
温馨提示：
（1）复数三角形式的除法法则成立的前提是两个复数都是三角形式，如果不是三角形式，要先化成三角形式，再运算.
（2）两个复数三角形式除法的法则可简记为“模数相除，辐角相减”.
题型 调研
[典例4] 计算：.
解：
＝
＝2（cos＋isin）
＝1＋i.
巧归纳
在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数代数形式化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.
[练习题4] 计算：2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］.
解：原式＝2［cos（－）＋isin（－）］÷［（cos＋isin）］
＝2［cos（－－）＋isin（－－）］
＝2［cos（－）＋isin（－）］
＝－2i.
@课后提素养
1.复数－3i的辐角主值为（ B ）
A.－
B.
C.－＋2kπ（k∈Z）
D.＋2kπ（k∈Z）
2.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（ B ）
A.z＝（sin 45°＋icos 45°）
B.z＝（cos 45°＋isin 45°）
C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]
D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]
解析：依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B.
3.已知i为虚数单位，z1＝（cos 60°＋isin 60°），z2＝2（sin 30°－icos 30°），则z1z2＝（ D ）
A.4（cos 90°＋isin 90°）
B.4（cos 30°＋isin 30°）
C.4（cos 30°－isin 30°）
D.4（cos 0°＋isin 0°）
解析：∵z2＝2（sin 30°－icos 30°）＝2（cos 300°＋isin 300°），
∴z1z2＝（cos 60°＋isin 60°）·2（cos 300°＋isin 300°）＝4（cos 360°＋isin 360°）＝4（cos 0°＋isin 0°）.故选D.
4.计算＝（ D ）
A. B.
C. D.
解析：
＝
＝.故选D.
@课时作业（二十二）
基础巩固
1.若a＜0，则a的三角形式为（ C ）
A.a（cos 0＋isin 0）
B.a（cos π＋isin π）
C.－a（cos π＋isin π）
D.－a（cos π－isin π）
解析：因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C.
2.（多选）复数z＝－i的三角形式可以是（ CD ）
A.2
B.2
C.2
D.2
解析：∵r＝＝2，
cos θ＝，sin θ＝－，
∴θ可取或－.
3.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是 （ B ）
A.sin 30°＋icos 30°
B.cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30°
D.sin 160°＋icos 160°
解析：（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）
＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）
＝cos 160°＋isin 160°.故选B.
4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ A ）
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
解析：i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转，得到＝cos＋isin＝＋i.
5.如果θ∈（，π），那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值是（ B ）
A.θ＋ B.θ＋
C.θ－ D.θ＋
解析：（1＋i）（cos θ＋isin θ）
＝（cos＋isin）（cos θ＋isin θ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，
∵θ∈（，π），∴θ＋∈（，），
∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.
6.复数z＝－1＋的辐角的主值为 .
解析：因为＝i，所以＝i2 021＝i，所以复数z＝－1＋i＝，所以复数z的辐角的主值为.
7.2（cos 15°＋isin 15°）×5＝ 5＋5i （用代数形式表示）.
解析：2（cos 15°＋isin 15°）×5＝2（cos 15°＋isin 15°）×5（cos 30°＋isin 30°）＝10[cos（15°＋30°）＋isin（15°＋30°）]＝10（cos 45°＋isin 45°）＝10＝5＋5i.
8.复数cos＋isin的辐角主值是 .
解析：原式＝cos（2π＋）＋isin（2π＋）＝cos＋isin，故其辐角主值为.
9.复数的代数形式与三角形式互化：
（1）－1＋i；
（2）2.
解：（1）r＝｜－1＋i｜＝2，
arg（－1＋i）＝，
所以－1＋i＝2.
（2）2＝2＝－＋i.
10.设复数z＝（1－i）5，求z的模和辐角的主值.
解：∵z＝（1－i）5＝25
＝32
＝32
＝32，
∴复数z的模为32，辐角的主值为.
更上层楼
11.（多选）下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是（ AB ）
A.－ B. C.－ D.
解析：依题意得，r＝＝6，cos θ＝＝，复数3－3i对应的点在第四象限，所以arg（3－3i）＝，
所以2kπ＋（k∈Z）都可以作为复数3－3i的辐角.故选AB.
12.复数z＝1－cos θ＋isin θ（π＜θ＜2π）的辐角的主值为（ C ）
A.－ B.
C.－ D.－
解析：z＝1－cos θ＋isin θ
＝2sin2＋2isincos
＝2sin
＝2sin，
∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，sin＞0，
∴－＜－＜0.
∵辐角的主值的取值范围为[0，2π），
∴复数z的辐角的主值为－.
13.（多选）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（ CD ）
A.＋i B.＋i
C.＋i D.＋i
解析：因为对应的复数为（3＋2i）－（2＋i）＝1＋i，则对应的复数为（1＋i）·（cos 60°＋isin 60°）＝＋i或（1＋i）[cos（－60°）＋isin（－60°）]＝＋i，所以＝＋对应的复数为2＋i＋＋i或者2＋i＋＋i，即＋i或＋i.故选CD.
14.设z＝1＋i，则复数的代数形式为 1－i ，三角形式是 （cos＋isin） .
解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝（cos＋isin）.
探究发现·（重点班选做）
15.（多选）已知复数z对应的向量为，复数z1＝（－1－i）z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是（ AD ）
A.将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B.将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C.将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D.将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
解析：因为z1＝（－1－i）z＝2z＝2z，z2＝z＝z＝z.故选AD.
16.在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O为原点）.已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3.
解：根据题意画出草图，如图所示.
由复数运算的几何意义知，z1＝·z2·＝（1＋i）·＝＋i，
z3＝·z2
＝（1＋i）·
＝＋i.
章末总结
@知识体系构建
@高考热点追踪
1.（2023·新高考Ⅰ卷）已知z＝，则z－＝（ A ）
A.－i B.i C.0 D.1
解析：z＝＝＝＝－i，z－＝－i－i＝－i，故选A.
2.（2023·新高考Ⅱ卷）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，其对应的点位于第一象限，故选A.
3.（2023·北京卷）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（ D ）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
解析：z在复平面内对应的点是（－1，），根据复数的几何意义，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.故选D.
4.（2023·全国甲卷，理）若复数（a＋i）（1－ai）＝2，a∈R，则a＝（ C ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析：因为（a＋i）（1－ai）＝a－a2i＋i＋a＝2a＋（1－a2）i＝2，所以解得a＝1.故选C.
5.（2023·全国乙卷，文）｜2＋i2＋2i3｜＝（ C ）
A.1 B.2
C. D.5
解析：由题意可得2＋i2＋2i3＝2－1－2i＝1－2i，则｜2＋i2＋2i3｜＝｜1－2i｜＝＝.故选C.
6.（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，则z＋＝（ D ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：因为i（1－z）＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.
7.（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝（ D ）
A.－2＋4i B.－2－4i
C.6＋2i D.6－2i
解析：（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
8.（2022·全国乙卷，理）已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（ A ）
A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2
C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2
解析：由题意知，＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A.
9.（2022·全国甲卷，理）若z＝－1＋i，则＝（ C ）
A.－1＋i B.－1－i
C.－＋i D.－－i
解析：＝
＝＝－＋i，故选C.
10.（2022·全国甲卷，文）若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（ D ）
A.4 B.4
C.2 D.2
解析：因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D.
11.（2022·北京卷）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（ B ）
A.1 B.5
C.7 D.25
解析：依题意可得，z＝＝＝－4－3i，所以｜z｜＝＝5，故选B.
12.（2022·浙江卷）已知a，b∈R，a＋3i＝（b＋i）i（i为虚数单位），则（ B ）
A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3
C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
解析：（b＋i）i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3，故选B.
13.（2023·天津卷）已知i是虚数单位，化简的结果为 4＋i .
解析：由题意可得＝＝＝4＋i.
14.（2023·上海卷）已知复数z＝1＋i，则｜1－i·z｜＝ .
解析：∵z＝1＋i，∴1－i·z＝1－i（1＋i）＝1－i＋1＝2－i，∴｜1－i·z｜＝｜2－i｜＝.
15.（2020·江苏卷）已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i）（2－i）的实部是 3 .
解析：z＝（1＋i）（2－i）＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.
16.（2013·上海卷）已知复数z1满足（z1－2）·（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.
解：（z1－2）（1＋i）＝1－i z1＝2－i，
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1z2＝（2－i）（a＋2i）
＝（2a＋2）＋（4－a）i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
综合微评（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.的虚部为（ C ）
A.－i B.i
C. D.－
解析：＝＝＝＝－1＋i，故其虚部为.
2.设复数z满足（z－2i）（2－i）＝5，则z＝（ A ）
A.2＋3i B.2－3i
C.3＋2i D.3－2i
解析：由题知，（z－2i）（2－i）＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
3.已知点A（2，－1），B（1，2），O（0，0），复数z1，z2在复平面内对应的向量分别是，，O为坐标原点，则复数z1z2＝（ C ）
A.3i B.3＋4i
C.4＋3i D.4－3i
解析：由题意可知，z1＝2－i，z2＝1＋2i，∴z1z2＝（2－i）（1＋2i）＝2＋4i－i＋2＝4＋3i.
4.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ D ）
A.5－4i B.5＋4i
C.3－4i D.3＋4i
解析：根据已知得a＝2，b＝1，
所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i.
5.中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＋1＝0，它的两个虚数根分别为（ B ）
A. B.
C. D.
解析：∵x3＋1＝0，∴（x＋1）（x2－x＋1）＝0，得x＝－1或x2－x＋1＝0.由x2－x＋1＝0，解得x＝.
6.已知z1＝，z2＝，则｜z2｜的值是（ C ）
A. B.
C. D.
解析：｜z2｜＝，｜z1｜＝＝，
所以｜z2｜＝，故选C.
7.定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为（ D ）
A.1－3i B.1＋3i C.3＋i D.3－i
解析：∵＝zi＋z＝z（1＋i）＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
8.已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2－i）·z1＝i＋i2＋i3＋…＋i2 023（i是虚数单位），则复数z2的虚部为（ C ）
A.－ B.i
C. D.－i
解析：∵in（n∈N＋）的取值呈现周期性，周期为4，且i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴（2－i）·z1＝i＋i2＋i3＋…＋i2 022＋i2 023＝－1，∴z1＝＝＝－－i，∴z2＝－＋i，则z2的虚部为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数z满足（1－i）z＝2i2 022，为z的共轭复数，则（ BCD ）
A.z＋＝2
B.z＝2
C.为纯虚数
D.为方程x2＋2x＋2＝0的一个根
解析：i2 022＝i505×4＋2＝（i4）505i2＝－1，则z＝＝＝－1－i，则z＋＝－2，A错误；
z＝｜z｜2＝（－1）2＋（－1）2＝2，B正确；
＝＝＝－i，C正确；
解方程x2＋2x＋2＝0，可得x＝－1±i，而＝－1＋i，D正确.
10.已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ BC ）
A.（1－i）（1＋i） B.
C. D.（1－i）2
解析：根据题意，M＝{m｜m＝in，n∈N}中，
当n＝4k（k∈N）时，in＝1；
当n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；
当n＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1；
当n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i.
∴M＝{－1，1，i，－i}.
选项A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，（1－i）2＝－2i M.故选BC.
11.已知复数z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ（－＜θ＜）（其中i为虚数单位），则（ BC ）
A.复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限
B.z可能为实数
C.｜z｜＝2cos θ
D.的实部为－
解析：z＝1＋cos 2θ＋isin 2θ＝2cos θ·（cos θ＋isin θ），
∵－＜θ＜，∴cos θ＞0，sin θ∈（－1，1），则复数z在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故A错误.
当sin 2θ＝0，即θ＝0∈时，复数z是实数，故B正确.
｜z｜＝＝＝
2cos θ，故C正确.
＝
＝
＝，
则的实部是＝，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为 －1－7i .
解析：方法一：由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋，则可得对应的复数为1＋7i，所以对应的复数为－1－7i.
方法二：如图，把向量平移到向量的位置，可得＝＝－（＋），则可得对应的复数为－1－7i.
13.已知｜z｜＝1，k∈R且z是复数，当的最大值为3时，k＝ ±1 .
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为｜z｜＝1，
所以｜z｜2＝1，z·＝1，
所以＝
＝，
因为z＋＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R，
所以＝＝·＝，
因为｜z｜＝＝1，所以a∈，
所以＝＋2＝3，
解得k＝±1.
14.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（3，4），若z是关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，则3p＋q的值为 7 .
解析：∵复数z对应的点的坐标为（3，4），则z＝3＋4i.
∵z是关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，
∴也是关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，
∴解得
∴3p＋q＝7.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在①z2＝－7－24i，②＝（｜z｜－1）＋5i，③z＋是实数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知z是虚数，且 ，求｜z｜.
注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分.
解：若选择①，设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi＝－7－24i，
由解得或
∴z＝－3＋4i或z＝3－4i，则｜z｜＝5.
若选择②，设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则
＝a－bi＝（｜z｜－1）＋5i＝（－1）＋5i，
由解得
∴z＝12－5i，则｜z｜＝13.
若选择③，设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则＝＝，∵z＋＝a＋bi＋＝a＋＋i是实数，则b－＝0，又b≠0，∴a2＋b2＝1，则｜z｜＝1.
16.（本小题满分15分）已知虚数z满足｜z｜＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R，y≠0），
由题意可得x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝（x＋yi）2＋2（x＋yi）＋＝（x2－y2＋3x）＋y（2x＋1）i.
∵y≠0，z2＋2z＋＜0，
∴
又x2＋y2＝1，③
由①②③得
∴z＝－±i.
17.（本小题满分15分）已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i（i为虚数单位）.
（1）求复数z2；
（2）若复数z3＝（3－z2）[（m2－2m－3）＋（m－1）i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
解：（1）∵z1z2＝－5＋5i，
∴z2＝＝＝3－i.
（2）z3＝（3－z2）[（m2－2m－3）＋（m－1）i]
＝i[（m2－2m－3）＋（m－1）i]
＝－（m－1）＋（m2－2m－3）i，
∵z3在复平面内所对应的点在第四象限，
∴解得－1＜m＜1，
故实数m的取值范围是（－1，1）.
18.（本小题满分17分）已知复数z1＝2＋i，2z2＝.
（1）求z2；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求｜u＋z2｜的取值范围.
解：（1）z2＝·＝·＝＝＝－i.
（2）在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列，
∴2B＝A＋C＝180°－B，
∴3B＝180°，即B＝60°，A＋C＝120°.
∵u＋z2＝cos A＋2icos2－i
＝cos A＋i（2cos2－1）＝cos A＋icos C，
∴｜u＋z2｜2＝cos2A＋cos2C＝＋
＝1＋（cos 2A＋cos 2C）＝1＋cos（A＋C）·cos（A－C）
＝1＋cos 120°cos（A－C）＝1－cos（A－C）.
∵－120°＜A－C＜120°，
∴－＜cos（A－C）≤1，
∴≤1－cos（A－C）＜，
∴≤＜，即≤｜u＋z2｜＜.
19.（本小题满分17分）已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
（2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根.
解：（1）原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，
设方程的实数根为x0，
则即
又θ是锐角，故θ＝.
（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，
则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，
即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，
可得－b2＋b－2＝0，此方程无实根，
与假设矛盾，所以方程无纯虚数根.
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第七章 复 数
综合微评（二）
C
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A. 2＋3i B. 2－3i
C. 3＋2i D. 3－2i
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A. 3i B. 3＋4i
C. 4＋3i D. 4－3i
解析：由题意可知，z1＝2－i，z2＝1＋2i，∴z1z2＝（2－i）（1＋2i）＝2＋4i－i＋2 ＝4＋3i.
C
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A. 5－4i B. 5＋4i
C. 3－4i D. 3＋4i
解析：根据已知得a＝2，b＝1，
所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i.
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A. 1－3i B. 1＋3i C. 3＋i D. 3－i
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A. （1－i）（1＋i）
D. （1－i）2
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A. 复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限
B. z可能为实数
C. ｜z｜＝2 cos θ
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解得k＝±1.
±1
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14. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（3，4），若z是关于x的实系数一元二次 方程x2＋px＋q＝0的一个根，则3p＋q的值为 .
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又x2＋y2＝1，③
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17. （本小题满分15分）已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i（i为虚数单位）.
（1）求复数z2；
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（2）若复数z3＝（3－z2）[（m2－2m－3）＋（m－1）i]在复平面内所对应的点在 第四象限，求实数m的取值范围.
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（1）求z2；
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19. （本小题满分17分）已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
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解：（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，
则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，
即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，
可得－b2＋b－2＝0，此方程无实根，
与假设矛盾，所以方程无纯虚数根.
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