(共23张PPT)
第十章 概 率
章末总结
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知识体系构建
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高考热点追踪
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ABD
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1－α） （1－β）2
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1－β）2
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1－β）2＋（1－β）3
D. 当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输 方案译码为0的概率
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解析：对于A项，采用单次传输方案，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率 为（1－β）（1－α）（1－β）＝（1－α）（1－β）2，所以A项正确.
对于B项，采用三次传输方案，发送1，则依次收到1，0，1的概率为（1－β）·β·（1 －β）＝β（1－β）2，所以B项正确.
对于C项，采用三次传输方案，发送1，则依次收到1，1，1（即译码为1）的概率为 （1－β）·（1－β）·（1－β）＝（1－β）3；发送1，依次收到1，0，1（即译码为 1），0，1，1（即译码为1），1，1，0（即译码为1）的概率为3（1－β）β（1－β） ＝3（1－β）2β，于是译码为1的概率为（1－β）3＋3（1－β）2β，所以C项错误.
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A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
D
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解析：设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p甲，第二盘与乙比赛连胜两盘 的概率为p乙，第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为p丙，由题意可知，p甲＝2p1[p2（1 －p3）＋p3（1－p2）]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，p乙＝2p2[p1（1－p3）＋p3（1－ p1）]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，p丙＝2p3[p1（1－p2）＋p2（1－p1）]＝2p1p3＋ 2p2p3－4p1p2p3，所以p丙－p甲＝2p2（p3－p1）＞0，p丙－p乙＝2p1（p3－p2）＞0， 所以p丙最大.
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A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
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9. （2020·课标全国Ⅰ文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按 标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品， 厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失 费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分 厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工 了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
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等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
乙分厂产品等级的频数分布表
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（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂 家应选哪个分厂承接加工业务？
解：（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
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由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
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（2）求需要进行第五场比赛的概率；
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（3）求丙最终获胜的概率.
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10第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
@研习任务一 有限样本空间的求法
走进 教材
[问题1] 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少种可能结果？如何表示这些结果？
提示：观察球的号码，共有10种可能结果，用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
[知识梳理]
一、随机试验
1.定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
2.随机试验的特点
（1）试验可以在 相同条件 下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一 个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先 不能确定 出现哪一个结果.
二、样本点、样本空间
1.样本点
（1）定义：我们把随机试验E的每个可能的 基本结果 称为样本点.
（2）表示：用 ω 表示样本点.
2.样本空间
（1）定义： 全体样本点 的集合称为试验E的样本空间.
（2）表示：用 Ω 表示样本空间.
3.有限样本空间
（1）定义：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 为 有限样本空间 .
（2）表示： Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} .
题型 调研
[典例1] 写出下列试验的样本空间.
（1）同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况；
（4）将一枚骰子先后抛掷两次，观察它落地时朝上的面的点数.
解： （1）该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18}.
（2）该试验所有可能的结果如图所示，
所以，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1 ，a2b2，b1b2}.
（3）涂色情况如图，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间Ω3＝{（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）}.
（4）两次掷出的点数列表如下：
第一次 第二次
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
所以其样本空间Ω4＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，也可写成Ω4＝{（m，n）｜1≤m≤6，1≤n≤6，m，n∈N*}.
巧归纳
确定样本空间的方法
（1）列举法：当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点.
（2）树状图法：当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来.树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段.
[练习题1] （1）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ D ）
A.8 B.9 C.12 D.11
解析：从A，B中各任意取一个数构成一个两位数的样本空间Ω＝{21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43}，共11个样本点，故选D.
（2）将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间Ω＝ {110，101，011} .
@研习任务二 随机事件的判断
走进 教材
[问题2] 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
提示：显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}，因此可以用样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A.类似地，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.
[知识梳理]
1.随机事件
（1）定义：我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
（2）表示：随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.
2.基本事件
只包含 一个样本点 的事件称为基本事件.
3.必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件.
4.不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件.
注意：必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
题型 调研
[典例2] （1）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ D ）
A.3本都是语文书
B.至少有一本是英语书
C.3本都是英语书
D.至少有一本是语文书
解析：因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书.
（2）给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；
③“明天全天要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是必然事件.
其中正确命题的个数是（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：对于①，三个球分为两组，有两种情况，1＋2和3＋0，所以①是正确的命题；对于②，任意实数x都有x2≥0，所以②是正确的命题；对于③，“明天全天要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”不是必然事件，所以④是错误的命题.
巧归纳
对事件类型判断的两个关键点
（1）条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
（2）结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
[练习题2] （1）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ C ）
A.事件“都是红色卡片”不是必然事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”不是不可能事件
解析：袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则事件“都是红色卡片”不是必然事件，故A正确；事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一张蓝色卡片”不是必然事件，故C不正确；事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”可以发生，故不是不可能事件，故D正确.故选C.
（2）对满足A B的非空集合A，B，有下列四个命题：
①“若x A，则x∈B”是必然事件；
②“若x A，则x∈B”是不可能事件；
③“若x∈B，则x∈A”是必然事件；
④“若x B，则x A”是必然事件.
其中正确命题的个数为（ D ）
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：对于①②，当集合A是集合B的真子集时，显然至少存在一个元素在集合B中，不在集合A中，因此“若x A，则x∈B”可以发生，也可以不发生，故①②错误；对于③，任取x∈B，当集合A是集合B的真子集时，x∈A有可能成立，也有可能不成立，故③错误；对于④，“若x B，则x A”一定成立，是必然事件，故④正确.
@研习任务三 随机事件的表示
题型 调研
[典例3] 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏（石头、剪刀、布），观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲、乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A，B，C.
解：设石头为ω1，剪刀为ω2，布为ω3，用（i，j）表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω＝{（ω1，ω1），（ω1，ω2），（ω1，ω3），（ω2，ω1），（ω2，ω2），（ω2，ω3），（ω3，ω1），（ω3，ω2），（ω3，ω3）}，
因为事件A表示“甲、乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：（ω1，ω1），（ω2，ω2），（ω3，ω3），
所以事件A＝{（ω1，ω1），（ω2，ω2），（ω3，ω3）}.
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：（ω1，ω2），（ω2，ω3），（ω3，ω1），
所以事件B＝{（ω1，ω2），（ω2，ω3），（ω3，ω1）}.
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个：（ω1，ω1），（ω2，ω2），（ω3，ω3），（ω2，ω1），（ω1，ω3），（ω3，ω2），
所以事件C＝{（ω1，ω1），（ω2，ω2），（ω3，ω3），（ω2，ω1），（ω1，ω3），（ω3，ω2）}.
巧归纳
对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.
[练习题3] 如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这五个点中，任取两点，观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
解：M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.
@研习任务四 随机事件的含义
题型 调研
[典例4] 在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义.
（1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3）}；
（2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）}；
（3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）}.
解：（1）事件A中所含的样本点中的第二个数都为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第2次掷出的点数为3.
（2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
（3）事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之差的绝对值为2.
巧归纳
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.
[练习题4] 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义.
（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解：（1）事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
（2）事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
（3）事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.
@课后提素养
1.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有（ C ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：样本点有（数学，计算机），（数学，航空模型），（计算机，航空模型），共3个.
2.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有（ C ）
A.17个 B.8个 C.9个 D.10个
3.下列事件中必然事件的个数为（ A ）
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是25.8 m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用（x，y，z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝ {（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）} .
@课时作业（五十）
基础巩固
1.一个家庭有两个小孩，则两个小孩的性别情况的样本空间为（ C ）
A.{（男，女），（男，男），（女，女）}
B.{（男，女），（女，男）}
C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D.{（男，男），（女，女）}
2.从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ D ）
A.3件都是正品 B.3件都是次品
C.至少有1件次品 D.至少有1件正品
3.下列事件中，必然事件是（ D ）
A.10人中至少有2人生日在同一个月
B.11人中至少有2人生日在同一个月
C.12人中至少有2人生日在同一个月
D.13人中至少有2人生日在同一个月
解析：一年有12个月，因此无论10，11，12个人都有不在同一个月生日的可能，只有13个人时，肯定至少有2人在同一个月生日.
4.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（ B ）
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18}
C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
5.下列事件中，属于必然事件的是（ D ）
A.抛掷硬币时，正面朝上
B.小明发烧了，体温达到50 ℃
C.经过红绿灯路口，遇到红灯
D.任意写一个负数，小于正数
解析：抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，A错误；小明发烧了，体温达到50 ℃，是不可能事件，B错误；经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，C错误；任意写一个负数，小于正数，是必然事件，D正确.故选D.
6.下列说法正确的是（ B ）
A.某事件发生的频率为P（A）＝1.1
B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
解析：因为事件发生的概率0≤P（A）≤1，所以A错误；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生.大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，所以D错误；B正确.
7.从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} ，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 5 .
解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5个，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
8.从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用（a，b）表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为 {（2，8），（3，9）} .
9.有两个正四面体玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具底面出现的点数，y表示第2个正四面体玩具底面出现的点数.写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）事件“所得点数之和大于3”包含的样本点；
（3）事件“所得点数相等”包含的样本点.
解：（1）该试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2）（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}.
（2）事件“所得点数之和大于3”包含的样本点为（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.
（3）事件“所得点数相等”包含的样本点为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
10.设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合.
（1）写出该事件的样本空间Ω；
（2）写出事件A、事件B包含的样本点的集合；
（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.
（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}.
（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）.
更上层楼
11.（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是一个样本点的是（ ABC ）
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球标号都大于3
D.取出的两球标号的和为8
解析：对于A，取出的两球标号为3和7是一个样本点，故选项A正确；对于B，取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是一个样本点，故选项B正确；对于C，取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是一个样本点，故选项C正确；对于D，取出的两球标号的和为8，包括取出的两球标号为1和7，3和5，是两个样本点，故选项D不正确.故选ABC.
12.掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是（ B ）
A.一枚是3点，一枚是1点
B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
解析：掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点.故选B.
探究发现·（重点班选做）
13.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，观察取到的小正方体的情况，则事件B为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂有颜色”，那么事件B含有 12 个样本点.
答案：
解析：每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共12个.
14.从1，2，3，5中任取2个数字作为函数f（x）＝ax2＋bx＋3的系数a，b.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的个数；
（3）用集合的形式表示出事件“函数f（x）图象的对称轴在直线x＝－1右侧”.
解：（1）从1，2，3，5中任取2个数字构成有序实数对（a，b），这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}.
（2）这个试验的样本点的个数是12.
（3）由－＞－1，可得b＜2a，故该事件可用集合表示为{（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}.
10.1.2 事件的关系和运算
@研习任务一 互斥、对立事件的判断
走进 教材
[问题] 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：Ci＝{i}，D1＝{1，2，3}，D2{4，5，6}，
E1＝{1，2}和E2＝{2，3}，F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.
事件Ci互斥，不能同时发生，事件F和事件G彼此对立，事件D1和D2也属于对立事件.
[知识梳理]
事件的关系 含义 符号表示
包含 事件A发生，则B一定发生 A B
相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B
互斥（互 不相容） 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∩B＝ ， A∪B＝Ω
题型 调研
[典例1] （1）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解：①是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出方块或者梅花，因此，二者不是对立事件.
②既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
③不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10的牌，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
（2）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
②“至少有1名男生”与“全是男生”；
③“至少有1名男生”与“全是女生”；
④“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有如下3种结果：2名男生，2名女生，1男1女.
①“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，这两事件都不发生，所以它们不是对立事件.
②“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.
③“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.
④“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.
巧归纳
辨析互斥事件与对立事件的思路
辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手：
（1）从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
（2）从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
[练习题1] （1）打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A1与A2是（ ）
A.互斥事件 B.对立事件
C.相等事件 D.必然事件
答案：A
（2）抛掷一枚均匀的骰子，记事件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D＝“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ A ）
A.A与D B.A与B
C.B与C D.B与D
解析：事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件.故选A.
@研习任务二 事件的运算
走进 教材
[知识梳理]
1.并事件
（1）定义：一般地， 事件A与事件B至少有一个发生 ，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）.
（2）表示： A∪B （或 A＋B ）.
（3）图示：
2.交事件
（1）定义：一般地， 事件A与事件B同时发生 ，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）.
（2）表示： A∩B （或 AB ）.
（3）图示：
题型 调研
[典例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
（3）设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么样的运算关系？C与F的交事件是什么事件？
解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
（3）由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C.而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
巧归纳
事件间的运算方法
（1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
（2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
[练习题2] 在甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况的试验中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：
（1）甲未中靶；
（2）甲中靶而乙未中靶；
（3）三人中只有丙未中靶；
（4）三人中恰有两人中靶.
解：（1）甲未中靶：.
（2）甲中靶而乙未中靶：A∩，即A.
（3）三人中只有丙未中靶：A∩B∩，即AB.
（4）三人中恰有两人中靶：（AB）∪（AC）∪（BC）.
@研习任务三 事件的集合表示
题型 调研
[典例3] 掷一枚六面骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}.
（1）求A∩B，B∩C；
（2）求A∪B，B∪C；
（3）求，∩C，∪C，∪.
解：A＝{出现奇数点}＝{1，3，5}，B＝{出现偶数点}＝{2，4，6}，C＝{出现点数小于3}＝{1，2}，D＝{出现点数大于2}＝{3，4，5，6}，E＝{出现点数是3的倍数}＝{3，6}.
（1）A∩B＝ ，B∩C＝{出现的点数为2}.
（2）A∪B＝{出现的点数为1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{出现的点数为1，2，4，6}.
（3）由题意可知＝{出现的点数为2，4，6}，＝{出现的点数为1，3，5}，＝{出现的点数为1，2}，＝{出现的点数为1，2，4，5}，则∩C＝{出现的点数为2}，∪C＝{出现的点数为1，2，3，5}，∪＝{出现的点数为1，2，4，5}.
巧归纳
理解随机事件A，B的相关运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
符号 事件的运算 集合的运算
A的对立事件 A的补集
AB 事件A与B的 交事件 集合A与B的交集
A∪B 事件A与B的 并事件 集合A与B的并集
[练习题3] 5个相同的小球，分别标上数字1，2，3，4，5，依次有放回地抽取两个小球，记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“抽取的两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，∩，∩C.
解：总的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，
A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）}，
B＝{（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，2），（5，4）}，
C＝{（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）}，
A∩B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），（5，2），（5，4）}，
∩＝{（2，1），（2，3），（2，5），（4，1），（4，3），（4，5）}，
∩C＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）}.
@课后提素养
1.给出如下所示的事件A与B的关系示意图，则（ C ）
A.A B
B.A B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
解析：由互斥事件的定义可知，C正确.故选C.
2.抽查10件产品，设A＝“至多有1件次品”，则事件A的对立事件是（ D ）
A.至多有2件正品
B.至多有1件次品
C.至少有1件正品
D.至少有2件次品
3.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是 只有一人破译出密码 ，事件“密码被破译”可表示为 B∪A∪AB .
4.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.
（1）A与C；
（2）B与E；
（3）B与D；
（4）B与C；
（5）C与E.
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.
（4）事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
（5）由（4）的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
@课时作业（五十一）
基础巩固
1.（多选）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是（ ABC ）
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个都互斥 D.A与B对立
2.（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（ ABC ）
A.A D B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪C＝B∪D
解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中飞机，一种是两弹都击中飞机，∴A∪C≠B∪D，故D不正确；A、B、C正确.
3.袋内分别有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ D ）
A.至少有一个白球；都是白球
B.至少有一个白球；至少有一个是红球
C.至少有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；红、黑球各一个
4.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”（ C ）
A.是对立事件 B.互斥且对立
C.互斥但不对立 D.不是互斥事件
解析：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，所以这两个事件不是对立事件.故选C.
5.（多选）将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝{向上的一面出现奇数点}，事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有（ BC ）
A.B＝
B.C＝{向上的一面出现的点数大于3}
C.A＋C＝{向上的一面出现的点数不小于3}
D.＝{向上的一面出现的点数为2}
解析：由题意知事件A包含的样本点为向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点为向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点为向上的一面出现的点数为4，5，6，所以B＝{向上的一面出现的点数为2}，故A错误；C＝{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确；A＋C＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确；＝ ，故D错误，故选BC.
6.（多选）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（ AD ）
A.恰有一名男生和全是男生
B.至少有一名男生和至少有一名女生
C.至少有一名男生和全是男生
D.至少有一名男生和全是女生
解析：A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件，至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.故选AD.
7.在随机抛掷一颗均匀骰子的试验中，事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为 出现2，4，6点 ，事件A∩B的含义为 出现2，4点 .
8.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝ （BC）∪（BD）（或（BC）＋（BD）或B∩（C∪D）或B（C＋D）） .（用B，C，D间的运算关系式表示）
解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩（C∪D）或B（C＋D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为（BC）∪（BD）或（BC）＋（BD）.
9.将红、白两个球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个盒中.用A1，A2，A3分别表示事件“红球在Ⅰ盒中”“红球在Ⅱ盒中”“红球在Ⅲ盒中”；用B1，B2，B3分别表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用文字语言叙述下列事件：
（1）A1∪B1；
（2）A2∩B2；
（3）；
（4）A1∩.
解：（1）A1∪B1表示“红球或白球在Ⅰ盒中”.
（2）A2∩B2表示“红球和白球都在Ⅱ盒中”.
（3）表示“白球不在Ⅱ盒中”.
（4）A1∩表示“红球在Ⅰ盒中且白球不在Ⅱ盒中”.
更上层楼
10.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ D ）
A.F与G互斥
B.E与G互斥但不对立
C.E，F，G任意两个事件均互斥
D.E与G对立
解析：由题意得，事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；
事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；
当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，所以A、C错误.事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确.
11.（多选）下列命题中为真命题的是（ AC ）
A.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B.若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件
D.若事件A＋B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
解析：对立事件首先是互斥事件，故A为真命题；互斥事件不一定是对立事件，如将一枚均匀的硬币抛掷两次，共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种结果，事件M＝“两次出现正面”与事件N＝“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假命题；事件A，B为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故C为真命题；事件A＋B表示事件A，B至少有一个要发生，A，B不一定互斥，故D为假命题.故选AC.
12.某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，若用Ai＝“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为 A3 ，拨号不超过3次而接通电话可表示为 A1∪A2∪A3 .
解析：事件第3次拨号才接通电话代表第1次、第2次都没接通，分别为，，第3次接通表示为A3，故事件第3次拨号才接通电话表示为A3；不超过3次接通代表第1次接通或第1次没有接通第2次接通或第1次、第2次没接通第3次接通，分别表示为A1，A2，A3，故拨号不超过3次接通可表示为A1∪A2∪A3.
探究发现·（重点班选做）
13.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B，C，D；
（3）事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？
解：（1）用数组（a，b，c）表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，由题意可知三个圆可能颜色一样，可能有两个一样，另一个异色，或三个圆都异色，则试验的样本空间Ω＝{（红，红，红），（黄，黄，黄），（蓝，蓝，蓝），（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄，红），（黄，黄，蓝），（红，黄，蓝）}.
（2）A＝{（红，黄，蓝）}.
B＝{（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄，红），（黄，黄，蓝），（红，黄，蓝）}.
C＝{（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄，红），（黄，黄，蓝）}.
D＝{（红，红，红），（黄，黄，黄），（蓝，蓝，蓝）}.
（3）由（2）可知事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥.
10.1.3 古典概型
@研习任务一 古典概型的判断
走进 教材
[问题] 前面我们讨论过彩票摇号试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同特征有哪些？
提示：考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
[知识梳理]
古典概型的概念
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（1）有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 .
题型 调研
[典例1] （1）（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ACD ）
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C.一只使用中的灯泡的寿命长短
D.中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
解析：选项A，样本空间的样本点是无限的，不满足有限性，不属于古典概型；选项B，每个人被选到的可能性相等且总共有8个人，满足古典概型的特征，属于古典概型；选项C，每只灯泡寿命长短具有不确定性，不符合等可能性，不属于古典概型；选项D，月饼质量评价具有主观性，不符合等可能性，不属于古典概型.
（2）下列概率模型中，古典概型的个数为 （ A ）
①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；
③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.故选A.
巧归纳
（1）古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果，每一结果出现的概率都相同.
（2）古典概型要求基本事件有有限个.
[练习题1] （1）（多选）下列问题中是古典概型的是（ BD ）
A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B.从甲地到乙地共n条路线，且这n条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
解析：对于选项A，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于选项C，区间[1，4]中的样本点有无限多个，故C不是古典概型；选项B和D中的样本点的发生是等可能的，且是有限个.故选BD.
（2）下列试验中是古典概型的是（ B ）
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
解析：对于A，因为种子“发芽”与“不发芽”不是等可能性，故不是；对于B，显然满足古典概型的两个条件，故是；对于C，因为向圆面内随机投一个点，有无限可能性，不满足有限性，故不是；对于D，因为命中0环，1环，…的概率不一定相同，不满足基本事件发生可能性大小都相同，故不是.
@研习任务二 古典概型的计算
走进 教材
[知识梳理]
古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P（A）＝＝.
其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
题型 调研
[典例2] （1）袋中有6个大小、质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率.
①A：取出的两球都是白球；
②B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.
解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}，共有15个样本点.
①因为A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，所以n（A）＝6，从而P（A）＝＝＝.
②因为B＝{（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）}，所以n（B）＝8，从而P（B）＝＝.
（2）随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天.
①这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
②甲在乙之前的安排方法有多少种？
③甲安排在乙之前的概率是多少？
解：作树状图，如图.
①由树状图可知不同的安排方法共有6种.
②由树状图得甲在乙之前的安排方法有3种.
③设事件A为“甲安排在乙之前”，由古典概型的概率计算公式得P（A）＝＝.
巧归纳
求解古典概型的概率“四步”法
[练习题2] （1）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则“恰有2只测量过该指标”的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，b1，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2），共10种.其中“恰有2只测量过该指标”的情况为（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），共6种.故所求的概率为＝.故选B.
（2）现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社和街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的.
①求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；
②求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率.
解：甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社和街舞社的情况如下表.
文学社 街舞社
1 甲、乙、丙、丁
2 甲、乙、丙 丁
3 甲、乙、丁 丙
4 甲、丙、丁 乙
5 乙、丙、丁 甲
6 甲、乙 丙、丁
7 甲、丙 乙、丁
8 甲、丁 乙、丙
9 乙、丙 甲、丁
10 乙、丁 甲、丙
11 丙、丁 甲、乙
12 甲 乙、丙、丁
13 乙 甲、丙、丁
14 丙 甲、乙、丁
15 丁 甲、乙、丙
16 甲、乙、丙、丁
共有16种情况，即有16个样本点.
①文学社和街舞社都至少有1人参加的样本点有14个，概率P1＝＝，即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.
②甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个，概率P2＝＝.
@研习任务三 “放回”与“不放回”问题
题型 调研
[典例3] （1）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中随机取出2个球，则（ BD ）
A.若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B.若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C.若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D.若有放回地抽取，则至少取出1个红球的概率是
解析：由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球，2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误.
记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3，不放回地从中依次取2个球的样本空间Ω1＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3，1a，1b，12，13，2a，2b，21，23，3a，3b，31，32}，共20种.记事件A＝“第1次取到红球”，事件B＝“第2次取到红球”，则A＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3}，B＝{ab，ba，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P（A）＝P（B），故B正确.
有放回地从中依次取2个球的样本空间Ω2＝{aa，ab，a1，a2，a3，bb，ba，b1，b2，b3，1a，1b，11，12，13，2a，2b，21，22，23，3a，3b，31，32，33}，共25种，记事件C＝“取出1个红球和1个白球”，则C＝{a1，a2，a3，b1，b2，b3，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，共12种，所以P（C）＝，故C错误.
记事件D＝“取出2个白球”，则D＝{11，12，13，21，22，23，31，32，33}，共9种，所以P（D）＝，所以至少取出1个红球的概率为1－＝，故D正确.故选BD.
（2）①从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次取后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件次品的概率.
②在①中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.
解：①共有（a1，a2），（a1，b），（a2，b）三个样本点.设A＝“恰有一件次品”，则A含（a1，b），（a2，b）两个样本点，故P（A）＝.
②有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}，由9个样本点组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.事件B由4个样本点组成，故P（B）＝.
巧归纳
解决有序和无序问题的注意点
（1）关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
（2）关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以（a，b），（b，a）不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
[练习题3] （2024·河南南阳期末）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元，可抽奖一次.
（1）若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；
（2）若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20％吗？
解：（1）3个红球分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b.
从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个.
有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为＝.
（2）从袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个，取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个，
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为＜20％，
所以这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性不会超过20％.
@研习任务四 游戏公平性问题
题型 调研
[典例4] 甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）.求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.
解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.
一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤子.甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况.乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀.乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况.
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.
由图容易得到：
（1）平局含3个基本事件（图中的△）；
（2）甲赢含3个基本事件（图中的☉）；
（3）乙赢含3个基本事件（图中的※）.
由古典概型的概率计算公式，可得P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
巧归纳
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平.
（2）具体判断时，可以按所给规则求出双方的获胜概率，再进行比较.
[练习题4] 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设i，j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，则样本点可用（i，j）表示，写出试验的样本空间；
（2）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
解：（1）红桃2，3，4分别用2，3，4表示，方片4用4'表示，试验的样本空间为Ω＝{（2，3），（2，4），（2，4'），（3，2），（3，4），（3，4'），（4，2），（4，3），（4，4'），（4'，2），（4'，3），（4'，4）}，则样本点的总数为12.
（2）不公平.理由如下：甲抽到牌的牌面数字比乙大的有（3，2），（4，2），（4，3），（4'，2），（4'，3），共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为＜，所以此游戏不公平.
@课后提素养
1.（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ C ）
A. B. C. D.
解析：从6张卡片中无放回随机抽取2张的抽法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共30种，其中2张卡片上的数字之积为4的倍数的有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），（5，4），（6，2），（6，4），共12种，故所求概率为.故选C.
2.一枚均匀的硬币连掷2次，恰好出现1次正面朝上的概率是（ A ）
A. B. C. D.0
3.（多选）一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ACD ）
A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C.每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
解析：记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品.在A中，样本空间Ω1＝{（1，2），（1，3），（1，a），（2，3），（2，a），（3，a）}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为（1，a），（2，a），（3，a），因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω2＝{（1，2），（1，3），（1，a），（2，1），（2，3），（2，a），（3，1），（3，2），（3，a），（a，1），（a，2），（a，3）}，因此n（Ω2）＝12，B错误；在C中，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω3＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a）}，因此n（Ω3）＝16，D正确.故选ACD.
4.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝＝.
@课时作业（五十二）
基础巩固
1.（多选）下列有关古典概型的说法正确的是（ ACD ）
A.试验的样本空间的样本点总数有限
B.每个事件发生的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝
解析：由古典概型的概念可知，试验的样本空间的样本点总数有限，且每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件不一定是一个样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；根据古典概型的特点及概率计算公式可知D正确.故选ACD.
2.（2024·河北统考）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班恰有40名同学的成绩在[60，90]内，将这40名学生的成绩整理，绘制成频率分布直方图（如图所示），从成绩在[60，70）内的同学中任取2人的测试成绩，恰有1人的成绩在[60，65）内的概率是（ B ）
A. B.
C. D.
解析：由题中频率分布直方图知，成绩在[60，65）内的有40×0.01×5＝2人，不妨记为a，b；成绩在[65，70）内的有40×0.02×5＝4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的样本空间为{（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，共15个样本点，事件“恰有1人的成绩在[60，65）内”的样本点有8个，所以所求的概率为.故选B.
3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ C ）
A. B.
C. D.
解析：为了方便列举，将颜色为红、黄、蓝、绿、紫的5支彩笔分别标记为1，2，3，4，5.从5支不同彩笔中任取2支彩笔的方法有10种，其中含有红色彩笔（即含有数字1）的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），共4种.故所求概率P＝＝.故选C.
4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足｜a－b｜＝1的概率为（ B ）
A. B.
C. D.
解析：阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，则选出的（a，b）的所有情况如下：（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（1，10），（3，2），（3，4），（3，6），（3，8），（3，10），（5，2），（5，4），（5，6），（5，8），（5，10），（7，2），（7，4），（7，6），（7，8），（7，10），（9，2），（9，4），（9，6），（9，8），（9，10），共有25种情况，其中满足｜a－b｜＝1的有（1，2），（3，2），（3，4），（5，4），（5，6），（7，6），（7，8），（9，8），（9，10），共9种情况，所以所求概率为.故选B.
5.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（ D ）
A. B. C. D.
解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b＞a的有3种取法，故所求事件的概率P＝＝.
6.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ C ）
A. B.
C. D.
解析：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，故所求概率P＝.故选C.
7.从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是 .
8.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
9.（2024·四川广安二中期中）如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，电路接通的概率是 .
解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种.其中电路接通所包含的情况有（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），共6种，所以电路接通的概率P＝.
10.某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学.
（1）若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有1名被选中的概率；
（2）若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率.
解：（1）设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学.从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种.
其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有1名被选中的可能结果有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（C，D），（D，E），（D，F），共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有1名被选中的概率P＝＝.
（2）高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共9种，选出的2名同学性别相同的有（A，E），（A，F），（B，D），（C，D），共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为.
更上层楼
11.（2024·辽宁重点高中联合体模拟）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ C ）
A. B. C. D.
解析：由题意可知，传球的所有情况如下：
故所求概率为＝.故选C.
12.（多选）一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论正确的有 （ BC ）
A.若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是
B.若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是
C.若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D.若第一次摸出一个球，不放回袋中，再摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
解析：设4个红球分别为a，b，c，d，2个白球分别为1，2，从中一次摸出3个球，所有样本点有（a，b，c），（a，b，d），（a，b，1），（a，b，2），（a，c，d），（a，c，1），（a，c，2），（a，d，1），（a，d，2），（a，1，2），（b，c，d），（b，c，1），（b，c，2），（b，d，1），（b，d，2），（b，1，2），（c，d，1），（c，d，2），（c，1，2），（d，1，2），共20个.对于A、B，摸出的球均为红球的样本点为（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），共4个，所以摸出的球均为红球的概率是＝，摸出的球为2个红球，1个白球的样本点为（a，b，1），（a，b，2），（a，c，1），（a，c，2），（a，d，1），（a，d，2），（b，c，1），（b，c，2），（b，d，1），（b，d，2），（c，d，1），（c，d，2），共12个，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是＝，故A错误，B正确；对于C，所有样本点有（a，a），（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，a），（b，b），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，a），（c，b），（c，c），（c，d），（c，1），（c，2），（d，a），（d，b），（d，c），（d，d），（d，1），（d，2），（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），（1，1），（1，2），（2，a），（2，b），（2，c），（2，d），（2，1），（2，2），共36个，两次摸出的球为不同颜色的球的样本点为（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），（2，a），（2，b），（2，c），（2，d），共16个，故所求概率是＝，故C正确；对于D，所有样本点有（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，a），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，a），（c，b），（c，d），（c，1），（c，2），（d，a），（d，b），（d，c），（d，1），（d，2），（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），（1，2），（2，a），（2，b），（2，c），（2，d），（2，1），共30个，两次摸出的球为不同颜色的球的样本点有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），（2，a），（2，b），（2，c），（2，d），共16个，故所求概率是＝，故D错误.故选BC.
探究发现·（重点班选做）
13.箱中有6张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6.
（1）抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；
（2）抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少有一个为偶数的概率.
解：（1）根据题意，设“两次之和为偶数”为事件A，抽取一张后不放回，再抽取一张，其结果如下表，共30种.
－ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） － （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （3，2） － （3，4） （3，5） （3，6）
（4，1） （4，2） （4，3） － （4，5） （4，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） － （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） －
两次之和为偶数即两次取的都是偶数或都是奇数，两次都是偶数有（2，4），（2，6），（4，2），（4，6），（6，2），（6，4），共6种，两次都是奇数有（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），共6种，故P（A）＝＝.
（2）根据题意，设“两个号码至少有一个为偶数”为事件B，抽取一张后放回，再抽取一张，共有如下表所示的36种结果.
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
两次都为奇数的情况有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9种，则两个号码中至少有一个为偶数的情况有36－9＝27（种），故P（B）＝＝.
14.（2024·安徽省级示范校高一联考）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，统计结果如下表.
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩 （分） 78 80 65 85 92
乙的成绩 （分） 75 86 70 95 74
（1）如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加比较合适？并说明理由.
（2）如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛的学生：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大？并说明理由.
解：（1）选甲参加数学竞赛比较合适.
由题意得＝＝80，
＝×[（78－80）2＋（80－80）2＋（65－80）2＋（85－80）2＋（92－80）2]＝，
＝＝80，
＝×[（75－80）2＋（86－80）2＋（70－80）2＋（95－80）2＋（74－80）2]＝.
由＝，＜，可知甲、乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选甲参加数学竞赛比较合适.
（2）5道备选题中学生甲会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F.
方案一：学生甲从5道备选题中任意抽出1道的结果有a，b，c，E，F，共5种，
抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种，所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率P1＝.
方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有（a，b，c），（a，b，E），（a，b，F），（a，c，E），（a，c，F），（a，E，F），（b，c，E），（b，c，F），（b，E，F），（c，E，F），共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有（a，b，c），（a，b，E），（a，b，F），（a，c，E），（a，c，F），（b，c，E），（b，c，F），共7种，
所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率P2＝，
因为P1＜P2，所以学生甲选择方案二可参加全国高中数学竞赛的可能性更大.
10.1.4 概率的基本性质
@研习任务一 互斥事件的概率加法公式的应用
走进 教材
[问题] 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
提示：下面我们从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系，等等.
[知识梳理]
概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有 P（A）≥0 .
性质2：必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即 P（Ω）＝1 ， P（ ） ＝0 .
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B） .
如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）.
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝ 1－P（A） ，P（A）＝ 1－P（B） .
性质5：如果A B，那么P（A）≤P（B）.
由性质5可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P（A）≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）.
题型 调研
[典例1] （1）某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，命中不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件B，“这个射手在一次射击中命中10环、9环、8环、不够8环”分别为事件A1，A2，A3，A4.由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，∴P（A2∪A3∪A4）＝P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，∴P（A1）＝1－P（A2∪A3∪A4）＝1－0.76＝0.24.
∵A1与A2互斥，且B＝A1∪A2，
∴P（B）＝P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝0.24＋0.28＝0.52.
（2）某商场举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2，3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖；等于6或5，则中二等奖；等于4，则中三等奖；其余结果不中奖.
①求中二等奖的概率；
②求不中奖的概率.
解：从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共10种.记两个小球的编号之和为x.
①记“中二等奖”为事件A.由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x＝5，x＝6.
事件x＝5的取法有2种，即（1，4），（2，3），故P（x＝5）＝＝；事件x＝6的取法有1种，即（2，4），故P（x＝6）＝.
所以P（A）＝P（x＝5）＋P（x＝6）＝＋＝.
②记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件：中一等奖（x＝7），中二等奖（事件A），中三等奖（x＝4）.
事件x＝7的取法有1种，即（3，4），
故P（x＝7）＝；事件x＝4的取法有（0，4），（1，3），共2种，故P（x＝4）＝＝.
由①可知，P（A）＝，所以P（）＝P（x＝7）＋P（x＝4）＋P（A）＝＋＋＝.
所以不中奖的概率P（B）＝1－＝.
巧归纳
解决这类问题的关键是要抓住①一次试验中可能出现的不同结果，由这些结果分别构成不同的事件；②这些事件中的任何两个事件都是互斥事件；③互斥事件Am，An构成的事件A的概率P（A）＝P（Am）＋P（An）；④推广到由两两互斥的n个事件Ai（其中i＝1，2，…，n）构成的事件A，P（A）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋…＋P（An）.
[练习题1] （1）黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人 所占的比例/％ 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：
①任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
②任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A'，B'，C'，D'，它们是互斥的.由已知，有P（A'）＝0.28，P（B'）＝0.29，P（C'）＝0.08，P（D'）＝0.35.
①因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B'∪D'，根据概率加法公式，得P（B'∪D'）＝P（B'）＋P（D'）＝0.29＋0.35＝0.64.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A'∪C'，根据概率加法公式，得P（A'∪C'）＝P（A'）＋P（C'）＝0.28＋0.08＝0.36.
（2）在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在[80，90]内的概率是0.48，在[70，80）内的概率是0.11，在[60，70）内的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.
①求小江在此次数学考试中成绩在80分及以上的概率；
②求小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.
解：分别记小江的成绩在90分以上，在[80，90]，[70，80），[60，70）内为事件B，C，D，E，则这四个事件彼此互斥.
①小江在此次数学考试中成绩在80分及以上的概率为P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.25＋0.48＝0.73.
②小江考试及格（成绩不低于60分）的概率为P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.25＋0.48＋0.11＋0.09＝0.93.
@研习任务二 对立事件的概率公式的应用
题型 调研
[典例2] （1）（多选）（2024·广东潮州松昌中学期中）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ CD ）
A.他只属于音乐小组的概率为
B.他只属于英语小组的概率为
C.他属于至少2个小组的概率为
D.他属于不超过2个小组的概率为
解析：由题图知参加兴趣小组的人数为6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60.只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故他只属于音乐小组的概率为＝，故A错误；他只属于英语小组的概率为＝，故B错误；“属于至少2个小组”包含“属于2个小组”和“属于3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为＝，故C正确；“属于不超过2个小组”包含“属于1个小组”和“属于2个小组”，其对立事件是“属于3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率P＝1－＝，故D正确.故选CD.
（2）某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，则中靶的概率为 0.95 .
解析：某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P（A）＝1－P（B）＝1－0.05＝0.95，所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.
巧归纳
利用对立事件的概率公式解题的思路
（1）当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较繁琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P（A）＋P（B）＝1，求出符合条件的事件的概率.
（2）应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
[练习题2] （1）（2024·北京市朝阳区期末）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ D ）
A. B. C. D.
解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”只有（丙，丁，戊）这1种，概率为，故其对立事件“甲或乙被录用”的概率为1－＝.
（2）如果从不包括大小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红桃牌（事件A）的概率为，取到方块牌（事件B）的概率是，则取到红色牌（事件C）的概率是 ，取到黑色牌（事件D）的概率是 .
解析：因为C＝A∪B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.又C，D是互斥事件，且C∪D是必然事件，所以C，D是对立事件，则P（D）＝1－P（C）＝1－＝.
（3）某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
①求派出医生至多2人的概率；
②求派出医生至少2人的概率.
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出大于等于5名医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）＝0.1，P（B）＝0.16，P（C）＝0.3，P（D）＝0.2，P（E）＝0.2，P（F）＝0.04.
①“派出医生至多2人”的概率为P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
②方法一：“派出医生至少2人”的概率为P（C∪D∪E∪F）＝P（C）＋P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P（A∪B）＝1－0.1－0.16＝0.74.
@研习任务三 概率性质的综合应用
题型 调研
[典例3] （1）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少.
解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，显然事件A，B，C，D彼此互斥，则由题意可知，P（A）＝ ①，
P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝ ②，
P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝ ③.
由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得P（A）＝1－P（B＋C＋D）＝1－[P（B）＋P（C）＋P（D）]，
即P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝ ④.
联立②③④可得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝.
即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
（2）从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
①这个数既能被2整除也能被3整除；
②这个数能被2整除或能被3整除；
③这个数既不能被2整除也不能被3整除.
解：显然从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20.其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P（A）＝＝，P（B）＝＝.
①“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P（AB）＝.
②“这个数能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝.
③由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”（即事件）与事件“这个数能被2整除或能被3整除”（即事件A∪B）互为对立事件，所以P（）＝1－P（A∪B）＝1－＝.
巧归纳
求复杂事件的概率的两种方法
（1）将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件.一般情况下，当一个事件是多个事件的和事件时，要用到互斥事件的概率加法公式的推广，即P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类太多，而其对立事件的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.
[练习题3] （2024·浙江S9联盟期中联考）袋中有黑球、黄球、绿球共9个，这些球除颜色外完全相同，从中任取1个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是.
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
（2）从所有黑球、黄球中任取2个球，黑球与黄球各1个的概率是多少？
（3）从袋中任取2个球，这2个球颜色不相同的概率是多少？
解：（1）从袋中任取1个球，记得到黑球、黄球、绿球分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥，
所以
解得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，
所以袋中黑球的个数为9×＝3，黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4.
（2）用A1，A2，A3分别表示3个黑球，B1，B2分别表示2个黄球，则从所有黑球、黄球中任取2个球的样本空间Ω1＝{A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2}，共10个样本点，记“黑球与黄球各1个”为事件D，则D＝{A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2}，共6个样本点，所以P（D）＝＝.
（3）用C1，C2，C3，C4分别表示4个绿球，则从袋中任取2个球的样本空间Ω2＝{A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A1C3，A1C4，A2A3，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A2C3，A2C4，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，A3C3，A3C4，B1B2，B1C1，B1C2，B1C3，B1C4，B2C1，B2C2，B2C3，B2C4，C1C2，C1C3，C1C4，C2C3，C2C4，C3C4}，共36个样本点.
记“2个球都是黑球”为事件E，则E＝{A1A2，A1A3，A2A3}，共3个样本点，记“2个球都是黄球”为事件F，则F＝{B1B2}，共1个样本点，记“2个球都是绿球”为事件G，则G＝{C1C2，C1C3，C1C4，C2C3，C2C4，C3C4}，共6个样本点，
则P（E）＝，P（F）＝，P（G）＝＝，
所以从袋中任取2个球，这2个球颜色相同的概率P＝P（E）＋P（F）＋P（G）＝＋＋＝，则这2个球颜色不相同的概率是1－＝.
@课后提素养
1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率是90％，则甲、乙两人下和棋的概率是（ D ）
A.60％ B.30％ C.10％ D.50％
解析：“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P（甲不输）＝P（甲胜）＋P（甲、乙和棋），∴P（甲、乙和棋）＝P（甲不输）－P（甲胜）＝90％－40％＝50％.
2.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋（表示事件B的对立事件）发生的概率为（ C ）
A. B. C. D.
解析：由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P（A＋）＝P（A）＋P（）＝＋＝.
3.某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示：
月收入 [1 000， 1 500） [1 500， 2 000） [2 000， 2 500） [2 500， 3 000）
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000，3 000）内的概率为0.67，则月收入在[1 500，3 000）内的概率为 0.55 .
解析：记这个商店月收入在[1 000，1 500），[1 500，2 000），[2 000，2 500），[2 500，3 000）内的事件分别为A，B，C，D.因为事件A，B，C，D两两互斥，且P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.67，所以P（B∪C∪D）＝0.67－P（A）＝0.67－0.12＝0.55.
4.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解：（1）记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车(共36张PPT)
第十章 概 率
综合微评（五）
A. 0.4 B. 0.48 C. 0.6 D. 0.8
解析：目标受损但未击毁的概率是1－0.2－0.4＝0.4.故选A.
A
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D
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19
A. A D B. B∩D＝
C. A∪C＝D D. A∪B＝B∪D
解析：“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚 击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击 中.故A D，A∪C＝D，B，D为互斥事件，B∩D＝ ；A∪B＝“两次都击中 或者都没击中飞机”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故选D.
D
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A：补习
B：回家待业8人
C：上大学80人
B
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A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
A
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A. 事件A与事件B互斥
D. 事件A与事件B相互独立
D
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A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
A
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19
A. 甲得9张，乙得3张 B. 甲得6张，乙得6张
C. 甲得8张，乙得4张 D. 甲得10张，乙得2张
A
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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A. Ω＝{2，3，4，5，6}
B. 事件A2和事件A3互为互斥事件
C. 事件A4＝“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次 品”
D. 事件A5＝“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”
BD
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19
解析：由题意可知，直到2个次品都找到为止最少是测试2次，即前两次均测试出次 品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以Ω＝{2， 3，4，5}，故A错误；事件A2为前两次均测试出次品，事件A3为前两次有1次测试出 次品，第3次测试出次品，符合互斥事件的条件，故B正确；事件A4＝“前3次测试中 有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正 品”，故C错误；事件A5＝“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D 正确.故选BD.
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19
A. 两件都是次品的概率为0.28
B. 至多有一件正品的概率为0.72
C. 恰有一件正品的概率为0.26
D. 至少有一件正品的概率为0.98
CD
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2
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19
B. 事件B与事件A1相互独立
C. 事件B与事件A2相互独立
D. A1，A2互斥
AD
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0.4
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19
解析：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3， a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， 则可得1－（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.3）≥a，解得a≤0.79，所以a的最大 值是0.79.
0.79
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2
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19
（1）求抽到“谢谢惠顾”的概率；
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19
（2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.
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19
16. （本小题满分15分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委 现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取 若干评委，其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
1
2
3
4
5
6
7
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18
19
解：（1）由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6％，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
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19
（2）在（1）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被 抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.
解：（2）记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽 到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手.从a1，a2，a3和 b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有可能结果为：
1
2
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4
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6
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17
18
19
17. （本小题满分15分）（2024·河南濮阳一中等多校高一联考）2023年“双碳”再次 成为全国两会的热点词汇.“双碳”即我国提出力争2030年前实现“碳达峰”，2060 年前实现“碳中和”.低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的热门选择. 某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名 用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30），[30，40），[40， 50），[50，60），[60，70]分组，并绘制出了如下所示的部分频率分布直方图，
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解：（1）年龄在[30，40）的频率为1－（0.008＋0.040＋0.016＋0.012）×10＝0.24，补充完整的频率分布直方图如图所示.
（1）请将频率分布直方图补充完整；
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（2）估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间中点值作代 表）；
解：（2）所有用户的平均年龄的估计值为10×（0.008×25＋0.024×35＋0.040×45＋0.016×55＋0.012×65）＝45，故估计样本中所有用户的平均年龄为45岁.
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19
（3）销售部从年龄在[20，30），[30，40）两组的样本中用分层随机抽样的方法抽 取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
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19
18. （本小题满分17分）近年来，移动支付已成为老百姓日常购物支付的主要方式之 一.某大学生为了解本院系学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全院 系1 000名学生中随机抽取了100人进行调查，发现样本中A，B两种支付方式都不使 用的有5人，样本中仅使用A支付方式和仅使用B支付方式的学生的支付金额分布情 况如下表：
支付金额
支付方式 不大于2 000元 大于2 000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
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（1）估计全院系学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数.
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（2）从样本中仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大 于2 000元的概率.
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19
（3）假设上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本中仅使用B支付方式 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元.结合（2）的结果，能否 认为样本中仅使用B支付方式的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说 明理由.
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（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭正确回答这道题的概率.
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