(共26张PPT)
第六章 平面向量及其应用
章末总结
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知识体系构建
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高考热点追踪
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B. 3
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A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
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A. a＋2b B. 2a＋b
C. a－2b D. 2a－b
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12. （2023·全国乙理）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
（1）求 sin ∠ABC；
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（2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.
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13. （2023·全国新课标Ⅰ卷）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2 sin （A－C）＝ sin B.
（1）求 sin A；
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（2）设AB＝5，求AB边上的高.
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14(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
综合微评（一）
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A. a·b＝1 B. ｜a｜＝｜b｜
C. （a－b）⊥b D. a∥b
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A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
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A. [－6，0]
D. [－7，0]
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解析：由题意可知，△BCD为等边三角形，则有∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，
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A. 2 B. 0
C. －1 D. －2
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A. a与b的夹角为钝角
B. 向量a在b方向上的投影向量为（－1，1）
C. 2m＋n＝4
D. mn的最大值为2
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（2）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积.
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（2）是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb，且 x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由.
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19. （本小题满分17分）如图所示，某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l 上有相距70公里的B，C两个小镇，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B镇在养 殖中心工作的员工有300人，C镇在养殖中心工作的员工有500人.现欲在B，C之间 建一个码头D，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百 人每公里运输成本之比为1∶2.
（1）求 sin ∠ABC的大小；
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（2）设∠ADB＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少.
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19第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念 6.1.2 向量的几何表示 6.1.3 相等向量与共线向量
@研习任务一 向量的概念及几何表示
走进 教材
[问题1] 阅读下面问题，你能发现这几个量的共同特性么？
小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向；又如，物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大.
提示：位移、速度、重力等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性.
[问题2] 我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.受此启发，那么我们用一种什么形式，来表示数学里的向量呢？
提示：我们可以用带箭头的线段表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.
[知识梳理]
一、数量与向量
1.数量
只有 大小没有方向 的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等都是数量.
2.向量
既有 大小 又有 方向 的量叫做向量，例如位移、力、速度、加速度等都是向量.
二、向量的表示
1.几何表示
如图所示，向量可用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
有向线段包含三个要素： 起点 、 方向 、 长度 .
2.字母表示
向量可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的 起点 和 终点 字母表示，如.
温馨提示：
1.对向量概念的认识
向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑向量数量的大小，又要考虑方向的影响.
2.有向线段与向量的区别和联系
区 别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，因此，这是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的
联 系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段
题型 调研
[典例1] （1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出 12 个向量.
解析：由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共12个.
（2）如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的方向行走了100 m到达C点，最后又改变方向，向东走了200 m到达D点，发现D点在B点的正北方.（图中小方格的边长为100 m）
①作出，，；
②求的模.
解：①因为D点在C点的正东方，在B点的正北方，所以CD⊥BD，
又｜｜＝200 m，｜｜＝100 m，
所以｜｜＝＝300 m，
由此作出，，如图所示.
②由题意可知，CD∥AB且CD＝AB，所以四边形ABCD是平行四边形，
则｜｜＝｜｜＝100 m，即的模为100 m.
巧归纳
解决向量概念问题，必须紧扣概念，向量既有大小也有方向，是一个二维的量，不可以比较大小.向量的表示必须兼顾方向性，即起点和终点，以及向量的模的大小.
[练习题1] 小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后从图书馆向南偏东60°方向走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动.请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移.
解：如图所示，
向量表示从教学楼到图书馆的位移；
向量表示从图书馆到食堂的位移；
向量表示从食堂到操场的位移；
向量表示从开始到最后的位移.
@研习任务二 零向量与单位向量
走进 教材
[问题3] 在实数中，有“0”与“1”这样的具有特殊地位的数，那么在向量中，有类似的特殊向量吗？
提示：有，零向量与单位向量.
[知识梳理]
向量名称 定义
零向量 长度为 0 的向量，记作 0
单位向量 长度等于 1个单位 长度的向量
温馨提示：
（1）不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.
（2）单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.
题型 调研
[典例2] （1）（多选）下列说法正确的是（ CD ）
A.零向量是没有方向的
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
解析：零向量的方向是任意的；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故C，D正确.
（2）（多选）（2024·福建师大二附中高一月考）下列说法中正确的是（ AD ）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.零向量长度为零且没有方向
C.若向量，满足｜｜＞｜｜，且与同向，则＞
D.单位向量的模都为1
解析：向量的长度与向量的长度都是线段AB的长度，故相等，故A正确；零向量有方向，它的方向是任意的，故B错误；向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，故C错误；由单位向量的概念，知D正确.故选AD.
巧归纳
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
[练习题2] 下列说法中正确的是（ ）
A.向量的模都是正实数
B.单位向量只有一个
C.向量的大小与方向无关
D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
答案：C
解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.
@研习任务三 相等向量与共线向量
走进 教材
[问题4] 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.
（1）写出图中的共线向量；
提示：（1），，，是共线向量；
，，，是共线向量；
，，，是共线向量.
（2）分别写出图中与，，相等的向量.
提示：（2）＝＝；＝＝；
＝＝＝.
[知识梳理]
平行向量 （共线向量） 方向 相同或相反 的非零向量.向量a，b平行，记作 a∥b .规定：零向量与任意向量 平行
相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量.向量a与b相等，记作 a＝b
温馨提示：
在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.
题型 调研
[典例3] 如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
证明：因为＝，
所以｜｜＝｜｜且AB∥DC.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以｜｜＝｜｜且DA∥CB.
又因为与的方向相同，
所以＝.
又＝，同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，
所以｜｜＝｜｜，MB∥DN，
即与的模相等且方向相同，
所以＝.
巧归纳
对共线（平行）向量的四个提醒
1.理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
2.共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线（平行）向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论.
4.向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，即若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行.但若b≠0，则必有a∥b，b∥c a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量
[练习题3] 以边长为2的正方形A1B1C1D1的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a，b，c，d，e，f，g，h.
（1）试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；
（2）试找出已知向量中分别与，，，共线的向量.
解：（1）作出图形如图，由已知，得
｜a｜＝｜c｜＝｜e｜＝｜g｜＝1，｜b｜＝｜d｜＝｜f｜＝｜h｜＝，
而在正方形ABCD中，
｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，
｜｜＝｜｜＝，
又已知两正方形对应边平行，
所以＝＝a，＝＝c，＝＝e，＝＝g，＝b，＝f，＝d，＝h.
（2）已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与共线的向量有a，e；与共线的向量有c，g；与共线的向量有b，f；与共线的向量有d，h.
@研习任务四 向量的表示及应用
题型 调研
[典例4] 中国象棋的半个棋盘如图所示，“马走日”是象棋中马的走法.此图中，马可以从A处跳到A1处，也可以跳到A2处，用向量或者表示马走了“一步”.请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
解析：如图所示.
巧归纳
向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示，在表示向量时，要特别注意其方向.
[练习题4] 在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标.
（1）｜a｜＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
（2）｜a｜＝4，a的方向与x轴的正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3）｜a｜＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
解：如图所示：
（1）如图①，终点坐标为（1，）.
（2）如图②，终点坐标为（2，－2）.
（3）如图③，终点坐标为（－4，－4）.
@课后提素养
1.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是（ ）
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
答案：D
2.（多选）（2024·江苏省盐城市南洋中学月考）下列结论中，错误的是（ ）
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.若向量a与b都是单位向量，则a＝b
C.若向量a与b是平行向量，且｜a｜＝｜b｜，则a与b是相等向量
D.若两个向量相等，则它们的模相等
答案：ABC
解析：对于A，∵向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，∴A错误；对于B，若a与b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但它们的方向不一定相同，∴B错误；对于C，模相等的两个平行向量的方向可能相同，也可能相反，即模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，∴C错误；对于D，若两个向量相等，则它们的模相等，∴D正确.故选ABC.
3.（2024·河南校级联考）已知A，B，C，D为平面上四点，则“∥”是“AB∥CD”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若∥，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD；若AB∥CD，则∥.
故“∥”是“AB∥CD”的必要不充分条件.故选B.
4.七巧板，也称“七巧图”“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具.原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具.现在的七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，试写出图中与，的模相等的向量.
解：与的模相等的向量有，，，，，，，，，，，，，，；与的模相等的向量有，，，，，，，，.
@课时作业（一）
基础巩固
1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.
其中是向量的有（ A ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
2.下列说法正确的是（ A ）
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析：易知A选项正确；B选项中，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B不正确；C选项中，当b＝0时，a与c可能不共线，C不正确；D选项中，两个单位向量平行也可能反向，则不相等，D不正确.
3.设O是△ABC的外心，则，，是（ B ）
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
4.（2024·福建福州期中）在四边形ABCD中，｜｜＝｜｜且＝，则四边形ABCD的形状是（ C ）
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析：由＝，可得四边形ABCD是平行四边形，又｜｜＝｜｜，所以四边形ABCD是菱形.故选C.
5.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ B ）
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
解析：如图，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线.
6.（多选）（2024·四川成都模拟）如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是（ ABD ）
A.｜｜＝｜｜ B.与共线
C.与共线 D.＝
解析：由题意可知，AB＝EF，AB∥CD∥FG，CD＝FG，而∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D一定成立，C不一定成立.故选ABD.
7.在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标原点，则它们的终点所构成的图形是 单位圆 .
8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则｜｜＝ .
解析：由正方形ABCD的边长为2，得其对角线长为2，所以｜｜＝.
9.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是 南偏东30° .
解析：如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，
则tan∠BAC＝＝＝，
∵∠BAC是三角形的内角，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
（1）图中与共线的向量有 ，，，，，， ；
（2）图中与相等的向量有 ， ；
（3）图中与的模相等的向量有 ，，，，，，，， ；
（4）图中与相等的向量有 .
更上层楼
11.（多选）在下列结论中，正确的结论为（ ACD ）
A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件
B.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的既不充分也不必要条件
C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件
D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件
12.（2024·山东潍坊高一期中）已知a，b是非零向量，a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列各式中正确的是（ D ）
A.a0＝b0 B.a0∥b0
C.＝1 D.＝1
解析：两个单位向量a0，b0的模相等，但是方向不确定，故选项A，B不正确；题中没有明确向量a，b模的大小关系，故选项C不正确；因为a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，所以＝1，故选项D正确.故选D.
13.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位置是 西北方向5 km .
解析：根据题意画出图形如图所示，由图可知，｜｜＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位置是西北方向5 km.
14.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.
（1）在图中画出向量，，，；
（2）描述B地相对于A地的位置.
解：（1）作向量，，，如图所示.
（2）由题意知＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝，
所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°，相距6 km”.
探究发现·（重点班选做）
15.如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，根据图中所标出的向量回答下列问题.
（1）分别写出与，相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与模相等的向量.
解：（1）＝，＝.
（2）与共线的向量有，，.
（3）与模相等的向量有，，，，，，.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
@研习任务一 向量加法的定义及三角形法则
走进 教材
[问题1] 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
提示：物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的，数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
[知识梳理]
三角形法则 已知 非零 向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝ a ，＝ b ，则向量 叫做a与b的和，记作 a＋b ，即a＋b＝＋＝
对向量加法的三角形法则的两点说明
（1）适用范围：任意两个非零向量.
（2）注意事项
①两个向量一定首尾相连；
②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；
③当多个向量相加时，使用三角形法则更为方便.
题型 调研
[典例1] 如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.
解：如图，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，则＝a＋b.
巧归纳
用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
[练习题1] 如图1，2，已知向量a，b，c，在图1中求作向量a＋b，在图2中求作向量a＋b＋c.
图1
图2
解：如图3，在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b.
图3
如图4，在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接OC，则＝a＋b＋c.
图4
@研习任务二 向量加法的平行四边形法则
走进 教材
[问题2] 在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
提示：我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是F1与F2的和，即力的合成可以看作向量的加法.
[知识梳理]
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，作＝ a ，＝ b ，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量（OC是 OACB的对角线）就是向量a与b的和
对向量加法的平行四边形法则的三点说明
（1）适用范围：任意两个不共线的非零向量.
（2）注意事项
①平移两个非零向量使其有相同的起点.
②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量.
（3）方法与步骤
第一步：先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点；
第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
第三步：连接a，b所夹的对角线，则其为a，b的和向量.
题型 调研
[典例2] （1）如图①所示，求作向量a＋b；
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
图①
图②
解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
图③
（2）方法一（三角形法则）：如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求.
图④
图⑤
方法二（平行四边形法则）：如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
巧归纳
向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
[练习题2] 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（ C ）
A. B. C. D.
解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，
由和的模相等，方向相同，
得＝，即＋＝.
@研习任务三 向量加法的运算律及应用
走进 教材
[问题3] 请结合课本第8页例1，探索一下｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系？
提示：①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.
③当a与b反向时，若｜a｜＞｜b｜，则a＋b的方向与a相同，且｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜；若｜a｜＜｜b｜，则a＋b的方向与b相同，且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.
[问题4] 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
提示：在如图①所示的平行四边形ABCD中，＝＝a，＝＝b，则在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律.
图①
如图②所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝（a＋b）＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋（b＋c），从而（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），即向量的加法满足结合律.
图②
[知识梳理]
1.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当 a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量 时，等号成立.
2.向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
题型 调研
[典例3] （1）设｜a｜＝2，｜b｜＝5，则｜a＋b｜的最大值与最小值分别为 7 ， 3 .
解析：当a，b共线同向时，
｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝2＋5＝7.
当a，b共线反向时，｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜＝3.
当a，b不共线时，｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜，即3＜｜a＋b｜＜7，
综上知，3≤｜a＋b｜≤7，
所以最大值为7，最小值为3.
（2）化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋＋.
解：①＋＋＝（＋）＋＝＋＝.
②＋＋＋＋＝＋＋（＋＋）＝＋＋＝（＋）＋＝＋＝0.
巧归纳
（1）根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.
（2）向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
[练习题3] 如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝（i＝1，2，…，7），bj＝（j＝1，2，…，8），则a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝ b6（或－b2） .（结果用ai或bj表示）
解析：由题可知，a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝（＋）＋（＋）＋
＝＋＋
＝＋＋＝＝b6（或－b2）.
@研习任务四 向量加法的实际应用
题型 调研
[典例4] （2024·山东省荷泽市期中）一条河两岸平行，河的宽度为240 m，一个人从岸边游向对岸，已知他在静水中游泳时，速度为12 m/min，水流速度为12 m/min.
（1）当此人垂直游向河对岸时，他实际的前进速度大小为 24 m/min；
（2）当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要 20 min.
解析：（1）由题意作图如图1所示，由图可知，他实际的前进速度为＝24（m/min）.
图1
（2）由题意作图如图2所示，
此时实际的前进速度大小为
＝12（m/min），
故他游到河对岸需要＝20（min）.
图2
巧归纳
向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图形是解题关键.
[练习题4] 如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小分别是 150 N，150 N .
解析：如图，作 OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，所以∠OAC＝90°，
则｜｜＝｜｜cos 30°＝300×＝150（N），
｜｜＝｜｜sin 30°＝300×＝150（N），
所以｜｜＝｜｜＝150（N），
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
@课后提素养
1.＋＋＝（ D ）
A. B. C.0 D.
解析：＋＋＝＋＝.
2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，则｜a＋b｜的取值范围是 [1，5] .
解析：｜a｜－｜b｜＝3－2＝1，｜a｜＋｜b｜＝3＋2＝5，因为｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，所以1≤｜a＋b｜≤5.
3.下列各式成立的是 .
①0＋0＝0； ②a＋0＝a；
③a＋b＝b＋a； ④｜a＋b｜＞0；
⑤＋＝2.
答案：②③
4.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量｜｜＝1，则｜＋｜＝ .
答案：1
@课时作业（二）
基础巩固
1.下列三个结论：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确的个数是（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.0
解析：∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反.又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，故a＝c，故①正确.当＝时，应有｜｜＝｜｜，且由点A到点B与由点C到点D的方向相同，但不一定有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误.若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，－a＝0，故③正确.
2.对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（ C ）
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
解析：在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
3.（多选）已知＋＋＋＝a，且b是非零向量，则下列结论正确的是（ AC ）
A.a∥b
B.a＋b＝a
C.a＋b＝b
D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析：∵＋＋＋＝＋＋＋＝0，∴a为零向量.∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A，C正确，B，D错误.
4.若a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则（ A ）
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝b
D.a，b无论什么关系均可
5.如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则｜＋＋｜＝（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.2
6.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＋＝ .
7.若｜a｜＝｜b｜＝1，则｜a＋b｜的取值范围为 [0，2] ，当｜a＋b｜取得最大值时，向量a，b的方向 相同 .
解析：由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜知，0≤｜a＋b｜≤2.当｜a＋b｜取得最大值时，向量a，b的方向相同.
8.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 20 km/h.
解析：如图，设船在静水中的速度为v1＝10 km/h，河水的流速为v2＝10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由｜v1｜2＋｜v2｜2＝｜v0｜2，得（10）2＋102＝｜v0｜2，所以｜v0｜＝20，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
9.是否存在a，b，使｜a＋b｜＝｜a｜＝｜b｜？请画出图形说明.
解：存在，如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则＝＋，
由题意知，OA＝OB＝OC＝AC，
则∠AOC＝∠COB＝60°.
所以存在a，b，当｜a｜＝｜b｜，且a与b的夹角为120°时，｜a＋b｜＝｜a｜＝｜b｜.
10.如图，已知G是△ABC所在平面内一点.求证：G是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.
证明：（充分性）如图，以GB，GC为邻边作 GBEC，连接GE，交BC于点M，
则M是BC的中点，也是GE的中点.
因为＋＝，
又＋＋＝0，
所以＝.
于是可得点G在线段AM上，且AG＝2GM，
又AM是△ABC的边BC上的中线，
所以G是△ABC的重心.
（必要性）如图，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG＝2GD.
延长GD到E'，使DE'＝GD，连接E'B，E'C，则四边形GBE'C是平行四边形，
所以＋＝＝－，
故＋＋＝0.
综上，G是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.
更上层楼
11.人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（ B ）
A.v1－v2 B.v1＋v2
C.｜v1｜－｜v2｜ D.
解析：速度是既有大小又有方向的量，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B.
12.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（ D ）
A.0 B.
C. D.
13.设｜a｜＝2，e为单位向量，则｜a＋e｜的最大值为 3 .
解析：由｜a＋e｜≤｜a｜＋｜e｜＝3知，｜a＋e｜的最大值是3.
14.如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：因为＝＋，＝＋，
而由题知＝，所以＋＝0，
所以＋＝＋＋（＋）＝＋.
探究发现·（重点班选做）
15.对于不等式｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“≤”只能在a＝b＝0时取“＝”；
②不等式左端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线时取“＜”；
③不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且同向共线时取“＝”；
④不等式右端的不等号“≤”只能在a与b均为非零向量且不共线时取“＜”.
其中正确的结论有（ A ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.4个
解析：当a＝－b≠0时，｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜也成立，故①不正确；当b≠0，a＝0时，｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜也成立，故②不正确；当a，b有一个为0时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜也成立，故③不正确；当a与b反向共线时，｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜也成立，故④不正确，所以正确的结论有0个.
16.三人夺球的游戏规则：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连接夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为a N，则丙需要多少力量才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球有可能静止吗？
解：设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a，b，c，根据题意，可知a，b，c三个向量两两夹角为120°，可先计算a＋b，由于｜a｜＝｜b｜，易求｜a＋b｜＝｜c｜，且a＋b平分a，b所成的角即方向与c相反，要使小球不动，则c＝－（a＋b），所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球就会静止.若甲、乙两人力量不等，根据向量加法的平行四边形法则，a＋b的方向不可能与c相反，所以小球不可能静止.
6.2.2 向量的减法运算
@研习任务一 向量减法的定义及三角形法则
走进 教材
[问题1] 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法，怎么定义互为相反向量呢？
提示：与数x的相反数是－x类似，我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
[问题2] 向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.那么向量减法的几何意义是什么呢？怎么通过作图表现出来呢？
提示：如图，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
[知识梳理]
一、相反向量
1.定义：与向量a长度 相等 ，方向 相反 的向量.零向量的相反向量仍是零向量.
2.性质
（1）－（－a）＝ a ；
（2）对于相反向量有a＋（－a）＝ 0 ；
（3）若a，b互为相反向量，则a＝ －b ，a＋b＝ 0 .
二、向量的减法
1.定义：a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝ a－b ，如图所示.
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的 终点 指向向量a的 终点 的向量.
4.对向量减法的三点说明
（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法.
（2）两个向量作差的前提是将两个向量平移到共同的起点.
（3）向量减法满足三角形法则.在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
题型 调研
[典例1] 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量＝a－b；再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量，则向量即所求作的向量a－b－c.
巧归纳
1.用已知向量表示其他向量时要充分利用平面几何知识，灵活运用三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义.
2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤
①观察待表示的向量位置；②寻找或作相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
[练习题1] 如图，在正六边形ABCDEF中，O为其中心，若＝a，＝b，用向量a，b表示向量，和.
解：方法一：在 OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE起点相同，应用平行四边形法则，得＝＋＝a＋b.
∵＝－，
∴＝－a－b.
＝－＝－b，＝－＝－a.
方法二：由正六边形的几何性质，得
＝－a，＝－b，＝－＝－a.
在△OBC中，＝＋＝－a－b.
方法三：由正六边形的几何性质，得
＝－b，＝－a.
在 OBCD中，＝＋＝－a－b.
@研习任务二 向量加减法的基本运算
题型 调研
[典例2] （1）（多选）（2024·江苏省苏州市星海实验中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ BCD ）
A.＋＋＝
B.＋＝
C.＋＋＝
D.＋＋＝0
解析：＋＋＝＋＋＝，故A错误；＋＝＋＝，故B正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝＋＝0，故D正确.故选BCD.
（2）（多选）（2024·湖南省邵东一中月考）下列四式中能化简为的是（ ABC ）
A.－＋
B.＋（＋）
C.（＋）＋（－）
D.＋－
解析：－＋＝＋＝，故A符合；＋（＋）＝＋＋＝－＝，故B符合；（＋）＋（－）＝－＝，故C符合；＋－＝－，故D不符合.故选ABC.
巧归纳
注意满足下列两种形式可以化简：（1）首尾相接且为和.（2）起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用.
[练习题2] （1）给出下列各式：
①－（－）；
②－＋－；
③－＋；
④＋＋－.
其中化简结果为0的个数是（ D ）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则－等于（ C ）
A. B. C. D.
@研习任务三 向量的加减法几何意义的应用
走进 教材
[知识梳理]
向量形式的三角不等式
｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
当a与b方向相反且｜a｜≥｜b｜时，｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜；
当a与b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.
｜a｜－｜b｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜.
当a与b方向相同且｜a｜≥｜b｜时，｜a｜－｜b｜＝｜a－b｜；
当a与b方向相反时，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜.
题型 调研
[典例3] （1）若＝a＋b，＝a－b（a与b不共线）.
①当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？
②当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a－b｜？
③当a，b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？
解：如图，用向量a，b构建平行四边形，其中AC，DB为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则，得
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由此问题就可转化为：
①当边AB，AD满足什么条件时，对角线互相垂直？
答：｜a｜＝｜b｜.
②当边AB，AD满足什么条件时，对角线相等？
答：a，b互相垂直.
③当边AB，AD满足什么条件时，对角线平分内角？
答：｜a｜＝｜b｜.
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？
答：不可能，因为对角线方向不同.
（2）已知｜｜＝6，｜｜＝9，求｜－｜的取值范围.
解：因为｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝9，｜｜＝6，所以3≤｜－｜≤15.
当与同向时，｜－｜＝3；
当与反向时，｜－｜＝15.
所以｜－｜的取值范围为[3，15].
巧归纳
使用向量形式的三角不等式的注意点
当向量a，b不共线时，向量a，b分别与向量a＋b，a－b构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可以得到｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.[练习题3] 若向量a与b满足｜a｜＝5，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最小值为 7 ，｜a－b｜的最大值为 17 .
解析：由向量形式的三角不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜可知，当这两个向量方向相反时，｜a＋b｜取得最小值7，｜a－b｜取得最大值17.
@课后提素养
1.（多选）若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法正确的是（ ABD ）
A.a∥b B.a≠b
C.｜a｜≠｜b｜ D.b＝－a
答案：
2.在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则－＝（ D ）
A. B. C. D.
解析：易知－＝，所以－＝＋＝.故选D.
3.若O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且｜－｜＝｜－｜，则四边形ABCD一定为（ D ）
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
解析：由｜－｜＝｜－｜，知｜｜＝｜｜，又∥，故四边形ABCD是平行四边形.
4.已知｜a｜＝6，｜b｜＝14，｜c｜＝3，求｜a＋b＋c｜的最大值和最小值.
解：根据三角形法则，可知｜｜b｜－｜a｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，∴｜a＋b＋c｜≤｜a＋b｜＋｜c｜≤｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝23.
且当a，b，c同向时，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜，此时｜a＋b＋c｜有最大值23.
又｜a＋b＋c｜≥｜｜a＋c｜－｜b｜｜＝5，
当a，c同向且与b反向时，｜a＋b＋c｜最小，此时｜a＋b＋c｜有最小值5.
∴｜a＋b＋c｜的最大值为23，最小值为5.
@课时作业（三）
基础巩固
1.（多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的是（ BCD ）
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
解析：易知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，即C结论正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以D结论正确.
2.化简－＋所得的结果是（ C ）
A. B. C.0 D.
3.设a表示向西走10km，b表示向北走10km，则a－b表示向（ A ）
A.南偏西30°方向走20km
B.北偏西30°方向走20km
C.南偏东30°方向走20km
D.北偏东30°方向走20km
解析：设＝a，＝b，则a－b＝－＝，∵tan∠OBA＝＝＝，∴∠OBA＝30°，且｜｜＝＝＝20（km），故a－b表示向南偏西30°方向走20km.
4.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于（ A ）
A.a－b＋c
B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
5.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a，b不是方向相反的向量，则｜a－b｜的取值范围是（ B ）
A.（2，6） B.[2，6）
C.（2，6] D.[2，6]
解析：由向量减法的几何意义，可知｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，因为a，b不是方向相反的向量，所以｜a－b｜＜｜a｜＋｜b｜，所以所求的取值范围是[2，6）.
6.在边长为1的正△ABC中，｜－｜的值为（ D ）
A.1 B.2 C. D.
7.（多选）已知△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，则下列各等式中成立的为（ ABD ）
A.｜－｜＝｜＋｜
B.｜－｜＝｜｜
C.｜－｜2＝｜｜2＋｜｜2
D.｜＋｜2＋｜｜2＝｜｜2
8.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，｜｜＝4，若｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝（ C ）
A.8 B.4 C.2 D.1
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝ .
10.已知＝a，＝b，若｜｜＝12，｜｜＝5，且∠AOB＝90°，则｜a－b｜＝ 13 .
解析：∵｜｜＝12，｜｜＝5，∠AOB＝90°，
∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
∴｜｜＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴｜a－b｜＝｜｜＝13.
更上层楼
11.（多选）已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是（ ABD ）
A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同
B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反
C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b有相等的模
D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同
解析：当a，b方向相同时，有｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜；当a，b方向相反时，有｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.因此A，B，D正确.
12.已知向量a，b，c的模分别为3，4，5，则｜a－b＋c｜的最大值为 12 ，最小值为 0 .
解析：当a，－b，c同向时，｜a－b＋c｜最大，
所以｜a－b＋c｜max＝｜a｜＋｜－b｜＋｜c｜＝3＋4＋5＝12；
当a，－b，c首尾相连时，表示它们的有向线段可构成三角形，a－b＋c＝0，此时｜a－b＋c｜最小，为0.
13.若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角是 30° .
解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作菱形OACB，则a＋b＝，a－b＝.∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.
14.（2024·浙江杭州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴的非负半轴的夹角分别为和，向量满足＋＋＝0，则与x轴的非负半轴的夹角的取值范围是 .
解析：由题意得＝－－＝－（＋）.
如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，连接OD，则由向量加法的几何意义得＝－，所以与x轴的非负半轴的夹角的取值介于－和－与x轴的非负半轴的夹角之间.由题意得，－，－与x轴的非负半轴的夹角分别为和，故与x轴的非负半轴的夹角的取值范围为.
探究发现·（重点班选做）
15.已知｜｜＝a，｜｜＝b（a＞b），｜｜的取值范围是[5，15]，则a＝ 10 ，b＝ 5 .
解析：因为a－b＝｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜＝｜｜≤｜｜＋｜｜＝a＋b，
所以解得
16.如图，四边形ABCD的边AD，BC的中点分别为E，F，求证：＝（＋）.
证明：连接EC，EB，∵＋＝0，
∴＝（＋）＝（＋＋＋）＝（＋）.
6.2.3 向量的数乘运算
@研习任务一 向量的数乘运算
走进 教材
[问题1] 如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a），它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别怎样？
提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋＝（－a）＋（－a）＋（－a）＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.
[知识梳理]
向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa ，它的长度与方向规定如下：
（1）｜λa｜＝ ｜λ｜｜a｜ .
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 相反 .
温馨提示：
（1）数乘向量仍是向量；
（2）实数λ与向量a不能相加减.
题型 调研
[典例1] 如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
解：将向量a依次同向伸长为原来的2倍，同向缩短为原来的，反向伸长为原来的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量2a，a，－3a，－a，如图所示.
巧归纳
实数λ与非零向量a相乘，若λ＞0，则λa与a同向；若λ＜0，则λa与a反向，且｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.
[练习题1] （多选）已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ABC ）
A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B.－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－（b－a）是一对相反向量
@研习任务二 向量的线性运算
走进 教材
[问题2] 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？
提示：仿照实数的表示形式，可以用3.5a来表示向量b，而且两个向量共线.
[知识梳理]
1.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律：
（1）λ（μa）＝ （λμ）a ；
（2）（λ＋μ）a＝ λa＋μa ；
（3）λ（a＋b）＝ λa＋λb .
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝ λμ1a±λμ2b .
题型 调研
[典例2] （1）（2024·福建福州检测）设D，E分别为△ABC的两边BC，CA的中点，则＋＝（ D ）
A. B.
C. D.
解析：如图所示，因为D，E分别为△ABC的两边BC，CA的中点，所以＋＝（＋）＋（－）＝（＋）＋（－）＝.
（2）计算：
①2×（－3a）；
②（a＋b）－3（a－b）－8a；
③3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，求x.
解：①原式＝[2×（－3）]a＝－6a.
②原式＝－10a＋4b.
③由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
巧归纳
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作向量的系数.
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算.
[练习题2] 若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
解：把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
@研习任务三 向量共线定理
走进 教材
[问题3] 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量的位置关系吗？
提示：实数与向量的积与原向量共线.
[问题4] 若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？
提示：x＋y＝1，证明如下：
∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即－＝λ（－），
∴＝（1＋λ）－λ，
又＝x＋y，
则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.
[问题5] 若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三点共线吗？
提示：共线.证明如下：
由＝x＋y，且x＋y＝1，可得
＝x＋（1－x）
＝x＋－x，
即－＝x（－），
所以＝x，
由向量共线定理，得与共线，又有公共点C，
故A，B，C三点共线.
[知识梳理]
1.向量共线定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
温馨提示：
向量共线定理中规定a≠0的原因
（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；
（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾.
2.向量共线定理的推论
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y（O为平面内直线AB外任意一点），其中x＋y＝1.
题型 调研
[典例3] （1）（2024·山东省济宁市期中）设e1与e2是不共线的向量，若ke1＋4e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是 －2 .
解析：若ke1＋4e2与e1＋ke2共线，
则存在实数x，使得ke1＋4e2＝x（e1＋ke2），
∵e1与e2是不共线的向量，
∴
∴k＝±2，
又ke1＋4e2与e1＋ke2方向相反，
∴k＝－2.
（2）设向量a与b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：A，B，D三点共线.
证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），
∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.
∴，共线，又∵，有公共点B，∴A，B，D三点共线.
巧归纳
利用共线向量定理常解决的三种题型：①证明三点共线；②利用共线求待定系数；③判断向量是否共线.
在理解应用时要注意以下几点：
（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa（a≠0），则a与b共线；反之，若a（a≠0）与b共线，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
（2）定理中之所以限定a≠0，是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立.
（3）若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
（4）一般地，解决向量a，b共线求参问题，可用两个不共线向量（如e1，e2）表示向量a，b，设b＝λa（a≠0），化成关于e1，e2的方程 （λ）e1＝φ（λ）e2，由于e1，e2不共线，则解方程组即可.
[练习题3] （1）判断下列各小题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2是两个不共线的向量）.
①a＝5e1，b＝－10e1；
②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
解：①∵b＝－2a，∴a与b共线.
②∵a＝b，∴a与b共线.
③设a＝λb，则e1＋e2＝λ（3e1－3e2），
∴（1－3λ）e1＋（1＋3λ）e2＝0.
∵e1与e2是两个不共线的向量，
∴1－3λ＝0，1＋3λ＝0.
这样的λ不存在，因此a与b不共线.
（2）已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线.
证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2（e1－4e2），
∴＝2，∴∥.
∵与有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
@研习任务四 用已知向量表示相关向量
题型 调研
[典例4] （2024·山东省威海市期中）如图，在△ABC中，＝a，＝b，M是AB的中点，N是CM的中点，则＝（ D ）
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：∵＝a，＝b，M是AB的中点，N是CM的中点，∴＝（＋）＝＝a＋b.
巧归纳
用已知向量表示相关向量：
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
（3）中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则＝
[练习题4] 在△ABC中，G是△ABC的重心.求证：＝（＋）.
证明：如图，延长AG交BC于点D，再延长AD到E，使＝，连接BE，EC.
∵G是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴＋＝.
又∵＝＝×＝，
∴＝（＋）.
@课后提素养
1.（多选）已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（ AC ）
A.λa∥a
B.λa与a方向相同
C.是单位向量
D.若｜λa｜＞｜a｜，则λ＞1
2.将[2（2a＋8b）－4（4a－2b）]化简成最简式为（ B ）
A.2a－b B.2b－a
C.a－b D.b－a
解析：原式＝（4a＋16b－16a＋8b）
＝[（4－16）a＋（16＋8）b]
＝（－12a＋24b）＝2b－a.
3.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（ D ）
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
解析：＝＋＝＋（－）＝－＝a－b.
4.（2024·四川省宜宾市叙州区二中期中）已知a，b是不共线的向量，＝2a＋λb，＝（λ－1）a＋b，若A，B，C三点共线，则实数λ的值为 －1或2 .
解析：∵a，b是不共线的向量，＝2a＋λb，＝（λ－1）a＋b，A，B，C三点共线，则设＝μ，μ∈R，
∴2a＋λb＝μ[（λ－1）a＋b]，
∴
∴λ2－λ－2＝0，解得λ＝－1或2.
@课时作业（四）
基础巩固
1. （多选）已知实数m，n和向量a，b，下列结论中正确的是（ ABD ）
A.m（a－b）＝ma－mb
B.（m－n）a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b
D.若ma＝na（a≠0），则m＝n
解析：易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得（m－n）a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确.
2.下列结论正确的是（ B ）
A.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa
B.若b＝λa，则a与b共线
C.若λa＝0，则a＝0
D.｜λa｜＝λ｜a｜
3.（2024·福建福州检测）在△ABC中，＝＋，则＝（ B ）
A. B. C. D.2
答案：
解析：因为＝＋，所以－＝－，即＝，所以＝2，所以＝＝，故选B.
4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ A ）
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
解析：＝a＋2b，＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以与不共线，所以AB与CD不平行.又＝＋＋＝－8a－2b，显然＝2，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形.故选A.
5.设a，b都是非零向量.下列四个条件中，使＝成立的条件是（ C ）
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析：，分别表示a，b的单位向量.对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，可能a，b方向相反，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且｜a｜＝｜b｜时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b.故选C.
6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为（ A ）
A.＝－＋
B.＝－＋
C.＝－
D.＝＋
7.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，那么（ A ）
A.＝ B.＝2
C.＝3 D.2＝
解析：如图，延长OD至E，使｜｜＝｜｜，连接BE，EC，则四边形OBEC为平行四边形，
∴＋＝＝2，
∴2＋＋＝2＋2＝0.
∴＋＝0.
∴＝－＝.故选A.
8.设a，b是两个不共线的向量.若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝ －4 .
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以 λ，使ka＋2b＝λ（8a＋kb） k＝8λ，且2＝λk k＝－4（舍正，因为方向相反，所以λ＜0，则k＜0）.
9.若点C在线段AB上，且＝，则＝ ，＝ －.
10.已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点（靠近点B），设＝a，＝b.
（1）用向量a与b表示向量；
（2）若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由.
解：（1）∵＝a，＝b，点A是BC的中点，
∴＝－a.
∴＝＋＝－a－b.
（2）假设存在实数λ，使＝λ.
∵＝＋＝a＋b＋（－b）＝a＋b，
＝＋＝＋＝＋（＋）＝2a＋（－a＋b）＝a＋b，
∴a＋b＝λ，
∴此方程组无解，
∴不存在实数λ，满足＝λ.
∴C，D，E三点不共线.
更上层楼
11.已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向（ A ）
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
12.（多选）（2024·福建省福州市期中）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（ AC ）
A.当P为线段OC的中点时，μ＝
B.当P为线段OC的中点时，μ＝
C.无论μ取何值，恒有λ＝
D.存在μ∈R，使λ＝
解析：＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以存在实数m，使得＝m，则（1－λ）＋λ＝mμ＋3mμ，即（1－λ－mμ）＝（3mμ－λ），因为，不共线，所以解得λ＝，故C正确，D错误；若P为OC的中点，则＝，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选AC.
13.（2024·山西怀仁第一中学期末）已知O是△ABC内一点，满足＝，则S△ABC∶S△OBC＝（ A ）
A.3∶1 B.1∶3
C.2∶1 D.1∶2
解析：∵＝＝＋＝＋（－）＝（＋），∴O是△ABC的重心，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶1.
14.（2024·河南信阳多校高一期中联考）已知O是△ABC内部的一点，且＝m＋n（m，n∈R），记△ABC和△ABO的面积分别是S1，S2.若S1＝3S2，则2n－m＝ －1 .
解析：如图，分别在边AC，BC上取点D，E，使得AD＝AC，BE＝BC，连接DE，BD，AE.
由＝，＝，可得DE∥AB，所以S△ABD＝S△ABE＝S△ABC.又因为S1＝3S2，所以点O在线段DE上（不包含端点），则＝＋，＝＋.因为O，D，E三点共线，所以设＝k（k＜0），即＋＝k＋k，所以＝k＋.因为＝m＋n，所以所以2n－m＝－1.
探究发现·（重点班选做）
15.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（ A ）
A. B. C.－ D.－
解析：∵＝＋＝＋2＝＋2（－）＝＋2－2，
∴3＝＋2.
∴＝＋.
∴λ＝.故选A.
6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积（一）
@研习任务一 向量的夹角
走进 教材
[问题1] 在功的公式W＝｜F｜｜s｜cos θ中，θ是哪两个向量的夹角？
提示：θ是向量F与向量s的夹角.
[知识梳理]
向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.
2.特例：（1）当θ＝0时，a与b 同向 .
（2）当θ＝π时，a与b 反向 .
（3）当θ＝时，a与b 垂直 ，记作a⊥b.
温馨提示：
（1）两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
（2）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
题型 调研
[典例1] （1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，｜｜＝，｜｜＝1，则与的夹角θ＝ 120° .
解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，CB＝1，所以tan∠ACB＝＝，
所以∠ACB＝60°，即与的夹角为60°，
所以与的夹角θ为120°.
（2）已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
巧归纳
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
（2）特别地，若a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，则当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
[练习题1] 在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是（ C ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
@研习任务二 向量的数量积
走进 教材
[问题2] 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如图，那么力F所做的功如何计算呢？
提示：W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角.
[知识梳理]
1.平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
2.平面向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝ ｜a｜cos θ .
（2）a⊥b a·b＝0 .
（3）当a与b同向时，a·b＝ ｜a｜｜b｜ ；
当a与b反向时，a·b＝ －｜a｜｜b｜ .
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝.
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
温馨提示：
（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
（3）a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
题型 调研
[典例2] （1）已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，若：①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
解：①当 a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝2×5×1＝10；
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝2×5×（－1）＝－10.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 90°＝2×5×0＝0.
③当a与b的夹角为30°时，
a·b＝｜a｜｜b｜cos 30°＝2×5×＝5.
（2）已知点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，求·＋·＋·的值.
解：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos（π－C）＋5×3cos（π－A）
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×＝－25.
巧归纳
向量数量积的运算方法
（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.
（2）注意向量共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况.
[练习题2] 已知｜a｜＝10，｜b｜＝12，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
（2）3a·b；
（3）（3b－2a）·（4a＋b）.
解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.
（2）3a·b＝（a·b）＝×（－60）＝－36.
（3）（3b－2a）·（4a＋b）
＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b
＝10a·b＋3｜b｜2－8｜a｜2
＝10×（－60）＋3×122－8×102＝－968.
@研习任务三 投影向量
走进 教材
[问题3] 如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜.
提示：｜OD｜＝｜OA｜cos θ.
[知识梳理]
1.投影向量：设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的 投影向量 .
2.关于投影向量
（1）向量a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θe（其中e为与b同向的单位向量），它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值符号决定.
（2）向量a在b方向上的投影向量为·.
注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a方向上的投影向量可表示为｜b｜cos θ·＝·.
温馨提示：
（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
（2）如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
（3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
题型 调研
[典例3] （1）在等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影向量为（ C ）
A. B.
C. D.
解析：如图，过D，C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，
在等腰梯形ABCD中，＝2，可得AE＋BF＝DC＝AB，则AE＝BF＝AB，故向量在向量上的投影向量为.
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求：
①在上的投影向量；
②在上的投影向量.
解：如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，
∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.
又D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2.
与的夹角为180°－45°＝135°.
①设与向量方向相同的单位向量为e1，易知e1＝＝，则在上的投影向量是｜｜cos 135°·e1＝4×（－）e1＝－2e1＝－2×＝－.
②设与向量方向相同的单位向量为e2，易知e2＝＝，则在上的投影向量是｜｜cos 135°·e2＝2×（－）e2＝－2e2＝－2×＝－.
巧归纳
求投影向量的方法
（1）依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
（2）首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式｜a｜cos θe计算.
[练习题3] 已知｜a｜＝12，｜b｜＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量.
解：设a，b的夹角为θ，
∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量为
｜a｜cos θ·＝12××b＝b.
@课后提素养
1.在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是（ B ）
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
2.在等腰直角△ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝（ B ）
A.－2 B.2
C.－2 D.2
解析：·＝｜｜｜｜cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
3.已知｜b｜＝3，a在b方向上的投影向量的长度为，则a·b＝（ B ）
A.3 B. C.2 D.
解析：设a与b的夹角为θ，因为｜a｜cos θ＝，｜b｜＝3，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝.
4.如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
（1）与；
（2）与；
（3）与.
解：（1）与的夹角是∠EDF＝60°.
（2）因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°.
（3）如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则＝，则与的夹角等于与的夹角，即∠EDB'＝120°.
@课时作业（五）
基础巩固
1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于（ B ）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
2.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝，且｜2a＋b｜＝，则向量a与向量a＋b的夹角为（ B ）
A. B.
C. D.π
解析：∵｜2a＋b｜2＝（2a＋b）2＝4｜a｜2＋4a·b＋｜b｜2＝7，且｜a｜＝1，｜b｜＝，∴4＋4a·b＋3＝7，得a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，
∵tan∠COA＝＝，
∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.
3.（2024·江西景德镇一中高一期末）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）B
A. B.－
C.9 D.－9
解析：由题意，可得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝9＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.
4.在△ABC中，若·＝2，则△ABC是（ C ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析：∵·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝2，
∴cos（π－B）＞0，即cos B＜0.
又∵0＜B＜π，∴B为钝角，故选C.
5.在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝（ D ）
A.－16 B.－8
C.8 D.16
解析：因为cos A＝，
故·＝｜｜·｜｜cos A＝AC2＝16，故选D.
6.在△ABC中，｜＋｜＝｜－｜，若AB＝4，AC＝3，则在方向上的投影向量是（ C ）
A. B.
C. D.
解析：因为｜＋｜＝｜－｜，所以＝，所以·＝0，即∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，｜｜＝＝5，则cos∠ABC＝，所以在方向上的投影向量为｜｜·（－cos∠ABC）·＝－＝，故选C.
7.（多选）下列说法正确的是（ AB ）
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B.若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是（，π］
C.若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
D.若a·b＝0，则a⊥b
解析：对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，因为a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＜0，则cos θ＜0，又因为0≤θ≤π，所以θ∈（，π］，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误.
8.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为 b .
解析：设a与b的夹角为θ，
∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝12，又｜b｜＝5，
∴｜a｜cos θ＝，＝，
即向量a在向量b上的投影向量为b.
9.已知向量a，b，其中｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·（a＋b）＝ 6 .
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos θ＝3－2cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜cos θ＝3＋2×＝6.
10.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4.
（1）若a与b的夹角θ＝120°.
①求a·b；
②求向量a在向量b上的投影向量.
（2）若a∥b，求a·b.
解：（1）①a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
②向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos θ＝5××＝－b.
（2）∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝－20.
更上层楼
11.（2024·江苏镇江中学二模）已知非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－2b｜，且b在a上的投影向量为a，则＝（ B ）
A. B. C.2 D.
解析：设a，b的夹角为θ，
由｜a＋b｜＝｜a－2b｜两边平方可得，a2＋b2＋2｜a｜·｜b｜cos θ＝a2＋4b2－4｜a｜·｜b｜cos θ，得·cos θ＝，所以cos θ＝.因为b在a上的投影向量为a，所以｜b｜·cos θ·＝a，
所以·cos θ＝，即·＝，则＝.故选B.
12.定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于（ A ）
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
解析：cos θ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.
∴｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ＝2×5×＝8.
13.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ A）
A.－ B.0 C. D.3
解析：a·b＝·＝｜｜｜｜·cos（180°－∠BCA）＝－｜｜｜｜·cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，则a·b＋b·c＋c·a＝－.
14.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为 e .
解析：设a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θe＝2×e＝e.
探究发现·（重点班选做）
15.已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列给出的向量的数量积中最大的是（ A ）
A.· B.·
C.· D.·
解析：根据正六边形的几何性质，得
＜，＞＝，＜，＞＝，＜，＞＝，＜，＞＝.
D中，·＜0，
C中，·＝0，
A中，·＝｜｜·｜｜·cos＝｜｜2，
B中，·＝｜｜·2｜｜·cos＝｜｜2.比较可知选A.
16.（2024·上海嘉定第一中学期中）如图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i＝1，2，…，7）是小正方形的其余各个顶点，则·（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为 3 .
解析：·＝｜｜｜｜cos＜，＞，
结合题图可知，｜｜cos＜，＞表示（i＝1，2，…，7）在上的投影向量的长度，
（i＝2，5）在上的投影向量相同，
（i＝1，3，6）在上的投影向量相同，
（i＝4，7）在上的投影向量相同，
所以·的不同值有3个.
6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的数量积（二）
@研习任务一 向量的数量积的运算律
走进 教材
[知识梳理]
1.平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝ b·a （交换律）；
（2）（λa）·b＝ λ（a·b） ＝ a·（λb） （结合律）；
（3）（a＋b）·c＝ a·c＋b·c （分配律）.
2.平面向量数量积的运算性质
多项式乘法 向量的数量积
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝ a2＋2a·b＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝ a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝ a2－b2
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝ a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
温馨提示：
（1）a·b＝b·c推不出a＝c.
（2）（a·b）c≠a（b·c），它们表示不同的向量.
题型 调研
[典例1] （1）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝（ B ）
A. B.－
C. D.－
解析：∵E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，
∴＝＋，＝＝（－），
又｜｜＝｜｜＝2，且∠BAD＝60°，
∴·＝（＋）·（－）
＝·＋｜｜2－｜｜2
＝×2×2cos 60°＋×22－×22
＝－.
（2）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）.
解：（2a＋3b）·（3a－2b）
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2
＝6×42＋5×4×7×cos 120°－6×72
＝－268.
巧归纳
根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
[练习题1] 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝ －6 .
@研习任务二 向量的模
题型 调研
[典例2] （1）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·（a－2b）＝0，则｜a＋b｜＝（ C ）
A.6 B.4
C. D.
解析：∵a·（a－2b）＝0，∴a2－2a·b＝0.
∵｜a｜＝1，∴a·b＝，
∴｜a＋b｜＝＝＝.
（2）若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（ C ）
A.4 B.10
C.4或10 D.2或
解析：∵平面向量a，b，c两两所成的角相等，∴任意两个向量的夹角为0或.再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得
①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10.
②若任意两个向量的夹角为，则a·b＝2×2×cos ＝－2，a·c＝b·c＝2×6×cos ＝－6，
故｜a＋b＋c｜
＝
＝
＝4.
∴｜a＋b＋c｜＝4或10.
巧归纳
1.运用a·b＝｜a｜｜b｜cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律.
2.若所求向量的模与夹角未知，则应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.
[练习题2] （1）已知向量m，n的夹角为，｜m｜＝sin，｜n｜＝cos，则｜m＋n｜＝（ C ）
A. B. C. D.
解析：由题意知，（m＋n）2＝m2＋n2＋2｜m｜·｜n｜cos ＝1＋sincos＝1＋sin＝1＋＝，
∴｜m＋n｜＝.
（2）（2024·江苏省扬州中学月考）若平面向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，则｜2a＋b｜等于（ B ）
A. B.2 C.2 D.8
解析：∵｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴a⊥b，∴a·b＝0，故｜2a＋b｜＝＝＝2.
@研习任务三 向量的夹角与垂直
题型 调研
题型一 向量的夹角问题
[典例3] （1）已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，且（4a－b）·（a＋3b）＝2，则向量a，b的夹角θ为（ D ）
A. B. C. D.
解析：（4a－b）·（a＋3b）＝4a2－3b2＋11a·b＝2，
由｜a｜＝2，｜b｜＝1，得a·b＝－1.
由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝2cos θ＝－1，
得cos θ＝－，所以θ＝.
（2）（2023·全国甲卷）若向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（ D ）
A.－ B.－ C. D.
解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
平方得，a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，
所以a·b＝0.
如图，设＝a，＝b，＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，
则AB边上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＋＝，
AC＝＝，
所以tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝cos∠ACB＝
cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1
＝2×－1＝.故选D.
巧归纳
求两向量夹角的方法
（1）一般是利用夹角公式：cos θ＝.
（2）注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角为钝角.
[练习题3] （1）（2024·广西南宁市重点中学期中）设向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜2a－b｜＝，则a与b的夹角为（ D ）
A. B. C. D.
解析：设a与b的夹角为θ，
由题意得（2a－b）2＝37，
∴4｜a｜2＋｜b｜2－4a·b＝37，
又｜a｜＝2，｜b｜＝3，∴a·b＝－3，
即｜a｜｜b｜cos θ＝－3，则cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
（2）已知向量a，b的夹角为30°，且｜a｜＝，｜b｜＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值.
解：p·q＝（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝3－1＝2.
∵｜p｜＝｜a＋b｜＝＝＝，
｜q｜＝｜a－b｜＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝.
即向量p与q夹角θ的余弦值为.
题型二 利用数量积解决向量的垂直问题
[典例4] （1）已知向量a，b，｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角为120°，若（ka－2b）⊥（a＋b），则k＝（ C ）
A.－ B.－ C. D.
解析：因为｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角为120°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝5×4×＝－10.由（ka－2b）⊥（a＋b），得（ka－2b）·（a＋b）＝ka2－2b2＋（k－2）a·b＝25k－2×16－10（k－2）＝15k－12＝0，
解得k＝.
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
解：a＋kb与a－kb互相垂直的充要条件是（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0.
因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，
所以9－16k2＝0，
解得k＝±.
故当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直.
巧归纳
a⊥b a·b＝0的应用
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：
（1）证明两向量垂直或解决平面几何图形中有关垂直的问题；
（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值.
[练习题4] （1）已知非零向量m，n，满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（ B ）
A.4 B.－4 C. D.－
解析：由题意知，cos＜m，n＞＝＝＝，
所以m·n＝｜n｜2＝n2，
因为n·（tm＋n）＝0，
所以tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，
所以t＝－4.
（2）若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，｜b｜＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为 .
解析：由题知a·b＝1×2×cos＝1，
所以c·b＝（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝6，
｜c｜＝｜2a＋b｜＝＝＝2.
设c与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
@课后提素养
1.已知向量a，b，c，实数λ，下列命题中，真命题是（ B ）
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b＝a·c，则b＝c
2.（2024·宁夏石嘴山检测）已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（ B ）
A.4 B.3 C.2 D.0
解析：向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
3.（2024·安徽省马鞍山市质检）设向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a－b｜＝2，则｜a＋b｜＝（ D ）
A.1 B.2 C. D.
解析：方法一：∵｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝4，∴a·b＝，∴｜a＋b｜＝＝＝.
方法二：∵｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2），∴｜a＋b｜2＋22＝2×（12＋22），解得｜a＋b｜＝.
4.若｜a｜＝1，｜b｜＝，且a－b与a垂直，求a与b的夹角.
解：设a与b的夹角为θ，
∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，即a2－b·a＝0，
∴a·b＝a2＝｜a｜2＝1，∴cos θ＝＝＝.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a与b的夹角为45°.
@课时作业（六）
基础巩固
1.已知向量a，b方向相同，且｜a｜＝2，｜b｜＝4，则｜2a＋3b｜等于（ A ）
A.16 B.256 C.8 D.64
2.（2024·江苏南京高一阶段检测）已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜a－2b｜＝2，则向量b在a上的投影向量的模等于（ B ）
A. B. C. D.1
解析：由题设，｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝28，而a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝｜a｜·｜b｜＝｜b｜，所以｜b｜2－｜b｜－6＝0，可得｜b｜＝3或｜b｜＝－2（舍），则向量b在a上的投影向量的模为｜｜b｜cos 60°｜＝.故选B.
3.泸州高中的校徽轮廓由两个同心圆构成，设圆心为O点，大圆半径为3，小圆半径为2，动点M，N分别在大圆、小圆上运动，则｜＋｜的取值范围为（ C ）
A. B.
C. D.
解析：｜＋｜
＝
＝，
由题知，＜，＞∈[0，π]，则cos＜，＞∈[－1，1].故｜＋｜∈[1，5].故选C.
4.设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为（ B ）
A.2 B. C.3 D.
5.（2024·湖北新高考协作体联考）已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在CD上，且＝2，则·＝（ C ）
A.－ B.－ C.－ D.4
解析：由题意可知·＝（－）·（－）＝·－（＋）·＋＝0－2·＋，
∵＝2，∴＝，
∴·＝－2·＋＝－.
由题意得AB＝2，
∵D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝，
∴·＝－×（）2＝－.
6.已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则｜p｜＝（ D ）
A.2＋ B.
C.3 D.
7.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，｜｜＝1，则·＝（ D ）
A.2 B.3
C.3 D.
解析：∵·＝0，∴·＝（＋）·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜·｜｜·cos∠ADB＝｜｜2＝.
8.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是 等边三角形 ，·＝ －8 .
解析：∵·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4×cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
此时·＝｜｜｜｜cos 120°＝－8.
9.已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝4，· （2a－3b）＝12，则｜b｜＝ ；向量b在向量a上的投影向量为 a .
解析：∵a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞＝4｜b｜·cos 45°＝2｜b｜，
∴·（2a－3b）＝｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝16＋｜b｜－3｜b｜2＝12，
解得｜b｜＝或｜b｜＝－（舍去）.
故向量b在向量a上的投影向量为｜b｜cos 45°·＝a.
10.设向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝3，求｜3a＋b｜.
解：∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴｜a｜2＝｜b｜2＝1.
又∵｜3a－2b｜2＝9｜a｜2－12a·b＋4｜b｜2＝13－12a·b＝32，
∴6a·b＝2.
∵｜3a＋b｜2＝9｜a｜2＋6a·b＋｜b｜2＝12，
∴｜3a＋b｜＝2.
更上层楼
11.已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－，则a与b的夹角为（ A ）
A.30° B.45°
C.135° D.150°
解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
12.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为60°.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 ∪∪（1，＋∞） .
解析：由题意可得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝2×3×＝3.∵（a＋λb）·（λa＋b）＝λa2＋（λ2＋1）a·b＋λb2，且a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋（λ2＋1）a·b＋λb2＞0且a＋λb与λa＋b不共线.
∵a2＝｜a｜2＝4，b2＝｜b｜2＝9，a·b＝3，
∴3λ2＋13λ＋3＞0，解得λ＜或λ＞.当λ＝1时，a＋λb与λa＋b同向共线，其夹角为0，不是锐角，故λ的取值范围为∪∪（1，＋∞）.
13.如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为点P，且AP＝3，则·＝ 18 .
解析：设AC与BD交于点O，∠PAC＝θ，则·＝·2.由AP⊥BD可知，在方向上的投影向量的模为｜｜cos θ＝｜｜，故·＝｜｜2＝9，即·＝2×9＝18.
14.若（a＋b）⊥（2a－b），（a－2b）⊥（2a＋b），求非零向量a，b夹角的正弦值.
解：设a，b的夹角为θ.
由（a＋b）⊥（2a－b），（a－2b）⊥（2a＋b），
得
∴
①×3＋②，得a2＝b2.
∴｜a｜2＝｜b｜2，即｜a｜＝｜b｜.
由①得，a·b＝b2－2a2＝－｜b｜2.
∴cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴a，b夹角的正弦值为.
探究发现·（重点班选做）
15.（2024·浙江北斗联盟期中）已知向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a｜＝2｜b｜，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cos θ的最小值为（ B ）
A. B. C. D.
解析：由题意得，cos θ＝＝，
设b2＝t，则a2＝4b2＝4t，
又｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝9，
所以2a·b＝5t－9，
所以｜a＋b｜＝＝＝，
则cos θ＝＝，
因为－2｜a｜｜b｜≤2a·b≤2｜a｜｜b｜，
所以－4t≤5t－9≤4t，即1≤t≤9，
则cos θ＝，
令y＝，t∈[1，9]，显然y＞0，则关于t的方程t2－10yt＋9y＝0有解，
所以Δ＝100y2－36y≥0，即y≥，
当y＝时，t＝∈[1，9]，
所以cos θ的最小值为＝.故选B.
16.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于（ D ）
A. B.6 C.12 D.18
解析：过点O作OD⊥AB于D，可知AD＝AB＝3，则·＝（＋）·＝·＋·＝3×6＋0＝18.故选D.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
@研习任务一 平面向量基本定理
走进 教材
[问题] 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.由力的分解得到启发，如图1，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.如图2，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？
提示：过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则＝＋.由与e1共线，与e2共线可得，存在实数λ1，λ2，使得＝λ1e1，＝λ2e2，所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是说，与e1，e2都不共线的向量a可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式.
[知识梳理]
平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个 不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2 不共线 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
温馨提示：
（1）同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可.
（2）当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.
题型 调研
[典例1] （1）（多选）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ BD ）
A.，
B.，
C.，
D.，
（2）（2024·天津四中段考）若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为该平面向量的基底的是（ C ）
A.e1－e2，e2－e1
B.2e1－e2，e1－e2
C.e1＋e2，e1－e2
D.2e2－3e1，6e1－4e2
解析：对于选项A，e1－e2＝－（e2－e1），故e1－e2与e2－e1共线，所以不能作为基底；
对于选项B，2e1－e2＝2，故2e1－e2与e1－e2共线，所以不能作为基底；对于选项C，若e1＋e2与e1－e2共线，则可设 λ，使e1＋e2＝λ（e1－e2），即e1＋e2＝λe1－λe2，可得故不存在λ，使e1＋e2＝λ（e1－e2），故e1＋e2与e1－e2不共线，所以能作为基底；对于选项D，－2（2e2－3e1）＝6e1－4e2，故2e2－3e1与6e1－4e2共线，所以不能作为基底.
巧归纳
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
[练习题1] （1）（多选）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ AC ）
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：A项，与不共线；B项，＝－，则与共线；C项，与不共线；D项，＝－，则与共线.只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故AC满足题意.
（2）已知{a，b}是平面内的一个基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ 3 .
@研习任务二 用基底表示向量
题型 调研
[典例2] （1）（多选）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
解析：由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确；＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确；＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a＝b－a，故C错误；＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确.故选ABD.
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC边上的中点，已知＝c，＝d，用基底{c，d}表示，则＝ －c＋d .
解析：设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝a＋b，①
＝＋＝＋＝a＋b，②
由①②得
解得a＝－c＋d，即＝－c＋d.
巧归纳
将
