(共45张PPT)
第八章 立体几何初步
综合微评（三）
A. α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
B. α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
C. n⊥α，n⊥β，m⊥α
D. α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
解析：在选项A中，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，则β和m可能平行或相交，故A错误；在 选项B中，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m与β相交或m∥β或m β，故B错误；在选项 C中，因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；在选项D中， 由α⊥γ，β⊥γ，不能推出α∥β，所以由m⊥α不能推出m⊥β，故D错误.故选C.
C
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A. AB∥CD
B. AB与CD相交
C. AB⊥CD
D. AB与CD所成的角为60°
解析：将平面展开图还原成正方体，易知AB与CD所成的角为60°，故选D.
D
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A. BC的长度大于AC的长度
B. △ABC的面积为4
C. △A'B'C'的面积为2
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D. 3
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A. A'C⊥BD
B. ∠BA'C＝90°
C. CA'与平面A'BD所成的角为30°
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A. 32π B. 16π
D. 8π
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D. π
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过B1作B1H⊥BA于点H，连接AB1.
解析：如图，过B1作B1M⊥BC于点M，过C1作C1N⊥BC于点N，
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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
AB
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A. PC∥平面OMN
B. 平面PCD∥平面OMN
C. OM⊥PA
D. 直线PD与直线MN所成角的大小为90°
ABC
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解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，故A正确.同理PD∥ON， 所以平面PCD∥平面OMN，故B正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝ PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，故C正确.由于M， N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB. 又四边形ABCD为正方形，所以 AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即 ∠PDC. 又△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故D错误.
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A. 存在点E和某一翻折位置，使得SB⊥SE
B. 存在点E和某一翻折位置，使得AE∥平面SBC
C. 存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABCE所成的角为45°
D. 存在点E和某一翻折位置，使得二面角S－AB－C的大小为60°
ACD
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
解析：由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1即可，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，或是正方形等条件.
B1D1⊥A1C1（答案不唯一）
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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）已知一圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求此球的表面积.
解：（2）设圆锥内切球的半径为r，则（10－6）2＋r2＝（8－r）2，解得r＝3 cm，
所以所求球的表面积S＝4πr2＝4π×32＝36π（cm2）.
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16. （本小题满分15分）如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA， AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中 点.求证：
（1）CE∥平面PAD；
证明：（1）证法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
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（2）平面EFG⊥平面EMN.
证明：（2）∵E，F分别为PB，AB的中点，
∴EF∥PA. 又AB⊥PA，
∴AB⊥EF，同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.
又AB∥CD，∴MN∥AB.
因此MN⊥平面EFG.
又MN 平面EMN，
∴平面EFG⊥平面EMN.
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17. （本小题满分15分）（2024·北京工业大学附中高一期中）如图，在四棱锥P－ ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，且PA ＝AB＝BC＝1，AD＝2.
（1）若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC∥l.
解：（1）证明：∵BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面 PAD，∴BC∥平面PAD.
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，∴BC∥l.
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（2）求证：平面PAC⊥平面PCD.
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（3）棱PD上是否存在点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求CE的长；若不存 在，请说明理由.
解：（3）存在点E为PD的中点，使CE∥平面PAB.
取线段PA的中点F，连接EF，BF，CE.
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18. （本小题满分17分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝ AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
（1）求证：BC⊥平面PAC；
解：（1）证明：∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，
∴PA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，
又PA∩AC＝A，PA与AC在平面PAC内，
∴BC⊥平面PAC.
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（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小；
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（3）是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由.
解：（3）存在.理由：∵DE∥BC，
又由（1）知BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角，
∵PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，
这时∠AEP＝90°.
故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角.
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19. （本小题满分17分）（2024·湖北荆州中学高一月考）如图①，已知等边三角形 ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC. 如图②，将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置.
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（1）求证：平面A'BM⊥平面BCNM.
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第八章 立体几何初步
章末总结
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知识体系构建
第*页
高考热点追踪
A. 直径为0.99 m的球体
B. 所有棱长均为1.4 m的四面体
C. 底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D. 底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
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解析：对于A选项，正方体内切球的直径为1 m，故A符合题意；
图1
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A. 该圆锥的体积为π
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A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
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A. 1.0×109 m3 B. 1.2×109 m3
C. 1.4×109 m3 D. 1.6×109 m3
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A. V3＝2V2 B. V3＝V1
C. V3＝V1＋V2 D. 2V3＝3V1
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A. 平面B1EF⊥平面BDD1
B. 平面B1EF⊥平面A1BD
C. 平面B1EF∥平面A1AC
D. 平面B1EF∥平面A1C1D
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解析：对于A选项：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中 点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD，又由正方体的性质可得EF⊥DD1，又 BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1.又因为EF 平面B1EF，所以平面B1EF⊥平 面BDD1，所以A选项正确.对于B选项：因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由选项A 知平面B1EF⊥平面BDD1，若平面B1EF⊥平面A1BD，则BD⊥平面B1EF，显然不 成立，所以B选项错误.对于C选项：由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面 B1EF与平面A1AC有公共点，所以C选项错误.对于D选项：如图，
连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平
面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面A1C1D与平面B1EF不
平行，所以D选项错误.故选A.
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A. AB＝2AD
B. AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C. AC＝CB1
D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
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A. α≤β≤γ B. β≤α≤γ
C. β≤γ≤α D. α≤γ≤β
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（2）若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积.
解：（2）如图，过点P作PM⊥FO，交FO的延长线 于点M，连接PF.
由（1）知，点F，O分别为AC， BC的中点，所以 OF∥AB，
又AB⊥BC，所以OF⊥BC.
因为PB＝PC，点O为BC的中点，
所以BC⊥PO.
因为PO∩OF＝O，且PO，OF 平面PFO，所以 BC⊥平面PFO.
又PM 平面PFO，所以BC⊥PM.
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14. （2023·全国甲卷文）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC， ∠ACB＝90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 A1C⊥BC. 又AC⊥BC，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面 ACC1A1.
因为BC 平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
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（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
解：（2）由（1）可知，A1C⊥BC，又因为AB＝A1B， AC⊥BC，所以CA＝CA1，
所以△AA1C是等腰直角三角形，
所以△CA1C1是等腰直角三角形.
如图，取CC1的中点为D，连接A1D，则A1D⊥CC1，
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15. （2022·全国乙卷理）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝ ∠BDC，E为AC的中点.
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
解：（1）证明：因为在△ABD和△CBD中，AD＝DC， ∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB.
又因为E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为AD＝DC，E为AC的中点，
所以DE⊥AC.
又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BED.
又因为AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
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（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求 CF与平面ABD所成的角的正弦值.
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15第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 基本立体图形（一）
@研习任务一 空间几何体、多面体、旋转体的定义
走进 教材
[问题1] 如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？
提示：观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识.
在图中，可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、金刚石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，我们称之为多面体结构.
纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面，我们称之为旋转体结构.
[知识梳理]
1.空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体.
2.多面体、旋转体
多面体 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面 ；两个面的 公共边 叫做多面体的棱；棱与棱的 公共点 叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条 定直线 旋转所形成的 曲面 叫做旋转面，封闭的旋转面围成的 几何体 叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的 轴
题型 调研
[典例1] （1）图①中的几何体叫做 棱柱 ，AA1，BB1是它的 侧棱 ，A，B，C1是它的 顶点 .
①
（2）图②中的几何体叫做 棱锥 ，PA，PB为其 侧棱 ，平面PBC，PCD叫做它的 侧面 ，平面ABCD是它的 底面 .
②
（3）图③中的几何体叫做 棱台 ，它是由棱锥 O－ABCD 被平行于底面ABCD的平面 A'B'C'D' 截得的.AA'，BB'为其 侧棱 ，平面BCC'B'，DAA'D'为其 侧面 .
③
巧归纳
识别多面体的类型，只需由棱柱、棱锥、棱台的定义及几何特征判断即可.
[练习题1] 下列几何体中，是棱柱的有 ①②⑤⑧ ；是棱锥的有 ④⑥⑦ ；是棱台的有 ③⑨⑩ .
@研习任务二 棱柱的结构特征
走进 教材
[问题2] 观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？
提示：直观上可以发现，图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等.
[知识梳理]
1.棱柱的结构特征
棱 柱 有两个面互相 平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱 ABCDEF－ A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个互相 平行 的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：侧面 与底面的 公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱 柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱 柱
温馨提示：
（1）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示.
（2）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示.
（3）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示，棱柱还需满足各侧棱互相平行且相等.
2.特殊的棱柱
（1）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱.
（2）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.
（3）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.
题型 调研
[典例2] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解：（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
巧归纳
棱柱结构的辨析方法
（1）扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
[练习题2] （1）（2024·浙江杭州西湖高级中学期中）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ A ）
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析：因为有水的部分前后两个面平行，其余各面都是平行四边形，所以水形成的几何体是棱柱.
（2）下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是 ③④ .
解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
所以正确说法的序号是③④.
@研习任务三 棱锥的结构特征
走进 教材
[问题3] 请描述一下金字塔的结构特点，从每一个面特点，相邻的面之间联系入手.
提示：金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点.
[知识梳理]
1.棱锥的结构特征
棱 锥 有一个面是 多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ABCD 底面（底）：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：各侧面的 公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
温馨提示：
对于棱锥要注意，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是共顶点的三角形.
2.正棱锥的结构特征
（1）底面是正多边形.
（2）顶点与底面中心的连线垂直于底面.
题型 调研
[典例3] （1）（多选）下列说法中，正确的是（ AB ）
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱互相平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，即不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误.
（2）（多选）（2024·河南安阳林州一中期末）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形作灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则①②③处的字可能为（ BC ）
A.乐、新、快 B.快、新、乐
C.新、快、乐 D.乐、快、新
解析：题图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构特征知，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③，即①②③处可依次为新、快、乐或快、新乐.故选BC.
巧归纳
（1）棱锥的结构特征要从两个方面进行把握：①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
（2）判断一个几何体为棱锥除了利用定义，还可利用举反例法，即结合棱锥的定义举反例说明某些说法不正确.
[练习题3] 下列说法中正确的是（ D ）
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
解析：对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.
@研习任务四 棱台的结构特征
走进 教材
[问题4] 若用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，直观感受一下，平面下方的几何体具有怎样的特点？
提示：截面与棱锥的底面平行，各侧面都是梯形.
[知识梳理]
1.棱台的结构特征
棱 台 用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 记作：棱台 ABCD－A'B'C'D' 上底面：原棱锥的 截面 下底面：原棱锥的 底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点
2.正确认识棱台的结构特征
（1）上底面与下底面是互相平行的相似多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）侧棱延长线必交于一点.
温馨提示：
各侧面是全等的等腰梯形的棱台称为正棱台.棱台还可按底面多边形的边数进行分类，如底面是四边形的棱台叫做四棱台.
题型 调研
题型一 棱台的特征
[典例4] 下列三种叙述，正确的有（ A ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②错误；棱台的侧面为梯形，故③错误.故选A.
巧归纳
判断棱锥、棱台形状的两个方法
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
（2）直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
[练习题4] （2024·山西运城期中）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接BE，EF，FC，试判断几何体A1EF－ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面.
解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，
∴＝＝＝.
∴△A1EF∽△ABC，且AA1，BE，CF延长后交于一点.
又平面A1EF与平面ABC平行，
∴几何体A1EF－ABC是三棱台，平面ABC是下底面，平面A1EF是上底面，平面ABEA1，平面BCFE和平面ACFA1是侧面.
题型二 多面体的平面展开图
[典例5] （1）如图是三个几何体的展开图，请问它们各是什么几何体？
解：由几何体展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，把展开图还原为原几何体，如图所示.
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
（2）如图所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中（底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心），∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，
取AA1的中点D，连接VD，因为VA＝VA1，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.
巧归纳
将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决.
化“曲”为“直”的一般步骤：
（1）将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其平面展形图.
（2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
（3）结合已知条件求得结果.
[练习题5] （1）（2024·上海晋元高级中学期末）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为4 cm，高为10 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为（ D ）
A.16 cm B.12 cm
C.24 cm D.26 cm
解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱AA1展开，再拼接一次（因为绕行两周，所以需要再拼接一次），如图所示，所求最短路线的长即为六个小矩形拼成的大矩形的对角线的长度，易得拼成的大矩形的长为6×4＝24 cm，宽为10 cm，所以最短路线的长为＝26 cm.
（2）水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么在这个正方体的前面上的字是 有 .
解析：“有”所在面与“努”所在面是相对面，故填“有”.
@课后提素养
1.（多选）下面四个命题中假命题是（ ABC ）
A.有两个平面相互平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥
C.用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台
D.底面是长方形的直棱柱叫长方体
2.已知平行六面体的两组对角面都是矩形，且底面又是正方形，则此平行六面体一定是（ B ）
A.直平行六面体 B.正四棱柱
C.长方体 D.正方体
解析：根据两组对角面是矩形可知，侧棱和底面垂直，平行六面体是直四棱柱，再根据底面是正方形可知，是正四棱柱.故选B.
3.下列几何体中， ①③④ 是棱柱， ⑥ 是棱锥， ⑤ 是棱台（仅填相应序号）.
4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为 2 .
解析：将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求.如图，AC1＝2.
@课时作业（二十三）
基础巩固
1.对于棱锥，下列叙述正确的是（ D ）
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥共有六个顶点
D.任何棱锥都只有一个底面
解析：四棱锥共有八条棱，A错误；五棱锥共有六个面，B错误；六棱锥只有一个顶点，为各侧面的公共顶点，C错误；根据棱锥的定义知，D正确.故选D.
2.下列说法中正确的个数是（ B ）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：由五个面围成的多面体可以是四棱锥，①错误；根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，②正确；仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，③错误；有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，④错误.故选B.
3.下列四个命题中，正确的有（ A ）
①棱柱中互相平行的两个面都可作为棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④四棱锥有四个顶点.
A.0个 B.1个 C.3个 D.4个
解析：①错误，底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面；
②错误，如图所示的几何体各面均为三角形，但不是三棱锥；
③错误，因为不能保证侧棱相交于同一点；④错误，四棱锥只有一个顶点，就是各侧面的公共顶点.
4.如图，在三棱台A'B'C'－ABC中，截去三棱锥A'－ABC，则剩余部分是（ B ）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
解析：剩余部分是四棱锥A'－BCC'B'.
5.已知集合A＝{正方体}，B＝{长方体}，C＝{正四棱柱}，D＝{平行六面体}，E＝{四棱柱}，F＝{直平行六面体}，则（ B ）
A.A B C D F E
B.A C B F D E
C.C A B D F E
D.以上均不对
解析：几种常见的棱柱间的关系如下所示：
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.
6.一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（ D ）
A.四棱柱 B.四棱台
C.五棱锥 D.五棱台
解析：对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意；对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意.故选D.
7.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是 ①②③ .（写出所有正确结论的序号）
①有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
②每个面都是等边三角形的四面体；
③每个面都是直角三角形的四面体.
解析：如图，①正确，如四面体A1－ABD；②正确，如四面体A1－C1BD；③正确，如四面体B1－ABD.则正确的说法是①②③.
8.下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱锥的所有面都是三角形；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 ②③ .
解析：①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④错误，棱锥的底面可以不是三角形；⑤错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
9.如图为三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解：截面EFGH把三棱柱分成两部分，一部分是三棱柱AEF－A1HG，另一部分是四棱柱BCFE－B1C1GH.
10.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的面积为多少？
解：（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.
（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）S△PEF＝a2，
S△DPE＝S△DPF＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.
更上层楼
11.（多选）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱分别是（ ABC ）
A.三棱柱：AA1P－DD1Q
B.三棱柱：BB1E－CC1F
C.四棱柱：ABEP－DCFQ
D.四棱柱：ABB1P－DCC1Q
12.（多选）若正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值可以是（ BC ）
A. B. C.1 D.
解析：因为正方形对角线的一半小于正四棱锥的侧棱长，故侧棱长是底面边长的k倍，k＞，故满足条件的k值可以是，1.故选BC.
13.在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有 10 条.
解析：如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）.
14.（2024·河南焦作温县第一高级中学月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE＋B1E取得最小值，则此最小值是（ C ）
A.4 B.＋
C.2 D.8＋4
解析：连接B1C（动线段B1E始终在四边形A1B1CD内），将△AA1D沿A1D所在直线翻折，使点A与四边形A1B1CD构成如图所示的平面图形（将立体问题转化为平面问题），连接AB1，因为E是线段A1D上任意一点，所以AE＋B1E≥AB1，当且仅当A，E，B1三点共线时，等号成立，故所求最小值为AB1，在△AA1B1中，由余弦定理得A＝A＋A1－2AA1·A1B1cos（45°＋90°）＝8＋4，所以AB1＝＝2.故选C.
探究发现·（重点班选做）
15.如图，正三棱锥A－BCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面△BEF周长的最小值和这时点E，F的位置.
解：将正三棱锥的侧面沿棱BA展开，如图所示，
连接BB1，分别交AC，AD于点E，F，由对称性知BB1∥CD，
所以B1F＝B1D＝BC＝BE＝a，
又易知△B1FD∽△ACD，
所以＝＝，即FD＝a.
又因为＝，
所以＝，所以EF＝a.
故BB1＝2a＋a＝a，
即截面△BEF周长的最小值为a.
这时EF∥CD，且EC＝FD＝a，即点E，为AC上靠近点C的四等分点，点F为AD上靠近点D的四等分点.
第2课时 基本立体图形（二）
@研习任务一 旋转体的结构特征
走进 教材
[问题1] 圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到.圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？
提示：圆台可以由直角梯形绕它的直角腰为轴旋转，其余三条边形成的封闭几何体就是圆台.
[知识梳理]
圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征
类别 定义 图形及记法
圆柱 以 矩形的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 记作圆柱O'O
类别 定义 图形及记法
圆锥 以直角三角形的 一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 记作圆锥SO
类别 定义 图形及记法
圆台 用 平行 于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面 之间的部分叫做圆台 记作圆台O'O
类别 定义 图形及记法
球 半圆以它的 直径 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 记作球O
温馨提示：
（1）以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥.
（2）圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.
（3）球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分.
题型 调研
[典例1] （1）图①中的几何体为 圆柱 ，AB，CD都是它的 母线 ， ☉O和☉O'及其内部是它的 底面 .
（2）图②中的几何体为 圆锥 ，SB为其 母线 .
（3）图③中的几何体叫做 圆台 ，AA'是它的 母线 ，☉O' 及其内部是它的 上底面 ，☉O及其内部是它的 下底面 ，它还可以看作直角梯形OAA'O'绕它的 直角腰OO' 旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体.
（4）图④中的几何体叫做 球 ，O为其 球心 ，OA为它的 半径 ，AB为它的 直径 .
（5）下列说法正确的是 ③ （填序号）.
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥.
解析：①以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③正确.
巧归纳
（1）判断简单旋转体结构特征的方法：
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
（2）简单旋转体的轴截面及其应用：
①简单旋转体的轴截面中有底面直径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[练习题1] （多选）下列说法正确的是（ AC ）
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
解析：A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；D是错误的，球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球.
@研习任务二 旋转体的有关计算
走进 教材
[问题2] 棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥与圆台呢？
提示：它们的相同点都是多边形围成.不同点在于，棱柱的两个底面全等.棱台两个底面是相似多边形，棱锥只有一个底面.当底面发生变化时，它们可以相互转化，棱柱的上底面等比例放大或缩小时，就会转化为棱台，如果棱柱一个底面退缩成一个点的时候，就会转化为棱锥.圆柱，圆锥和圆台同样也有上述的转化过程.
题型 调研
[典例2] （1）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形且其面积是，则此圆锥的底面半径为 1 .
解析：设圆锥的底面半径为R，由题意得，圆锥的底面直径与母线长度相等，均为2R，则×2R×2R×sin 60°＝，所以R＝1.
（2）若圆台两底面半径分别为2和6，母线长为5，则轴截面面积为 24 .
解析：如图是圆台的轴截面，OB＝6，O1C＝2，BC＝5，
则高OO1＝
＝3，
∴S轴截面＝＝24.
（3）已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，试求这两个截面圆间的距离.
解：如图①②，设圆O为球的大圆，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.
当两截面圆在球心同侧时，CD＝OC－OD＝－＝2；
当两截面圆在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝＋＝14.
综上可知，两截面圆间的距离为2或14.
巧归纳
（1）用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构造相关几何变量的方程（组）而得解.
（2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
[练习题2] （1）已知在半径R为13 cm的球面上有A，B，C三点，AB＝6 cm，BC＝8 cm，CA＝10 cm，则过A，B，C的截面到球心的距离d是 12 cm .
解析：因为AB2＋BC2＝CA2，则过A，B，C三点的截面圆的半径为r＝CA＝5（cm），所以d＝＝＝12（cm），即球心与截面的距离为12 cm.
（2）矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为 16π cm2或9π cm2 .
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
（3）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径.
解：圆台的轴截面如图，设圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，
则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，
∴OO1＝2x.
又S轴截面＝（6x＋2x）·2x＝392，
∴x＝7.
∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，
两底面的半径分别为7 cm，21 cm.
@研习任务三 旋转体的侧面展开图
题型 调研
[典例3] 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长（注：1丈约等于10尺）（ A ）
A.37尺 B.39尺
C.41尺 D.43尺
解析：由题意，得圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，AC即为葛藤的最短长度，一条直角边长（即圆木的高）为3×10＋5＝35（尺），另一条直角边长为3×4＝12（尺），故葛藤长为＝37（尺）.故选A.
巧归纳
解此类题的关键是要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图.
[练习题3] 如图，圆锥的底面半径为r，母线长为4r，一细绳从A点开始，绕圆锥侧面一圈又回到A点，试求细绳的最短长度.
解：把圆锥的侧面沿SA剪开并展开在平面上如图，则细绳的最短距离就是AA'的长.
∵圆锥底面半径为r，
∴＝2πr.
∵以母线长4r为半径的圆的周长l＝8πr，
∴＝l，
∴∠ASA'＝90°，
∴AA'＝4r.
即细绳的最短长度为4r.
@课后提素养
1.如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是 （ D ）
解析：由题意，得题设中图形是直角梯形，根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，只有选项D适合，故选D.
2.给出下列说法：
①用一个平面去截圆锥，得到的几何体是一个圆锥和一个圆台；
②直线绕定直线旋转形成圆柱侧面；
③半圆绕定直线旋转形成球体；
④过圆台侧面上一点，有无数条母线.
其中正确的有（ A ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析：①不正确，用一个与圆锥底面平行的平面去截圆锥，得到的几何体才是一个圆锥和一个圆台；②不正确，与定直线平行的线段绕定直线旋转才可以形成圆柱侧面；③不正确，半圆面绕其直径所在直线旋转一周才可以形成球体；④不正确，过圆台侧面上一点有且只有一条母线.故正确的说法个数是0.
3.一个球漂在湖面上，湖水结冰后，将球取出（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24 cm、深为8 cm的空穴，则球的半径为 13 cm.
解析：如图，设球心为O，则AB＝24 cm，OD垂直平分AB，CD＝8 cm.设球的半径为R cm，在Rt△AOC中，AO2＝OC2＋AC2，所以R2＝（R－8）2＋122，解得R＝13.故球的半径为13 cm.
4.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面平行且距离为l的平面去截它，求所得截面的面积.
解：如图是此几何体的轴截面图，OA＝AB＝R，
所以△OAB是等腰直角三角形.
又CD∥OA，则CD＝BC，
设O1D＝x，则CD＝R－x，BC＝R－l，故x＝l，
所以所得截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）.
@课时作业（二十四）
基础巩固
1.（多选）下列判断正确的是（ CD ）
A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.过圆台上、下底面中心的截面是等腰梯形
2.（多选）下列说法错误的是（ ABC ）
A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C.圆柱不是旋转体
D.圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
解析：A中应强调绕梯形的“直角腰”旋转，B中应强调绕其“直角边”旋转而成，C中圆柱是旋转体.
3.（多选）下列关于球体的说法正确的是 （ BC ）
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
4.已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q，则它的底面面积为（ C ）
A.Q B.πQ
C. D.
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ D ）
A.①② B.①③
C.①④ D.①⑤
解析：当截面过圆锥顶点时，圆锥的截线是圆锥的母线，为直线，故②错.当截面不过圆锥顶点时，圆锥的截线不可能是直线，故③④错，故选D.
6.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（ A ）
A.10 cm B.20 cm
C.20 cm D.10 cm
解析：圆锥的高即为轴截面等腰三角形的高，腰为20 cm，顶角的一半为30°，∴h＝20cos 30°＝10（cm）.
7.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是 2 .
解析：设底面半径为r，高为h.∵圆锥的轴截面是等腰三角形，∴h＝.∵·2rh＝8，∴h＝2.
8.若一个到球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为 2 .
解析：由题知，球心到截面的距离为1，设截面圆的半径为r，则πr2＝π，所以r＝1.设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
9.一个长方体的容器中装有一定量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？
解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是非矩形的平行四边形.
（2）不对.水的形状就是用与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水较多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台.故此时（1）对，（2）不对.
10.圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm，高为8 cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是3 cm和6 cm，求截面面积.
解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1.OO1为圆台的高，取AB，A1B1的中点C，C1，则OC＝6 cm，O1C1＝3 cm.
∴AB＝2＝16（cm），
A1B1＝2＝8（cm），
CC1＝
＝＝（cm）.
∴S截面＝（AB＋A1B1）CC1
＝×（16＋8）×
＝12（cm2）.
更上层楼
11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 （ D ）
A.4 B.3 C.2 D.2
解析：设圆台的母线长为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，则l2＝h2＋（R－r）2，由题意知，r＝6，R＝7，l＝5，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
12.（2024·黑龙江哈六中高一期中）如图，在正四棱锥O－ABCD中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30°，E，F分别是线段OB，OC上的一点，则AE＋EF＋FD的最小值为 4 .
解析：如图，将正四棱锥的侧面OAB，侧面OBC，侧面OCD展开到同一平面内，则AE＋EF＋FD的最小值为AD.在△OAD中，OA＝OD＝4，∠AOD＝90°，则AD＝OA＝4.
13.若球O的半径为4，A是球O内一定点，且OA＝3，过A作球O的截面，则截面圆的面积的取值范围为 [7π，16π] .
解析：∵截面圆半径的最大值为4，最小值为＝，∴截面圆面积的取值范围为[7π，16π].
14.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”用现在的数学语言表述是：如图所示，一圆柱形木材的局部埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径是 26 寸.（注：1尺＝10寸）
解析：连接OA，OD，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，又AB⊥CD，∴C，D，O三点共线，∵AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴OA2＝（OA－1）2＋52，∴OA＝13寸，∴圆柱底面的直径是2OA＝26寸.
探究发现·（重点班选做）
15.圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中
点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，设OB＝l，∠AOA'＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
∴AM＝＝50 cm.
即绳子最短长度为50 cm.
（2）如图，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所求的最短距离.
由等面积法得，OA·OM＝AM·OQ，
∴OQ＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），
即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
第3课时 基本立体图形（三）
@研习任务一 简单的组合体
走进 教材
[问题] 如图为天宫空间站飞行器的结构示意图.图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
提示：①为圆柱，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱.
[知识梳理]
1.概念
由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合体.
2.构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体 拼接 而成的；一种是由简单几何体 截去或挖去 一部分而成的.
题型 调研
[典例1] （2024·河南商丘实验中学高一月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ B ）
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
解析：根据题图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确.故选B.
巧归纳
（1）明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.
（2）判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧：
①准确理解简单几何体（棱、锥、台、球）的结构特征；
②正确掌握简单组合体构成的两种基本形式；
③若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面）.
[练习题1] （1）说出下面的两个几何体分别是由哪些简单的几何体构成的？
解：①四棱台挖去一个圆柱.
②三棱柱和四棱柱.
（2）如图所示，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕AB所在直线旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
@研习任务二 空间几何体的割补
题型 调研
[典例2] 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是，请你用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.
解：这个几何体不是棱柱，因为没有互相平行的两个面.截面如图所示.
截去的部分是一个四棱锥C1－EA1B1F.在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2，在BB1上取点F，使BF＝2，连接C1E，EF，C1F，则截面C1EF将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2，另一部分是四棱锥C1－EA1B1F.
巧归纳
几何体的割补过程，实质上就是组合体的研判过程，灵活地割补，是计算、判断的有力工具.
[练习题2] （1）（2024·上海华东师范大学第一附属中学期末）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.下图是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ A ）
A.26，－1 B.24，2－
C.26，2－ D.24，－1
解析：该半正多面体面数从上至下依次为1，8，8，8，1，故共有1＋8＋8＋8＋1＝26个面.如图1，正方体被半正多面体顶点A，B，C所在平面所截，截得的图形如图2，八边形ABCDEFGH为正八边形.
设AB＝a，则1＝2×a＋a，
解得a＝－1，
即该半正多面体的棱长为－1.故选A.
（2）如图，甲为一几何体的展开图.（单位：cm）
①沿图甲中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；
②需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙中的棱长为6 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.（用字母表示）
解：①底面为正方形的四棱锥（如图1）.
②连接A1C1，A1B，A1D，A1C，如图2，需要3个，分别为四棱锥A1－ABCD，A1－CDD1C1，A1－BCC1B1.
@课后提素养
1.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ B ）
2.如图是一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是（ C ）
A.梯形、正方形
B.圆台、正方形
C.圆台、圆柱
D.梯形、圆柱
3.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ B ）
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
4.说出图中组合体的结构特征.
解：图①由一个三棱柱挖去一个圆柱而成；
图②由一个圆锥挖去一个四棱柱而成；
图③由一个球挖去一个三棱锥而成.
@课时作业（二十五）
基础巩固
1.如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是（ D ）
A.圆锥
B.圆锥和球组成的简单组合体
C.球
D.一个圆锥内部挖去一个球后形成的简单组合体
2.（2024·广东深圳外国语高一期中）如图所示的几何体是一个奖杯，该几何体由（ B ）
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长方体、一个棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
解析：由题图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选B.
3.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ C ）
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
4.如图所示的组合体，其结构特征是（ D ）
A.左边是三棱台，右边是圆柱
B.左边是三棱柱，右边是圆柱
C.左边是三棱台，右边是长方体
D.左边是三棱柱，右边是长方体
5.若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边绕轴旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ B ）
A.该几何体为圆台
B.该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C.该几何体为圆柱
D.该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
解析：由题意可知，形成如图所示的几何体，该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.故选B.
6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ D ）
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B.该几何体有12条棱，6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
7.如图所示，该几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（ D ）
解析：当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A；当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B；当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C；过球心的截面不能为D.故选D.
8.已知ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD，且AB＞CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由 圆锥 和 圆柱 构成的组合体.
解析：两端为两个圆锥，中间是一个圆柱.
9.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转一周，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.
解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱；当AD＜BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.
10.若圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
解：过圆锥的顶点S和正方体的上底面的一条对角线BD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体的对角面BDD1B1，如图所示.设正方体的棱长为x cm，则BB1＝x cm，B1D1＝x cm，作SO⊥EF于点O，则SO＝ cm，OE＝1 cm.因为△EB1B∽△EOS，所以＝，即＝，所以x＝，即内接正方体的棱长为 cm.
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11.（2024·辽宁沈阳模拟）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.正八面体（八个面均为正三角形，如图）的总曲率为（ B ）
A.2π B.4π
C.6π D.8π
解析：正八面体共有6个顶点，每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为π，因此，该正八面体的总曲率为6×2π－8π＝4π.故选B.
12.如图所示的立体图形可由平面图形 ③④ 绕轴旋转而成.
解析：题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成.也可由④绕轴旋转180°而成.
13.如图为正方体ABCD－A1B1C1D1，则以D1为顶点，以另外四个顶点形成的四边形为底面的四棱锥有 6 个.
解析：以D1为顶点的四棱锥有D1－ABCD，D1－ABB1A1，D1－BCC1B1，D1－ACC1A1，D1－A1B1CD，D1－ADC1B1，共6个.
14.长方、堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方体如图，将长方体ABCD－A1B1C1D1沿平面ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥D1－ABCD称为阳马，余下的三棱锥D1－BCC1是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为 .
答案：5
解析：由题意知，该阳马的最长棱为原长方体体对角线BD1＝＝5.
探究发现·（重点班选做）
15.（多选）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（ ）
A.①②⑤ B.①④⑤
C.②③④ D.①②③
答案：ABC
解析：将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故A正确；将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故B正确；将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥中，然后再将模块④放入即可，故C正确；无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故D不正确.故选ABC.
16.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从靠近每个顶点的棱的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的条数为 90 .
解析：原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面有3条棱，每条棱属于两个面，所以共有＝30条棱，此外，每个面会产生3条新棱，共产生3×20＝60条新棱，所以共有90条棱.
8.2 立体图形的直观图
@研习任务一 水平放置的平面图形的直观图的画法
走进 教材
[问题] 矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
提示：阳光斜射窗户投影到地面，形状是平行四边形.眺望农田，矩形农田在眼里的形状也常常是平行四边形.
[知识梳理]
1.直观图的概念
把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
题型 调研
[典例1] （1）用斜二测画法画如图所示直角三角形的水平放置的直观图，正确的是 （ B ）
解析：以直角顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，由斜二测画法规则知，在直观图中此角变为钝角，排除C和D；又原三角形的高在y轴上，直观图中在y'轴上，长度减半，故B正确.
（2）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示.
解：（ⅰ）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，画相应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图①②所示.
（ⅱ）在x'轴上截取O'B'＝OB，在y'轴上截取O'D'＝OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'，使得D'C'＝DC.连接B'C'，如图②.
（ⅲ）擦去②中的辅助线，所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.
巧归纳
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.
（2）常见平面图形的直观图
原图 圆 正方形 等边三角形
直观图 椭圆 平行四边形 一般三角形
[练习题1] 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ C ）
A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B.圆的直观图仍为圆
C.正方形的直观图为平行四边形
D.梯形的直观图不是梯形
解析：若以等腰三角形的底边为x轴，由斜二测画法的性质可得，在等腰三角形的直观图中，等腰三角形的两腰长度不相等，不是等腰三角形，A错误；圆的直观图为椭圆，B错误；在正方形的直观图中，对边平行且相等，所以正方形的直观图为平行四边形，C正确；在梯形的直观图中，原本平行的对边在直观图中仍然平行，所以梯形的直观图为梯形，D错误.
@研习任务二 由直观图原平面图形
题型 调研
[典例2] 如图所示，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.
解：（1）画平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O'A'，即CA＝C'A'；
（2）如图①，过B'作B'D'∥y'轴，交x'轴于D'，在x轴上取OD＝O'D'，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D'B'；
（3）连接AB，BC，△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图②.
巧归纳
由直观图还原平面图形有两关键点
（1）平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度扩大为原来的2倍；
（2）对于相邻两边不与x'，y'轴平行的顶点，可通过作x'轴，y'轴的平行线确定其在直角坐标系xOy中的位置.
[练习题2] （1）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（ A ）
解析：根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确.
（2）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴、y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（ ）
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
答案：D
解析：因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.故选D.
@研习任务三 直观图与原图形的计算
题型 调研
[典例3] （2024·陕西省安康市期末）如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，则其水平放置的直观图的面积为 18 cm2 .
解析：方法一：画x'轴，y'轴，两轴交于点O'，使∠x'O'y'＝45°.作△ABC的直观图如图所示，则A'C'＝AC＝12 cm，B'D'＝BD＝6 cm，
故在△A'B'C'中，边A'C'上的高为B'D'＝3 cm，所以S△A'B'C'＝×12×3＝18（cm2），
即△ABC的水平放置的直观图的面积为18 cm2.
方法二：△ABC的面积为AC×BD＝×12×12＝72（cm2），由平面图形的面积与其直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18（cm2）.
巧归纳
求解直观图与原图形的面积问题的方法
方法一：由直观图还原出原图形，进而确定相关的量，从而求出原图形的面积.
方法二：不作图，直接根据面积关系S直＝S原求解.
[练习题3] （1）已知△ABC为正三角形，边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（ D ）
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析：图①为正△ABC，图②为正△ABC的平面直观图.由图②可知，A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a.在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'，则C'D'＝O'C'＝a，所以S△A'B'C'＝A'B'·C'D'＝×a×a＝a2.故选D.
（2）利用斜二测画法画出△ABO的直观图如图所示，已知O'B'＝2，A'B'∥y'轴，过A'作A'C'⊥x'轴于C'，若△ABO的面积为4，则A'C'的长为（ ）
A.8 B.4
C.2 D.
答案：D
解析：∵O'B'＝2，根据斜二测画法知，OB＝2，∴S△ABO＝×2×2B'A'＝4，∴B'A'＝2，∴A'C'＝B'A'sin 45°＝2×＝.故选D.
@研习任务四 空间几何体的直观图
题型 调研
[典例4] 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高（两底面圆心连线的长度）为4 cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为3 cm，画出此几何体的直观图.
解：（1）画轴.如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面.
（3）在Oz上截取OO'＝4 cm，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO'＝3 cm.
（5）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，示意图如图②所示.
巧归纳
画空间几何体的直观图的四个步骤
（1）画轴：画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°.
（2）画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
（3）确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
（4）连线成图：画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线（或不画），就得到了几何体的直观图.
[练习题4] 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.
（2）画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
@课后提素养
1.（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，对其中的线段说法正确的是（ ACD ）
A.原来相交的直线仍相交
B.原来垂直的直线仍垂直
C.原来平行的直线仍平行
D.原来共点的直线仍共点
解析：根据斜二测画法知，原来垂直的直线在直观图中未必垂直，因此B错误，A、C、D正确.故选ACD.
2.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中，OA边上的高等于 （ A ）
A.4 B.2 C.2 D.
解析：由题意，可知OA⊥OB，且OB＝2O'B'＝4，即OA边上的高为4.故选A.
3.水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为（ A ）
A. B.5 C. D.2
解析：∵直观图中A'C'＝3，B'C'＝2，∴在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4.由勾股定理可得AB＝5.则AB边上的中线的实际长度为.故选A.
4.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为 10 .
解析：由四边形OPQR的直观图可知，原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×（3＋2）＝10.
@课时作业（二十六）
基础巩固
1.（多选）利用斜二测画法得到平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ AB ）
A.水平放置的三角形的直观图是三角形
B.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形
C.水平放置的正方形的直观图是正方形
D.水平放置的菱形的直观图是菱形
解析：水平放置的三角形的直观图是三角形，故A正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行射影画法，故B正确；因为斜二测画法中平行于y轴的线段长度减半，故C、D错误.故选AB.
2.（多选）如图是四组边长为1的正三角形ABC，在斜二测画法下，它们的直观图是全等三角形的是（ ABD ）
解析：A、B选项中两三角形摆放相同，直观图全等；选项D，只是顶点反放，直观图全等；选项C，位置摆放不一致，直观图不全等.
3.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面三角形ABC中（ AC ）
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
解析：因为A'D'∥y'轴，所以根据斜二测画法规则，在△ABC中，有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选AC.
4.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ B ）
A.6 B.8
C.2＋3 D.2＋3
解析：由斜二测画法的规则知，原图形为平行四边形，由正方形的对角线在y'轴上，且可求得其长度为，故在原图形中其在y轴上，且其长度为直观图中的2倍，为2，可计算得原图形的四边长分别为3，1，3，1，周长是8.故选B.
5.（多选）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝，那么原△ABC是一个（ AD ）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
解析：由题图知，在原△ABC中，AO⊥BC.因为A'O'＝，所以AO＝.因为B'O'＝C'O'＝1，所以BC＝2，则AB＝AC＝2，所以△ABC为等边三角形.且△ABC的面积为×2×＝.故选AD.
6.（2024·湖南省浏阳市期末）如图是水平放置的四边形ABCD的直观图，则原四边形ABCD的面积是（ C ）
A.14 B.10
C.28 D.14
解析：方法一：如图，画平面直角坐标系xOy，取OE＝O'E'，过点E作EF∥y轴，在EF上截取AE＝2A'E'，AD＝2A'D'＝8，再过点D作DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并截取DC＝D'C'＝2，AB＝A'B'＝5.连接BC，得原四边形ABCD.由作法得S四边形ABCD＝×（2＋5）×8＝28.
方法二：因为A'D'＝4，所以梯形A'B'C'D'的高为2，故S梯形A'B'C'D'＝×2×（2＋5）＝7，则S四边形ABCD＝2S梯形A'B'C'D'＝28.
7.如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y'轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是 20 .
解析：由斜二测直观图画法规则，知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高为2BC＝4，故面积为×（6＋4）×4＝20.
8.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B'，其中A'D'∥y'轴，则△AOB的周长是 4＋4 .
解析：根据原图与直观图的关系可知，OB＝4，OD＝BD＝2，AD＝8，所以OA＝AB＝＝2，所以△AOB的周长是4＋2×2＝4＋4.
9.如图，在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为 矩形 （填形状），面积为 8 cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形.因为OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8（cm2）.
10.如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图，其中A1D1∥y'轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.
（1）画出原平面图形ABCD；
（2）分别求出水平放置的平面图形ABCD与直观图A1B1C1D1的面积.
解：（1）如图，建立平面直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原平面图形ABCD.
（2）由（1）可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边的长度分别为AB＝2，CD＝3，又直角腰的长度AD＝2，所以平面图形ABCD的面积S＝×2＝5.易得直观图中梯形的高为，因此梯形A1B1C1D1的面积S'＝×（2＋3）×＝.
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11.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为（ C ）
A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，直观图中长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
12.（2024·吉林长春外国语学校高一期末）若水平放置的四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形OACB的面积为（ C ）
A.12 B.6
C.3 D.
解析：由A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，得O'A'＝，所以原图形OACB中，AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，AO＝2A'O'＝2，如图所示，所以梯形OACB的面积为S＝×（1＋2）×2＝3.故选C.
13.（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知，下列结论中正确的是（ CD ）
A.AB＝BC＝AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC＞AD＞AB＞BC
解析：由直观图知，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点，如图所示，又A1B1＝B1C1，故A、B错误，C、D正确.
14.如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是 菱形 （填四边形的形状）.
解析：在直观图中，易知O'D'＝2 cm.
在原图形OABC中，应有OA＝O'A'＝6 cm，
OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm）.
CD＝C'D'＝2 cm，
∴OC＝＝＝6（cm），
∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形.
探究发现·（重点班选做）
15.已知坐标原点O为AC的中点，且点A在x轴上，等边三角形ABC的面积为，将△ABC水平放置，用斜二测画法画出它的直观图为△A'B'C'，则点B'到A'C'的距离为 .
解析：在平面直角坐标系中，等边三角形ABC如图①所示.以O'为原点画出水平放置的△ABC的直观图，如图②所示，过B'作B'D⊥x'轴，垂足为D，则B'到A'C'的距离为B'D的长.
因为等边三角形ABC的面积为，所以它的边长为2，则BO＝，B'O'＝，又∠A'O'B'＝45°，所以B'D＝，故点B'到A'C'的距离为.
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
@研习任务一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
走进 教材
[问题1] 我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
提示：长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
[知识梳理]
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）多面体的表面积就是围成多面体 各个面 的面积和.
（2）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 各个面 的面积和.
2.棱柱、棱锥、棱台的侧面积
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
温馨提示：
对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
题型 调研
[典例1] （1）（2024·福建省福州市期末）若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为 9a2 .
解析：正六棱柱的底面边长为a，且正六棱柱的底面为正六边形，所以其一个底面面积为S底＝.又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2.
（2）已知棱长为5的各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD，求它的侧面积、表面积.
解：∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
如图，设E为AB中点，连接SE，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4××AB×SE＝2×5×＝25.
S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25（＋1）.
（3）已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
解：如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×（8－4）＝2，B1B＝8，
故B1F＝＝2，
所以＝×（8＋4）×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
巧归纳
在正棱锥中，高、侧棱及侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；高、斜高及斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的很多问题就是处理好这两个直角三角形.
[练习题1] （1）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积S2的大小关系为（ A ）
A.S1＞S2 B.S1＜S2
C.S1＝S2 D.以上都不是
解析：如图所示，由题意，得正三棱台侧棱l＝
＝，
正三棱台侧面为等腰梯形，侧面斜高h'＝＝，则S1＝3×＝9，S2＝×2×＋×4×2＝5，∴S1＞S2.故选A.
（2）①若长方体长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积为 .
②若正方体棱长为a，则正方体表面积为 2（ab＋bc＋ca） .
③若正四面体棱长为a，则正四面体表面积为 6a2 ③a2 .
解析：③S＝4×a2＝a2.
（3）已知正四棱锥的底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.
解：∵边心距为2，∴斜高h'＝＝4.
∴S侧＝4××4×4＝32（cm2），S底＝42＝16（cm2）.
∴S表＝32＋16＝48（cm2）.
@研习任务二 棱柱、棱锥、棱台的体积
走进 教材
[问题2] 棱柱体积公式里V棱柱＝Sh.高h如何理解？
提示：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
[问题3] 棱锥的体积公式里V棱锥＝Sh.高h如何理解？
提示：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
[知识梳理]
棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V棱柱＝ Sh .
2.棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V棱锥＝ Sh .
3.棱台：棱台的上、下底面面积分别为S'，S，高为h，则V棱台＝（S'＋＋S）h.
温馨提示：
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
V棱柱＝ShV棱台＝（S'＋＋S）hV棱锥＝Sh.
（2）在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.
题型 调研
[典例2] （1）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为（ B ）
A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
解析：设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积为V＝×（）2×6×＝（m3）.故选B.
（2）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 .
解析：＝＝××1×1×1＝.
巧归纳
求几何体体积的常用方法
[练习题2] （1）（2024·湖北武汉四校高一期中联考）如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好是中截面，则图①中容器水面的高度是 .
解析：棱柱的体积公式是V＝Sh，其中S是底面积，h是高.在题图②中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，且这个三棱柱的底面积是大三棱柱底面积的，从而这个小三棱柱的体积是大三棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么题图①中水面的高度是棱柱高的，即为.
（2）如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，该平面把三棱台的体积分为V1（三棱柱A1B1C1－FEC），V2两部分，那么V1∶V2＝ 3∶4 .
解析：设三棱台的高为h，上底面的面积为S，则下底面的面积是4S，∴V台＝h（S＋4S＋2S）＝Sh，V1＝Sh，∴＝＝.故V1∶V2＝3∶4.
@研习任务三 简单组合体的表面积与体积
题型 调研
[典例3] （2024·辽宁本溪高一月考）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品.如图所示，现有棱长为2 cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ A ）
A.（12＋4）cm2 B.（16＋4）cm2
C.（12＋3）cm2 D.（16＋3）cm2
解析：由题意得，该饰品的表面积为6个边长为 cm的正方形与8个边长为 cm的正三角形的面积之和，则该饰品的表面积S＝6×（）2＋8××（）2＝12＋4（cm2）.故选A.
巧归纳
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
[练习题3] 如图所示，在长方体ABCD－A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C－A'DD'，求棱锥C－A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.
解：解法一：设AB＝a，AD＝b，DD'＝c，
则长方体ABCD－A'B'C'D'的体积V＝abc，
又＝bc且三棱锥C－A'DD'的高为CD＝a.
所以＝ ·CD＝abc，
则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc，
故V三棱锥C－A'DD'∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.
解法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A'－BCC'B'，设它的底面ADD'A'面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
又三棱锥C－A'DD'的底面面积为S，
高为h，因此三棱锥C－A'DD'的体积
＝×Sh＝Sh，
则剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以三棱锥C－A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5.
@课后提素养
1.过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是（ D ）
A.6 B.12 C.24 D.48
解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为2，得x2＋（2x）2＋（3x）2＝（2）2，解得x＝2，所以三条棱长分别为2，4，6，所以V长方体＝2×4×6＝48.
2.已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B－AB1C的体积为（ D ）
A. B. C. D.
3.若正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ A ）
A.48（3＋） B.48（3＋2）
C.24（＋2） D.144
4.一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为 24 cm3，表面积为 18＋6 cm2.
解析：如图，∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为3 cm，∴S正方形ABCD＝18 cm2.连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝AC＝×3×＝3（cm），又棱长PC＝5 cm，∴OP＝＝4（cm），∴V正四棱锥P－ABCD＝×18×4＝24（cm3）.取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝＝＝（cm）.故S侧＝4××3×＝6（cm2），S表＝（18＋6）cm2.
@课时作业（二十七）
基础巩固
1.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（ D ）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
2.我国古代数学专著《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为（ B ）
A. B.
C. D.
解析：根据题意，可知这个刍童为棱台，如图为垂直于底面的截面，则棱台的高为2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则上水面的边长为4，水的高度为1，所以该盆中积水的体积为×（16＋4＋）×1＝.故选B.
3.（2024·辽宁营口第二高级中学月考）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（ A ）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：如图，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，则PA＝PB＝PC＝a，∴此三棱锥的表面积为×a2＋××3＝a2＋a2＝a2.故选A.
4.若棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（ B ）
A.18＋6 B.6＋2
C.24 D.18
解析：V台＝（S＋＋S'）h＝×（2＋＋4）×3＝6＋2.故选B.
5.（多选）下列结论中，正确的是（ BC ）
A.棱柱的侧面积S等于底面周长乘侧棱长
B.在棱柱ABC－A'B'C'中，VA'－ABC＝VB'－ABC
C.在正三棱锥P－ABC中，S侧＝ch（其中c为底面周长，h为斜高）
D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一
解析：直棱柱的侧面积是底面周长乘侧棱长，选项A错误；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错误.故选BC.
6.如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积 （ D ）
A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
7.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为 1 012 cm2.
解析：易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12（cm），所以正四棱台的表面积S＝4××（8＋18）×12＋82＋182＝1 012（cm2）.
8.（2024·吉林第一中学期中）如图1所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么该几何体的表面积为 （4＋2）a2 .
解析：因为正方体的面对角线长为a，所以正方体的棱长为a，易知题图2所示的几何体是平行六面体，上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形，其面积均为a×a＝a2，前、后两个面是由两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2××a×a＝a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，则该几何体的表面积为2（a2＋a2＋a2）＝（4＋2）a2.
9.如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积.
解：连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，
所以A1B1＝A1O1＝＝2（m），
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.
所以A1Q＝A1B1＝ m，PQ＝＝（m），
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
所以S1＝6×A1B1·PQ＝6（m2），S2＝6A1B1·OO1＝48（m2），所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝6＋48（m2）.
10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1.
（1）求V1，V2以及V1∶V2；
（2）求点A到平面A1BD的距离d.
解：（1）截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是三棱锥A1－ABD，
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S1＝×AB×AD＝a2.
又三棱锥A1－ABD的高为h＝AA1＝a.
所以其体积V1＝S1h＝×a2×a＝a3.
又正方体的体积V＝a3.
所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3.
所以V1∶V2＝1∶5.
（2）三棱锥A1－ABD与三棱锥A－A1BD是同一个几何体.在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a，
其面积S2＝×a×a×sin 60°＝a2.
因为＝，
即a3＝S2·d，
所以a3＝×a2×d，
解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a.
更上层楼
11.（2024·山东青岛第一中学月考）如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AC⊥AB，AB＝AC＝2，现往容器内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A1B1C，如图2，则容器的高h为（ ）
A.3 B.4
C.4 D.6
答案：A
解析：在题图1中，V水＝×2×2×2＝4，在题图2中，V水＝－＝×2×2×h－××2×2×h＝h，∴h＝4，∴h＝3.故选A.
12.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥，下底面边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（注：1丈＝10尺）（ B ）
A.1 946立方尺 B.3 892立方尺
C.7 784立方尺 D.11 676立方尺
解析：如图，记正四棱台为A1B1C1D1－ABCD.该正四棱台由正四棱锥S－ABCD截得，设O为正方形ABCD的中心，O1为正方形A1B1C1D1的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，连接SO，O1E1，OE，则点O1在SO上.设正四棱台的高为x尺，则由△SO1E1∽△SOE，得＝，即＝，解得x＝21，所以该正四棱台的体积V＝×（62＋6×20＋202）×21＝3 892（立方尺）.故选B.
13.如图，在三棱锥D－AEF中，A1，B1，C1分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V1，三棱锥D－AEF的体积为V2，则V1∶V2＝ 3∶8 .
解析：设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，则三棱锥D－AEF的高为2h，因为B，C分别为AE，AF的中点，所以S△AEF＝4S△ABC，由题意知V1＝S△ABC·h，V2＝S△AEF×2h＝×4S△ABC×2h＝V1，所以V1∶V2＝3∶8.
14.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
解：如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝
V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
探究发现·（重点班选做）
15.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
解：设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接AC，则B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝，所以VE－ABC＝V，即VA－EBC＝V，
又M为AE中点，
所以VM－EBC＝VA－EBC＝×V＝V.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
@研习任务一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
走进 教材
[问题1] 圆柱的侧面展开图是什么图形？侧面积公式是什么？
提示：圆柱侧面展开图是矩形，S圆柱侧＝2πrl.
[问题2] 圆锥的侧面展开图是什么图形？侧面积公式是什么？
提示：圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧＝πrl.
[问题3] 圆台的侧面展开图是什么图形？侧面积公式是什么？
提示：圆台的侧面展开图是一段扇环，S圆台侧＝π（r'＋r）l.
[知识梳理]
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开
侧面积 2πrl πrl π（r'＋r）l
表面积 2πr（r＋l） πr（r＋l） π（r'2＋r2＋ r'l＋rl）
温馨提示：
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
题型 调研
[典例1] （1）将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱（包含上、下底面）的表面积是（ D ）
A.40π2
B.64π2
C.32π2或64π2
D.32π2＋8π或32π2＋32π
解析：当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，∴圆柱的表面积为32π2＋32π.同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π.
（2）若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的（ C ）
A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍
解析：设圆锥底面半径为r，母线长为R.由圆锥底面周长为2πr＝×2πR，解得R＝3r，∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2，∴圆锥的表面积是底面积的4倍.
（3）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为 7 .
解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π（r＋3r）×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
巧归纳
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图.
（2）依次求出各个平面图形的面积.
（3）将各平面图形的面积相加.
[练习题1] （1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为 .
解析：设圆柱的底面半径为r，则由题意得，其底面周长和母线长都为2πr，故侧面积为S侧＝（2πr）2，表面积为S表＝（2πr）2＋2πr2，则＝＝.
即这个圆柱的侧面积与表面积的比值为.
（2）已知圆锥的底面半径为2 cm，高为1 cm，则圆锥的侧面面积是 2π cm2.
解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S侧＝π×2×＝2π（cm2）.
（3）①若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为 .
②若圆台OO'的母线长为6，上、下底面半径分别为2，7，则圆台的侧面积是 .
答案：①216π ②54π
解析：②圆台的上底面半径r'＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，则圆台的侧面积S侧＝π（r'＋r）l＝π（2＋7）×6＝54π.
@研习任务二 圆柱、圆锥、圆台的体积
走进 教材
[问题4] 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：V圆台＝πh（r'2＋r'r＋r2）.
[知识梳理]
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝ πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝Sh＝ πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝（S'＋＋S）h ＝ π（r'2＋r'r＋r2）h S'，S分别为上、下底面面积，h为高，r'，r分别是上、下底面半径
温馨提示：
圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
题型 调研
[典例2] （1）已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ B ）
A.9∶ B.6∶
C.4∶ D.3∶
解析：设圆柱的底面半径为r，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为2r，依题意圆锥的底面半径为r，设圆锥的母线长为l，因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以2πr·2r＝πrl，解得l＝4r，则圆锥的高为＝r，又圆柱的体积V1＝πr2·2r＝2πr3，圆锥的体积V2＝πr2·r＝πr3，所以V1∶V2＝6∶.故选B.
（2）已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为 π .
解析：作出圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，∴h＝2，∴V＝×（22＋2×3＋32）×2＝π.
巧归纳
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中一般利用几何体的轴截面求得高，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径（半径的差）组成的直角三角形的边长列出方程并求解.
[练习题2] （1）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为（ C ）
A.15π B.30π
C.12π D.36π
（2）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ B ）
A. B.
C. D.
解析：如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，则2πr＝π×1，2πR＝π×2，解得r＝，R＝1，又l＝2－1＝1，故h＝＝＝，设上底面面积为S'＝π×＝，下底面面积为S＝π×12＝π，所以圆台的体积V＝（S＋S'＋）h＝×＝.故选B.
（3）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 10π .
解析：V＝＝10π.
@研习任务三 简单组合体的表面积和体积
题型 调研
[典例3] （2024·重庆西南大学附属中学期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝5，若将该图形中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.
解：由题意知，形成的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球，其表面由圆台下底面、侧面和一半球面组成.
在直角梯形ABCD中，过D点作DE⊥BC，垂足为E，
则DE＝AB＝4，CE＝BC－AD＝3.
在Rt△DEC中，CD＝＝5，
∴S半球＝×4π×22＝8π，
S圆台侧＝π×（2×5＋5×5）＝35π，
S圆台下底＝25π，
∴S表＝8π＋35π＋25π＝68π.
∵圆台的体积V＝×（π×22＋＋π×52）×4＝52π，半球的体积V1＝××π×23＝π，
∴所求几何体的体积为V－V1＝π.
巧归纳
几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱体、锥体、台体的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解.
[练习题3] 如图，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2，下底BC＝10，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB所在的直线旋转一
