黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题 （PDF版，含答案）

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哈三中 2024-2025学年度下学期高二学年月考考试数学答案
一、单选题
1.C
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.A
8.C
二、多选题
9.ACD
10.AB
11.ACD
三、填空题
12.14
13. 48
2 2
14. ( , )
3 9
四、解答题
15.（1） 3bsin AcosC = acos A 3asinCcosB
3sin Bsin AcosC = sin Acos A 3sin AsinCcosB
3sin BcosC = cos A 3sinCcos B
3
3sin BcosC + 3sinCcos B = cos A 3sin A= cos A tan A = A =
3 6
1
（2） S = bcsin A bc = 3 3
2
2
a2 = b2 + c2 2bccos A = (b + c) 2bc 2bccos A = 3 a = 3
16.（1）由题得：an+1 2 = 3(an 2)
且首项a1 2 = 3 2 =1
所以{an 2}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列
所以an 2 = 3
n 1
所以an = 3
n 1 + 2
由题得：bn+1 bn = 2，且b1 = 5
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所以bn = 2n +3
1
（2）cn = (2n + 3) ( )
n 1
3
1 1 1 1
Tn = 5 ( )
0 + 7 ( )1 + 9 ( )2 + + (2n+ 3) ( )n 1
3 3 3 3
1 1 1 1 1
Tn = 5 ( )
1 + 7 ( )2 + + (2n+1) ( )n 1 + (2n+ 3) ( )n
3 3 3 3 3
2 1
T n所以 n = 6 (2n + 6) ( )
3 3
1
T = 9 (n + 3) ( )n 1所以 n
3
17.
（1） △ F1QF2面积最大值为 3
1
b 2c = 3
2
c 3
e = =
a 2
c22 3 e = = ， c = 3b
b2 + c2 4
x2
解得b =1,c = 3 ，椭圆方程为 + y2 =1
4
（2）
1
由于M，N均不与 A重合，则直线 l斜率不为 0，设 l : x = my + ，M (x1, y1)， N (x2 , y2 )
2
1
x = my + 2 15
联立直线 l与椭圆 C： 得 (m
2 + 4)y2 +my = 0，
2
x + y2
4
=1
4
m 15
判别式 =m2 +15(m2 + 4) =16m2 + 60 0 ，则有： y1 + y2 = ， y1y2 =
m2 + 4 4(m2 + 4)
y y
则 k = 1AM ， k =
2
AN ，
x1 + 2 x2 + 2
y y y y y y
则 kAM k =
1
AM
2 = 1 2 = 1 2
x1 + 2 x + 2 5 5 5 252 (my1 + )(my
2
2 + ) m y1y2 + m(y1 + y2 ) +
2 2 2 4
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15
4 15
2 3
= m + 4 = 4 =
15 2 5 2 25 2 25 20m m m + 25
4 2 + 4
m2 + 4 m2 + 4 m2 + 4
18.
（1）取 AC 中点G ，连接 BG
F ，G 分别为C D ,的中点
GF ∥ BE ，且GF = BE
四边形BEGF 为平行四边形
BG ∥ EF
又 BG 面 ABC ， EF 面 ABC
EF ∥面 ABC
（2） 平面BC D ⊥平面 ABD，BC ⊥ BD
BC ⊥平面 ABD，又 BD , BC 平面 ABD
BC ⊥ BD , BC ⊥ BC ,又 BD ⊥ BC
建立以 B 为坐标原点，以 BC , BD ,为 x， y ， z 轴的空间直角坐标系

( ) 3 1

B (0,0,0) A 1, 3,0 C (0,0,1) F 0, , 2 2
设 E (m,0,0)
设平面 ABC 的法向量为n = (x, y, z) BA = ( 1, 3,0) , BC = (0,0,1)
n BA = 0
n = ( 3,1,0)
n BC = 0
设 EF 与平面 ABC 所成角为
3
| 3m 2
2 3 (2m 1) sin = cos EF ,n = =
2 m2
2
+1 2 4m + 4
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3 t2 3 1
令 t = 2m 1，则 sin = =
2
2 (t +1) + 4 2 5 2+ +1
t2 t
15
当 t = 5 , m = 2时， (sin ) = .
max 4
19.
（1）解：第 0 分钟时，小奥在 0 号房间，小锐在 1 号房间．
设 ti， j 为第 1 分钟时，小奥在 i号房间，小锐在 j号房间的概率，
则 t0，0 = 0.4 0.5 = 0.2 ， t0，1 = 0.4 0.5 = 0.2 ，
t1，0 = 0.6 0.5 = 0.3， t1，1 = 0.6 0.5 = 0.3．
设第 1 分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为 X，则 P(X =1) = t0，1 + t1，0 = 0.5，
所以第 1 分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为 1 的概率为 0.5．
2 1
（2）证明：易知 p =1， q = 0，且由（1）得 p1 = ， q1 = ． 0 0
5 2
当 n≥1时，小奥在第 n分钟时位于 0 号房间包含 2 种情形：
2
①上一分钟仍在 0 号房间，继续保持在 0 号房间的概率为 pn 1 ，
5
3
②上一分钟在 1 号房间，转移到 0 号房间的概率为 (1 pn 1) ，
5
2 3 3 1
则由全概率公式， pn = pn 1 + (1 pn 1) = pn 1 ，
5 5 5 5
1 1 1
进而 pn = pn 1 ，
2 5 2
1 1 1 1 1
结合 p1 = ，故 pn 是首项为 ，公比为 的等比数列，
2 10 2 10 5
n 1
1 1 1
即 pn = ，注意到当 n=0 时也满足题意，
2 10 5
n
1 1 1
因此 pn = + ．
2 5 2
小李第 n分钟在 0 号房间包含 3 种情形：
①上一分钟小奥和小锐都在 1 号房间，小锐转移到 0 号房间的概率为 (1 pn 1)(1 qn 1)，
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1
②上一分钟小奥在 0号房间，小锐在 1号房间，小李转移到 0号房间的概率为 pn 1(1 qn 1) ，
2
1
③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为 qn 1(1 pn 1) ．
2
1 1
故由全概率公式， qn = (1 pn 1)(1 qn 1) + pn 1(1 qn 1) + qn 1(1 pn 1) ，
2 2
p
即 q =1 n 1
q
n 1n ．
2 2
5 4
n 1
1 1 1
要证 qn + pn 为等比数列，即证 qn 为等比数列，
3 3 2 6 5
n 1
p q 3 1 1 q
而 q =1 n 1 n 1 = n 1 ， n
2 2 4 4 5 2
n 1
1 1 1 1
n 2
1 1 1 1 1 1
故 qn = qn 1 ，结合 q1 = ，
2 6 5 2 2 6 5 2 6 6
n 1 1 1 1 1 1
故 qn 为首项 ，公比为 的等比数列，
2 6 5 6 2
n 1 n 1
1 1 1 1 1
即 q = ，注意到 n = 0 时也满足题意， n
2 6 5 6 2
n 1 n
1 1 1 1 1
因此 qn = + + .
2 6 5 3 2
n 1 n n 1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 1
（3）解：由（2）， qn = + + = + ，
2 6 5 3 2 2 6 5 2
n 1 n 1
1 1
显然 q0 = 0不是其最大值，设 an = ，
5 2
n 1 n 1
1 1
①当 n为奇数时， an = ≤0，当且仅当 n =1时取等，故 a 的最大值为 0 ； n
5 2
1 1 3
②当 n为偶数且≥2 时， a2 = = ，
2 5 10
3
1 1 3
当 n≥4时， an = a2 ，故 an 最大值为 a2 = ，
2 8 10
1 1 11
因此 qn 的最大值为 q2 = + = ，
2 20 20
即在第 2 分钟时，小锐在 0 号房间概率最大．
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