湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷（含答案）

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考
数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A． B． C． D．
8．中，，，，点P是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数是
C．复数的模是 D．复数的对应的点在第四象限
10．如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是（ ）
A．BC与SD B．AB与SC C．SB与AD D．AC与SB
11．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
三、填空题
12．已知，则 ， ．
13．已知，，且在上的投影的数量为-4，则 .
14．正三棱台，，D E F为棱 中点，平面ABD 平面BCE 平面ACF交于点O，则 .（注：V代表几何体体积）
四、解答题
15．已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
16．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.
（1）设，若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
17．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的正切值.
18．正方体中，是棱的中点.
(1)直线与平面所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值.
19．已知分别为三个内角的对边，且满足.
(1)求A；
(2)若，求a.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C A A D B BD ACD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．/
15．（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
16．（1）由题意得：与全等，
在中，，
又，
，，
又，，，
，为等边三角形，
公共绿地的面积
（2）由图得：且
在中，由正弦定理得：
，
令
又由得，
，
当即时取最大值，即最短，
此时是等边三角形，.
17．（1），
又，，
AB、平面，平面ABCD，
，，
M为PD中点，，
；
（2）取DN中点E，连接ME，
、E为中点，，平面ABCD，
平面ABCD，过E作，,
平面，，
即为该二面角的平面角，，
，，，
，，
.
即该二面角的正切值为.
18.（1）设点到平面的距离为，正方体的棱长为，
是棱的中点，则，
，
取的中点为，连接则，则，且，
，，
，即，得，
设直线与平面所成角为，则，
.
故直线与平面所成角的余弦值为.
（2）由（1）得点到平面的距离，，，取的中点为，则，
且，
，
设点到直线的距离为，
由等面积法得，即，得，
设平面与平面的二面角为，则，
故二面角的正弦值为.
19．（1）（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可.
（2）因为，
所以，即，解得，
所以.
则.