第二次模拟考试数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A D D B C
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABD BCD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 2 13． 5 14．216 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】【解析】（1）因为侧面 ACC1A1 是边长为 4 的正方形，
所以CC1 AC，C1C AC 4，
因为 AB 2 ， AB BC，
则BC 2 3 ，因为 BC1 2 7 ，C1C 4，
2 2 2
所以CC1 BC BC1 ，即CC1 BC，.................................................................... 3 分
因为BC AC C，所以CC1 平面 ABC，
因为CC1 平面 ACC1A1 ，所以平面 ACC1A1 平面 ABC； ..................................... 6 分
z
（2）以 AC,AA1为 y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， A1 C1
因为 AC 4 π， AB 2 ，BC 2 3 ，所以 BAC ，
3 B1
所以 A(0, 0,0)，B( 3,1,0) ，C (0,4,4)，
1
则 AB ( 3,1,0)， AC1 (0, 4, 4)， yA
设平面 ABC1的法向量为n C 1
(x, y, z) ，
x
AB
B
n 0 3x y 0
由 ，可得 ， 令 x 1，则n1 (1, 3, 3)，
AC1 n 0 4y 4z 0
平面 ACC1的法向量为 n2 (1, 0, 0) ， ........................................................................... 10 分
n1 n 2 7所以cos n1,n2 ，
| n1 | | n 7
B
2 |
y
7即二面角B AC1 C的余弦值为 ． 13 分 7
16．【解析】（1）设 A(x1, y1),B(x2 , y2)，直线 l : x my 4 ，
x my 4 O D
x
2
联立直线与抛物线方程 得： y 4my 16 0，
y
2 4x A
1
则有 y1y2 16， x1x2
2 My1y2 16 ， ......... .... 4 分 16
OA OB x1x2 y1y2 16 ( 16) 0 ,
所以OA OB . ................................................................................................... 7 分
（2）设O关于直线 l的对称点M (x0, y0)，
x0 y m 0 4 0 2 2 8 8m
解得： x0 , y y 1 m2 0 1 1
0 m2 1
x0 m
8 8m
即M ( , )， ........................................................................................... 10 分
m2 1 m2 1
64m2 32
又因为点M 在抛物线C上，则 ，解得m 1.12 分
(m2 1)2 m2 1
2
所以 | y1 y2 | (y1 y2 ) 4y1y2 4 5 ，
1 1
所以 S MAB S OAB |OD || y1 y2 | 4 4 5 8 5 . ............................... 15 分 2 2
17．【解析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中 2 个或 3 个，其概
率为：
2 1 2 20
p C21 3 ( )
2 ( ) ( )3 ； ..................................................................................... 4 分
3 3 3 27
（2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对 2 个问题；进入低分
组，答对 4 个问题.故概率为：
2 2 1 1 2 3 1 13p2 C3 ( )
2 ( )( )4 ( )3 C24 ( )
2 ( )2 ； ........................................................ 9 分
3 3 2 3 4 4 144
（3） X 的可能取值有0, 20, 40, 60,80 ，
3 81 3 1 108
P(X 0) C0 4 1 3 14 ( ) ， P(X 20) C ( ) ( ) ， 4 256 4 4 4 256
3 1 54 3 1 12
P(X 40) C2 24 ( ) ( )
2 ， P(X 60) C3 3
4 4 256 4
( )( ) ，
4 4 256
1 1
P(X 80) C44 ( )
4 ，
4 256
所以分布列为：
X 0 20 40 60 80
81 108 54 12 1
P
256 256 256 256 256
1
所以E(X ) 20 4 20 . ................................................................................. 15 分
4
18. x【解析】（1）当a e时， f (x) xe ex 1
f (x) (x 1)ex ex xex，
当 x (0, )时， f (x) 0，则 f (x) 在 (0, )为增函数；
当 x ( ,0)时， f (x) 0，则 f (x) 在 ( ,0)为减函数； ..................................... 4 分
（2）因为a e，
当 x 0 x x x x时，a e ，所以 xa xe ，
当 x 0 a x ex xax xex时， ，所以 ，
x x x x
所以 xa e 1 xe e 1，
设 (x) xex ex 1，
由（1）可知 f (x) f (0) 0，
所以不等式 f (x) 0成立. ........................................................... 9 分
（3）解法一： f
e
(x) (ln a x 1)a x ex a x ((ln a x 1) ( )x ) ，
a
e设 (x) (ln a x 1) ( )x ，此时 (0) 0，
a
e则 (x) ln a (1 ln a) ( )x
a
1 e
因为1 a e ，所以0 ln a ， 1，
2 a
则 (x)在R 为减函数， (0) 2ln a 1， .......................................................... 11 分
①当a e 时， (0) 0 ，结合 (x)在R 为减函数
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数， ...................... 13 分
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点；
②当1 a e 时， (0) 2ln a 1 0
所以存在 x0 0，使得 (x0 ) 0
当 x ( , x0 ) 时， (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时， (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
.................................................................. 17 分
a
解法二： f (x) (ln a x 1)a x ex ex ((ln a x 1)( )x 1)，
e
a
设 (x) (ln a x 1)( )x 1，此时 (0) 0，
e
则 2 a(x) (ln a ln a)x 2ln a 1)( )x ，
e
设 k ln a, (k 0)，所以 (x) (k 2 k)x 2k 1 a( )x ， ................................. 11 分 e
1 1 a
①当a e x时，此时 k ，则 (x) ( x)( ) ，此时 (0) 0 ，
2 4 e
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数.
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点； ........................................................... 13 分
1
②当1 a e ，所以0 k
2
设h(x) (k 2 k)x 2k 1 . k 2因为 k 0 ，
因为h(0) 2k 1 0 时，所以存在 x0 0，使得h(x0 ) 0
当 x ( , x0 ) 时，h(x) 0，即 (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时，h(x) 0，即 (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
.................................................................... 17 分
解法三： f (x) xelna x ex 1，设 k ln a，
则 f (x) xekx ex 1，则有 f (x) (kx 1)ekx ex ekx (kx 1 e(1 k )x ) ，
(x) kx 1 e(1 k )x，
设 (x) k (1 k)e(1 k )x .
1
因为1 a e ，所以0 k ，
2
则 (x)在R 为减函数， (0) 2k 1， ............................................................. 11 分
1
①当a e ，即 k ， (0) 0 ，结合 (x)在R 为减函数
2
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数.
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点； ....................................................... 13 分
②当1 a e 时， (0) 2k 1 0，
所以存在 x0 0，使得 (x0 ) 0，
当 x ( , x0 ) 时， (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时， (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
...................................................................... 17 分
19．【解析】（1）当 k 4时，存在以下“无均数列”：
a1,a3 ,a2 ,a4 ；a1,a3 ,a4 ,a2 ；a3 ,a1,a2 ,a4 ；a3 ,a1,a4 ,a2 ；
a2 ,a4 ,a1,a3 ；a2 ,a4 ,a3,a1；a4 ,a2 ,a1,a3 ；a4 ,a2 ,a3,a1，
a2 ,a1,a4 ,a3 ；a3 ,a4 ,a1,a2 ，总共 10 种（写出其中的 4 个即可）. .......................... 4 分
（2）当 k 8时，存在“无均数列”：a1,a5 ,a3 ,a7 ,a2 ,a6 ,a4 ,a8 . ............................... 8 分
m
（3）存在，先证明对 k 2 (m 2,m N) 时，存在，
①当m 2 时，由（1）知存在“无均数列”，
②假设 k 2m (m 2,m N) 时，a1,a2 ,a3 , a m 存在“无均数列”， 2
k 2m 1 m则 时，数列{an}分成 2 组：(a1,a3, ,a ) ，(a ,a2m 1 1 2 4 , ,a m 1 ) ，两组分别有22
次项，且从这两组中各任取一项，得到的两项的等差中项不是{an}的项，由假设，
数列a1,a3 ,a5 , ,a m 1 存在“无均数列”，设为b1,b2 ,b3 , ,b ， 2 1 2m
数列a2 ,a4 ,a6 , ,a m 1 存在“无均数列”，设为 c2 1,c2 ,c3 , ,c m ， 2
构造数列：b1,b2 ,b3 , ,b m ,c1,c2 ,c3 , ,c m ， .......................................................... 12 分 2 2
观察 (a3 ,a7 , ,a m ) ， (a4 ,a8 , ,a m ) ，每组之间的任意两个数的平均数均不在两数位置2 1 2
之间，故只需要考虑每组内部重新排成“无均数列”，
因此数列：b1,b2 ,b3 , ,b m ,c1,c2 ,c3 , ,c m ，中任意两项的等差中项均不在这两项中间.即 2 2
k 2m 1 时，数列{an}存在“无均数列”。
m
由①②可知， k 2 (m 2,m N) 时，都存在“无均数列”， ................................. 14 分
所以令m 11，即 k 2048时，存在“无均数列”，
接下来我们只需要将a2026 ,a2027 , ,a2048 项去掉，
便可得到 k 2025时，等差数列{an}存在“无均数列”.
同样注意到此时每一组是一共 8 项的等差数列，令 fn e4n 3 n 1, 2, ,8 ，故由第二
问知道，此时只需要把其分为 4 组 f1, f5 、 f3 , f7 、 f2 , f6 、 f4 , f8 这样排列就能构成“无
均“数列.
因此反复执行上述操作能把 2048 项的等差数列 an 重新排列成一个“无均“数列，
所以当 k 2025时也能重新排列成一个“无均“数列. ...................................... 17 分●●●●●●●
2025届NCS模拟检测
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数学
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
1●●●●●●●
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
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9.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸
和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。很多学校已经推出基
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于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科
注意事项：
学研究、社会发展中的高效益应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上，
合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了S0份高考模拟试卷，收集其准确案，整理得到
2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。
如下频率分布直方图，则下列说法正确的是
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答題卡
顿丰
组
学校
上。写在本试卷上无效，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
0.06
项是符合题目要求的。
1.设a,B是两个不同的平面，则α∥B的一个充分条件是
密
0.04…
A.a,B平行于同一条直线
B.a,B平行于同一个平面
C.a,B垂直于同一个平面
D.a内有无数条直线与B平行
0.02
2,己知复数z满足z=3+4i,则z=
A.2
B.2
c.5
D.7
0
80
85
90
95
100准确率%
班级
3.已知集合A={xlx-1k3},B={xy=Vx2-4},则AnB=
A.a=0.08
B.估计准确率的30%分位数为90%
A.[2,4]
B.[2,4)
C.[-2,4)
D.（-00,4)
C.估计准确率的平均数为90%
D.估计准确率的中位数为92.5%
4.在△4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,2ac03C+2cc0sA=3a,则
10.已知f(x)=x+a2+bx-2,不等式f(x)<2的解集为{xlx<1且x≠-2}，则下列
a=
说法中正确的是
封
A.2
B.3
D.2
A,函数f(x)的极大值点为1
B.函数f(x)的对称中心为(-1,0)
5.如图是江西省博物馆中典藏的元青白轴印花双风纹碗，高5.7cm,口径19cm,若将该
C,过点(-1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切
碗的内表面近似于一个球面的一部分，则这个球的半径近似于
娃
名
A.9.6cm
D.当-2-2
2
B.9.8cm
C.10.2cm
D.10.8cm
业：数学中有许多形软优美的曲战。曲线C:艺+s加=1就是其中之一，下列造项中关于
6.已知a,B终边不重合，sina-3cosB=sinB-3cosa,则tan(a+)=
曲线C的说法正确的有
3
A2
月
4
3
A.当x∈[-8,8]时，曲线C与x轴有4个交点
C.3
D4
B.曲线C图像关于x=对称
线
7.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函
2
学号
数y士对勾”福数y=中宁风等广高数y=一等等，它们的面象都能南某条双
C.当x∈[0，]时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值小于
2
x2 y2
曲线绕原点旋转面得，现将双由线G:。尔-1绕原点旋转一个合适的角度，得到风带”
D.当x∈[0，时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值大于
函数y=。上的图象C,则双曲线C,的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
43x
2,(x20)
12.已知函数f(x)=
·若f(a)=4,则a=
A.25
B.②
c.②
x+2(x<0)
D.25
13.己知向量a=(0,-2),ab=5,则1b的最小值是
●●●●●●●
3
3
4
8.已知函数f(x)满足f(x-y)fy)=2f(x),f(x)≠0，且fI)=4,则f(2-x)+f(x)
14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图。由于材料特
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的最小值为
性，每只能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰
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A.4
B.22
C.8
D.4W2
品，则不次同的取法数有
种，
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一高三数学第1页（共4页）一
一高三数学第2页（共4页）一
