河南省郑州市第十一中学2024-2025学年高三上学期期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市第十一中学高三（上）期末数学试卷
一．选择题（共7小题，满分35分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|2x＞2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
2．（5分）2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　）
A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏
3．（5分）已知关于x的不等式ax2+2bx+4＜0的解集为，其中m＜0，则的最小值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
4．（5分）已知在三棱锥M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，且△ABC为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．8π
5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，2]，，则在区间（﹣2，6）内，关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）＝0解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）已知直线l：kx﹣y+（1﹣k）＝0，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝1，以下说法不正确的是（　　）
A．l与圆C不一定存在公共点
B．圆心C到l的最大距离为
C．当l与圆C相交时，
D．当k＝﹣1时，圆C上有三个点到l的距离为
7．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），下面表述不正确的为（　　）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）8．（6分）若a＞0，b＞0，则下列判断正确的是（　　）
A．若a﹣b＝1，则
B．若a＞b，则a2b＞ab2
C．若，则
D．若，则（a﹣1）（7b﹣1）＝1
（多选）9．（6分）已知数列{an}满足a1＝2，，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则（　　）
A．a5＝20
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为x2＝4y
B．|AB|＝4
C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
11．（5分）已知命题p：“ x∈R，一元二次不等式2kx2+kx﹣3＜0”是真命题，则实数k的取值范围是 　 　 ．
12．（5分）若，则f′（2）＝ 　 　 ．
13．（5分）若a0x2002+a1x2021（1﹣x）+a2x2020（1﹣x）2+…+a2022（1﹣x）2022＝1，则a0+a1+…+a2022＝　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
14．（13分）已知函数f（x）＝x（a+lnx），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x﹣1平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的极值．
15．（15分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m在上的零点个数为2，求m的取值范围．
16．（15分）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，M、N分别是线段PB、DC上的点，且满足．
（1）若λ＝1，求证：直线MN∥平面PDA；
（2）是否存在实数λ，使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC？如果有请求出λ的值，否则请说明理由．
17．（17分）已知函数f（x）＝x2eax，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若关于x的不等式在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
18．（17分）已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4．
（1）求C的方程．
（2）直线l经过点（﹣1，1），且斜率大于零．过C的左焦点F1作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点F2作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形F2F1AB，使得梯形F2F1AB的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年河南省郑州市第十一中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C C B
二．多选题（共3小题）
题号 8 9 10
答案 BCD ACD ACD
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
11．（﹣24，0）．
12．3．
13．1．
四．解答题（共5小题，满分77分）
14．解：（1），
则f'（e）＝a+1+lne＝a+2，
因为切线与y＝4x﹣1平行，
所以切线斜率f'（e）＝4，即a+2＝4，解得a＝2．
（2）由（1）知a＝2，f（x）＝x（2+lnx）＝2x+xlnx，其定义域为（0，+∞），f′（x）＝2+1+lnx＝3+lnx，
令f'（x）＝0，即3+lnx＝0，解得x＝e﹣3，
当x∈（0，e﹣3）时，lnx＜﹣3，f'（x）＝3+lnx＜0，所以f（x）在（0，e﹣3）上单调递减；
当x∈（e﹣3，+∞）时，lnx＞﹣3，f'（x）＝3+lnx＞0，所以f（x）在（e﹣3，+∞）上单调递增；
故f（x）在x＝e﹣3处取得极小值，f（e﹣3）＝2e﹣3+e﹣3lne﹣3＝﹣e﹣3，无极大值．
15．解：（1）令，解得，
可得f（x）的单调递增区间为；
（2）g（x）在上的零点个数等于的图象与直线的交点个数，
因为，
所以，
当，即时，则h（x）在上单调递增，在[，]上单调递减，
所以h（x）max＝1，，
所以，即m的取值范围为．
16．解：（1）根据题意可知，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，
M、N分别是线段PB、DC上的点，且满足，
取AP中点Q，连接QM，QD，
由λ＝1，得M是线段PB中点，则QM∥AB，，
由四边形ABCD是矩形，N是线段DC的中点，得DN∥AB，，
于是DN∥MQ，DN＝QM，四边形DNMQ是平行四边形，
则NM∥QD，而NM 平面PDA，QD 平面PDA，
所以直线MN∥平面PDA．
（2）假设存在实数λ，使得MN同时垂直于直线PB和直线DC，由四边形ABCD是矩形，得CD∥AB，
即MN⊥PB，MN⊥AB，而PB∩AB＝B，PB，AB 平面ABP，则MN⊥平面ABP，
由PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，得PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面ABP，
因此BC⊥平面ABP，则MN∥BC，在矩形ABCD边AB上取点E，使BE＝CN，
连接NE，则NE∥BC∥MN与MN∩NE＝N矛盾，即假设不成立，
所以不存在实数λ，使直线MN同时垂直于直线PB和直线DC．
17．解：（Ⅰ）根据题意，f'（x）＝2xeax+ax2eax＝xeax（2+ax），
则f'（0）＝0，且f（0）＝0，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为：y＝0；
（Ⅱ）因为a＞0，
令f′（x）＝0，得x＝0或，
所以当和x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减，
所以为函数f（x）的极大值点，极大值为，
x＝0为函数f（x）的极小值点，极小值为f（0）＝0，
综上，函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，（0，+∞），
函数f（x）的极大值为，极小值为0；
（Ⅲ）根据题意关于x的不等式在[a，+∞）上有解，
即x2≤ea（a﹣x）在a，+∞）上有解，
设g（x）＝x2，x∈[a，+∞），h（x）＝ea（a﹣x），x∈[a，+∞），
由于a＞0，g（x）＝x2在a，+∞）上单调递增，所以，
h（x）＝ea（a﹣x）在a，+∞）上单调递减，所以h（x）max＝1，
则a2≤1，解得：0＜a≤1，
即a的取值范围为（0，1]．
18．解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为 （x，x），则 ，
解得，则C的内接正方形的面积为，
即12（a2+b2）＝7a2b2，
又2a＝4，所以a＝2，
代入12（a2+b2）＝7a2b2，解得b2＝3，
故C的方程为；
（2）存在梯形F2F1AB，其面积的最大值为，理由如下：
设直线l：y＝kx+m，k＞0，
因为直线l经过点（﹣1，1），所以m﹣k＝1，
所以点F1（﹣1，0）到直线l的距离为，
点F2（1，0）到直线l的距离为，
所以梯形 F2F1AB的面积（ θ为直线l的倾斜角），
所以S，当且仅当 时，等号成立，
此时，直线，直线，
联立这两条直线的方程，解得
因为 ，
所以点在C的内部，
故在C内存在梯形F2F1AB，其面积的最大值为．
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