2016年高考数学理试题分类汇编
数列
一、选择题
1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（
）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
2、（2016年全国I高考）已知等差数列前9项的和为27，，则
（A）100
（B）99
（C）98
（D）97
【答案】C
3、（2016年全国III高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个
（B）16个
（C）14个
（D）12个
【答案】C
4、（2016年浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，
，（）.
若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
二、填空题
1、（2016年北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..
【答案】6
2、（2016年上海高考）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.
【答案】4
3、（2016年全国I高考）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为
.
【答案】
4、（2016年浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N
，则a1=
，S5=
.
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
设数列A：
，
,…
().如果对小于()的每个正整数都有
＜
，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则
；
（3）证明：若数列A满足-
≤1（n=2,3,
…,N）,则的元素个数不小于
-.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
2、（2016年山东高考）已知数列
的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
求数列的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，
所以，当时，
，
又对也成立，所以．
又因为是等差数列，设公差为，则．
当时，；当时，，
解得，所以数列的通项公式为．
(Ⅱ)由，
于是，
两边同乘以２，得
，
两式相减，得
．
3、（2016年上海高考）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．
（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．
通过计算，，，，即知不具有性质．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
（2）的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
（3）[证]充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为（），所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．
4、（2016年四川高考）已知数列{
}的首项为1，
为数列{
}的前n项和，
，其中q>0，
.
（I）若
成等差数列，求an的通项公式；
(ii)设双曲线
的离心率为
，且
，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
解析：（Ⅰ）由已知，
两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列，可得，即，则，
由已知,，故
.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率
.
由解得.
因为，所以.
于是，
故.
5、（2016年天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.
(Ⅰ)设，求证：是等差数列；
(Ⅱ)设
，求证：
【解析】⑴
为定值．
∴为等差数列
⑵（
）
由已知
将代入（
）式得
∴，得证
6、（2016年全国II高考）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1
000项和．
【解析】⑴设 的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵ 记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
7、（2016年全国III高考）已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若
，求．
【解析】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
8、（2016年浙江高考）
设数列满足，．
（I）证明：，；
（II）若，，证明：，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（II）任取，由（I）知，对于任意，
，
故
．
从而对于任意，均有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
9、(2016江苏省高考)
记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
求数列的通项公式；
对任意正整数，若，求证：；
（3）设,求证：.
（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.2016年高考数学理试题分类汇编
平面向量
一、选择题
1、（2016年北京高考）设，是向量，则“”是“”的（
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
2、（2016年山东高考）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为
（A）4
（B）–4
（C）
（D）–
【答案】B
3、（2016年四川高考）在平面内，定点A，B，C，D满足
==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足
=1，=，则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
4、（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
5、（2016年全国II高考）已知向量，且，则m=（
）
（A）－8
（B）－6
（C）6
（D）8
【答案】D
6、（2016年全国III高考）已知向量
,
则ABC=
(A)300
(B)
450
(C)
600
(D)1200
【答案】A
二、填空题
1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
3、（2016年全国I高考）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=
.
【答案】
4、（2016年浙江高考）已知向量a、b,
｜a｜
=1，｜b｜
=2，若对任意单位向量e，均有
｜a·e｜+｜b·e｜
,则a·b的最大值是
．
【答案】
5、(2016江苏省高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，
，则
的值是
▲
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】2016年高考数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)=
图象上点P1，P?2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
（A）(0,1)
（B）(0,2)
（C）(0,+∞)
（D）(1,+∞)
【答案】A
2、（2016年全国I高考）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】D
二、填空题
1、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
．
【答案】
2、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程
是_______________。
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【解析】
（I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，
∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.
2、（2016年山东高考）已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【解析】(Ⅰ)
求导数
当时，，，单调递增，
，，单调递减；
当时，
当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(2)
当时，，
，，单调递增，
(3)
当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(Ⅱ)
当时，，
于是，
，
令 ，，，
于是，
，的最小值为；
又
设，，因为，，
所以必有，使得，且
时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，，所以的最小值为．
所以．
即对于任意的成立．
3、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a
∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)
＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
【解析】（I）由题意，
①当时，，，在上单调递减.
②当时，，当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.
∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.
4、（2016年天津高考）设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II)
若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【解析】（1）
①
，单调递增；
②，在单调递增，在单调递减，在单调递增
（2）由得
∴
（3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，
使得即可
①当时，在上单调递减
递减，成立
当时，
∵
∴
若时，，成立
当时，，
所以，在区间上的最大值不小于成立
5、（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.
解：⑴
由已知得：
①
若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
②
若，那么，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
即：
↓
极小值
↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，，
，因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③
若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
而极大值
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
④
若，那么
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤
若，则
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递减
当时，，，即，
单调递增
即：
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
⑵
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
6、（2016年全国II高考）
(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
【解析】⑴证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
⑵
由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增
记，在时，，∴单调递增
∴．
7、（2016年全国III高考）设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，．
………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
8、（2016年浙江高考）已知，函数F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，
其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
9、(2016江苏)已知函数.
设a=2,b=.
求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
解：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.
因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.2016年高考数学理试题分类汇编
集合与常用逻辑用语
一、集合
1、（2016年北京高考）已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2、（2016年山东高考）设集合
则=
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
3、（2016年上海高考）（2016年浙江高考）已知集合
则
A．[2,3]
B．(
-2,3
]
C．[1,2)
D．
【答案】B
4、（2016年四川高考）设集合，Z为整数集，则中元素的个数是
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
【答案】C
5、（2016年天津高考）已知集合则=（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
6、（2016年全国I高考）设集合
，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
7、（2016年全国II高考）已知集合，，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
8、（2016年全国III高考）设集合S=
，则ST=
(A)
[2，3]
(B)（-
，2]
[3,+）
(C)
[3,+）
(D)（0，2]
[3,+）
【答案】D
9、(2016江苏省高考)已知集合
则________▲________.
【答案】
二、常用逻辑用语
1、（2016年北京高考）设，是向量，则“”是“”的（
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
2、（2016年山东高考）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
3、（2016年上海高考）设，则“”是“”的（
）
充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】A
4、（2016年四川高考）设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足
则p是q的
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
5、（2016年天津高考）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的（
）
（A）充要条件
（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】C
6、（2016年浙江高考）
命题“，使得”的定义形式是
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】D2016年高考数学理试题分类汇编
不等式
一、选择题
1、（2016年北京高考）若，满足
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则的最大值为（
）
A.0
B.3
C.4
D.5
【答案】C
2、（2016年山东高考）若变量x，y满足则的最大值是
（A）4
（B）9
（C）10
（D）12
【答案】C
3、（2016年四川高考）设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足
则p是q的
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
4、（2016年天津高考）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（
）
（A）
（B）6
（C）10
（D）17
【答案】B
5、（2016年浙江高考）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=
A．2
B．4
C．3
D．
【答案】C
6、（2016年北京高考）已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
二、填空题
1、（2016年上海高考）设x,则不等式的解集为______________________
【答案】（2,4）
2、（2016年上海高考）设若关于的方程组无解，则的取值范围是____________
【答案】
3、（2016年全国I高考）某高科
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为
元.
【答案】
4、（2016年全国III高考）若满足约束条件
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
则的最大值为_____________.
【答案】
5、(2016江苏省高考)
已知实数x，y满足
，则x2+y2的取值范围是
▲
.
【答案】2016年高考数学理试题分类汇编
函数
一、选择题
1、（2016年北京高考）已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2、（2016年山东高考）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，
；当
时，；当
时，
.则f(6)=
（A）?2
（B）?1
（C）0
（D）2
【答案】D
3、（2016年上海高考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（
）
、①和②均为真命题、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题
【答案】D
4、（2016年天津高考）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（
）
（A）（0，]
（B）[，]
（C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
5、（2016年全国I高考））函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
（A）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（B）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（C）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（D）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】D
【解析】
，排除A，，排除B
时，
，当时，
因此在单调递减，排除C
故选D．
6、（2016年全国I高考）若，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
7、（2016年全国II高考）已知函数满足，若函数与图像的交点为
则（
）
（A）0
（B）
（C）
（D）
【答案】C
8、（2016年全国III高考）已知，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
二、填空题
1、（2016年北京高考）设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
2、（2016年山东高考）已知函数
其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________.
【答案】
3、（2016年上海高考）已知点在函数的图像上，则
【答案】
4、（2016年四川高考）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，
则__________.
【答案】-2
5、（2016年天津高考）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减
又，
可得，即
6、（2016年浙江高考）
已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a=
，b=
.
【答案】
7、(2016江苏省高考)函数y=
的定义域是
▲
【答案】
8、(2016江苏省高考)设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[
?1,1)上，
其中
若
，则f（5a）的值是
▲
.
【答案】
三、解答题
1、（2016年上海高考）
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解】
（1）由，得，
解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．??2016年高考数学理试题分类汇编
复数
1、（2016年北京高考）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.
【答案】.
2、（2016年山东高考）若复数z满足
其中i为虚数单位，则z=
（A）1+2i
（B）12i
（C）
（D）
【答案】B
3、（2016年上海高考）设，期中为虚数单位，则=______________________
【答案】-3
4、（2016年天津高考）已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
5、（2016年全国I高考）设，其中x，y是实数，则
（A）1
（B）
（C）
（D）2
【答案】B
6、（2016年全国II高考）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（
）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
7、（2016年全国III高考）若，则
(A)1
(B)
-1
(C)
i
(D)-i
【答案】C
8、(2016江苏省高考)复数
其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________
【答案】5
程序框图
1、（2016年北京高考）执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
2、（2016年山东高考）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】3
3、（2016年四川高考）秦九韶是我
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2.
则输出v的值为（
）
A．9
B．18
C．20
D．35
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
4、（2016年天津高考）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（
）
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
5、（2016年全国I高考）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出x，y的值满足
（A）
（B）
（C）
（D）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
6、（2016年全国II高考）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
【答案】C
7、（2016年全国III高考）执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
【答案】B
8、(2016江苏省高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是
▲
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】92016年高考数学理试题分类汇编
立体几何
一、选择题
1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B.
C.
D.
【答案】A
2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三
视图如右图所示，则该几何体的体积为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）17π
（B）18π
（C）20π
（D）28π
【答案】A
4、（2016年全国I高考）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1
A1=n，则m，n所成角的正弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
5、（2016年全国II高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）20π
（B）24π
（C）28π
（D）32π
【答案】C
6、（2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）
（B）
（C）90
（D）81
【答案】B
7、（2016年全国III高考）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是
（A）4π
（B）
（C）6π
（D）
【答案】B
二、填空题
1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】2
4、（2016年全国II高考）
是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.[
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有
．.(填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm2，体积是
cm3.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
6、（2016年浙江高考）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解】⑴∵面面
面面
∵，面
∴面
∵面
∴
又
∴面
⑵取中点为，连结，
∵
∴
∵
∴
以为原点，如图建系
易知，，，，
则，，，
设为面的法向量，令
，则与面夹角有
⑶假设存在点使得面
设，
由（2）知，，，，
有
∴
∵面，为的法向量
∴
即
∴
∴综上，存在点，即当时，点即为所求.
2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结，
因为，在上底面内，不在上底面内，
所以上底面，所以平面；
又因为，平面，
平面，
所以平面；
所以平面平面，
由平面，所以平面．
(Ⅱ)
连结，
以为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系．
，
，
于是有，，，，
可得平面中的向量，,
于是得平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设二面角为，
则．
二面角的余弦值为．
3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小。
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
确定．计算后即得.
（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角．确定，．得出．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为直线与所成的角．
由长为，可知，
又，所以，
从而为等边三角形，得．
因为平面，所以．
在中，因为，，，所以，
从而直线与所成的角的大小为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角的大小为，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解】（I）延长，交直线于点，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∵
即
，
∴四边形为平行四边形，，
∵，
∴，
∴，
∵面，
∴面，
∵，面，
∴面
故在面上可找到一点使得面.
（II）过作交于点，连结，过作交于点，
∵，与所成角为，
∴，，
∵，
∴，
∵面，
∴，
∵且，
∴面，
∵面，
∴，
∵且，
∴面，
∴为所求与面所成的角，
∵面，即.
∴为二面角所成的平面角,
由题意可得，而,
∴,
∵,四边形是平行四边形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
5、（2016年天津高考）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（I）求证：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值；
（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，
∵矩形,∴
∵、是中点，∴是的中位线
∴且
∵是正方形中心
∴
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
∵面
∴面
（Ⅱ）正弦值
解：如图所示建立空间直角坐标系
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
，，，
设面的法向量
得：
∴
∵面，
∴面的法向量
（Ⅲ）∵
∴
设
∴
得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（I）证明：平面ABEF平面EFDC；
（II）求二面角EBCA的余弦值．
【解析】
⑴
∵为正方形
∴
∵
∴
∵
∴面
面
∴平面平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
⑵
由⑴知
∵
平面
平面
∴平面
平面
∵面面
∴,∴
∴四边形为等腰梯形
以为原点，如图建立坐标系，设
，，
设面法向量为.
，即
设面法向量为
.即
设二面角的大小为.
二面角的余弦值为
7、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解析】⑴证明：∵，∴，
∴．
∵四边形为菱形，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴；
又，，∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴面．
⑵建立如图坐标系．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
，，，，
，，，
设面法向量，
由得，取，
∴．
同理可得面的法向量，
∴，
∴．
8、（2016年全国III高考）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（I）证明平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
设为平面的法向量，则，即
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，可取，
于是.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
9、（2016年浙江高考）如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（II）方法一：
过点作，连结．
因为平面，所以，则平面，所以．
所以，是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
10、(2016江苏省高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且
，
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.
所以，于是
又因为DE平面平面
所以直线DE//平面
（2）在直三棱柱中，
因为平面，所以
又因为
所以平面
因为平面，所以
又因为
所以
因为直线，所以
E
F
B
A
C
G
H
E
F
B
A
C
O，
O
x
y
z2016年高考数学理试题分类汇编
排列组合与二项式定理
一、排列组合
1、（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24
（B）48
（C）60
（D）72
【答案】D
2、（2016年全国II高考）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（A）24
（B）18
（C）12
（D）9
【答案】B
3、（2016年全国III高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
（A）18个
（B）16个
（C）14个
（D）12个
【答案】C
二、二项式定理
1、（2016年北京高考）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
【答案】60.
2、（2016年山东高考）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】-2
3、（2016年上海高考）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________
【答案】112
4、（2016年四川高考）设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4
（B）15x4
（C）－20i
x4
（D）20i
x4
【答案】A
5、（2016年天津高考）的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)
【答案】
6、（2016年全国I高考）的展开式中，x3的系数是
.（用数字填写答案）
【答案】2016年高考数学理试题分类汇编
三角函数
一、选择题
1、（2016年北京高考）将函数图象上的点向左平移（）
个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（
）
A.，的最小值为
B.
，的最小值为
C.，的最小值为
D.，的最小值为
【答案】A
2、（2016年山东高考）函数f（x）=（sin
x+cos
x）（cos
x
–sin
x）的最小正周期是
（A）
（B）π
（C）
（D）2π
【答案】B
3、（2016年四川高考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
（A）向左平行移动个单位长度
（B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度
（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
4、（2016年天津高考）在△ABC中，若,BC=3，
,则AC=
（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
【答案】A
5、（2016年全国I高考）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为
（A）11??????
??（B）9?????
（C）7???????
?（D）5
【答案】B
6、（2016年全国II高考）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B[
7、（2016年全国III高考）若
，则
(A)
(B)
(C)
1
(D)
【答案】A
8、（2016年全国III高考）在中，，BC边上的高等于,则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
9、（2016年浙江高考）设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
【答案】B
10、（2016年全国II高考）若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
二、填空题
1、（2016年上海高考）方程在区间上的解为___________
【答案】
2、（2016年上海高考）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________
【答案】
3、（2016年四川高考）cos2–sin2=
.
【答案】
4、（2016年全国II高考）的内角的对边分别为，若，，，则
．
【答案】
5、（2016年全国III高考）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个
单位长度得到．
【答案】
6、（2016年浙江高考）已知2cos2x+sin
2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
【答案】
7、(2016江苏省高考)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是
▲
.
【答案】7
三、解答题
1、（2016年北京高考）
在ABC中，.
（1）求
的大小；
（2）求
的最大值.
【解析】⑴
∵
∴
∴
∴
⑵∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴最大值为1
上式最大值为1
2、（2016年山东高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【解析】(Ⅰ)由得
，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由
．
所以的最小值为．
3、（2016年四川高考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【解析】（I）证明：由正弦定理可知
原式可以化解为
∵和为三角形内角
,
∴
则，两边同时乘以，可得
由和角公式可知，
原式得证。
（II）由题,根据余弦定理可知，
∵为为三角形内角，，
则，即
由（I）可知，∴
∴
4、（2016年天津高考）已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
解：令函数的单调递增区间是
由,得
设，易知.
所以,
当时,
在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
5、（2016年全国I高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若的面积为，求的周长．
【解析】
(1)
由正弦定理得：
∵，
∴
∴，
∵
∴
⑵
由余弦定理得：
∴
∴
∴周长为
6、（2016年浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b+c=2a
cos
B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（II）由得，故有
，
因，得．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
7、(2016江苏省高考)在中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求的值.
解（1）因为所以
由正弦定理知，所以
（2）在三角形ABC中，所以
于是
又，故
因为，所以
因此2016年高考数学理试题分类汇编
极坐标与参数方程
1、（2016年北京高考）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.
【答案】2
2、（2016年上海高考）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（B）
（C）
（D）
【答案】D
3、（2016年全国I高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos
θ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan
α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：⑴
（均为参数）
∴
①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵
∴
即为的极坐标方程
⑵
两边同乘得
即
②
：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴
∴
4、（2016年全国II高考）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,
与交于两点，，求的斜率．
解：⑴整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
5、（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
（t为参数），椭圆C的参数方程为
（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.
所以.2016年高考数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题
1、（2016年北京高考）袋中装有偶数个球，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（
）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
2、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为
.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】D
3、（2016年全国I高考
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
4、（2016年全国II高考）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
5、（2016年全国III
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(A)
各月的平均最低气温都在00C以上
(B)
七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)
三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)
平均气温高于200C的月份有5个
【答案】D
二、填空题
1、（2016年山东高考）在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
【答案】．
2、（2016年上海高考）某次体检，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）
【答案】1.76
3、（2016年四川高考）同时抛掷两枚质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是
.
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
A、B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试判断和的大小，（结论不要求证明）
解析】⑴，C班学生40人
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
设班中取到第个人事件为
C班中取到第个人事件为
班中取到的概率为
所求事件为
则
⑶
三组平均数分别为总均值
但中多加的三个数据平均值为，比小，
故拉低了平均值
2、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(Ⅰ)
“星队”至少猜对3个成语的概率；
(Ⅱ)
“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望．
【解析】(Ⅰ)
“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．
设“至少猜对3个成语”为事件；
“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，
则；
．
所以．
(Ⅱ)
“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0,1,2,3,4,6
于是；
；
；
；
；
；
的分布列为：
0
1
2
3
4
6
的数学期望．
3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)
组距
∴
得
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则（吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。
4、（2016年天津高考）某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）设事件：选2人参加义工活动，次数之和为4
（Ⅱ）随机变量可能取值
0，1，2
0
1
2
5、（2016年全国I高考）某公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
解：⑴
每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件为第一台机器3年内换掉个零件
记事件为第二台机器3年内换掉个零件
由题知，
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
16
17
18
19
20
21
22
⑵
要令，，
则的最小值为19
⑶
购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当时，费用的期望为
当时，费用的期望为
所以应选用
6、（2016年全国II高考）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.
05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】
⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
7、（2016年全国III高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解析】
⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．2016年高考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（2016年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）1
【答案】C
2、（2016年天津高考）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（
）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
3、（2016年全国I高考）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（A）(–1,3)
（B）(–1,)
（C）(0,3)
（D）(0,)
【答案】A
4、（2016年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
【答案】B
5、（2016年全国II高考）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2
【答案】A
6、（2016年全国II高考）圆已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2
【答案】A
7、（2016年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P
为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点，则C的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
8、（2016年浙江高考）
已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【答案】A
二、填空题
1、（2016年北京高考）双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
2、（2016年山东高考）已知双曲线E：
（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】由题意，所以，
于是点在双曲线上，代入方程，得，
在由得的离心率为，应填2.
3、（2016年上海高考）已知平行直线，则的距离_______________
【答案】
4、（2016年浙江高考）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
5、(2016江苏省高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于B，C两点，且
,则该椭圆的离心率是
▲
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(第10题)
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
已知椭圆C：
（）的离心率为
，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.
【解析】⑴由已知，，又，
解得
∴椭圆的方程为.
⑵方法一：
设椭圆上一点，则.
直线：,令，得.
∴
直线：,令，得.
∴
将代入上式得
故为定值.
方法二：
设椭圆
上一点，
直线PA:,令，得.
∴
直线:,令，得.
∴
故为定值.
2、（2016年山东高考）平面直角坐标系中，椭圆C：?的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【解析】(Ⅰ)
由离心率是，有，
又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ)
（i）设点坐标为，
由得，所以在点处的切线的斜率为，
因此切线的方程为，
设，，
将代入，得
．
于是，，
又，
于是 直线的方程为．
联立方程与，得的坐标为．
所以点在定直线上．
（ii）在切线的方程为中，令，得，
即点的坐标为，又，，
所以；
再由，得
于是有
．
令，得
当时，即时，取得最大值．
此时，，所以点的坐标为．
所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为．
3、（2016年上海高考）
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
求菜地内的分界线的方程
菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【解析】
（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．?
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
5、（2016年四川高考）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线l’平行于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·
∣PB∣，并求λ的值.
有方程组
得.①
方程①的判别式为，由，得，
此方程①的解为，
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为（2,1）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由②得.
所以
，
同理，
所以
.
故存在常数，使得.
6、（2016年天津高考）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中
为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【解析】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
7、（2016年全国I高考）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
8、（2016年全国II高考）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【解析】
⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，
则直线AM的方程为．
联立并整理得，
解得或，则
因为，所以
因为，，
所以，整理得，
无实根，所以．
所以的面积为．
⑵直线AM的方程为，
联立并整理得，
解得或，
所以
所以
因为
所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得
解得．
9、（2016年全国III高考）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
10、（2016年浙江高考）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【试题解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，故，．
因此．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
11、(2016江苏省高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)
设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以
……①
因为点Q在圆M上，所以
…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以
解得.
因此，实数t的取值范围是.
