华师大版数学八年级上册第13章13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八年级上册第13章13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 290.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-22 18:13:15 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
华师大版数学八年级上册第13章第四节13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习
一、选择题
1．图中的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一条线段等于已知线段
C．一个角等于已知角 D．角的平分线
答案：A
解答： 根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线，
故选：A．
分析：根据图象以及做线段垂直平分线的作法，即可得出答案．
2.在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
答案：A
解答： ∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=35°，
∵CD=BC，
∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，
∴∠C=40°，
故选A．
分析：首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A=∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．
3．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（ ）
A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB
答案：D
解答：由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线，
所以PA=PB，
故选D．
分析：根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到问题的选项．
4．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解答：1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
2．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
分析：利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
5．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．7
答案：B
解答：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=9，
∵△ABC的周长等于16，
∴AC+CD+BD+AB=16，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=AB，
∴AC+CD+AD+AB=16，
∴AB=16-9=7，
∴AE=3.5
故选：B．
分析：根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD，AE=AB，再由△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD=9，AC+CD+BD+AB=16，两式相减可得答案．
6．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
答案：D
解答：A．只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；
B．应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC=AB，错误；
C．a和b的位置不一定是平行，错误．
D．正确．
故选D．
分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答案：B
解答： 根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC=90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC=EA，
∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
8．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；
②AC平分∠BAD；
③AC=BD；
④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
答案：C
解答：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，
∴AB=BC，
∴BD垂直平分AC，故此小题正确；
②在△ABC与△ADC中，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴AC平分∠BAD，故此小题正确；
③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；
④∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．
故选C．
分析：根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．
9．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
答案：C
解答：甲：如图1，
图1
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，
图2
∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠B，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选C．
分析：根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
答案：D
解答：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°．
故选D．
分析：由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
11．下列说法中错误的是（ ）
A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等
C．线段有且只有一条垂直平分线
D．线段的垂直平分线是一条直线
答案：A
解答：A．过“到线段两端点距离相等的点”有无数条直线，故错误；
B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等，正确；
C．线段有且只有一条垂直平分线；正确；
D．线段的垂直平分线是一条直线；正确．
故选A．
分析：根据线段垂直平分线的定义分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
12到平面上不共线的三点A，B，C的距离相等的点（ ）
A．只有一个 B．有两个
C．有三个或三个以上 D．一个或没有
答案：A
解答：∵点到平面上不共线的三点A，B，C的距离相等，
∴该点是以A、B、C三点为顶点的三边的垂直平分线的交点，
∴只有一个点．
故选A．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答．
13．在锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
①作∠A的平分线交BC于D点．
②作AD的中垂线交AC于E点．
③连接DE．
根据他画的图形，下列关系正确的是（ ）
A．DE∥AB B．DE⊥AC C．CD=DE D．CD=BD
答案：A
解答：如图：
∵AD的中垂线交AC于E点，
∴∠1=∠2，AE=DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，即DE∥AB．
故选A．
分析：根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答．
14．如图A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC的两条高线的交点处
B．∠A、∠B两内角平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．AC、BC两条边垂直平分线的交点处
答案：D
解答：设O点为超市的位置，
连接OA、OB、OC，
∵超市到三个小区的距离相等，
∴OA=OB=OC，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在AC的垂直平分线上，
即O是AC、BC两条垂直平分线的交点上，
故选D．
分析：连接OA、OB、OC，根据OA=OB得出O在AB的垂直平分线上，根据OC=OA，得出O在AC的垂直平分线上，即可得出选项．
15．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．17 C．14 D．7
答案：B
解答：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AD+CD+AC=10，
∴BD+DC+AC=10，
∴AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=7+10=17，
故选B．
分析：根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，根据△ADC的周长为10求出AC+BC=10，代入AB+AC+BC求出即可．
二、填空题
16．撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD与B、C的连线BC的位置关系为 ．
答案：垂直
解答：连接BC、AD，
∵AB=AC，DB=DC，
∴A在线段BC的垂直平分线上，D在线段BC的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC，
故答案为：垂直．
分析：根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得出A、D都在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线即可．
17．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，点C′与点C关于直线AD对称，若BC=6cm，则点B与点C′之间的距离为 cm．
答案：3
解答：连接BC′，
∵点C′与点C关于直线AD对称，
∴AD⊥CC′，CE=C′E
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴AD∥BC′
∴BC′⊥CC′，∠CBC′=∠ADC=60°
在Rt△BCC′中，BC=6，∠CBC′=60°，∴∠C′CB=30°，
∴BC′=BC=×6=3．
分析：作辅助线，连接BC′，由点C′与点C关于直线AD对称，可知AD⊥CC′，再根据AD是△ABC的中线，可知AD∥BC′，故△BCC′为直角三角形，进而可将BC′的长度求出．
18．如图，A、B、C为三个村庄，村庄C刚好在AB的中垂线上，则AC BC（填“＞”、“＜”或“=”）．
答案：=
解答：∵村庄C刚好在AB的中垂线上，
∴AC=BC．
故答案为：=．
分析：根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案．
19．如图，某地有两所大学M、N和两条交叉的公路AO、BO，现计划建一个体育馆，希望体育馆到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，则体育馆应建在 ．
答案：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处或∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处
解答：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处或∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处．
具体作法为：
（1）连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
同理：可得∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处．
分析：到两所大学的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在∠AOB的平分线上．两条直线的交点即为体育馆位置．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= ．
答案：8
解答：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
分析：根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长．
三、解答题
21．作图题：作线段AB的垂直平分线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案：
解答：如图，
分析：利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12
（1）线段BC的垂直平分线，交BC于点D；（用尺规作图，保留作图痕迹）．
答案：
解答：如图所示：
（2）AD的长．
答案：2
解答：∵AB=AC，
∴BC的垂直平分线必过A点，
∵AD垂直平分线BC，BC=12，
∴BD=6，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD，
∵在Rt△ABD中：，
∴，
解得：AD=2．
分析：根据线段垂直平分线的作法，作图即可；根据等腰三角形的性质可得BC的垂直平分线必过A点，再根据直角三角形的性质可得AB=2AD，然后再利用勾股定理计算出AD即可．
23．为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
答案：
解答：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M，
作图如下：
分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
24．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）
答案： 解答：画角平分线，线段的垂直平分线；
如图：△BOE≌△BOF
证明：∵BD为∠ABC的角平分线
∴∠ABO=∠OBF
∵EF⊥BD
∴∠BOE=∠BOF
在△BOE与△BOF中，
∠EBO=∠FBO，BO=BO，∠BOE=∠BOF，
∴△BOE≌△BOF（ASA）
分析：先根据题意作图，再利用AAS判定△BOE≌△BOF全等即可．
25．两个城镇A、B与两条公路、位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
答案：解答：①作出线段AB的垂直平分线；②作出角的平分线；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
分析：仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
华师大版数学八年级上册第13章第四节13.4.5作已知线段的垂直平分线同步练习
一、选择题
1．图中的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一条线段等于已知线段
C．一个角等于已知角 D．角的平分线
答案：A
解答： 根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线，
故选：A．
分析：根据图象以及做线段垂直平分线的作法，即可得出答案．
2.在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
答案：A
解答： ∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=35°，
∵CD=BC，
∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，
∴∠C=40°，
故选A．
分析：首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A=∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．
3．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（ ）
A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB
答案：D
解答：由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线，
所以PA=PB，
故选D．
分析：根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到问题的选项．
4．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解答：1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
2．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
分析：利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
5．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．7
答案：B
解答：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=9，
∵△ABC的周长等于16，
∴AC+CD+BD+AB=16，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=AB，
∴AC+CD+AD+AB=16，
∴AB=16-9=7，
∴AE=3.5
故选：B．
分析：根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD，AE=AB，再由△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD=9，AC+CD+BD+AB=16，两式相减可得答案．
6．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
答案：D
解答：A．只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；
B．应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC=AB，错误；
C．a和b的位置不一定是平行，错误．
D．正确．
故选D．
分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答案：B
解答： 根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC=90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC=EA，
∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
8．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；
②AC平分∠BAD；
③AC=BD；
④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
答案：C
解答：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，
∴AB=BC，
∴BD垂直平分AC，故此小题正确；
②在△ABC与△ADC中，
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴AC平分∠BAD，故此小题正确；
③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；
④∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．
故选C．
分析：根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．
9．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
答案：C
解答：甲：如图1，
图1
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，
图2
∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠B，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选C．
分析：根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
答案：D
解答：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°．
故选D．
分析：由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
11．下列说法中错误的是（ ）
A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等
C．线段有且只有一条垂直平分线
D．线段的垂直平分线是一条直线
答案：A
解答：A．过“到线段两端点距离相等的点”有无数条直线，故错误；
B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等，正确；
C．线段有且只有一条垂直平分线；正确；
D．线段的垂直平分线是一条直线；正确．
故选A．
分析：根据线段垂直平分线的定义分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
12到平面上不共线的三点A，B，C的距离相等的点（ ）
A．只有一个 B．有两个
C．有三个或三个以上 D．一个或没有
答案：A
解答：∵点到平面上不共线的三点A，B，C的距离相等，
∴该点是以A、B、C三点为顶点的三边的垂直平分线的交点，
∴只有一个点．
故选A．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答．
13．在锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
①作∠A的平分线交BC于D点．
②作AD的中垂线交AC于E点．
③连接DE．
根据他画的图形，下列关系正确的是（ ）
A．DE∥AB B．DE⊥AC C．CD=DE D．CD=BD
答案：A
解答：如图：
∵AD的中垂线交AC于E点，
∴∠1=∠2，AE=DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，即DE∥AB．
故选A．
分析：根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答．
14．如图A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC的两条高线的交点处
B．∠A、∠B两内角平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．AC、BC两条边垂直平分线的交点处
答案：D
解答：设O点为超市的位置，
连接OA、OB、OC，
∵超市到三个小区的距离相等，
∴OA=OB=OC，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在AC的垂直平分线上，
即O是AC、BC两条垂直平分线的交点上，
故选D．
分析：连接OA、OB、OC，根据OA=OB得出O在AB的垂直平分线上，根据OC=OA，得出O在AC的垂直平分线上，即可得出选项．
15．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．17 C．14 D．7
答案：B
解答：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AD+CD+AC=10，
∴BD+DC+AC=10，
∴AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=7+10=17，
故选B．
分析：根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，根据△ADC的周长为10求出AC+BC=10，代入AB+AC+BC求出即可．
二、填空题
16．撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD与B、C的连线BC的位置关系为 ．
答案：垂直
解答：连接BC、AD，
∵AB=AC，DB=DC，
∴A在线段BC的垂直平分线上，D在线段BC的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC，
故答案为：垂直．
分析：根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得出A、D都在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线即可．
17．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，点C′与点C关于直线AD对称，若BC=6cm，则点B与点C′之间的距离为 cm．
答案：3
解答：连接BC′，
∵点C′与点C关于直线AD对称，
∴AD⊥CC′，CE=C′E
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴AD∥BC′
∴BC′⊥CC′，∠CBC′=∠ADC=60°
在Rt△BCC′中，BC=6，∠CBC′=60°，∴∠C′CB=30°，
∴BC′=BC=×6=3．
分析：作辅助线，连接BC′，由点C′与点C关于直线AD对称，可知AD⊥CC′，再根据AD是△ABC的中线，可知AD∥BC′，故△BCC′为直角三角形，进而可将BC′的长度求出．
18．如图，A、B、C为三个村庄，村庄C刚好在AB的中垂线上，则AC BC（填“＞”、“＜”或“=”）．
答案：=
解答：∵村庄C刚好在AB的中垂线上，
∴AC=BC．
故答案为：=．
分析：根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案．
19．如图，某地有两所大学M、N和两条交叉的公路AO、BO，现计划建一个体育馆，希望体育馆到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，则体育馆应建在 ．
答案：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处或∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处
解答：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点处或∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处．
具体作法为：
（1）连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
同理：可得∠AOB的外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点处．
分析：到两所大学的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在∠AOB的平分线上．两条直线的交点即为体育馆位置．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= ．
答案：8
解答：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
分析：根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长．
三、解答题
21．作图题：作线段AB的垂直平分线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案：
解答：如图，
分析：利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12
（1）线段BC的垂直平分线，交BC于点D；（用尺规作图，保留作图痕迹）．
答案：
解答：如图所示：
（2）AD的长．
答案：2
解答：∵AB=AC，
∴BC的垂直平分线必过A点，
∵AD垂直平分线BC，BC=12，
∴BD=6，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD，
∵在Rt△ABD中：，
∴，
解得：AD=2．
分析：根据线段垂直平分线的作法，作图即可；根据等腰三角形的性质可得BC的垂直平分线必过A点，再根据直角三角形的性质可得AB=2AD，然后再利用勾股定理计算出AD即可．
23．为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
答案：
解答：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M，
作图如下：
分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
24．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）
答案： 解答：画角平分线，线段的垂直平分线；
如图：△BOE≌△BOF
证明：∵BD为∠ABC的角平分线
∴∠ABO=∠OBF
∵EF⊥BD
∴∠BOE=∠BOF
在△BOE与△BOF中，
∠EBO=∠FBO，BO=BO，∠BOE=∠BOF，
∴△BOE≌△BOF（ASA）
分析：先根据题意作图，再利用AAS判定△BOE≌△BOF全等即可．
25．两个城镇A、B与两条公路、位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
答案：解答：①作出线段AB的垂直平分线；②作出角的平分线；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
分析：仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网