华师大版数学八年级上册第13章第二节13.2.6斜边直角边同步练习

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华师大版数学八年级上册第13章第二节13.2.6斜边直角边同步练习
一、选择题
1.下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A.一条边对应相等 B.两条直角边对应相等
C.一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
答案：B
解答：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；
而D构成了AAA，不能判定全等；
B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故选：B．
分析：判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．
2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　）
A.SSS B.AAS C.SAS D.HL
答案：C
解答：两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS“．
故选C．
分析：根据三角形全等的判定定理，两条直角边对应相等，还有一个直角，则利用了SAS．
3.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD
C.AC=AD且BC=BD D.以上都不正确
答案：B
解答：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC=AD或BC=BD，
故选B．
分析：根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
4.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　）
A. AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′
C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′
答案：C
解答：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，
Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选C．
分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．
5.下列语句中不正确的是（　　）
A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
答案：C
解答：A.∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；
B.两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；
C.有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选C．
分析：根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．
6.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　）
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
答案：A
解答：HL；理由是：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选A．
分析：已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
7.下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A、斜边相等 B.面积相等
C.两对锐角对应相等 D.两对直角边对应相等
答案：D
解答：A.斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；
B.面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；
C.两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；
D.两对直角边对应相等，可利用SAS定理证明两个直角三角形全等，故此选项正确；
故选：D．
分析：根据判定直角三角形全等的条件：SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
8.如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD
答案：A
解答：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选A．
分析：由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
9.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
答案：A
解答：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，
又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．
故选A．
分析：利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．
10.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
答案：C
解答：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
分析：本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
11.如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
答案：C
解答：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D
∴∠A=∠D=90°（A正确）
又∵AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB（B正确）
∴AB=CD
又∵∠AOB=∠C
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD（D正确）
C中OD、OB不是对应边，不相等．
故选C．
分析：根据已知及直角三角形全等的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
12.利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（　　）
A.已知斜边和一锐角 B.已知一直角边和一锐角
C.已知斜边和一直角边 D.已知两个锐角
答案：D
解答：A.符合直角三角形全等的判定AAS，能作出唯一直角三角形；
B.符合直角三角形全等的判定SAS，能作出唯一直角三角形；
C.符合直角三角形全等的判定HL，能作出唯一直角三角形；
D.因为已知两个锐角，而边长不确定，故这样的三角形可作很多，而不是唯一的
故选D．
分析：看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
13.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）
A.AB=DE，AC=DF B.AC=EF，BC=DF
C.AB=DE，BC=EF D.∠C=∠F，BC=EF
答案：B
解答：A.由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B.当∠A=∠D=90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等；
C.由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D.由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
故选B．
分析：针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．
14.如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（　　）
A.AC=DF，BC=EF B.∠A=∠D，AB=DE
C.AC=DF，AB=DE D.∠B=∠E，BC=EF
答案：C
解答：∵在两个三角形中AB、DE是斜边
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合．
故选C．
分析：注意“HL”指的是斜边、直角边对应相等，认真观察下列各选项，看哪个选项提供的是斜边与直角边，A是两条直角边，B、D都有角，于是可得答案C．
15.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（　　）
A、8 B、5 C、3 D、2
答案：C
解答：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴△AEC≌△CDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD-CE=5-2=3（cm）．
故选C．
分析：根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证△AEC≌△CDB后求解．
二、填空题
16.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ．
答案：AC=DE
解答：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC=DE．
分析：先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
17.已知Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE，需再添加
（一个条件），使得这两个三角形全等．
答案：BC=DF（答案不唯一）
解答：添加：BC=DF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
故答案为：BC=DF．
分析：添加：BC=EF可利用HL定理判定Rt△ABC≌Rt△EDF．
18.如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是
．
答案：AB=AC
解答：还需添加条件AB=AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB=AC．
分析：根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．
19.如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE=CD，则△ ≌△ ，
理由是 ．
答案：BEC｜CDB｜HL.
解答：在△BEC和△CDB中，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△BEC和△CDB中都是直角三角形；
BC=CB（公共边），
BE=CD（已知），
∴△BEC≌△CDB（HL）．
分析：根据已知条件BD⊥AC，CE⊥AB判定△BEC和△CDB中都是直角三角形；然后根据直角三角形全等的判定定理来证明△BEC≌△CDB（HL）．
20.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AC=DE，若要用“斜边直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件： ．
答案：BC=EF（答案不唯一）
解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC=EF
分析：此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
三、解答题
21.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：OB=OC．
答案：
解答：∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB=∠DBC．
∴∠OCB=∠OBC．
∴OB=OC（等角对等边）.
分析：因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，所以有OB=OC．
22.如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，CE=DF，求证：AC∥BD．
答案：
解答：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA=∠DFB=90°．
又∵AC=BD，CE=DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD．
分析：利用已知条件可直接证出Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），可得到对应角∠A=∠B，根据内错角相等，两直线平行可证得AC∥BD．
23.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
答案：
解答：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
分析：由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
24.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？
答案： CE=DF
解答：CE=DF．理由：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC=BD，∠CAB=∠DBA．
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE=DF．
分析：相等，先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD，得出AC=BD，∠CAB=∠DBA，再利用AAS判定△ACE≌△BDF，从而推出CE=DF．
25.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1） Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
答案：全等
解答：全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
答案： 直角三角形
解答：是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
分析：（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
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