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专题03 平行四边形
一、单选题
1．（2025春·山西·八年级统考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对边相等
【答案】A
【分析】利用矩形与菱形的性质逐个判断即可．
【详解】解： A．矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A符合题意；
B．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角线互相平分，故B不符合题意；
C．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；
D．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都相等，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
2．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，点分别是边，的中点，连接．若，，则等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，再利用三角形中位线定理求证DE∥BC，利用同位角相等即可求出∠AED．
【详解】∵∠A=60°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-50°=70°，
∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=70°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和平行线的性质，解答此题的关键是利用三角形内角和定理求出∠ACB．
3．（2025秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点形成的四边形仍为矩形
D．经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相筹的两部分
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、四边相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形，故A错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误；
C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，故C错误；
D、经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相筹的两部分，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．
4．（2025·四川泸州·统考中考真题）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选B．
【点睛】平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
5．（2025秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等，是解题的关键．
6．（2025春·八年级单元测试）把两个全等的不等边三角形拼成形状不同的平行四边形，可拼成的平行四边形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质,对角线将平行四边形分成两个全等的三角形即可解题.
【详解】∵这两个三角形是全等的不等边三角形
∴让相等的边重合即可构造出平行四边形,
∴三边依次重合,能够构造出三个不相等的平行四边形,
故选C.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.
7．（2025春·山东济南·八年级统考期末）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC 的周长为2，则△ADE的周长为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∵△ABC 的周长为2，
∴，
∴△ADE的周长．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是关键．
8．（2025·河北保定·统考模拟预测）如图，正方形的面积为8，点A，都在数轴上，且点A表示的数是，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A．4 B．或3 C． D．或
【答案】B
【分析】根据正方形面积求出边长，再结合勾股定理得出长，按照要求可以得到分两种情况：点左侧或右侧，分情况求解即可．
【详解】解：正方形的面积为8，
正方形的边长为，
，
如图所示，分两种情况：点左侧或右侧，
当在点左侧时，点表示的数是；
当在点右侧时，点表示的数是；
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点的坐标，根据题意作出图形，分情况讨论是解决问题的关键．
9．（2025春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由∠MCN=180°，可求出∠BCD的度数，根据菱形的性质可得∠A的度数，再由AB=AD，进而可求出∠ABD的度数．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠BCD，AB=AD．
∵∠1=50°，∠2=20°，
∴∠BCD=180°-50°-20°=110°
∴∠A=110°．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°－110°）÷2=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理的运用以及等腰三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
10．（2025春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【分析】如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】如图连接EF，延长BA使得AM＝CE，则△OCE≌△OAM．
∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，
∵CE＝，
∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴点F的纵坐标为，
故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于做辅助线
11．（2025春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5
【答案】A
【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：，
即，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8，
故选A．
【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．（2025春·陕西西安·八年级统考期末）如图，平行四边形中，，、分别在和的延长线上，，，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=1，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=1
∴CE=CD+DE=2，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，
∴2EF2=4，
∴EF=.
故选B.
13．（2025·广东佛山·统考一模）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．16的平方根是
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】对各选项依次进行判断分析，由此即可求解．
【详解】选项A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，故本选项错误；
选项B，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
选项C，16的平方根是±4，故本选项正确；
选项D，有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，例如，一个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的一条直角边对应相等，另一条直角边与斜边对应相等，这两个直角三角形不全等，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定、平方根及全等三角形的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（2025春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】B
【分析】根据题意可得PQ必过矩形EFGA的对角线交点，连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，根据三角形中位线定理可得，∠ANO=∠ABC=90°，，∠AMH=90°，再由勾股定理可得OH的长，再证明△ASO≌△CQO，可得SO=OQ，即可求解．
【详解】解：∵过点O的一条直线平分该组合图形的面积，
∴PQ必过矩形EFGA的对角线交点，
连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，
又∵点N是AB的中点，
∴，ON∥BC，
∴∠ANO=∠ABC=90°，
同理：，∠AMH=90°，
∵HT⊥NO，
∴四边形MHTN为矩形，
∴MH=NT=2，MT=MN=3，
∴TO=1，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ASO=∠CQO，
在△ASO和△CQO中，
∵，
∴△ASO≌△CQO（AAS），
∴SO=OQ，
同理PH=SH，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．（2025春·河北保定·七年级统考期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知，再由周角360°以及=70°可求出∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF．
【详解】解：由题意可得：，
由折叠可知：，
∵=360°，=70°，
∴=145°，
∵，
∴∠AEF+∠EFB=180°，
∴∠AEF=180°-145°=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
二、填空题
16．（2025春·广西钦州·七年级统考期末）把边长为2的正方形OABC放在如图所示的平面直角坐标系中，则点B的坐标为_____．
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据正方形的性质解答即可．
【详解】解：∵边长为2的正方形OABC，
∴OC＝OA＝2，
∴点B的坐标为（2，﹣2），
故答案为（2，﹣2），
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形边长相等解答．
17．（2025春·江苏泰州·八年级校考期中）已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝260°，则∠C＝______．
【答案】50°
【分析】根据平行四边形对角相等，且四边形内角和为360°，即可顺利求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∵∠B+∠D=260°，
∴∠A+∠C=360°-（∠B+∠D）=100°，
∴∠A=∠C=．
故∠C=50°．
【点睛】本题目考查平行四边形，难度不大，熟练掌握平行四边形的性质是顺利解题的关键．
18．（2025秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则______．
【答案】##40度
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出，代入求解即可．
【详解】解：∵等腰中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
19．（2025春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝_____．
【答案】4
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE，DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DEG=∠FCG，然后利用“角边角”证明△DEG和△FCG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，然后求解即可．
【详解】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵DF平分CE于点G，
∴EG＝CG，
∵在△DEG和△FCG中，
，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴DE＝CF，
∵CF＝2，
∴DE＝2，
∴BC＝2DE＝2×2＝4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟练掌握定理并判定出三角形全等是解题的关键．
20．（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．
【答案】80°##80度
【分析】由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE；
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，
∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°，
∴∠A1DA＝100°，
∴∠BDA1＝180° 100°＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键．
21．（2025·黑龙江哈尔滨·校联考模拟预测）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为___.
【答案】2 cm
【分析】如图，首先证明AG为线段DH的垂直平分线；进而证明AD=AH=4，∠DAG=∠HAG=∠HAB=α，求出α；运用直角三角形的边角关系求出AB，即可解决问题．
【详解】如图，∵点E，F分别是CD和AB的中点，
且四边形ABCD为矩形，
∴EG∥CH，而DE=CE，
∴DG=GH;由题意得：∠AGH=∠B=90°，
∴AG为线段DH的垂直平分线，
∴AD=AH=4,∠DAG=∠HAG(设为α)；
而∠BAH=∠GAH=α，
∴3α=90°,α=30°，
∴cos30°=,AB=2 (cm)，
∴CD=AB=2cm，
故答案为2 cm.
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于运用直角三角形的边角关系求出AB
22．（2025春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，为正方形内部一点，且，，，则阴影部分的面积为_______．
【答案】19
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，
由勾股定理得：，
∴正方形的面积是5×5=25，
∵△AEB的面积是，
∴阴影部分的面积是25-6=19，
故答案是：19．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．
23．（2025春·湖南郴州·九年级统考阶段练习）菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．
【答案】8
【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解．
【详解】解：如图，∵菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC＝6cm，
∴AB＝20÷4＝5cm，AO＝AC＝3cm，
又∵AC⊥BD，
∴BO＝＝4cm，
∴BD＝2BO＝8cm．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.
24．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是OC、BC的中点．若cm，则______cm．
【答案】20
【分析】根据三角形中位线定理可得EF=BO，再根据矩形的对角线的性质可得BD的长，即可得AC长．
【详解】解：∵E、F分别是OC、BC的中点．，
∴EF=BO，
∵cm，
∴BO=10cm，
∴BD=20cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20cm，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、中位线定理，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等得性质和中位线定理，找到边与边之间的关系．
25．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．
【答案】10
【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
【详解】解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝GC=12，
∵∠DCE＝45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°，
∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，
∴△EBC≌△FGC，
∴∠ECB＝∠FCG，
∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD，
∴ED＝DF，
∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，
设DE＝x，则DG＝x 4，
∴AD＝16 x，
在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，
∴x2＝（16 x）2＋82，
∴x＝10，
即DE＝10．
故答案为：10
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题
26．（2025春·江苏无锡·八年级期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．将△ADE绕点A旋转，BD、CE也随之运动．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在△ADE绕点A旋转过程中，当AE∥BC时，求∠DAC的度数；
（3）如图②，当点D恰好是△ABC的外心时，连接DC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）四边形ADCE是菱形.
【分析】（1）利用SAS证明由全等三角形对应角相等的性质可得结论；
（2）由等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可知的度数，由两直线平行，同旁内角互补可知的度数，易求∠DAC的度数；
（3）利用利用SAS证明可得，由点D是△ABC的外心可得，由四条边都相等的四边形是菱形可判定四边形ADCE的形状.
【详解】解：（1）
在和中
（2）
；
（3）
在和中
点D是△ABC的外心，即点D为三角形三边垂直平分线的交点
所以四边形ADCE是菱形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、三角形外心的性质及菱形的判定定理，灵活利用全等三角形的判定与性质是解题的关键.
27．（2025春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在 ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：AE＝DE．
【答案】见解析；
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵ ABCD，
∴AB＝CD，BF∥DC，
∴∠F＝∠ECD，∠FAE＝∠D，
∵AF＝BA，
∴AF＝DC，
在△AFE与△DCE中
，
∴△AFE≌△DCE（ASA），
∴AE＝DE．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
28．（2025春·内蒙古兴安盟·八年级统考期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EFC＝35°或125°．
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明RtEQF≌RtEPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）分两种情况讨论即可，①当DE与AD的夹角为35°时，②当DE与DC的夹角为35°时，从而可得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
四边形ABCD为正方形，
∵∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴EQ＝EP，
矩形DEFG，
∠PED+∠PEF＝90°，
∵∠QEF+∠PEF＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt≌Rt（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）①当DE与AD的夹角为35°时，
如图2，
∵∠ADE＝35°，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝55°，
②当DE与DC的夹角为35°时，
如图3，即交于，
∠EDC＝∠EFC＝35°，
综上所述：∠EFC＝35°或125°．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
29．（2025·四川巴中·统考中考真题）如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
30．（2025春·上海·八年级校考期中）如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF．
【答案】证明见解析
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
分别是的角平分线，
，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
31．（2025秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．已知AB=10cm，CE=6cm，AC=5cm，求BD的长度．
【答案】BD=12cm.
【分析】根据三角形面积公式即可解答.
【详解】解：∵△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．AB=10cm，CE=6cm，AC=5cm，
∴△ABC的面积=，
即．
【点睛】本题考查三角形面积公式，解题关键在于掌握基本三角形面积公式.
32．（2025春·山西忻州·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作分别交BC，DA于点E，F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB＝3，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明（ASA），得到，证得四边形BEDF是平行四边形，由进一步证得四边形BEDF是菱形.；
（2）设，由四边形ABCD是矩形，得到AD＝BC＝6，∠A＝90°，四边形BEDF是菱形，，， 在中,由得，求得FD＝，求得＝，进一步得到答案．
（1）
证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC
∴
∵O为BD的中点
∴
∵
∴（ASA）
∴
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵
∴四边形BEDF是菱形.
（2）
解：设
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
由（1）知四边形BEDF是菱形
∴
∴
在中, ∠A＝90°，AB＝3，，
由勾股定理得
∴
∴FD＝
∴＝
∴
【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的面积等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
33．（2025春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形纸片沿翻折，点落在点处，连接，、，若，
（1）求证：是等边三角形；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】1）利用翻折变换的性质，得出，结合矩形的性质得出，进而得出，求出，即可得出结论；
（2）由折叠的性质得：垂直平分，得出，，再证出是等边三角形，得出，证出，即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如图所示，
将矩形纸片沿翻折，点落在点处，
，，垂直平分，
四边形是矩形，，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：由折叠的性质得：垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．
34．（2025春·重庆江津·八年级重庆市聚奎中学校阶段练习）在△ABC中,AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，过D作DE∥AC交AB于点E.
（1）求证：E是AB的中点；
（2）若AB＝6，求线段DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE的长为3.
【详解】试题分析：（1）证明∠EAD=∠EDA，此为解题的关键性结论；证明∠EAD=∠EDA，即可解决问题．（2）证明DE为直角△ABD斜边的中线，即可解决问题．
试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
∵DE∥AC
∴∠CAD=∠ADE
∴∠EAD=∠ADE
∴DE=AE
∵BD⊥AD
∴∠ADB=90
∴∠ADE+∠BDE=90 ，∠EAD+∠ABD=90
∵∠EAD=∠ADE
∴∠BDE=∠ABD
∴BE=DE
∴AE=BE
∴E是AB的中点
（2）解：由（1）知∠ADB=90 ， E是AB的中点
∴DE=AB
∵AB=6
∴DE=
35．（2025·辽宁沈阳·东北育才双语学校模拟预测）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；
（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．
（1）
证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴，
∴EG＝BD＝10．
【点睛】本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．
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专题03 平行四边形
一、单选题
1．（2025春·山西·八年级统考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对边相等
2．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，点分别是边，的中点，连接．若，，则等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．（2025秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点形成的四边形仍为矩形
D．经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相筹的两部分
4．（2025·四川泸州·统考中考真题）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
5．（2025秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
6．（2025春·八年级单元测试）把两个全等的不等边三角形拼成形状不同的平行四边形，可拼成的平行四边形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025春·山东济南·八年级统考期末）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC 的周长为2，则△ADE的周长为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
8．（2025·河北保定·统考模拟预测）如图，正方形的面积为8，点A，都在数轴上，且点A表示的数是，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A．4 B．或3 C． D．或
9．（2025春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
10．（2025春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
11．（2025春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（ ）
A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5
12．（2025春·陕西西安·八年级统考期末）如图，平行四边形中，，、分别在和的延长线上，，，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
13．（2025·广东佛山·统考一模）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．16的平方根是
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
14．（2025春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39 B．40 C．41 D．42
15．（2025春·河北保定·七年级统考期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
二、填空题
16．（2025春·广西钦州·七年级统考期末）把边长为2的正方形OABC放在如图所示的平面直角坐标系中，则点B的坐标为_____．
17．（2025春·江苏泰州·八年级校考期中）已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝260°，则∠C＝______．
18．（2025秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则______．
19．（2025春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝_____．
20．（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．
21．（2025·黑龙江哈尔滨·校联考模拟预测）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为___.
22．（2025春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，为正方形内部一点，且，，，则阴影部分的面积为_______．
23．（2025春·湖南郴州·九年级统考阶段练习）菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．
24．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是OC、BC的中点．若cm，则______cm．
25．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．
三、解答题
26．（2025春·江苏无锡·八年级期中）如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．将△ADE绕点A旋转，BD、CE也随之运动．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在△ADE绕点A旋转过程中，当AE∥BC时，求∠DAC的度数；
（3）如图②，当点D恰好是△ABC的外心时，连接DC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
27．（2025春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在 ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：AE＝DE．
28．（2025春·内蒙古兴安盟·八年级统考期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．
29．（2025·四川巴中·统考中考真题）如图， ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
30．（2025春·上海·八年级校考期中）如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF．
31．（2025秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD．已知AB=10cm，CE=6cm，AC=5cm，求BD的长度．
32．（2025春·山西忻州·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作分别交BC，DA于点E，F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB＝3，，求的面积．
33．（2025春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形纸片沿翻折，点落在点处，连接，、，若，
（1）求证：是等边三角形；
（2）求证：四边形是菱形．
34．（2025春·重庆江津·八年级重庆市聚奎中学校阶段练习）在△ABC中,AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，过D作DE∥AC交AB于点E.
（1）求证：E是AB的中点；
（2）若AB＝6，求线段DE的长．
35．（2025·辽宁沈阳·东北育才双语学校模拟预测）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
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