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专题20 二次函数单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025春·九年级课时练习）若等边三角形的边长为，则面积是的（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式求出函数解析式即可判断．
【详解】解：如图，是等边三角形，，．
作交于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及二次函数的定义，求出函数解析式是解答本题的关键．
2．（2025秋·全国·九年级期中）已知点，，均在拋物线上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据x≥1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴x≥1时，y随x的增大而增大，
又∵关于直线x=1的对称点是(4,)，，
而 2<3<4，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
3．（2025秋·全国·九年级专题练习）将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式，熟练掌握和运用利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式的方法是解决本题的关键．
4．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数如图所示，那么的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知二次函数的图象，得出，进而判断的图象，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象，开口向下，对称轴在轴左侧，则，
∴，
∴，
∴的图象，开口向上，对称轴为直线，与轴交于点，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解本题的关键．
5．（2025秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2025·北京海淀·校联考模拟预测）如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC AM＝5 t，
即y＝5 t，
∴S＝MC CN＝5t t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
7．（2025秋·湖北恩施·九年级校联考期中）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【答案】C
【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
8．（2025秋·广东广州·九年级广东实验中学校考阶段练习）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
9．（2025秋·江苏盐城·九年级校联考期中）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．120% B．130% C．140% D．150%
【答案】A
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2(1+x)2=9.68，
解得：x1=1.2=120%，x2=-3.2(不合题意，舍去)．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2025秋·九年级单元测试）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出的关系即，然后求出抛物线的对称轴直线，将所求点通过对称转化到对称轴的一侧，然后利用二次函数的函数值随自变量的变化关系，比较大小即可．
【详解】解：根据题意，把点、、代入，则，
消去c，得，整理得
∴抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称的点坐标为
∵
∴由函数的图象与性质可知，当时，y随着x的增大而减小
∴
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于求出函数的对称轴，利用抛物线的性质进行求解．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·全国·九年级期末）抛物线与y轴的交点为__________．
【答案】
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【详解】解：令x=0，代入得：y=-3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
12．（2025春·九年级课时练习）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________．
【答案】3或
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，
∴=1，
解得m=-2，
∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，
解得x1=-1，x2=3．
故答案为：3或-1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．
13．（2025秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是_____．
【答案】4．
【分析】把点P（m，n）代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
14．（2025秋·全国·九年级阶段练习）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是____________．
【答案】/-2【分析】先求得两个图象的交点坐标，再找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x值即可．
【详解】解：由题意得x2= －x＋3，
整理得，
因式分解得，
解得，
∵y1＜ y2，
∴函数y1＝x2图像在函数y2＝－x＋3的图象的下方，自变量x的取值范围在两交点横坐标之间，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，解方程的能力是初中数学学习中极为重要的基本功，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意数形结合思想的应用．
15．（2025·全国·九年级专题练习）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
16．（2025·山东日照·统考三模）如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线 y2=mx+n （m0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程 ax2+bx+c= 3 有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为1【答案】①④/④①
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可．
【详解】解：①由抛物线对称轴为直线x=-=1，从而b=-2a，则2a+b=0，故①正确；
②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；
③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③错误；
④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤错误；
⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答．
三、解答题
17．（2025春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【答案】（1）；（2）直线
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
18．（2025秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：
故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19．（2025秋·全国·九年级期中）已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为．
(1)求S关于x的函数表达式．
(2)若的长不能低于，且，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)窗户总面积S的最大值，最小值是
【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即S与x的函数表达式是；
（2）解：由题意得∶，
解得：，
∵，
∵，对称轴是直线，且，
∴当时，S取得最大值，此时，
当时，S取得最小值，此时，
答：窗户总面积S的最大值，最小值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
20．（2025春·九年级课时练习）已知：二次函数．
(1)将化成的形式．
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
【详解】（1）解：
．
（2）解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
21．（2025春·八年级课时练习）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出，几秒后球离起点的高度达到？
【答案】秒或秒后球离起点的高度达到．
【分析】将分别代入函数关系式得到球飞行的高度和飞行的时间之间的函数关系式为，当球的高度为时，将代入求t即可求解．
【详解】解：由题意，将分别代入函数关系式，
得：，
当时，，即，
解得．
故秒或秒后球离起点的高度达到．
【点睛】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可．
22．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)不经过，说明见解析
(3)
【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．
【详解】（1）解：化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为：．
（2）解：由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点．
（3）解：∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．
23．（2025秋·全国·九年级专题练习）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请你回答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润．
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
(3)设销售单价为每千克x元，月销售利润y元，求y与x的函数表达式．
【答案】(1)月销售量为450千克；月销售利润为6750元
(2)月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元
(3)
【分析】（1）利用题意，列式计算即可；
（2）设销售单价应定为元，利用销售利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解，再根据月销售成本不超过10000元，进行判断即可；
（3）利用销售利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数表达式即可．
【详解】（1）解：由题意，得：当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为：（千克），
月销售利润为：元；
（2）解：设销售单价为x元，
，
，
解得，
当时月销售成本元，
∴元不合题意，舍去；
当月销售成本元，
∴销售单价应定为每千克80元；
答：月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；
（3）解：由题意，得：
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握销售利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键．
24．（2025·全国·九年级专题练习）抛物线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；
(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；
（2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解；
（3）分析可知，且，，共线时所求线段最小，作，过点作交于点，交轴于点，得出，最后根据勾股定理和含直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，
此时；
（3）如图2，作，过点作交于点，交轴于点，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，动点线段最短问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．
25．（2025·全国·九年级专题练习）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；
（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．
【详解】（1）解：由得，时，，
∴．
∵抛物线经过、D两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直线上的点，设，
当为斜边时，,
∴，
解得：，
∴
当为直角时，,
∴
解得：（根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
（3）解：∵点E的横坐标，
∴，
由题可知，，，，
当F点在抛物线上时，，
解得或，
当G点在抛物线上时，，
解得或，
∴时，四边形与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．
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专题20 二次函数单元过关检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2025春·九年级课时练习）若等边三角形的边长为，则面积是的（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式求出函数解析式即可判断．
【详解】解：如图，是等边三角形，，．
作交于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及二次函数的定义，求出函数解析式是解答本题的关键．
2．（2025秋·全国·九年级期中）已知点，，均在拋物线上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据x≥1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴x≥1时，y随x的增大而增大，
又∵关于直线x=1的对称点是(4,)，，
而 2<3<4，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
3．（2025秋·全国·九年级专题练习）将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式，熟练掌握和运用利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式的方法是解决本题的关键．
4．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数如图所示，那么的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知二次函数的图象，得出，进而判断的图象，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象，开口向下，对称轴在轴左侧，则，
∴，
∴，
∴的图象，开口向上，对称轴为直线，与轴交于点，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解本题的关键．
5．（2025秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2025·北京海淀·校联考模拟预测）如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC AM＝5 t，
即y＝5 t，
∴S＝MC CN＝5t t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
7．（2025秋·湖北恩施·九年级校联考期中）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【答案】C
【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
8．（2025秋·广东广州·九年级广东实验中学校考阶段练习）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
9．（2025秋·江苏盐城·九年级校联考期中）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．120% B．130% C．140% D．150%
【答案】A
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2(1+x)2=9.68，
解得：x1=1.2=120%，x2=-3.2(不合题意，舍去)．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2025秋·九年级单元测试）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出的关系即，然后求出抛物线的对称轴直线，将所求点通过对称转化到对称轴的一侧，然后利用二次函数的函数值随自变量的变化关系，比较大小即可．
【详解】解：根据题意，把点、、代入，则，
消去c，得，整理得
∴抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称的点坐标为
∵
∴由函数的图象与性质可知，当时，y随着x的增大而减小
∴
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于求出函数的对称轴，利用抛物线的性质进行求解．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2025秋·全国·九年级期末）抛物线与y轴的交点为__________．
【答案】
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【详解】解：令x=0，代入得：y=-3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
12．（2025春·九年级课时练习）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________．
【答案】3或
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，
∴=1，
解得m=-2，
∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，
解得x1=-1，x2=3．
故答案为：3或-1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．
13．（2025秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是_____．
【答案】4．
【分析】把点P（m，n）代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
14．（2025秋·全国·九年级阶段练习）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是____________．
【答案】/-2【分析】先求得两个图象的交点坐标，再找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x值即可．
【详解】解：由题意得x2= －x＋3，
整理得，
因式分解得，
解得，
∵y1＜ y2，
∴函数y1＝x2图像在函数y2＝－x＋3的图象的下方，自变量x的取值范围在两交点横坐标之间，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，解方程的能力是初中数学学习中极为重要的基本功，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意数形结合思想的应用．
15．（2025·全国·九年级专题练习）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
16．（2025·山东日照·统考三模）如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线 y2=mx+n （m0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程 ax2+bx+c= 3 有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为1【答案】①④/④①
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可．
【详解】解：①由抛物线对称轴为直线x=-=1，从而b=-2a，则2a+b=0，故①正确；
②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；
③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③错误；
④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤错误；
⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答．
三、解答题
17．（2025春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【答案】（1）；（2）直线
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
18．（2025秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：
故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19．（2025秋·全国·九年级期中）已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为．设长为，窗户的总面积为．
(1)求S关于x的函数表达式．
(2)若的长不能低于，且，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)窗户总面积S的最大值，最小值是
【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即S与x的函数表达式是；
（2）解：由题意得∶，
解得：，
∵，
∵，对称轴是直线，且，
∴当时，S取得最大值，此时，
当时，S取得最小值，此时，
答：窗户总面积S的最大值，最小值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
20．（2025春·九年级课时练习）已知：二次函数．
(1)将化成的形式．
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【分析】（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
【详解】（1）解：
．
（2）解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
21．（2025春·八年级课时练习）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出，几秒后球离起点的高度达到？
【答案】秒或秒后球离起点的高度达到．
【分析】将分别代入函数关系式得到球飞行的高度和飞行的时间之间的函数关系式为，当球的高度为时，将代入求t即可求解．
【详解】解：由题意，将分别代入函数关系式，
得：，
当时，，即，
解得．
故秒或秒后球离起点的高度达到．
【点睛】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可．
22．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)不经过，说明见解析
(3)
【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．
【详解】（1）解：化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为：．
（2）解：由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点．
（3）解：∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．
23．（2025秋·全国·九年级专题练习）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请你回答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润．
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
(3)设销售单价为每千克x元，月销售利润y元，求y与x的函数表达式．
【答案】(1)月销售量为450千克；月销售利润为6750元
(2)月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元
(3)
【分析】（1）利用题意，列式计算即可；
（2）设销售单价应定为元，利用销售利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解，再根据月销售成本不超过10000元，进行判断即可；
（3）利用销售利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数表达式即可．
【详解】（1）解：由题意，得：当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为：（千克），
月销售利润为：元；
（2）解：设销售单价为x元，
，
，
解得，
当时月销售成本元，
∴元不合题意，舍去；
当月销售成本元，
∴销售单价应定为每千克80元；
答：月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；
（3）解：由题意，得：
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握销售利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键．
24．（2025·全国·九年级专题练习）抛物线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；
(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；
（2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解；
（3）分析可知，且，，共线时所求线段最小，作，过点作交于点，交轴于点，得出，最后根据勾股定理和含直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，
此时；
（3）如图2，作，过点作交于点，交轴于点，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，动点线段最短问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．
25．（2025·全国·九年级专题练习）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；
（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．
【详解】（1）解：由得，时，，
∴．
∵抛物线经过、D两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直线上的点，设，
当为斜边时，,
∴，
解得：，
∴
当为直角时，,
∴
解得：（根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
（3）解：∵点E的横坐标，
∴，
由题可知，，，，
当F点在抛物线上时，，
解得或，
当G点在抛物线上时，，
解得或，
∴时，四边形与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．
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