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专题16 根的判别式、根与系数的关系
一、单选题
1．（2025秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ）
A．-4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用根与系数的关系，，由一个根为2，以及a，c的值求出另一根即可．
【详解】解：∵关于x的方程有一个根是2，
∴，
即
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，熟练地运用根与系数的关系可以大大降低计算量．
2．（2025·广东惠州·统考一模）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D
【分析】化成一元二次方程的一般形式，再由一元二次方程根的判别式即可判断方程解的情况．
【详解】原方程可化为：
∵
∴原方程无实数根
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，判别式应用的前提是一元二次方程一般形式，因此本题关键是把方程化为一般式．
3．（2025秋·安徽合肥·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．方程无实数根 D．不能确定
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解．
【详解】解：由根的判别式得：，
故方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
4．（2025·河北邢台·统考一模）嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案．
【详解】解：设被污染的数为a，
根据题意可得：，
解得：，
则被污染的数可能是3，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，得出．
5．（2025秋·河南鹤壁·九年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．或1 B．或3 C． D．3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，可得 ，且 ，从而得到 ，再由，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵，
∴，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
6．（2025·陕西·西北工业大学附属中学校考模拟预测）若关于的一元二次方程的两个根的差为3，并且其中的一个根为，则的值为（ ）
A． B．27 C．或 D．3或27
【答案】D
【分析】设方程的另一根为，由题意易得2或8，再利用根与系数的关系即可求出m，n的值，再求即可．
【详解】设方程的另一根为，由题意得，
解得2或8，
当方程的两根为2和5时，由根与系数的关系可得：
，，
∴，
此时
当方程得到两根为8和5时，由根与系数的关系可得：
，，
∴，
此时
综上，的值为3或27．
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记，是解题的关键．
7．（2025秋·贵州黔西·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程（m≠1）有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【详解】解：根据题意得：，且m≠1 ，
解得：，且m≠1，
故选：D．
【点睛】此题考查了根的判别式：△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，弄清题意是解本题的关键．
8．（2025·九年级单元测试）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出 的值，然后根据 的值判断即可.
【详解】 =(4m)2-4×(-1) ×4=16m2+16,
∵m2≥0,
∴16m2+16>0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根.
9．（2025·全国·九年级竞赛）如果方程有实数根且它的两根之差是1，那么p的值为
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】分析：先根据判别式求出p的取值范围，再根据根与系数的关系即可得出答案．
解答：解：由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，
那么有x1+x2=-p，x1x2=l，
又由（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，
得：1=（-p）2-4，
解得：p2=5，
∴p=（p＞2）．
故选D．
10．（2025秋·九年级课时练习）关于的方程有实数根，则的取值范围值是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ＞0，即可求出m的取值范围，要注意，m-1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】解：当方程为一元二次方程时，
m-1≠0，即m≠1．
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得；
当方程为一元一次方程时，
m-1=0且m≠0，
则m=1，
综上，时方程有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答．
11．（2025秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）若关于的方程有两个实根，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系得出，，根据方程解的定义得出，将，，代入整理得出，根据方程有两个实数根得出，根据m的范围求出最大值即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个实根，
∴，，，
即，
∴
，
∵关于的方程有两个实根，
∴，
即，
∵当时，的值随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，且最大值为：，
即的最大值为4，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，方程的解，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．
12．（2025秋·山东泰安·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．－1或2 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【分析】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m的值即可．
【详解】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
则，
解得：（舍去），
∴m=2，
故选：C．
【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．
13．（2025秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知a，b为关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两根，则a3+b2﹣2a+5b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣7 D．﹣9
【答案】C
【分析】由题意得：a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，a+b=-2，再代入求值即可．
【详解】解：∵a，b为关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴a2+2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，a+b=-2，
∴a3=-2a2+a，b2=-2b+1，
∴a3+b2﹣2a+5b=-2a2+a-2b+1﹣2a+5b=-2a2-a+3b+1=-2a2-4a+3a+3b+1=-2(a2+2a)+3(a+b)+1
=-2+3×（-2）+1=-7，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
14．（2025秋·河北沧州·九年级校联考期末）关于x的一元二次方程x2+2x+k2=0有两个相等的实根，则k为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【答案】C
【分析】把，，代入进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得，再计算出关于的方程即可．
【详解】，，，．
∵方程有两个相等的实数根，，，解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
15．（2025秋·九年级课时练习）若，关于的方程的根的情况是（ ）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】方程的△=（4k+1）2-4×2（2k2-1）=8k+9，
∵k＞1，
∴△＞17，
∴方程有两不相等的实数根．
∴x1+x2= ＞>0，
x1·x2=＞>0 ，
∴方程的两根为正根．
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式：①一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根；②根与系数的关系为：x1+x2= ，x1·x2=．
二、填空题
16．（2025秋·贵州黔东南·九年级统考期中）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是_____．
【答案】m≥﹣．
【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【详解】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．
解得m≥﹣．
故答案是：m≥﹣．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
17．（2025秋·湖南岳阳·九年级统考期中）已知，是方程的两个根，则______．
【答案】-5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系中两个根的积即可求得m的值．
【详解】解：∵，是方程的两个根
∴由一元二次方程根与系数的关系得：m=-1×5=-5
故答案为：-5
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握此关系是关键．当然本题也可根据解的含义，把两个未知数的值代入方程中，解二元一次方程组即可求得m．此题属于基本题型．
18．（2025秋·九年级单元测试）若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1，x2，且＝1，则m＝______.
【答案】－5
【详解】分析：根据一元二次方程根于系数的关系求出的值和的值，然后把＝1的左侧通分代入，即可求出m的值 .
详解：由题意得
，.
∵＝1，
∴＝1，
∴＝1，
∴m=-5.
故答案为-5.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .
19．（2025秋·山东济南·九年级统考期中）设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为______．
【答案】8
【分析】首先由a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，
【详解】根据根与系数的关系得a＋b＝－1；
又∵a是方程x2＋x﹣9＝0的实数根，
∴a2＋a－9＝0，
∴a2＋a＝9，
∴a2＋2a＋b
＝（a2＋a）＋（a＋b）
＝9＋（－1）
＝8
即a2＋2a＋b的值为8．
故答案为8．
20．（2025·湖北黄冈·校考二模）设、是方程的两个根，且，则________．
【答案】4
【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ．
21．（2010秋·湖北鄂州·九年级统考期末）若关于x一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________________．
【答案】且
【详解】由于关于x的一元二次方程(m-1)x2+ x+1=0有两个相等的实数根，由此可以得到m-1≠0，并且方程的判别式≥0，由此即可求出m的取值范围．
解：∵关于x一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有两个实数根，
∴m-1≠0且△=m+1-4（m-1）≥0，
解得，-1≤m≤且m≠1．
故答案是：-1≤m≤且m≠1．
考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2-4ac＞0．
22．（2025·江西·校联考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根且，则的取值范围是 ______________ ．
【答案】
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】由题意可得
解得由
解得，
故的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查了已知一元二次方程根的情况，得知根的判别式和0的关系列出不等式，掌握一元二次方程根与系数关系，是解题的关键．
23．（2025秋·贵州铜仁·九年级统考期末）等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为_____．
【答案】18
【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n-2=4×4即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为6，由2、2、6不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【详解】当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，2能围成三角形，
∴n﹣2＝4×4，
解得：n＝18；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6，
∵6，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故答案为18．
【点睛】考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．
24．（2025秋·江苏宿迁·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为_________．
【答案】1或2/2或1
【分析】由直线解析式求得m-1≤0，并对方程中的m进行分类讨论，一元二次方程结合△的符号进行讨论即可．
【详解】解：∵直线y=-x+m-1不经过第一象限，
∴m-1≤0，则m≤1
当m=0时，方程mx2+2x+1=0是一次方程，有一个根；
当m=1时，
∵关于x的方程mx2+2x+1=0，
∴Δ=22-4m=0，
∴关于x的方程mx2+2x+1=0有两个相等的实数根；
当m＜1时，
∵关于x的方程mx2+2x+1=0，
∴Δ=22-4m＞0，
∴关于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根；
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
25．（2025秋·北京海淀·九年级期末）关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________．
【答案】2
【分析】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1 x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可．
【详解】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，
则x1+x2=k，x1 x2=-2k．
∵原方程两实数根的平方和为12，
∴，
∴，即．
解得：，．
∵方程有两实数根，
∴，即，
∴或．
∴舍去．
综上．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键．
三、解答题
26．（2025秋·北京海淀·九年级期末）一元二次方程的一个根是，求另一个根及k的值．
【答案】另一个根是5，k的值为
【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解得a，再把代入方程求得k．
【详解】解：设它的另一个根是a，则
，
解得，
把代入方程，得
，
解得．
答：另一个根是5，k的值为．
【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系，．
27．（2025秋·四川·九年级校考阶段练习）在中，，，所对应的边分别为，，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】先化简方程，再利用△可得△ABC是直角三角形．
【详解】解：∵关于x的方程a（x2-1）-2bx+c（x2+1）=0，有两个相等的实数根，
化简方程得（a+c）x2-2bx+c-a=0
∴△=4b2-4（a+c）（c-a）=4（b2-c2+a2）=0，可得a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，一元二次方程根的判别式的应用．解题的关键是熟记一元二次方程根与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
28．（2025秋·河南周口·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个解为，求的值．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】（1）套入数据求出的值，再与作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根；
（2）将代入原方程，得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵a=1，b=－（2k＋1），c=k2+k，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=0代入原方程，得，
解得k1=0，k2=－1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入得出关于的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．
29．（2025春·安徽六安·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再得出，运用两根关系可以得到的方程，求解即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个实数根和，
，
，
；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
，
，
，
，，
由（1）知道，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
30．（2013秋·北京·九年级统考期末）已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根（其中k为实数）.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根.
【答案】（1）k的取值范围是（2）, x2=1
【详解】试题分析：
（1）原方程可化为 .
∵ 该方程有两个不相等的实数根，
∴
解得 .
∴ k的取值范围是.
（2）解：∵ k为非负整数，，
∴ k =" 0" .
此时方程为，它的根为, x2="1"
考点：一元二次方程的判别式的应用；一元二次方程的根的求解
点评：一元二次方程的根的情况，由根的判别式可以判断．
31．（2025秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求上述方程根的判别式；
(2)若方程有实数根，求出取得最大整数值时该方程的两个根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，将相应的值代入方程根的判别公式中，即可得到方程根的判别式．
（2）由题意，，解不等式，即可得到最大整数值，代入即可求得该方程的解．
【详解】（1）解：
；
（2）依题意，.
∴，取得最大整数值
当时，方程为
解这个方程得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，以及对根的判别的进一步应用；关键在于对根判别情况的灵活掌握．
32．（2025秋·北京·九年级北京市第二十二中学校联考阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大整数，求方程的根．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即得；
（2）根据（1）得出方程，再利用因式分解法解一元二次方程即得．
【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根，且原方程中
∴
∴
（2）由（1）得：
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法求解，解题关键是熟知一元二次方程有两个不等实根等价于判别式．
33．（2025秋·湖南岳阳·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．
【答案】a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+a=0，解得a1=0，a2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：当x＝0时，a2+a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝0．
又∵原方程为一元二次方程，
∴a＝﹣1，
∴原方程为﹣x2﹣5x＝0，
∴方程的另一根为﹣﹣0＝﹣5．
故a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题关键是注意a≠0．
34．（2025春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论取何值，它总有实数根；
(2)若等腰三角形一边，另两边为方程的根，求值及三角形的周长
【答案】(1)见解析
(2)或2；三角形的周长为8或7
【分析】（1）求出，即可说明关于x的方程有实数根；
（2）分为等腰三角形的腰，为等腰三角形的底两种情况讨论，分别先求出k的值，然后再解方程求出三角形的三条边长，求出周长即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论取何值，它总有实数根．
（2）解：当为等腰三角形的腰长时，则另外一腰为3，且3为方程的一个根，
把代入得：
，
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，，
∴此时三角形的周长为；
当为等腰三角形的底时，则另外两边为腰，且另外两边为方程的两个根，
∴此时方程的两个根相等，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
解得：，
∴此时三角形的周长为；
综上分析可知，或2；三角形的周长为8或7．
【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）注意分类讨论．
35．（2025秋·九年级课时练习）已知关于的一元二次方程.
（1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，求方程的解.
【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2），.
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将代入原方程，求解即可.
【详解】（1）由题意得： =，解得.
因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把带入得，解得，.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
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专题16 根的判别式、根与系数的关系
一、单选题
1．（2025秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ）
A．-4 B． C． D．
2．（2025·广东惠州·统考一模）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
3．（2025秋·安徽合肥·九年级校考期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．方程无实数根 D．不能确定
4．（2025·河北邢台·统考一模）嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
5．（2025秋·河南鹤壁·九年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．或1 B．或3 C． D．3
6．（2025·陕西·西北工业大学附属中学校考模拟预测）若关于的一元二次方程的两个根的差为3，并且其中的一个根为，则的值为（ ）
A． B．27 C．或 D．3或27
7．（2025秋·贵州黔西·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程（m≠1）有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·九年级单元测试）关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．不能确定
9．（2025·全国·九年级竞赛）如果方程有实数根且它的两根之差是1，那么p的值为
A．2 B．4 C． D．
10．（2025秋·九年级课时练习）关于的方程有实数根，则的取值范围值是（ ）
A． B． C．且 D．且
11．（2025秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）若关于的方程有两个实根，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
12．（2025秋·山东泰安·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．－1或2 B．1 C．2 D．1或2
13．（2025秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知a，b为关于x的方程x2+2x﹣1＝0的两根，则a3+b2﹣2a+5b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣7 D．﹣9
14．（2025秋·河北沧州·九年级校联考期末）关于x的一元二次方程x2+2x+k2=0有两个相等的实根，则k为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
15．（2025秋·九年级课时练习）若，关于的方程的根的情况是（ ）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．没有实数根
二、填空题
16．（2025秋·贵州黔东南·九年级统考期中）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是_____．
17．（2025秋·湖南岳阳·九年级统考期中）已知，是方程的两个根，则______．
18．（2025秋·九年级单元测试）若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1，x2，且＝1，则m＝______.
19．（2025秋·山东济南·九年级统考期中）设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为______．
20．（2025·湖北黄冈·校考二模）设、是方程的两个根，且，则________．
21．（2010秋·湖北鄂州·九年级统考期末）若关于x一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________________．
22．（2025·江西·校联考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根且，则的取值范围是 ______________ ．
23．（2025秋·贵州铜仁·九年级统考期末）等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为_____．
24．（2025秋·江苏宿迁·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为_________．
25．（2025秋·北京海淀·九年级期末）关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________．
三、解答题
26．（2025秋·北京海淀·九年级期末）一元二次方程的一个根是，求另一个根及k的值．
27．（2025秋·四川·九年级校考阶段练习）在中，，，所对应的边分别为，，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状并说明理由．
28．（2025秋·河南周口·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个解为，求的值．
29．（2025春·安徽六安·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，求m的值．
30．（2013秋·北京·九年级统考期末）已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根（其中k为实数）.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根.
31．（2025秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求上述方程根的判别式；
(2)若方程有实数根，求出取得最大整数值时该方程的两个根．
32．（2025秋·北京·九年级北京市第二十二中学校联考阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大整数，求方程的根．
33．（2025秋·湖南岳阳·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．
34．（2025春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论取何值，它总有实数根；
(2)若等腰三角形一边，另两边为方程的根，求值及三角形的周长
35．（2025秋·九年级课时练习）已知关于的一元二次方程.
（1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，求方程的解.
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