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专题17 二次函数图像与系数的关系
一、单选题
1．（2025秋·湖北黄冈·九年级校考期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可知，，再根据对称轴的位置即可判断a和b的大小，从而得出答案．
【详解】解：由函数图象已知，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
2．（2025秋·湖北恩施·九年级统考期中）二次函数y=－2x2的图像开口方向是（）
A．向下 B．向左 C．向上 D．向右
【答案】A
【分析】根据二次函数中a=－2<0，即可判定.
【详解】∵中a=－2<0，
∴图象的开口向下，
故答案为A.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键.
3．（2025春·九年级单元测试）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x=﹣1，有下列结论：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2 ， 其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断
【详解】∵抛物线的对称轴是直线x= 1，
∴ = 1
b=2a
∴b 2a=0
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x= 1,和x轴的一个交点是(2,0)
∴抛物线和x轴的另一个交点是( 4,0)
∴把x= 2代入得：y=4a 2b+c>0
故②错误；
∵图象过点(2,0)，代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0
又∵b=2a
∴c= 4a 2b= 8a
∴a b+c=a 2a 8a= 9a
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小
∵a<0，当x< 1时，y随x的增大而增大
∴点( 3,y1)关于对称轴的对称点的坐标是((1,y1)
∵ 3> 4
∴y1>y2
故④正确；
即正确的有①③④
故选B
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图像得出结论是解决问题的关键
4．（2025秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（ ）①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向向上以及二次函数与y轴的交点即可判断①，二次函数y＝ax2+bx+c中，取x=1即可判断②，根据二次函数与x轴的交点坐标可判断③，3二次函数图像可判断④，从而即可得解．
【详解】解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故本选项正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是x==1，
∴当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；
故本选项错误；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（-1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3
故本选项正确；
④由②知，该抛物线的对称轴是x=1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故本选项正确；
综上所述，以上说法正确的是①③④，共有3个；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
5．（2025秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学阶段练习）已知二次函数，若a＞0，c＜0，那么它的图像大致是 （ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a的符号确定抛物线的开口方向，根据c的符号确定抛物线与y轴的交点．
【详解】解：∵二次函数，a＞0，c＜0，
∴抛物线开口向上，与y轴交点在x轴的下方，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，对于二次函数（a≠0）来说，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；④抛物线与x轴交点个数．=﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．（2025秋·河南平顶山·九年级统考期末）抛物线如图所示，给出以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，再根据与x轴的交点坐标代入分析即可得到结果；
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴ab＜0，故①②正确；
当x=-1时，，故③正确；
当x=1时，根据图象可得，故④正确；
根据函数图像与x轴有两个交点可得，故⑤正确；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．
7．（2025春·九年级课时练习）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像判断，对称轴为，即可判断A，根据对称轴为，即可判断B，根据，，即可判断C,D．
【详解】解：抛物线开口向下，则，对称轴为，即
则，故A错误，
对称轴为，
，故B错误，
，
，
，
解得，故C不正确，D正确，
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数与坐标轴交点坐标，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键．
8．（2025·九年级单元测试）图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则a、b、c满足
A．a>0,b>0,c>0 B．a>0,b<0,c>0
C．a>0,b>0,c<0 D．a>0,b<0,c<0
【答案】C
【详解】由开口向上可得a>0,图象交y轴于负半轴,可得c<0,图象对称轴在y轴的左侧,知x=-<0.由a>0,可得b>0.
9．（2025·广东江门·统考一模）如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），再根据抛物线增减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a,将2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a＞0，即可得出1＜a+1＜a+2，再结合对称轴为直线x=1，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a＋3b＋c=9a＋2b＋b＋c=9a－4a＋b＋c=5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴，
∴，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
10．（2025秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
【答案】C
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则时，得到，即即可判断B、D；利用两点间直线最短来求周长的最小值即可判断选C．
【详解】根据图像知，对称轴是直线，则，即，故A正确；
根据图像知，点A的坐标为，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，
当时，，
抛物线开口向下，则，
故B正确；
点A关于直线对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接与直线的交点即为点P，
则的周长的最小值是的长度，
，，，
,，
即△PAB周长的最小值为，
故C错误；
根据图像知，点A的坐标为，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，所以是的一个根，故D正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质及两点之间线段最短；解答该题时，充分利用了抛物线的对称性是解题的关键．
11．（2025·河南许昌·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．有下列结论：
①当时，；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=-=1，可得出b=-2a，将b=-2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（-1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．
【详解】解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x=3时，y=0，①正确，符合题意；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x=-=1，
∴b=-2a，
3a+b=a＜0，②不正确，不符合题意；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x=-1，则有a-b+c=0，
又∵b=-2a，
∴3a=-c，即-3≤3a≤-2，
解得：-1≤a≤-，③正确，符合题意；
④∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴n==c- ,
又∵b=-2a，2≤c≤3，-1≤a≤-，
∴n=c-a，≤n≤4，④正确，符合题意．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．
12．（2025·湖南常德·统考二模） 二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线x=2；②当y≥0时，x＜0或x＞4：③函数表达式为y=-x2+4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据函数图象可对①②④的结论进行判断，求得函数解析式，对③进行判断．
【详解】解：①观察函数图象，可知：抛物线的对称轴为直线x=2，结论①正确；
②∵抛物线开口向下，与x轴交于点（0，0）、（4，0），
∴当y≥0时，0≤x≤4，结论②错误；
③∵抛物线与x轴交于点（0，0）、（4，0），
∴二次函数解析式为y=-x（x-4）=-x2+4x，结论③正确；
④观察函数图象，可知：当x≤0时，y随x的增大而增大，结论④正确．
故选：C．
【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
13．（2025·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】解：由方程组得ax2＝ a，
∵a≠0
∴x2＝ 1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
14．（2025秋·重庆巴南·九年级统考期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论．
【详解】解：由图象开口方向可知，对称轴为，
∴，即，
与y轴相交于，即，
∴，A选项结论正确；
当x=1时，，B选项正确；
，C选项正确，D选项错误；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
15．（2025春·江苏·九年级专题练习）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤．
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
【答案】C
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝ 2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合两根之积 m＝，即可判断；④根据两根之和 1＋m＝ ，可得ma＝a b，可得am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b＝2a 2b＋a＋b＝3a b＜0；⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝ 2时，y＜0，
∴4a 2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（ 1，0）和（m，0），
∴ 1×m＝，am2＋bm＋c＝0，
∴，
∴，故③正确，
∵ 1＋m＝ ，
∴ a＋am＝ b，
∴am＝a b，
∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c
＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b
＝2a 2b＋a＋b
＝3a b＜0，故④正确，
∵m＋1＝，
∴m＋1＝，
∴|am＋a|＝，故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2 4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2 4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2 4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题
16．（2025秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确的结论有__________（只填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】根据抛物线对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值小于0，则，即；由于，，则，易得，所以，再根据抛物线开口可知：所以；利用抛物线的对称性得到，然后利用二次函数的增减性求解即可．
【详解】①有对称轴可知：，
∴，故①正确．
②由图可知：时，
∴，
即，故②正确．
③令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由开口可知：
∴，故③正确．
④由抛物线的对称性可知：点C关于直线的对称点为，
∵，
∴，
故④错误．
⑤有题意可知：关于直线的对称点为，
∴二次函数，
令，
∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，，
∴，
故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2025·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据抛物线开口向下可得，进而求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
18．（2025秋·北京房山·九年级期中）如图为二次函数的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为．有以下3种说法：
①
②
③当时，y随着x的增大而增大这3种说法中，正确的有______________．
【答案】①③/③①
【分析】①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号；②将x＝1代入函数关系式，结合图象判定y的符号；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断．
【详解】解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故①正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0；
故②错误；
③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是从图象中获取正确信息．
19．（2025秋·广东韶关·九年级校考期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+2，开口方向 ___；当x___时，y随x的增大而增大．
【答案】 向上
【分析】根据的值判断开口方向，根据对称性得出函数的增减性．
【详解】解：二次函数y＝x2﹣2x+2，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴，
∴时，y随x的增大而增大，
故答案为：向上；．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数系数与图像之间的关系是解本题的关键．
20．（2025·江西景德镇·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，0)，对称轴为x=1；现有：①a＞0，②c＜0，③当x＞1时，y随x的增大而减小，④x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，则上述结论中正确的是___
【答案】③④/④③
【分析】根据图象开口向下可判断a＜0，交于y轴正半轴可判断c＞0，根据对称轴x＝1可判断函数的增减性，根据对称轴为x＝1，图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），可得出图象与x轴的另一个交点．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象交于y轴正半轴，
∴c＞0，
故①②错误；
∵对称轴为x＝1，
∴根据图象可知当x＞1时，y随x的增大而减小，
故③正确；
∵对称轴为x＝1，且过点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）．
即x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
故④正确．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点来判断二次函数关系式的系数关系．
21．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②③④⑤．
【分析】①根据对应的函数值即可判断①的正误；
②根据抛物线与x轴交点情况可判断②的正误；
③由对称轴的位置可判断ab的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，从而可判断③的正误；
④根据对应的函数值即可判断④的正误；
⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误．
【详解】解：① x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确，符合题意；
② 抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③ 对称轴在y轴左侧，则ab＞0，而抛物线与y轴的交点为，所以c＞0，故abc＞0正确，符合题意；
④ 由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，正确，符合题意；
⑤ 抛物线与y轴的交点为，所以c＝1，抛物线开口向下，所以a＜0，故c﹣a＞1，正确，符合题意．
故答案为：① ② ③ ④ ⑤．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．（2025秋·河南漯河·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②=1；③b2﹣4ac＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤当﹣1＜x＜3时，y＜0，其中正确的是_____．（只填序号）
【答案】②⑤/⑤②
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，判断①，根据对称轴及抛物线与x轴交点情况判断②③，根据增减性判断④；观察图象判断⑤．
【详解】解：因为抛物线开口向上，所以a＞0，①不正确；
抛物线与x轴两个交点坐标分别为（﹣1，0）（3，0），所以对称轴1，②正确；
抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，③不正确；
当x＞1时，y随x的增大而增大，④不正确；
从图象可以看出：当﹣1＜x＜3时，y＜0，⑤正确
故答案为：②⑤．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用数形结合思想、掌握二次函数的性质、理解图象与三个系数之间的关系．
23．（2025春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 _____（填写序号）．
【答案】①④/④①
【分析】根据抛物线的对称轴，开口方向，与轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），即可求得对称轴，以及当时，，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故①正确，
二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），
对称轴为，则，
当，，
，
故②不正确，
由函数图象以及对称轴为，可知，当时，随的增大而增大，
故③不正确，
对称轴为，则当时，取得最大值，
对于任意实数m，总有，即，
故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
24．（2025秋·九年级单元测试）如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有________．（填写正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故①正确；
②∵该函数图象的开口向下，
∴a＜0；
又∵对称轴-1＜x=-＜0，
∴2a-b＜0，故②正确；
③∵a＜0，-＜0，
∴b＜0．
∵抛物线交y轴与正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0，故③错误．
④∵y=＞2，a＜0，
∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④错误．
综上所述，正确的结论有①②．
故答案为①②．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．
25．（2025秋·山东济宁·九年级校考期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②abc>0；③；④；⑤，其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）
【答案】①②．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2 4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝＝1，b＝ 2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝＝1，b＝ 2a，∴2a＋b＝0，故③错误；
④根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2 2ax＋c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝ 2时，y＞0；即4a （ 4a）＋c＝8a＋c＞0，故④错误；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（ 1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝ 1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a＋3b＋c＜0；故⑤错误；
所以正确的结论有：①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
26．（2025·湖南株洲·中考真题）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为_______．
【答案】①④．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
【详解】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，
∴x2=2＞﹣1，故④正确．
故答案为①④．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
27．（2025·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案】①③④
【分析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
28．（2025秋·江西南昌·九年级南昌二中校考开学考试）如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有_____（填序号）
（1）abc＜0；
（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；
（3）2≤a+b+c≤4.5；
（4）最大飞行高度不超过4．
【答案】（1）（4）
【分析】由抛物线的开口方向可判断a，由抛物线与y轴的交点可判断c，由对称性可得b的正负，进而可判断（1）；
取起飞点A与降落点C，可得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的性质可判断（2）；
由图象可知，当抛物线过点B，点E，点C时，飞行高度最大，利用待定系数法求出此时的抛物线的解析式，从而可判断（3）（4）的正误．
【详解】解：∵由题意可知，抛物线开口向下，且抛物线的对称轴位于y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，∵抛物线与y轴的交点在EF上，∴c＞0，
∴abc＜0，∴（1）正确；
当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为直线x＝＜1，∴（2）不正确；
由图象可知，当抛物线过点B，点E，点C时，飞行高度最大，
此时设y＝a（x+1）（x﹣3），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
当x＝1时，y＝4，即最大飞行高度不超过4；故（4）正确，（3）不正确．
综上，（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质以及待定系数法求二次函数的解析式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
29．（2025秋·江西南昌·九年级阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是______（把你认为正确的结论序号都填上）．
【答案】②③．
【详解】试题分析：由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可判定②正确；由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=-＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；由对称轴为x=-＞0即可判定④错误．
试题解析：①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误；
②当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x=-＜1，
∴-b＞2a，
∴2a+b＜0，
∴③正确；
④对称轴为x=-＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
∴④错误．
∴正确结论的序号为②③．
考点：二次函数图象与系数的关系．
30．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③一元二次方程的解是，；④当时，，其中正确的结论有__________．
【答案】①②④
【分析】①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为，得到b＜0，可以①进行分析判断；
②由对称轴为，得到2a=b，b-2a=0，可以②进行分析判断；
③对称轴为x=-1，图象过点（-4，0），得到图象与x轴另一个交点（2，0），可对③进行分析判断；
④抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），即可对④进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为＜0
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵对称轴为，
∴2a=b，
∴2a-b=0，故②正确；
③∵对称轴为x=-1，图象过点A（-4，0），
∴图象与x轴另一个交点（2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-4或x=2，故③错误；
④∵抛物线开口向下，图象与x轴的交点为（-4，0），（2，0），
∴当y＞0时，-4＜x＜2，故④正确；
∴其中正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
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专题17 二次函数图像与系数的关系
一、单选题
1．（2025秋·湖北黄冈·九年级校考期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．（2025秋·湖北恩施·九年级统考期中）二次函数y=－2x2的图像开口方向是（）
A．向下 B．向左 C．向上 D．向右
3．（2025春·九年级单元测试）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x=﹣1，有下列结论：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2 ， 其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
4．（2025秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（ ）①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学阶段练习）已知二次函数，若a＞0，c＜0，那么它的图像大致是 （ ）
A．B． C． D．
6．（2025秋·河南平顶山·九年级统考期末）抛物线如图所示，给出以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025春·九年级课时练习）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·九年级单元测试）图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则a、b、c满足
A．a>0,b>0,c>0 B．a>0,b<0,c>0
C．a>0,b>0,c<0 D．a>0,b<0,c<0
9．（2025·广东江门·统考一模）如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
11．（2025·河南许昌·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．有下列结论：
①当时，；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025·湖南常德·统考二模） 二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线x=2；②当y≥0时，x＜0或x＞4：③函数表达式为y=-x2+4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
13．（2025·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
14．（2025秋·重庆巴南·九年级统考期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025春·江苏·九年级专题练习）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤．
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
二、填空题
16．（2025秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确的结论有__________（只填序号）
17．（2025·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是_____．
18．（2025秋·北京房山·九年级期中）如图为二次函数的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为．有以下3种说法：
①
②
③当时，y随着x的增大而增大这3种说法中，正确的有______________．
19．（2025秋·广东韶关·九年级校考期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+2，开口方向 ___；当x___时，y随x的增大而增大．
20．（2025·江西景德镇·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，0)，对称轴为x=1；现有：①a＞0，②c＜0，③当x＞1时，y随x的增大而减小，④x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，则上述结论中正确的是___
21．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是_____．
22．（2025秋·河南漯河·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②=1；③b2﹣4ac＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤当﹣1＜x＜3时，y＜0，其中正确的是_____．（只填序号）
23．（2025春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 _____（填写序号）．
24．（2025秋·九年级单元测试）如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有________．（填写正确结论的序号）
25．（2025秋·山东济宁·九年级校考期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②abc>0；③；④；⑤，其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）
26．（2025·湖南株洲·中考真题）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为_______．
27．（2025·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
28．（2025秋·江西南昌·九年级南昌二中校考开学考试）如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A（﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有_____（填序号）
（1）abc＜0；
（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；
（3）2≤a+b+c≤4.5；
（4）最大飞行高度不超过4．
29．（2025秋·江西南昌·九年级阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是______（把你认为正确的结论序号都填上）．
30．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③一元二次方程的解是，；④当时，，其中正确的结论有__________．
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