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专题07 解一元二次方程（1）
新知预习
（一）直接开平方法
（1）概念：一般地，对于方程x2 = p
①当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=-，x2=
②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0
③当p<0时，因为对任意实数x，都有x2 ≥0 ，所以方程无实数根。
（二）配方法
（1）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当时，方程无解
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
新知训练
考点1：直接开平方
典例1：（2025·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）关于x的方程的解是___________．
【答案】，
【分析】利用直接开平方的方法即可求解．
【详解】
，
即：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
【变式1】（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）一元二次方程的根为______．
【答案】
【分析】将方程变形，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
即
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式2】（2025·全国·九年级专题练习）若，则________．
【答案】3或7/7或3
【分析】根据，可得或，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把看作一个整体，同时注意的值是一个非负数．
【变式3】（2025秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）一元二次方程的解是______．
【答案】
【分析】直接开平方即可解题．
【详解】
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，需要注意正负两种情况是解题的关键．
考点2：配方法求字母的值
典例2：（2025秋·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为________．
【答案】7
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得：，
，
，
，，
，
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
【变式1】（2025秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）把化成的形式，则______．
【答案】3
【分析】方程移项变形后，配方得到结果，即可求出值．
【详解】解：，
方程移项得：，
配方得：，
即，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2】（2025秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行配方即可求出答案．
【详解】解：
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
【变式3】（2025秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为 _____．
【答案】11
【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
∴，，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
考点3：配方法解方程
典例3：（2025春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：
【答案】，
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】∵，
∴，
则，
即，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键．
【变式1】（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）（配方法）
【答案】
【分析】根据配方法的步骤，进行配方求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握配方法，是解题的关键．
【变式2】（2025春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项得
配方：
开平方得：
移项：
所以：，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有错误，过程见解析
【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
移项得：，
配方：，
，
开平方得：，
移项：，
所以：，．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．
【变式3】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相反数的定义得到，利用非负性得到，即可求出m，n的值；
（2）将m，n的值代入方程，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵与互为相反数，
∴，
又∵，
∴，
解得；
（2）∵，
∴方程为，
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，绝对值的非负性及二次根式的非负性，相反数的定义，正确掌握非负性求出m，n的值是解题的关键．
考点4：配方法的应用——最值问题
典例4：（2025春·全国·八年级期中）发现与探索．
小丽的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
(1)说明：代数式的最小值为______．
(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最大值即可．
【详解】（1）解：原式 ，
无论取何值，，
，
则的最小值为，
故答案为：；
（2），
，
原式
，
则的最大值为17．
【点睛】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【变式1】（2025秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而，
所以的最小值是．
问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
【答案】的最小值为，过程见解析
【分析】仿照题意利用配方法求解即可
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式2】（2025秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)求多项式的最小值．
【答案】(1)
(2)-23
【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：，
，
，
多项式的最小值为．
【点睛】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键．
【变式3】（2025秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题
解：∵
∵，∴，
∴的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比：的最小值为_______．
(2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)2
(2)大，1
(3)当米时，花圃面积有最大值50米2
【分析】（1）将原式配方即可；
（2）将原式配方即可判断；
（3）依题意设，，，根据矩形的面积公式列出关系式，再配方，即可求最大面积．
【详解】（1），
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）依题意设，，，
∴长方形花圃的面积为，
，
∴当米时，面积有最大值50米2．
答：当米时，花圃面积有最大值50米2
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
考点5：配方法的应用——比较大小
典例5：（2025秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式最值；
(2)已知，求的值；
(3)比较代数式与的大小．
【答案】(1)有最小值2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再求最值；
（3）作差后配方比较大小．
【详解】（1）解：
故当，即时，代数式最小值为2；
（2）∵，则，
∴，即，，
∴，，
∴；
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
【变式1】（2025·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为 ；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
【答案】(1)1
(2)，见解析
(3)2
【分析】（1）将代数式配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
即代数式的最小值为1；
故答案为：1；
（2），理由如下：
，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2025春·北京平谷·七年级统考期末）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
【答案】(1)
(2)当，时原式有最小值为15
(3)m>n
【分析】（1）用配方来分解因式即可求解；
（2）用配方来分解因式，根据，来求解；
（3）用配方来求解，进而得到m与n的大小关系．
(1)
解：
;
(2)
解：
．
∵，，
∴当，时原式有最小值为15．
∴当，时原式有最小值为15；
(3)
解：∵，，
∴
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
【变式3】（2025春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
【详解】（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
考点6：配方法的应用——三角形三边关系
典例6：（2025秋·贵州毕节·九年级校联考期末）已知的三条边分别是．
(1)判断的值的正负．
(2)若满足，判断的形状．
【答案】(1)的值为负
(2)等边三角形
【分析】（1）运用因式分解法将转化为，借助三角形的三边关系问题即可解决；
（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．
【详解】（1）解：，
的三条边分别是，
，
的值的为负；
（2）解：，
，
即，
又，，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判断等方面的应用问题，解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断．
【变式1】（2025秋·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题，
(1)分解因式（利用公式法）：．
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中的方法先配方，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先把等号左边的式子利用配方法和公式法进行因式分解，再利用非负数的性质求出a、b的值，最后根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
，，
，，
由三角形的三边关系得：，
∵c是最大边，
∴．
【点睛】本题考查了因式分解的应用和三角形的三边关系，熟练掌握配方法进行因式分解是解题的关键．
【变式2】（2025秋·河南周口·八年级统考期中）已知、、是的三边，、使等式成立，且是偶数，求的周长．
【答案】10
【分析】首先利用完全平方公式分解因式，进而利用偶次方的性质得出a，b的值，再利用三角形三边关系得出答案．
【详解】解：∵a2+b2-4a-8b+20=0，
∴（a2-4a+4）+（b2-8b+16）=0，
∴（a-2）2+（b-4）2=0，
解得：a=2，b=4，
∵a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，
∴c=4．
故△ABC的周长为：2+4+4=10．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用以及三角形三边关系，正确得出a，b的值是解题关键．
【变式3】（2025春·江苏宿迁·七年级校考期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题．
(1)已知，求、的值．
(2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据材料，将因式分解得：，可求出x、y的值；
（2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据是等腰三角形，求得c的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：∵
即，
∴，
∴，
解得：，
∵是等腰三角形，
当时，，能构成三角形，
当时，，能构成三角形，
∴或．
【点睛】此题主要考查了因式分解方法的应用，等腰三角形的定义，三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·湖北十堰·九年级统考期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意方程两边都加上一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解因式即可.
故选A.
考点：配方法解一元二次方程
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，即可完成.
2．（2025秋·江苏无锡·九年级锡东高中阶段练习）关于x的方程 －4＝0的根是（ ）
A．2 B．－2 C．2，－2 D．2，
【答案】C
【分析】原方程移项后，直接开平方即可求解.
【详解】－4＝0，
＝4，
∴x1=2，x2=-2.
故选C
【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键.
3．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】移项，利用直接开平方法可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
4．（2025秋·福建三明·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边都加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
x2 8x＝ 1，
x2 8x＋16＝16 1，
（x 4）2＝15．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（2025秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解： ，
，即，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常见方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．（2025秋·河北张家口·九年级校考期中）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【答案】C
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
【详解】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，
即y＝2（x﹣1）2+3．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx＋c，顶点式：y=a(x-h)2+k；两根式：y=
7．（2025秋·福建泉州·九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）用配方法解一元一次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可；
【详解】解：，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键.
8．（2025春·浙江·七年级专题练习）若方程的左边是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据配方法计算即可；
【详解】∵方程的左边是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，准确计算是解题的关键．
9．（2025秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程：，应当化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把常数项移项，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再配方即可．
【详解】解：x2﹣6x﹣6＝0，
移项得x2﹣6x＝6，
方程两边同时加上9得，x2﹣6x+9＝15，
配方得（x﹣3）2＝15，
故选：D．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
10．（2025秋·广东深圳·九年级校考期末）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16
【答案】B
【详解】试题解析：移项得x2=4，
∴x=±2．
故选B.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
11．（2025秋·山东临沂·九年级校联考期中）用配方法解方程，配方后所得的方程是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据配方法可以解答本题．
【详解】解：x2﹣4x+1=0，x2﹣4x=－1，x2﹣4x+4=－1+4，（x﹣2）2=3．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是掌握解一元二次方程的方法-配方法．
12．（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求得答案即可．
【详解】
x2-4x=9
x2-4x+=9+
x2-4x+4=13
(x-2)2=13
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
13．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）用配方法解方程，配方后所得方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
【详解】解：=1
=1+
.
故选：C
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟悉配方法的步骤.
14．（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）已知m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x2tx t 2t 4 0 的两实数根，则m 2n 2的最小值是( )
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
【详解】∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键．
15．（2025秋·广东河源·八年级校考期末） 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
【答案】D
【详解】∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.
二、填空题
16．（2025秋·江苏无锡·九年级期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是_____．
【答案】2
【分析】先将所求代数式配方，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：根据题意得x1＋x2＝4，x1 x2＝﹣7，
所以，x12＋4x1x2＋x22，
＝（x1＋x2）2＋2x1 x2，
＝16﹣14，
＝2．
故答案为:2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和，两根之积公式是解题的关键．
17．（2025秋·辽宁锦州·九年级统考期中）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣______．
【答案】3
【分析】利用配方法的步骤整理即可．
【详解】解：x2﹣4x+1
＝x2﹣4x+4﹣3
＝（x﹣2）2﹣3，
故答案为3，
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
18．（2025秋·全国·九年级阶段练习）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1和2m﹣13，则＝__________．
【答案】25
【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与，
且，
∴，
解得：，
即方程的根是：，，
∴，
∴．
故答案为：25．
【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键．
19．（2025秋·江苏·九年级统考期中）将方程化为的形式为___________.
【答案】
【详解】分析：本题采用配方法解题，将方程左边配成完全平方式，即把常数项-3移项后，在方程左右两边同时加上1．
解答：解：∵x2-2x-3=0
∴x2-2x+1=3+1
∴（x-1）2=4．
20．（2025秋·江苏淮安·九年级统考期中）把方程，化为（其中m、n为常数）的形式后为______．
【答案】
【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是利用配方法解一元二次方程，重点在于熟练掌握配方法的步骤．
21．（2025秋·九年级课时练习）如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．
【答案】4或
【分析】根据运算程序可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】解：根据题意得：，化简得，
，解得或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
22．（2025秋·九年级课时练习）如果x2+4x－5=0，则x=_______．
【答案】1，－5．
【分析】根据条件求一元二次方程的解的问题，用因式分解法求解，先得方程因式分解的形式，即可求解.
【详解】原方程可化为：（x＋5）（x－1）＝0，解得：x＝1或x＝－5，故答案为1，－5.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解此题的关键在于了解因式分解法.
23．（2025秋·九年级单元测试）若一元二次方程的两个根是与，则________．
【答案】
【分析】先利用直接开平方法得到x=±，再根据方程的两个根互为相反数，得出3m+1+m﹣9=0，求出m的值，得出方程的两个根分别是7与﹣7，从而得出答案．
【详解】∵ax2=b（ab＞0）
∴x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴3m+1+m﹣9=0，解得：m=2，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是7与﹣7，∴49a=b，∴=49．
故答案为49．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
24．（2025秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案．
【详解】解：∵-6x+1=0，
∴-6x=-1，
∴-6x+9=-1+9，即，
∴p=-3，q=-8，
则p+q=-3-8=-11，
故答案为：-11．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三、解答题
26．（2025秋·陕西西安·八年级阶段练习）（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【详解】1）解：原式
解得
（2）解：原式
解得
27．（2025秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x+1）＝x+1．
【答案】（1）＝5，＝﹣1；（2）＝－1，＝0.5
【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵﹣4x＝5，
∴﹣4x＋4＝5＋4，
即＝9，
则x﹣2＝，
∴＝5，＝﹣1；
（2）∵2x（x＋1）﹣（x＋1）＝0，
∴（x＋1）（2x﹣1）＝0，
则x＋1＝0或2x﹣1＝0，
解得＝－1，＝0.5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．
28．（2025秋·山东枣庄·九年级统考期中）解方程：
(1)（配方法）
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴
解得．
（2）
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
29．（2025秋·湖南长沙·九年级校联考期末）解方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；
（2）利用配方法解方程得出答案．
【详解】（1）解：，
移项得：，
即，
开平方得：；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
则，
开平方得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法以及配方法解方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题关键．
30．（2025秋·山东临沂·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x+2＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）通过移项，配方，进而即可求解；
（2）先把方程整理成一般形式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
移项得：x2﹣4x＝-2，
配方得：x2﹣4x+4＝-2+4，即：（x-2）2=2，
解得：，；
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
整理得：3x2-14x+16=0，
分解因式得：（x-2）（3x-8）=0，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解题的关键．
31．（2025秋·全国·九年级统考期末）解方程：
（1）； （2）；
；
【答案】（1）x1=2,x2=-,(2)x1=0,x2=,(3)x1=3,x2=-2(4)x1=-1,x2=
【分析】根据十字相乘的方法即可求解方程.
【详解】解：（1）3x2-5x-2=0
(x-2)(3x+1)=0
x1=2,x2=-,
(2)3x2-3x=2x+4-4
3x2-5x=0
x(3x-5)=0
x1=0,x2=,
(3)x2-x-12=-6
x2-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x1=3,x2=-2
(4)6x2+4x-3x-2=x2+2
5x2+x-4=0
(x+1)(5x-4)=0
x1=-1,x2=
【点睛】本题考查求解一元二次方程,属于简单题,熟练掌握十字相乘是解题关键.
32．（2025秋·山西太原·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
或，
解得：；
（3）解：，
，
∴，
解得：；
（4）解：，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
33．（2025秋·九年级单元测试）解下列方程
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】（1）运用开平方法求解；
（2）运用公式法求解；
（3）运用提公因式法求解；
（4）运用因式分解法求解．
【详解】解：（1）；
开平方得：，
移项得：，
解得：，；
（2），
移项得：，
解得：，；
（3），
移项得：，
提公因式得：，
，
可得：或，
解得：，．
（4）．
分解因式得：，
即或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，公式法，解题的关键是熟记各种解一元二次方程的方法．
34．（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）解下列方程．
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，然后直接开方；
（2）直接采用公式法解方程．
【详解】（1）解：
移项得
开方得或
解得或
（2）解：
∵
∴原方程有两个根
故两个根为，
【点睛】本题考查了直接开方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
35．（2025春·江苏·七年级专题练习）阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
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专题07 解一元二次方程（1）
新知预习
（一）直接开平方法
（1）概念：一般地，对于方程x2 = p
①当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=-，x2=
②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0
③当p<0时，因为对任意实数x，都有x2 ≥0 ，所以方程无实数根。
（二）配方法
（1）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当时，方程无解
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
新知训练
考点1：直接开平方
典例1：（2025·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）关于x的方程的解是___________．
【变式1】（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）一元二次方程的根为______．
【变式2】（2025·全国·九年级专题练习）若，则________．
【变式3】（2025秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）一元二次方程的解是______．
考点2：配方法求字母的值
典例2：（2025秋·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为________．
【变式1】（2025秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）把化成的形式，则______．
【变式2】（2025秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
【变式3】（2025秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为 _____．
考点3：配方法解方程
典例3：（2025春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：
【变式1】（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）（配方法）
【变式2】（2025春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项得
配方：
开平方得：
移项：
所以：，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【变式3】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程：．
考点4：配方法的应用——最值问题
典例4：（2025春·全国·八年级期中）发现与探索．
小丽的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
(1)说明：代数式的最小值为______．
(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．
【变式1】（2025秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而，
所以的最小值是．
问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
【变式2】（2025秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)求多项式的最小值．
【变式3】（2025秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题
解：∵
∵，∴，
∴的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比：的最小值为_______．
(2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
考点5：配方法的应用——比较大小
典例5：（2025秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式最值；
(2)已知，求的值；
(3)比较代数式与的大小．
【变式1】（2025·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为 ；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
【变式2】（2025春·北京平谷·七年级统考期末）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
【变式3】（2025春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
考点6：配方法的应用——三角形三边关系
典例6：（2025秋·贵州毕节·九年级校联考期末）已知的三条边分别是．
(1)判断的值的正负．
(2)若满足，判断的形状．
【变式1】（2025秋·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题，
(1)分解因式（利用公式法）：．
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
【变式2】（2025秋·河南周口·八年级统考期中）已知、、是的三边，、使等式成立，且是偶数，求的周长．
【变式3】（2025春·江苏宿迁·七年级校考期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题．
(1)已知，求、的值．
(2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·湖北十堰·九年级统考期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025秋·江苏无锡·九年级锡东高中阶段练习）关于x的方程 －4＝0的根是（ ）
A．2 B．－2 C．2，－2 D．2，
3．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
4．（2025秋·福建三明·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋·河北张家口·九年级校考期中）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3
7．（2025秋·福建泉州·九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）用配方法解一元一次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春·浙江·七年级专题练习）若方程的左边是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程：，应当化为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025秋·广东深圳·九年级校考期末）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16
11．（2025秋·山东临沂·九年级校联考期中）用配方法解方程，配方后所得的方程是（）
A． B． C． D．
12．（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，可变形为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）用配方法解方程，配方后所得方程是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）已知m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x2tx t 2t 4 0 的两实数根，则m 2n 2的最小值是( )
A．7 B．11 C．12 D．16
15．（2025秋·广东河源·八年级校考期末） 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
二、填空题
16．（2025秋·江苏无锡·九年级期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是_____．
17．（2025秋·辽宁锦州·九年级统考期中）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣______．
18．（2025秋·全国·九年级阶段练习）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1和2m﹣13，则＝__________．
19．（2025秋·江苏·九年级统考期中）将方程化为的形式为___________.
20．（2025秋·江苏淮安·九年级统考期中）把方程，化为（其中m、n为常数）的形式后为______．
21．（2025秋·九年级课时练习）如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．
22．（2025秋·九年级课时练习）如果x2+4x－5=0，则x=_______．
23．（2025秋·九年级单元测试）若一元二次方程的两个根是与，则________．
24．（2025秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______．
三、解答题
26．（2025秋·陕西西安·八年级阶段练习）（1）
（2）
27．（2025秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x+1）＝x+1．
28．（2025秋·山东枣庄·九年级统考期中）解方程：
(1)（配方法）
(2)
29．（2025秋·湖南长沙·九年级校联考期末）解方程．
(1)；
(2)．
30．（2025秋·山东临沂·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x+2＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
31．（2025秋·全国·九年级统考期末）解方程：
（1）； （2）；
；
32．（2025秋·山西太原·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
33．（2025秋·九年级单元测试）解下列方程
（1）；（2）；
（3）；（4）．
34．（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）解下列方程．
(1)．
(2)．
35．（2025春·江苏·七年级专题练习）阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
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