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专题08 解一元二次方程（2）
新知预习
（一）根的判别式
（1）一元二次方程 根的判别式：（考点）
①方程有两个不相等的实根:（）
②方程有两个相等的实根
③方程无实根
④△≥0方程有实数根
（二）公式法解方程
（1）用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
④最后求出x1，x2
（三）因式分解法解方程
（1）用因式分解一元二次方程的一般步骤：
①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④求解
十字相乘法：x2+（p+q）x2+pq=（x+p）（x+q）
新知训练
考点1：判断方程根的情况
典例1：（2025春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是___________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】计算判别式的值即可判断．
【详解】解：∵，，
∴，
∴有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
【变式1】（2025秋·吉林延边·九年级统考期末）一元二次方程________实数根．（填“有”或“没有”）
【答案】没有
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴方程没有数根，
故答案为：没有．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【变式2】（2025春·八年级单元测试）对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______．
【答案】②③④
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：若c是方程的一个根，则，
∴，
∴或，故①错误；
若方程有两个不相等的实根，则，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；
若，则，即：
∴，即：，
∴它有一根为，故③正确；
若，则，
即：，
∵，∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．
【变式3】（2025秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是_________．
【答案】①②
【分析】①根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据c是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可．
【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根，
∴，故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若c是方程的一个根，则：，
∴；
当时：；
当时，不一定等于0，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④错误；
综上，正确的是①②；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
考点2：利用方程根的情况求字母的取值（范围）
典例2：（2025春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，且，求出的取值范围即可；
（2）得到的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
即，且，
解得：且；
（2）满足条件的最小正整数是，
此时方程为，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答本题的关键．
【变式1】（2025秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）表示出，根据的数值判断即可；
（2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．
【详解】（1）解：依题意，得
∵
∴方程总有两个实数根；
（2）解：方程
由（1）得
∴，∴，，
∵方程的一根大于2，一根小于1，
∴
∴．
∴m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期中）已知关于的方程．
(1)是方程的根吗？请说明理由．
(2)当取何值时，方程有实数根？
【答案】(1)不是方程的根，理由见解析
(2)当时，方程有实数根
【分析】（1）将代入方程，得：，再进行化简，最后进行判断即可；
（2）根据一元二次方程的根的判别式，
和二次项系数不为0来求m的取值范围．
【详解】（1）解：将代入方程，得：，
化简得：等式不成立，
故不是方程的根.
（2）当时，关于的方程有实数根.
，
解得，
当时，可得，
综上可得：当时，方程有实数根；
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．解答该题时，需注意二次项系数m不为0这一条件．
【变式3】（2025秋·江苏盐城·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)正整数为1，2
【分析】（1）求出即可证出结论；
（2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值.
【详解】（1）解：证明：
∵
∴方程有两个不相等的实数根；
（2），
，．
∵ 方程的根均为整数，
∴为整数，
∴或，
∴正整数为1，2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
考点3：公式法解一元二次方程
典例3：（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直接开平方法可进行求解；
（2）根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【变式1】（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
【答案】
【分析】利用公式法解答，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．
【变式2】（2025秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）用指定的方法解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，用配方解一元二次方程即可求解．
（2）根据题意用公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
即，
∴，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
∵，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式3】（2025秋·山东滨州·九年级统考期末）根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程：．
(2)用公式法解方程．．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：移项得，．
配方得，，，
，
原方程的解为，．
（2）解： ，，，
，
方程有两个不相等的实数根，，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．
考点4：因式分解法解一元二次方程
典例4：（2025春·浙江·八年级专题练习）以下是小滨在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有，正确的过程见解析
【分析】有错误，忽略了的情况，根据解一元二次方程的方法写出正确的解答过程即可．
【详解】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况，
正确的解答为：
方程可化为：，
移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式1】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程可化为，
则，
∴或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2】（2025春·浙江·八年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】（1）移项后，利用因式分解法求解即可；
（2）整理，利用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：移项得，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：整理得，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式3】（2025秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
考点5：十字相乘法解一元二次方程
典例5：（2025春·七年级课时练习）用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】根据因式分解法求解即可.
【详解】（1）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，；
（2）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，；
（3）解：方程可以化为：，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【变式1】（2025秋·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【变式2】（2025春·安徽合肥·八年级合肥市庐阳中学校考期中）（1）解方程：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式3】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
(1)尝试：分解因式：__________________；
(2)应用：请用上述方法解方程：．
【答案】(1)2，5
(2)，
【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）利用“十字相乘法”将左边因式分解后解方程即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为：2，5；
（2）解：原方程可化为，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，理解因式分解-十字相乘法的运算方法是解本题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025·四川广安·统考模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0
即4+4m＞0
解得m>-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
2．（2025·全国·九年级假期作业）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】把a=2，b=-3，c=-1代入 并计算其值，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可．
【详解】解：∵ a=2，b=-3，c=-1，
∴
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，正确掌握根的判别式是解题的关键．
3．（2025秋·九年级单元测试）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可.
【详解】方程化为一般形式为：，
．
故选：．
【点睛】题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
4．（2012·湖南常德·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】一元二次方程根的判别式．
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1．
∴m的取值范围是m≤1．故选B．
5．（2025秋·湖北随州·九年级统考期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
∴x=0或x+2=0，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．
6．（2025秋·湖南常德·九年级校考期中）解方程得（ ）
A．﹣6或﹣ B．﹣ C．6 D．﹣或6
【答案】D
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程，
提公因式得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2025春·八年级单元测试）对于方程，下面给出的说法不正确的是（ ）
A．与方程的解相同
B．两边都除以，得，可以解得
C．方程有两个相等的实数根
D．移项分解因式，可以解得．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以（x-2）（x-1-1）=0，
所以，
可以解得，
A、与方程x2+4=4x的解相同，正确；
B、当x-2≠0时，两边除以x-2，得x-1=1，即x=2；
当x-2=0时，方程成立，错误；
C、方程有两个相等的实数根，正确；
D、移项分解因式（x-2）2=0，可以解得x1=x2=2，正确；
故选：B．
8．（2025秋·九年级单元测试）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】A、，该方程有两个不相等实数根，故错误，不符合题意；
B、，该方程有两个不相等实数根，故错误，不符合题意；
C、，该方程有两个相等的实数根，正确，符合题意；
D、，该方程没有实数根，故错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．（2025秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＞1 D．k＜-1
【答案】D
【分析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】由已知得：k≠0且Δ=(-2)2-4k×(-1)=4+4k＜0，
解得：k＜-1，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．
10．（2025秋·四川遂宁·九年级射洪中学校考期中）已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
【答案】C
【分析】设m=x2+y2，则有，求出m的值，结合x2+y20，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，设m=x2+y2，
∴原方程可化为：，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了换元法求一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
11．（2025春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知：
①方程x2+3x+7=0的△=b2-4ac=9-28=-19＜0，∴没有实数根；
②、方程x2+4=0的△=b2-4ac=0-16=-16＜0，∴方程没有实数根；
③、x2+x-1=0的△=b2-4ac=1+4=5＞0，∴有实数根．
故选：B．
12．（2025·广东广州·统考二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．
13．（2025春·八年级课时练习）已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（ ）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
【答案】A
【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可．
【详解】解：解方程，得．
当腰长为4，底边长为2时，其周长为；
当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
14．（2025·山东临沂·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣7 B．k≥﹣7 C．k≥0 D．k≥1
【答案】D
【详解】试题分析：根据方程有两个不相等的实数根可知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0的根的判别式△=＞0，再由二次根式有意义的条件得出k﹣1≥0，即可得到不等式组，求出k的取值范围k≥1．
故选D．
考点：根的判别式
15．（2025秋·九年级课时练习） 因式分解结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.
故选D.
点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
二、填空题
16．（2025秋·九年级单元测试）一元二次方程x -4x+6=0实数根的情况是_____．
【答案】方程没有实数根．
【详解】试题分析：先根据判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
试题解析：∵△=（-4）2-4×1×6=-8＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为方程没有实数根．
考点: 根的判别式．
17．（2025·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2﹣4x＋c＝0无实数根，则c的取值范围是_____．
【答案】c＞4
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+c=0无实数根，
∴（-4）2-4c＜0，
解得，c＞4，
故答案为：c＞4．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握当△＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
18．（2025秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：
x+m＝；
x＝﹣m；
你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：_____．
【答案】错误，没有就n≥0还是n＜0讨论
【分析】根据题意可直接进行解答．
【详解】解：错误，
没有就n≥0还是n＜0讨论，
故答案为：没有就n≥0还是n＜0讨论．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
19．（2025秋·全国·九年级专题练习）方程x2－=0的两根为x1=__________，x2=__________．
【答案】
【分析】先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根.
【详解】解：移项得，
解得：，
故答案为，.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键.
20．（2025春·上海·七年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】由题意可得，即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
∴且
故答案是：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，上面的结论反过来也成立．
21．（2025秋·八年级课时练习）已知 ，，则 ＝ ________________ ．（用含a，t的代数式表示）
【答案】/
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，，
∴
．
故答案为：a．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
22．（2025春·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，，以及二次项的系数不为0，求出的取值范围，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
又∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴满足条件的所有非负整数k：，
∴满足条件的所有非负整数k的和为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求出参数．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程的二次项系数不为0，是解题的关键．
23．（2025春·八年级课时练习）已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_______．
【答案】，，
【分析】设，将方程化为，利用和2是方程的两根，得到，，分别计算即可得到方程的根．
【详解】解：设，则方程化为，
由题意可知：，，
，
，，
方程的根为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键．
24．（2025秋·九年级课时练习）若方程x2-m=0有整数根，则m的值可以是_______________（只填一个）
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：若方程x2-m=0有整数根，则x=±，只要m为正整数，且m是完全平方数即可．故m可以取1．故答案为1（答案不唯一）．
25．（2025秋·七年级课时练习）在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______ ．
【答案】
【详解】分析：以y代替已知方程中的（x2﹣3x）即可．
详解：∵设y=x2﹣3x，
∴由方程，得：y++3=0，
去分母，得：y2+3y+2=0．
故答案为y2+3y+2=0．
点睛：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
三、解答题
26．（2025秋·福建泉州·九年级统考期末）解方程：．
【答案】x1=3，
【分析】因式分解法解.
【详解】
(-2x-1)(-x+3)=0
x1=3，.
【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键．
27．（2025秋·山东青岛·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解．
【答案】0和2
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，
解得a≤2且a≠1，
∴a的非负整数解为2和0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
28．（2025秋·河北邯郸·九年级统考期中）按指定的方法解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)（因式分解法）．
【答案】(1)，．
(2)，．
(3)，．
【分析】（1）先把方程化为，可得，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算，再利用求根公式解方程即可；
（3）先移项，再把方程左边分解因式可得，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
∴，
配方得：，
∴或，
解得：，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
（3）解：，
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．
29．（2025春·福建南平·九年级专题练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项，再把方程左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：
∴
∴或
解得：
（2），
∴
∴
∴或
解得：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
30．（2025秋·全国·九年级专题练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：．
【答案】x1＝1，x2＝－4
【分析】利用题中给出的方法设=y，把方程转化为含y的一元二次方程，求出y的值，再求解无理方程，求出x的值．
【详解】解：设＝y，则x2＋3x=y2，
原方程可化为：y2－y－2＝0，
∴y1＝－1，y2＝2 ，
∵＝y≥0，
∴y1＝－1舍去 ，
∴＝2，
∴x2＋3x＝4，
∴x2＋3x－4＝0，
∴x1＝1，x2＝－4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．
31．（2025春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝8，若关于x的方程x2＋（b－2）x＋b－3＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】20
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到关于b的方程，可求得b的值，再分a为底和a为腰两种情况分别求其周长即可．
【详解】解：方程有两个相等的实数根，
∴，即，解得，
当a为底，b为腰时，不能构成三角形；
当b为底，a为腰时，也能构成三角形，周长为；
的周长是20．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、三角形三边关系及等腰三角形的性质，利用根的情况求得b的值是解题的关键．
32．（2025春·山东东营·八年级校考期中）用适当的方法解下列方程．
（1）(2x＋3)2－16＝0;
（2）(x－2)2－3x(x－2)＝0.
（3）x2＋4x＝2
（4）x(x+4)=8x+12
【答案】（1）x1=, x2= -;（2）x1=2, x2=-1;（3）x1＝－2＋，x2＝－2－.（4）x1=6, x2=-2
【分析】（1）方程运用因式分解法求解即可；
（2）方程先提取公因式(x-2)后化成两个一元一次方程后求解即可；
（3）运用配方法求解即可；
（4）先把方程转化为一般形式后，再运用因式分解法求解即可.
【详解】(1)(2x＋3)2－16＝0;
(2x+3+4)(2x+3-4)=0，
2x+7=0，2x-1=0,
∴x1=, x2= -;
(2)(x－2)2－3x(x－2)＝0.
(x-2)(x-2-3x)=0,
x-2=0;-2x-2=0，
∴x1=2, x2=-1;
（3）x2＋4x＝2
x2＋4x+4＝2+4
(x+2)2=6，
x+2=±
∴x1＝－2＋，x2＝－2－;
（4）x(x+4)=8x+12
x2-4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
x-6=0，x+2=0,
∴x1=6, x2=-2
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
33．（2025春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m的值为4或3
【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
34．（2025春·全国·八年级专题练习）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．
所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2．
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题
(1)分解因式：x2＋5x－24＝________________________；
(2)若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是____________；
(3)利用上面因式分解方法解方程：x2－4x－21=0．
【答案】(1)（x 3）（x＋8）
(2)±5，±7
(3)x1＝7，x2＝ 3
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项 24＝ 3×8，一次项系数5＝ 3＋8，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项6＝ 3×（ 2），6＝3×2，6＝ 1×（ 6），6＝1×6，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项 21＝ 7×3，一次项系数 4＝ 7＋3，然后进行分解计算即可．
【详解】（1）解：x2＋5x 24
＝x2＋（ 3＋8）x＋（ 3）×8
＝（x 3）（x＋8）
故答案为：（x 3）（x＋8）．
（2）解：∵6＝ 3×（ 2），6＝3×2，6＝ 1×（ 6），6＝1×6，
∴p＝ 3＋（ 2）＝ 5，p＝3＋2＝5，p＝ 1＋（ 6）＝ 7，p＝1＋6＝7，
∴若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7．
故答案为：±5，±7．
（3）解：x2 4x 21＝0，
（x 7）（x＋3）＝0，
（x 7）＝0或（x＋3）＝0，
∴x1＝7，x2＝ 3．
【点睛】本题考查了因式分解 十字相乘法，理解并掌握x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
35．（2025秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=-x+3与直线CD：y=kx-2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
(1)求a和k的值；
(2)如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
(3)直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BD为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)a=1，k=；
(2)点P（-4，-5）或P（12，7）；
(3)点N的坐标为（2，--2）或（-2，-2）或（4，6）．
【分析】（1）将点M的坐标代人函数的解析式即可求得a的值，从而确定点M是坐标，再将点M的坐标代人y=kx-2即可求得k值；
（2）首先得到直线的解析式，然后得到点D的坐标，根据△PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×（xM-xP）=×（3+2）（4-xP）=20，求得xP=-4，代人直线CD的解析式即可求得点P（-4，-5）；
（3）设点F的坐标为（m，-m+3），点N（a，b），根据点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，-2）得到BD=5，然后分①当BD是边时和②当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点且BF=BN，两种情况得到点N的坐标为（2，--2）或（-2，-2）或（4，6）．
（1）
解：将点M的坐标代入y=-x+3并解得：a=1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y=kx-2，得4k-2=1，
解得：k=，
∴a=1，k=；
（2）
解：由（1）得直线CD的表达式为：y=x-2，
则点D（0，-2），
∴△PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×|xM-xP|=×（3+2）|4-xP|=20，
解得：xP=-4或xP=12，
故点P（-4，-5）或P（12，7）；
（3）
解：设点F的坐标为（m，-m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，-2），
则BD=5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD=BF，即52=m2+（-m）2，
解得m=±2，
则点F的坐标为（2，-+3）或（-2，+3）；
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，--2）或（-2，-2）；
当点F在点N的下方时，则BD=DF，
即52=m2+（-m+3+2）2，
解得m=0（舍去）或4，
同理可得，点N（4，6）；
综上，点N的坐标为（2，--2）或（-2，-2）或（4，6）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，菱形的判定和性质，涉及到一次函数的性质、待定系数法等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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专题08 解一元二次方程（2）
新知预习
（一）根的判别式
（1）一元二次方程 根的判别式：（考点）
①方程有两个不相等的实根:（）
②方程有两个相等的实根
③方程无实根
④△≥0方程有实数根
（二）公式法解方程
（1）用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
④最后求出x1，x2
（三）因式分解法解方程
（1）用因式分解一元二次方程的一般步骤：
①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④求解
十字相乘法：x2+（p+q）x2+pq=（x+p）（x+q）
新知训练
考点1：判断方程根的情况
典例1：（2025春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是___________．
【变式1】（2025秋·吉林延边·九年级统考期末）一元二次方程________实数根．（填“有”或“没有”）
【变式2】（2025春·八年级单元测试）对于一元二次方程，下列说法：
①若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若，则它有一根为；
④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______．
【变式3】（2025秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是_________．
考点2：利用方程根的情况求字母的取值（范围）
典例2：（2025春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【变式1】（2025秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期中）已知关于的方程．
(1)是方程的根吗？请说明理由．
(2)当取何值时，方程有实数根？
【变式3】（2025秋·江苏盐城·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.
考点3：公式法解一元二次方程
典例3：（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
【变式1】（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
【变式2】（2025秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）用指定的方法解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
【变式3】（2025秋·山东滨州·九年级统考期末）根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程：．
(2)用公式法解方程．．
考点4：因式分解法解一元二次方程
典例4：（2025春·浙江·八年级专题练习）以下是小滨在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【变式1】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）解方程：．
【变式2】（2025春·浙江·八年级阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【变式3】（2025秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）解方程：．
考点5：十字相乘法解一元二次方程
典例5：（2025春·七年级课时练习）用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1】（2025秋·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）解方程：．
【变式2】（2025春·安徽合肥·八年级合肥市庐阳中学校考期中）（1）解方程：．
（2）解方程：．
【变式3】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
(1)尝试：分解因式：__________________；
(2)应用：请用上述方法解方程：．
新知检测
一、单选题
1．（2025·四川广安·统考模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2025·全国·九年级假期作业）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
3．（2025秋·九年级单元测试）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（ ）
A． B． C． D．
4．（2012·湖南常德·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A． B． C． D．
5．（2025秋·湖北随州·九年级统考期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋·湖南常德·九年级校考期中）解方程得（ ）
A．﹣6或﹣ B．﹣ C．6 D．﹣或6
7．（2025春·八年级单元测试）对于方程，下面给出的说法不正确的是（ ）
A．与方程的解相同
B．两边都除以，得，可以解得
C．方程有两个相等的实数根
D．移项分解因式，可以解得．
8．（2025秋·九年级单元测试）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是
A． B．
C． D．
9．（2025秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＞1 D．k＜-1
10．（2025秋·四川遂宁·九年级射洪中学校考期中）已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
11．（2025春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（2025·广东广州·统考二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
13．（2025春·八年级课时练习）已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（ ）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
14．（2025·山东临沂·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣7 B．k≥﹣7 C．k≥0 D．k≥1
15．（2025秋·九年级课时练习） 因式分解结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．（2025秋·九年级单元测试）一元二次方程x -4x+6=0实数根的情况是_____．
17．（2025·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2﹣4x＋c＝0无实数根，则c的取值范围是_____．
18．（2025秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：
x+m＝；
x＝﹣m；
你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：_____．
19．（2025秋·全国·九年级专题练习）方程x2－=0的两根为x1=__________，x2=__________．
20．（2025春·上海·七年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．
21．（2025秋·八年级课时练习）已知 ，，则 ＝ ________________ ．（用含a，t的代数式表示）
22．（2025春·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______．
23．（2025春·八年级课时练习）已知和2是关于x的一元二次方程的两根，则关于x的方程的根为_______．
24．（2025秋·九年级课时练习）若方程x2-m=0有整数根，则m的值可以是_______________（只填一个）
25．（2025秋·七年级课时练习）在方程中，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______ ．
三、解答题
26．（2025秋·福建泉州·九年级统考期末）解方程：．
27．（2025秋·山东青岛·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解．
28．（2025秋·河北邯郸·九年级统考期中）按指定的方法解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)（因式分解法）．
29．（2025春·福建南平·九年级专题练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
30．（2025秋·全国·九年级专题练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：．
31．（2025春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝8，若关于x的方程x2＋（b－2）x＋b－3＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
32．（2025春·山东东营·八年级校考期中）用适当的方法解下列方程．
（1）(2x＋3)2－16＝0;
（2）(x－2)2－3x(x－2)＝0.
（3）x2＋4x＝2
（4）x(x+4)=8x+12
33．（2025春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
34．（2025春·全国·八年级专题练习）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．
所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2．
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题
(1)分解因式：x2＋5x－24＝________________________；
(2)若x2＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是____________；
(3)利用上面因式分解方法解方程：x2－4x－21=0．
35．（2025秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=-x+3与直线CD：y=kx-2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
(1)求a和k的值；
(2)如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
(3)直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BD为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
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