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专题15 实际问题与二次函数
新知预习
（一）实际问题类型
（1）几何面积型（2）拱桥型（3）抛掷型（4）销售利润型（5）动点型
新知训练
考点1：几何面积
典例1：（2025秋·山东泰安·九年级校考期末）如图，在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
(1)若花园的面积为，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【变式1】（2025·广西柳州·统考模拟预测）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为为，隔离区面积为．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)如果要围成面积为的隔离区，那么的长为多少？
(3)求隔离区面积的最大值．
【变式2】（2025秋·福建三明·九年级统考期末）如图，正方形是一张边长为的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下与后得到一个五边形，其中P，Q，R三点分别在边，，上，且，．
(1)若，将的面积用含x的代数式表示；
(2)五边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2025春·广东广州·九年级执信中学校考阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
考点2：拱桥型
典例2：（2025·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【变式1】（2025·河南·模拟预测）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．
【变式2】（2025春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
(2)求支柱MN的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽3m的隔离带），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽2m的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为_____m．高为2.5m的汽车在最外侧车道___（填“能”或“不能”）顺利通过拱桥下面．
【变式3】（2025秋·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
考点3：抛掷型
典例3：（2025·江苏盐城·统考一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；
(2)当时，求小铁球P此时的坐标；
(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【变式1】（江苏省淮安市2025-2025学年九年级上学期期末数学试题）在一场篮球赛中，队员甲传球给乙，出手后篮球的高度（米）与飞出的水平距离（米）满足．
(1)这次传球的出手高度是________米，当篮球飞行的水平距离为________米时，达到最大高度，最大高度是________米；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6米处，他的最大摸高是3米，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明；如不能他应该前进或后退多少米才能接到？
(3)球场界线在甲的传球方向前方9米处，如未能成功传球，篮球是否会出界？
【变式2】（2025·河北沧州·校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
(2)请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
(3)此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
【变式3】（2025·陕西西安·校考一模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为2.44米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在没有对方球员和守门员阻挡的前提下，球是否会进球门 如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员正前方3.2米处，而C罗跳起后能达到2.9米，那么他能否在空中截住这次吊射
考点4：销售利润型
典例4：（2025·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式1】（2025·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【变式2】（2025·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【变式3】（2025·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示．
(1)第15天的日销售量为_________件；
(2)当时，求日销售额的最大值；
(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
考点5：动点型
典例5：（2025秋·吉林·九年级统考期末）如图，在矩形中，，．动点P从点D出发，以的速度沿向终点A运动；同时点Q从点B出发，以的速度沿向终点A运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P的运动时间为，线段扫过的面积为．
(1) _________（用含t的代数式表示）；
(2)求s与t之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(3)当线段扫过的面积为矩形面积的时，求t的值．
【变式1】（2025春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，（）求：
(1)当为多少秒时，两点之间的距离是？
(2)用含的代数式表示的面积；
(3)当为多少秒时，？
【变式2】（2025秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）如图1，梯形中，，，．动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止运动，点沿运动到点时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设出发s时，的面积为．已知与的函数图象如图2所示，其中曲线为抛物线的一部分，为线段．
请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)________cm；________cm；
(2)求的值并用文字说明点所表示的实际意义；
(3)求出当自变量为何值时，函数的值等于2.5．
【变式3】（2025秋·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为．
(1)用含x的式子表示（请写化简之后的结果）；
____________， ____________， ___________，=____________
(2)四边形的面积能否等于172？若能，求出运动的时间; 若不能，说明理由．
新知检测
一、单选题
1．（2025春·九年级课时练习）矩形一边长为x，周长为8，则当矩形面积最大时，x的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．5
2．（2025秋·九年级课时练习）在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．2米 C．8米 D．10米
3．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋·浙江温州·九年级温州市第二实验中学校考阶段练习）如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（ ）
A．22m B．21m C．20m D．19m
5．（2025春·九年级课时练习）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s
6．（2025秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x(20﹣x) B．S＝x(20﹣2x) C．S＝10x﹣x2 D．S＝2x(10﹣x)
7．（2025秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025春·江苏南通·九年级专题练习）如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）一小球从某一高空由静止开始下落（不计阻力），设下落的时间为，下落的高度为，已知与的函数关系式为（其中为正常数），则函数图象为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025春·九年级课时练习）王刚在练习投篮，篮球脱手后的运动轨迹近似为如图所示的抛物线，已知篮圈高米，王刚投篮时出手高度为米，若要使篮球刚好投进篮圈，则投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．（2025春·九年级课时练习）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙长），中间用两道墙隔开．已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室的一边长为占地总面积为，则
①y与x的函数关系式为__________________．（不必写出x取值范围）
②三间饲养室的最大总面积为_________________．
12．（2025秋·九年级课时练习）某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增____棵苹果树，所结苹果的总数最多．
13．（2025秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m．
14．（2025秋·八年级单元测试）一个边长是的正方形，当边长增加时，面积增加，则与之间的函数关系式为________.
15．（2025春·八年级课时练习）周长为的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为__________时，剩下的面积最大．
16．（2025秋·云南玉溪·九年级统考期末）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是_______m．
三、解答题
17．（2025·安徽滁州·校考一模）在中，，， 现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
(1)当时，、两点之间的距离是多少？
(2)若的面积为，求关于的函数关系式．
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
18．（2025秋·江苏无锡·九年级统考期中）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？
19．（2025秋·四川眉山·九年级校考期末）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．
(1)求每天销售量的平均增长率．
(2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？
20．（2025秋·浙江宁波·九年级校联考期中）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系，乙种水果的销售利润（千元）与进货量x（吨）之间的函数关系近似于二次函数，函数图象如图所示．
（1）求出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
21．（2025秋·河南安阳·九年级校联考期中）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中D、E、F分别在上．
(1)若设，则 ；（用含x的代数式表示）
(2)要使剪出的矩形的面积最大，点E应选在何处？
22．（2025秋·辽宁大连·九年级校考期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
23．（2025·江苏·九年级专题练习）某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
24．（2025秋·全国·九年级阶段练习）一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
求出月销售量万件与销售单价元之间的函数关系式；
求出月销售利润万元与销售单价元之间的函数关系式；
若该月销售利润为480万元，求此时的月销售量和销售单价各是多少元？
25．（2025春·全国·九年级专题练习）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系式y=162-3x，求商场销售这种商品的日销售利润W（元）与每件商品的销售价x元之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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专题15 实际问题与二次函数
新知预习
（一）实际问题类型
（1）几何面积型（2）拱桥型（3）抛掷型（4）销售利润型（5）动点型
新知训练
考点1：几何面积
典例1：（2025秋·山东泰安·九年级校考期末）如图，在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
(1)若花园的面积为，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【答案】(1)的长度或．
(2)平方米
【分析】（1）根据米可知米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P处有一棵树与墙，的距离分别是和，求出x的取值范围，再根据面积与x的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设米，则米，根据题意得：
．
解方程得：，
答：的长度或．
（2）设矩形面积为S，
则．
∵P处有一棵树与墙，的距离分别是和，
∴．
∴当x=18时，（平方米）．
答：花园面积的最大值是平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键．
【变式1】（2025·广西柳州·统考模拟预测）如图，在预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙（隔离区靠墙这面不需要塑料膜），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为为，隔离区面积为．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)如果要围成面积为的隔离区，那么的长为多少？
(3)求隔离区面积的最大值．
【答案】(1)
(2)的长为7米；
(3)隔离区面积最大为
【分析】（1）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为，然后根据长方形面积公式进行求解即可；
（2）根据（1）中结论得出方程求解即可；
（3）利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一面的长为，
∴；
（2）由（1）得，
解得：或(不符合题意，舍去)，
∴的长为7米；
（3）∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴隔离区面积最大为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出S与x的关系式．
【变式2】（2025秋·福建三明·九年级统考期末）如图，正方形是一张边长为的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下与后得到一个五边形，其中P，Q，R三点分别在边，，上，且，．
(1)若，将的面积用含x的代数式表示；
(2)五边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据条件表示出，从而得到的面积；
（2）分别求出正方形、、的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值。即可求出最大值．
【详解】（1）解：依题意，．
的面积．
（2）解：设，则，
∴，
，
∴的面积．
，
．
当时，上式取得最大值120，
所以，当时，五边形的面积取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的计算、五边形面积计算的方法，计算三角形的面积及利用二次函数顶点式求最值是解题的关键．
【变式3】（2025春·广东广州·九年级执信中学校考阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【答案】(1)，
(2)3米
(3)m
【分析】（1）根据列得函数关系式，利用求出x值的取值范围；
（2）利用（1）得到，求解即可；
（3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
∵，
即，
解得：，
∴x值的取值范围为：；
（2）当时，
即，
解得：，
∵，
∴，
即的长是3米；
（3），
∵，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，S取的最大值，
∴当的长是m时，围成的花圃面积最大．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确掌握各知识点是解题的关键．
考点2：拱桥型
典例2：（2025·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【答案】(1)
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为，代入（1）所得解析式，判断是否大于即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：时，
，
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
【变式1】（2025·河南·模拟预测）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．
【答案】(1)
(2)桥拱下水面的宽度为
【分析】（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点的坐标，然后代入求解即可；
（2）根据水面高度先求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长．
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，
点的坐标为．
设抛物线的表达式为．
把代入，得，
解得．
该抛物线的表达式为．
（2）点的坐标为．
．
由题意得．
．
由题意得，
解得，．
点的坐标为，点的坐标为．
．
答：桥拱下水面的宽度为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键，渗透了数学学科模型观念、应用意识的核心素养．
【变式2】（2025春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
(2)求支柱MN的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽3m的隔离带），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽2m的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为_____m．高为2.5m的汽车在最外侧车道___（填“能”或“不能”）顺利通过拱桥下面．
【答案】(1)，
(2)支柱MN的长度为
(3)2.625，能
【分析】（1）根据题意得出、、，代入，即可求得．
（2）根据相邻两支柱间的距离均为5m，设，将代入求解．
（3）找到隔离带与并排行驶的车辆位置，转化为图上的点，求出点的坐标，带入解析式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得，、、，
将、代入，
得，
解得，．
（2）解：由（1）知，，
根据相邻两支柱间的距离均为5m，设，
将代入，
解得，
由图可知，拱桥最高处到地面得距离为，
故支柱MN的长度为．
（3）解：如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为GH，
DE为3m的隔离带，EG为并排行驶三辆宽2m的汽车得宽度，
则，
设，
将代入，
解得，
故在最外侧车道上的汽车最高为；
故高为2.5m的汽车在最外侧车道能顺利通过拱桥下面．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出点的坐标．
【变式3】（2025秋·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
【答案】(1)
(2)该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式，求出y的值，由竖直方向上的高度差至少为0.5米可得答案．
【详解】（1）设抛物线的表达式为，
由图可知，抛物线经过点，将其代入，得
，
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）当时，
，
米．
答：该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为3.25米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求得抛物线解析式是解题的关键．
考点3：抛掷型
典例3：（2025·江苏盐城·统考一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；
(2)当时，求小铁球P此时的坐标；
(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)，自变量x的范围是
【分析】（1）将代入，求出t即可；
（2）将代入，得到点P的横坐标；将代入即可得到纵坐标；
（3）由（1）可知， 设抛物线的函数表达式为，将、、代入，求出解析式及自变量x的范围．
【详解】（1）将代入，得，
解得．
（2）当时，，，
∴，
∴此时．
（3）由（1）可知，∴，
设抛物线的函数表达式为，
将、、代入，
解得，
自变量x的范围是．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确理解图形及各等量关系是解题的关键．
【变式1】（江苏省淮安市2025-2025学年九年级上学期期末数学试题）在一场篮球赛中，队员甲传球给乙，出手后篮球的高度（米）与飞出的水平距离（米）满足．
(1)这次传球的出手高度是________米，当篮球飞行的水平距离为________米时，达到最大高度，最大高度是________米；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6米处，他的最大摸高是3米，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明；如不能他应该前进或后退多少米才能接到？
(3)球场界线在甲的传球方向前方9米处，如未能成功传球，篮球是否会出界？
【答案】(1)
(2)不能，他应该后退1米或前进5米
(3)篮球会出界
【分析】（1）令，求出的值，即为出手高度，根据解析式得到顶点坐标，即可得出结果；
（2）令，求出值，进行判断，再令，求出的值，进行作答即可；
（3）求出时，的值，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，当时，；
∴这次传球的出手高度是米；
∵的顶点坐标为：，
∴当篮球飞行的水平距离为4米时，达到最大高度，最大高度是4米；
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴他在原地不能接到球；
当时，，解得：，
，
∴他应该后退1米或前进5米才能接到球；
（3）解：当时，，解得：（舍去）；
∵，
∴篮球会出界．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图形和性质，是解题的关键．
【变式2】（2025·河北沧州·校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
(2)请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
(3)此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
【答案】(1)
(2)小明的这次跳起投篮能投中
(3)他距运动员小明至少1.2米
【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，在根据顶点式带入求解．
（2）求当时的求函数值．
（3）求出时的x值．
【详解】（1）解：由题意及图形知：抛物线的顶点为：，过点，
设抛物线的解析式为：，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
所以小明的这次跳起投篮能投中．
（3）解：当时，，
解得：，
由题意知：，
，
，
所以他距运动员小明至少米．
【点睛】此题考查了二次函数的解析式求解及应用，解题的关键是熟练应用二次函数性质．
【变式3】（2025·陕西西安·校考一模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为2.44米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在没有对方球员和守门员阻挡的前提下，球是否会进球门 如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员正前方3.2米处，而C罗跳起后能达到2.9米，那么他能否在空中截住这次吊射
【答案】(1)
(2)球会进球门，C罗能在空中截住这次吊射
【分析】（1）由题意得，足球到点O距离米时，足球达到了最大高度8米，设抛物线为，把代入求解即可；
（2）根据题意将和代入进行求解判断即可．
【详解】（1）由题意得，足球到点O距离米时，足球达到了最大高度8米，
设抛物线为，
把代入解析式得，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2）根据题意得，将代入得，
∴球会进球门，
将代入得，
∵C罗跳起后最高能达到米，
∴C罗能在空中截住这次吊射．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题意，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
考点4：销售利润型
典例4：（2025·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【变式1】（2025·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) 且x为整数．
(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是 ，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
【变式2】（2025·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）；（2）最大利润为3840元
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价 成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），
则，
解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝ 3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴；
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x 8）y＝（x 8）（ 3x＋216）＝ 3（x 40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x 8）y＝120（x 8）＝120x 960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
【变式3】（2025·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示．
(1)第15天的日销售量为_________件；
(2)当时，求日销售额的最大值；
(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
【答案】(1)30
(2)2100元
(3)9天
【分析】（1）将直接代入表达式即可求出销售量；
（2）设销售额为元，分类讨论，当时，由图可知，销售单价；当时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；
（3）分类讨论，当和时列出不等式，解不等式，即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，销售量；
故答案为30；
（2）设销售额为元，
①当时，由图可知，销售单价，
此时销售额
∵，
∴随的增大而增大
当时，取最大值
此时
②当时，有图可知，p是x的一次函数，且过点（20，40）、（40，30）
设销售单价，
将（20，40）、（40，30）代入得：
解得
∴
∴
∵，
∴当时，随的增大而增大
当时，取最大值
此时
∵
∴的最大值为2100，
∴当时，日销售额的最大值为2100元；
（3）当时，
解得
∴
当，
解得
∴
∴，共9天
∴日销售量不低于48件的时间段有9天．
【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点．
考点5：动点型
典例5：（2025秋·吉林·九年级统考期末）如图，在矩形中，，．动点P从点D出发，以的速度沿向终点A运动；同时点Q从点B出发，以的速度沿向终点A运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P的运动时间为，线段扫过的面积为．
(1) _________（用含t的代数式表示）；
(2)求s与t之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(3)当线段扫过的面积为矩形面积的时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为
【分析】（1）根据题意知动点P和Q同时出发，同时停止，故运动时间相同都是，是Q点的运动路程，根据速度乘以间等于路程求出，就是与的差；
（2）线段扫过的面积就等于四边形的面积，根据结合三角形的面积公式，即可进行解答；
（3）由（2）可得，再根据s为矩形面积的，列出方程求解，最后根据，求解后要进行取舍即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）
．
（3）根据题意，得：
．
解得 ，（不符合题意，舍去）
∴当线段扫过的面积为矩形面积的时，的值为．
【点睛】本题主要考查了几何上的动点问题、面积问题以及解二次方程，能理解动点的运动轨迹和正确的解二次方程并根据具体问题对解进行取舍是做出本题的关键．
【变式1】（2025春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，（）求：
(1)当为多少秒时，两点之间的距离是？
(2)用含的代数式表示的面积；
(3)当为多少秒时，？
【答案】(1)当为秒或秒时，两点之间的距离是
(2)
(3)秒或秒
【分析】（1）在中，，，点的速度是，点的速度是，由此可用含的式子表示出，在中根据勾股定理即可求解；
（2）由（1）可知，，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据题意分别表示出，，由此即可求解．
【详解】（1）解：若运动的时间为，则，，两点之间的距离是，
即在中，，，
∴，即，解得，，
∴当为秒或秒时，两点之间的距离是．
（2）解：∵，点的速度是，点的速度是，
∴点从点到点的时间为，点从点到点的时间为，
∵当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，
∴，
若运动的时间为，则，，在中，，
∴，
∴的面积．
（3）解：根据题意，，
由（2）可知，，
∴，解得，，
∴当为秒或秒时，．
【点睛】本题主要考查动点与三角形知识的综合，理解动点的运动规律，动点的运动与三角形边长的关系，边长的面积关系是解题的关键．
【变式2】（2025秋·河北邢台·九年级邢台三中校考期末）如图1，梯形中，，，．动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止运动，点沿运动到点时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设出发s时，的面积为．已知与的函数图象如图2所示，其中曲线为抛物线的一部分，为线段．
请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)________cm；________cm；
(2)求的值并用文字说明点所表示的实际意义；
(3)求出当自变量为何值时，函数的值等于2.5．
【答案】(1)2，5
(2)点所表示的实际意义：当点运动7s时到达点，此时点沿已运动到点并停止运动，这时的面积为
(3)或
【分析】（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，段是曲线，说明分别在运动，此时的关系是二次函数；是线段，且平行于轴，那么此时运动到终点，且在线段上运用，此时为定值；段是线段，此时的关系是一次函数，此时在线段上运动，此时随的增大而减小；根据上面的分析，可知在之间，在线段上运动，在这个区间运动了2秒，所以，根据段的函数图象可知，当时，分别运动到两点，那么；
（2）过作，为垂足，由已知，，从而可得，
当点分别运动到时可求出的面积，从而即可得到结论；
（3）利用待定系数法，分别求出两个解析式，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可知：
在之间，在线段上运动，在这个区间运动了2秒，所以，
段为抛物线，此时点分别在运动，
当重合，重合时，s，
，
故答案为：2，5；
（2）解：如图所示，过作，为垂足，
由已知，，
，
当点分别运动到时的面积为：，
即的值为10，
点所表示的实际意义：当点运动时到达点，此时点沿已运动到点并停止运动，这时的面积为；
（3）解：当点在上运动时，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得，
，
当点在上运动时，设直线的解析式为，
把，代入，得，，解得，，
所以，
把分别代入和得，和，
解得：或．
【点睛】此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．
【变式3】（2025秋·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为．
(1)用含x的式子表示（请写化简之后的结果）；
____________， ____________， ___________，=____________
(2)四边形的面积能否等于172？若能，求出运动的时间; 若不能，说明理由．
【答案】(1)、，，
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）根据题意用x表示出、、、即可；
（2）由=172可得关于x的一元二次方程，然后解一元二次方程即可求得运动时间x．
【详解】（1）解：根据题意得：cm，cm，所以cm，
∵ ，
∵
∴．
故答案为：、，，．
（2）解：∵四边形的面积不能等于172
∴，即，解得或（舍去）
∴∵0≤x≤6，
∴四边形的面积不可能等于172．
【点睛】本题主要考查了函数的动点问题、四边形的面积，二次函数的与一元二方程的关系等知识点，出 与t的函数关系式是解本题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025春·九年级课时练习）矩形一边长为x，周长为8，则当矩形面积最大时，x的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．5
【答案】B
【分析】根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.
【详解】解：由题意得：矩形面积，
所以当x=2时，矩形面积S有最大值4，
故选B.
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
2．（2025秋·九年级课时练习）在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．2米 C．8米 D．10米
【答案】C
【分析】令y=0，求得x的值，取正值即可．
【详解】∵y＝－＋x＋，
令y=0，
∴－＋x＋=0，
∴，
解得x=8或x=-2(舍去)，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确解方程是解题的关键．
3．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
4．（2025秋·浙江温州·九年级温州市第二实验中学校考阶段练习）如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（ ）
A．22m B．21m C．20m D．19m
【答案】B
【分析】由排球落地时可得：，解方程求解 检验后可得答案．
【详解】解：当时，
或
或
经检验：不合题意，舍去，
所以排球落地点的坐标为：
所以：排球落地点距发球点的水平距离是
故选：
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像上点的坐标的实际含义是解题的关键．
5．（2025春·九年级课时练习）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s
【答案】D
【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.
【详解】解：h=3.5t-4.9t2
=-4.9（t-）2+，
∵-4.9＜0
∴当t=≈0.36s时，h最大．
故选D.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.
6．（2025秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x(20﹣x) B．S＝x(20﹣2x) C．S＝10x﹣x2 D．S＝2x(10﹣x)
【答案】C
【分析】首先表示出矩形的另一边长为（10-x）cm，然后再根据面积=长×宽可得答案．
【详解】解：由题意得：矩形的另一边长为: （10-x）cm，
S＝x（10﹣x）＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式．
7．（2025秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线的函数表达式．
【详解】当y＝0时，有（x 2）2 2＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴OA＝4．
∵S阴影＝OA×AB＝16，
∴AB＝4，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x 2）2 2＋4＝
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC的面积是解题的关键．
8．（2025春·江苏南通·九年级专题练习）如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝ 2x 4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4 4x）＝32 8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
9．（2025秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）一小球从某一高空由静止开始下落（不计阻力），设下落的时间为，下落的高度为，已知与的函数关系式为（其中为正常数），则函数图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由于h＝（其中g为正常数）为二次函数，则其图象为抛物线，而＞0，根据二次函数的性质得抛物线开口向上，由于t≥0，所以h＝（其中g为正常数）的图象只是抛物线在第一象限的部分．
【详解】h＝（其中g为正常数）为二次函数，其图象为抛物线，
∵g＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t≥0，
∴h＝（其中g为正常数）的图象只是抛物线在第一象限的部分．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题得到二次函数的关系式，然后利用二次函数的性质解决问题．也考查了二次函数的图象．
10．（2025春·九年级课时练习）王刚在练习投篮，篮球脱手后的运动轨迹近似为如图所示的抛物线，已知篮圈高米，王刚投篮时出手高度为米，若要使篮球刚好投进篮圈，则投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据题意，得出，点的纵坐标为，再把代入二次函数解析式中，得出一元二次方程，解出的值，再结合图象，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可得：，点的纵坐标为，
当时，可得：，
即，
解得：，，
∵函数的对称轴为，
又∵点在对称轴的右侧，
∴，
∴的水平距离为米，
∴投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为米．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解本题的关键在将函数问题转化为方程问题．
二、填空题
11．（2025春·九年级课时练习）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙长），中间用两道墙隔开．已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室的一边长为占地总面积为，则
①y与x的函数关系式为__________________．（不必写出x取值范围）
②三间饲养室的最大总面积为_________________．
【答案】 200
【分析】①根据题意列出函数关系式即可；
②将二次函数化为顶点式，再进行判断即可．
【详解】解：①∵设饲养室的一边长为占地总面积为，
∴另一面墙长
∴
，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
又∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为：，
∴三间饲养室的最大总面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数是解决本题的关键．
12．（2025秋·九年级课时练习）某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增____棵苹果树，所结苹果的总数最多．
【答案】5
【分析】根据题意列出二次函数解析式，进而求最值即可．
【详解】解：设果园里增x棵苹果树，所结苹果的总数为y，
根据题意得y＝（100+x）（660﹣6x）
＝﹣6x2+60x+66000
＝﹣6（x﹣5）2+66150，
∵a＝﹣6，
∴当x＝5时，y有最大值66150，
即果园里增5棵苹果树，所结苹果的总数最多．
故答案为5．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意求出二次函数的表达式是解题的关键．
13．（2025秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m．
【答案】8
【分析】首先根据题意结合，由隧道横截面的最大高度为8m，得到b＝8，进而得到函数解析式；然后现令x=0，得到-x2+8=0，求得x的值，进而得到点A，B的坐标，由此即可求得AB的长．
【详解】解：∵隧道横截面的最大高度为8m，
∴b=8．
令x=0，
则-x2+8=0，
解得x=±4．
∴A（-4，0），B（4，0），
∴AB=8
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
14．（2025秋·八年级单元测试）一个边长是的正方形，当边长增加时，面积增加，则与之间的函数关系式为________.
【答案】
【分析】根据增加的面积=新正方形的面积-边长为5的正方形的面积，求出即可．
【详解】解：由题意得：
y=（x+5）2-52
=x2+10x．
故y与x之间的函数表达式为y=x2+10x．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．
15．（2025春·八年级课时练习）周长为的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为__________时，剩下的面积最大．
【答案】
【分析】设矩形的宽为xcm，表示出剩余部分的面积，利用二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设矩形的宽为xcm，长为，
则剩下的面积=，
∴当时，面积有最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的运用及二次函数的最值问题，解题关键是正确列出剩余部分的面积．
16．（2025秋·云南玉溪·九年级统考期末）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离是_______m．
【答案】9
【分析】铅球落地时，y=0，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】解：当y=0时，
解得：x1=-1（舍），x2=9，
∴他将铅球推出的距离是9m．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
三、解答题
17．（2025·安徽滁州·校考一模）在中，，， 现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
(1)当时，、两点之间的距离是多少？
(2)若的面积为，求关于的函数关系式．
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
（3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t．
【详解】（1）由题意得则
（1）当秒时，，，
由勾股定理得；
故、两点之间的距离是
（2）由题意得则
∴
由题意可知
∴关于的函数关系式为
（3）当时
即
解得
当时
即
解得
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
18．（2025秋·江苏无锡·九年级统考期中）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？
【答案】（1）60；（2）200．
【详解】试题分析：（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．
（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．
试题解析：（1）当每吨售价是240元时，
此时的月销售量为：45+×7．5=60；
（2）设当售价定为每吨x元时，
由题意，可列方程（x-100）（45+×7．5）=9000．
化简得x2-420x+44000=0．
解得x1=200，x2=220．
当售价定为每吨200元时，销量更大，
所以售价应定为每吨200元．
考点：一元二次方程的应用
19．（2025秋·四川眉山·九年级校考期末）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．
(1)求每天销售量的平均增长率．
(2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？
【答案】(1)
(2)将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元
【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题；
（2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题．
【详解】（1）每天销售量的平均增长率为，根据题意得：
解得：，(不合题意，舍去)
∴每天销售量的平均增长率为
（2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，
∴
∵
∴当时，
∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键．
20．（2025秋·浙江宁波·九年级校联考期中）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系，乙种水果的销售利润（千元）与进货量x（吨）之间的函数关系近似于二次函数，函数图象如图所示．
（1）求出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
【答案】（1），；（2），甲进货4吨，乙进货4吨时，最大利润6千元
【分析】（1）设，将点（1，2）代入解析式即可解决问题；
（2）销售利润之和W=甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．
【详解】（1）设，将（1，2）代入得，
∴，，
（2）由题意得， ，
∵＜0，
∴W有最大值，
∴当t=4（吨）时，W最大=6（千元），
答：甲进货4吨，乙进货4吨时，最大利润6千元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
21．（2025秋·河南安阳·九年级校联考期中）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中D、E、F分别在上．
(1)若设，则 ；（用含x的代数式表示）
(2)要使剪出的矩形的面积最大，点E应选在何处？
【答案】(1)
(2)当点E为的中点时，矩形的面积最大．
【分析】（1）在直角三角形中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出EF，再利用勾股定理表示出即可；
（2）利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出，进而利用勾股定理表示出，由表示出，根据与乘积列出S与x的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时x的值即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
根据勾股定理得∶；
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴BC＝，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积最大，
即当点E为的中点时，矩形的面积最大．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
22．（2025秋·辽宁大连·九年级校考期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是()．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【答案】小球运动秒时，最大高度是．
【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.
【详解】
当时，最大．
答：小球运动秒时，小球最高，最大高度是．
【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题.
23．（2025·江苏·九年级专题练习）某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【分析】（1）先根据PA的长为x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．
【详解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，
∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，
由题意，得：y=PA PB+PA PC+PB PC
=x 2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）
=x2+3x-x2+6x-2x2
=-2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；
（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值，最大值，
当y取得最大值时，需要总费用为：×（0.5×60+10）=405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．
24．（2025秋·全国·九年级阶段练习）一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
求出月销售量万件与销售单价元之间的函数关系式；
求出月销售利润万元与销售单价元之间的函数关系式；
若该月销售利润为480万元，求此时的月销售量和销售单价各是多少元？
【答案】（1）；（2）；（3）此时的销售单价是30元，月销售量是40万件或销售单价是38元，月销售量是24万件．
【分析】（1）根据“按定价40元出售，每月可销售20万件”及“经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件”可列出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）由月销售利润=（销售单价x-成本单价） 月销售量y（万件），列出函数关系式；
（3）根据月销售利润w=480，列出方程，求出销售单价x的值，即可得出答案．
【详解】由题意得：．
则y与x的函数关系式为；
根据题意得：，
则w与x的函数关系式为；
令，得，整理得，
解得，，当时，万件，当时，万件，
答：此时的销售单价是30元，月销售量是40万件或销售单价是38元，月销售量是24万件．
【点睛】考查一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式，掌握利润=（销售单价-成本单价） 月销售量是解题的关键.
25．（2025春·全国·九年级专题练习）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系式y=162-3x，求商场销售这种商品的日销售利润W（元）与每件商品的销售价x元之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】W=-3x+252x-4860（30≤x≤54）．
【分析】按等量关系“日销售利润=（销售价-进价）×日销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
【详解】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y件的销售利润为W=y×（x-30），
又∵y=162-3x，
∴W= (x-30)(162-3x)=-3x+252x-4860，
∵，解得30≤x≤54，
∴W=-3x+252x-4860（30≤x≤54）．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“日销售利润=（销售价-进价）×日销售量”列出函数关系式．
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