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专题09 根与系数的关系
新知预习
（一）根与系数关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（二）根与系数的关系常用变形式
（1）常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
新知训练
考点1：利用根与系数的关系求式子的值
典例1：（2025·新疆阿克苏·统考一模）若，为方程的两根，则的值为______．
【变式1】（2025春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【变式2】（2025春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）一元二次方程的两个根为， 则___________．
【变式3】（2025春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________．
考点2：利用根与系数关系解方程
典例2：（2025·山东济南·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______．
【变式1】（2025·湖南湘潭·校考模拟预测）已知关于x方程有一个根为，则方程的另一个根为 ___________．
【变式2】（2025秋·湖南永州·九年级统考期末）已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根_____．
【变式3】（2025秋·山东滨州·九年级统考期末）一元二次方程的一个根为，则的值为_____，另一根为______．
考点3：利用根与系数的关系求解变形式
典例3：（2025春·浙江·八年级专题练习）关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)上述方程的根，恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【变式1】（2025春·浙江·八年级专题练习）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)．
【变式2】（2025·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
【变式3】（2025秋·四川雅安·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b．
(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；
(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．
新知检测
一、单选题
1．（2025·湖北·九年级校联考阶段练习）设—元二次方程的两个实根为和，则下列结论正确的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2025春·八年级课时练习）已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·云南德宏·九年级统考期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4．（2025·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
5．（2025秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有两个正的实数根
6．（2025·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
7．（2025秋·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
8．（2025·湖南益阳·统考中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（2025秋·山西大同·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
10．（2025秋·湖北黄石·九年级统考期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B．-2 C．-3 D．2
11．（2025·内蒙古呼和浩特·统考三模）已知一组正整数2，，3，，3，2的众数是2，且，是一元二次方程的两个根，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
12．（2025秋·九年级课时练习）已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0
C．x1＋x2＝ D．x1x2＝
13．（2025秋·全国·九年级专题练习）设x1，x2是一元二次方程x2＋x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22＋20等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
14．（2025秋·江西新余·九年级新余市第一中学校考阶段练习）下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
15．（2025·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
二、填空题
16．（2025秋·广西贵港·九年级统考期中）若a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______．
17．（2025秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值 _____．
18．（2025秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_________．
19．（2025秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为_______________．
20．（2025秋·江西鹰潭·九年级校考期末）当_________时，关于的一元二次方程有两个实数根.
21．（2025·四川巴中·统考中考真题）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________．
22．（2025秋·四川成都·九年级统考期末）已知实数a，b是一元二次方程的两根，则的值为________．
23．（2025春·河北唐山·九年级统考阶段练习）若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．
24．（2025秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）设，，已知方程有两个不等的实根、；方程有两个根、，若，则的值为__________．
25．（2025·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
三、解答题
26．（2025秋·福建泉州·九年级统考期中）若关于y的方程的两个实数根互为相反数，求的值．
27．（2025秋·全国·九年级专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
若，试说明此方程有两个负根．
在的条件下，若，求的值．
28．（2025春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值．
29．（2025秋·四川自贡·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程有两根分别为，，且满足求的值？
30．（2025·全国·八年级假期作业）已知关于的方程．
（1）求证：无论取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根、满足，求实数的值．
31．（2025秋·江苏苏州·九年级期中）已知关于x的方程有两个实数根、．
求k的取值范围．
若，求k的值．
32．（2025春·安徽六安·八年级校考阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根.
(1)求.
(2)求此方程的另一个根.
33．（2025秋·湖北武汉·九年级校联考期中）是关于的一元二次方程的两个实数根，求代数式，的值．
34．（2025秋·天津·九年级校考期末）（ 1）解方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
35．（2025春·浙江·八年级专题练习）设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．
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专题09 根与系数的关系
新知预习
（一）根与系数关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（二）根与系数的关系常用变形式
（1）常见与两根有关的代数式变形
①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=;
③+=; ④=-4x1x2
新知训练
考点1：利用根与系数的关系求式子的值
典例1：（2025·新疆阿克苏·统考一模）若，为方程的两根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵，为方程的两根，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式1】（2025春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】4
【分析】根据方程的解满足方程及根与系数的关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握．
【变式2】（2025春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中）一元二次方程的两个根为， 则___________．
【答案】/
【分析】根据根与系数的关系求出和的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
【变式3】（2025春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________．
【答案】7
【分析】由，是方程的两个根知，，，代入到原式逐步计算可得．
【详解】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
考点2：利用根与系数关系解方程
典例2：（2025·山东济南·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______．
【答案】4
【分析】利用根与系数之间的关系来求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
关于x的一元二次方程的一个根是，
由根与系数之间的关系可得
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系．解题的关键是一元二次方程的两根如果为、，则有 ，．
【变式1】（2025·湖南湘潭·校考模拟预测）已知关于x方程有一个根为，则方程的另一个根为 ___________．
【答案】4
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
【变式2】（2025秋·湖南永州·九年级统考期末）已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【详解】解：∵已知关于的方程有一个根是，
所以由得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】（2025秋·山东滨州·九年级统考期末）一元二次方程的一个根为，则的值为_____，另一根为______．
【答案】 /0.5 /0.5
【分析】将代入方程即可求得k的值，然后利用根与系数的关系即可求出另一个跟从而得到答案．
【详解】解：解：设方程的另一个根为t，
∵一元二次方程的一个根为，
∴，
即
解得，
∴原方程为，
∴，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．
考点3：利用根与系数的关系求解变形式
典例3：（2025春·浙江·八年级专题练习）关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)上述方程的根，恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：．
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴，．
∵，即，
∴或．
∵，
∴，
∴这个三角形的周长．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出．
【变式1】（2025春·浙江·八年级专题练习）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)7
(6)5
(7)3
(8)7
【分析】根据的两根之和为，两根之积为，本题中的a为1，b为﹣3，c为1解答即可．
∵，是方程的两个实数根，
∴，．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时， ，．
【变式2】（2025·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。
（2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。
【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，
，
、、是的三条边，其中，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．
【变式3】（2025秋·四川雅安·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b．
(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；
(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．
【答案】(1)7；
(2)6．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，由菱形的面积等于两条对角线的长的一半建立关于m的方程求得答案即可；
（2）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，由建立关于m的方程求得答案即可．
【详解】（1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：，
a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，
，
，
解得：；
（2）a，b分别为矩形的两条对角线的长，
，即一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
即，
解方程得：，（不合题意，舍去）
m的值为6．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根得判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键．
新知检测
一、单选题
1．（2025·湖北·九年级校联考阶段练习）设—元二次方程的两个实根为和，则下列结论正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可得，.
故选D
点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数的关系，，然后确定一元二次方程的系数a、b、c的值代入求解即可.
2．（2025春·八年级课时练习）已知方程的两个根是、，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系：，，求解即可．
【详解】解：∵方程的两个根是、，
则，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．
3．（2025秋·云南德宏·九年级统考期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．（2025秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有两个正的实数根
【答案】C
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴两根异号，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2025·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
7．（2025秋·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．2 B．-1 C． D．-2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴
=-2．
故选D ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
8．（2025·湖南益阳·统考中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
9．（2025秋·山西大同·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式解题．
【详解】解：
所以此方程无解，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无解．
10．（2025秋·湖北黄石·九年级统考期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B．-2 C．-3 D．2
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x-2=0的一次项系数是1，二次项系数-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得
x1 x2=-2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
11．（2025·内蒙古呼和浩特·统考三模）已知一组正整数2，，3，，3，2的众数是2，且，是一元二次方程的两个根，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再结合，是正整数，及众数是2，得到或，按照中位数的概念求解即可．
【详解】解： ，是一元二次方程的两个根，
，
，是正整数，
，，，，，，
若一组正整数2，，3，，3，2的众数是2，
或，
将这组数据按照从小到大的顺序排列，
这组数据的中位数是第3位与第4位的平均值，即，
故选：B．
【点睛】本题考查中位数的求法，涉及到一元二次方程根与系数的关系、众数的概念与求法，掌握相关概念及求解方法是解决问题的关键．
12．（2025秋·九年级课时练习）已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0
C．x1＋x2＝ D．x1x2＝
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个实数根，
∴，故A正确，不符合题意；
这里a=2，b=-3，c=-5，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，，是解题的关键．
13．（2025秋·全国·九年级专题练习）设x1，x2是一元二次方程x2＋x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22＋20等于（ ）
A．1 B．5 C．11 D．13
【答案】A
【分析】利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．
【详解】解：∵，是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴+﹣3＝0，+﹣3＝0，
∴＝﹣+3，＝﹣+3，
∴＝（﹣+3）＝﹣x12+3＝﹣（﹣+3）+3＝4﹣3，
∴﹣4+20＝4﹣3﹣4（﹣+3）+20＝4（+）+5，
∵，是一元二次方程+x﹣3＝0的两根，
∴+＝﹣1，
∴﹣4+20＝4×（﹣1）+5＝1．
故选：A．
【点睛】考查根与系数的关系和代数式的化简．求出，的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如＝﹣+3，＝﹣+3．
14．（2025秋·江西新余·九年级新余市第一中学校考阶段练习）下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【分析】把b=a+c代入判别式中得到=（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到，根据根的定义可得，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得，即可对③进行判断．
【详解】解：a-b+c=0，则b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴，则，
∴，所以②正确；
∵方程有一个根是，
∴
∴
∴
所以③正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
15．（2025·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
二、填空题
16．（2025秋·广西贵港·九年级统考期中）若a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的意义和根与系数关系可得到，，将所求代数式变形代入求值即可．
【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，即，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的意义和根与系数关系，解答的关键是理解一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：设、是一元二次方程的两个根，则，．
17．（2025秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值 _____．
【答案】11
【分析】根据题意得，，即可得，将化为，进行计算即可得．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，解题的关键是掌握这些知识点，找出，．
18．（2025秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_________．
【答案】
【分析】设另一个根为α，则根据根与系数的关系得出，求出即可．
【详解】解：设另一个根为α，则，
解得：，
所以，另一个根为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）的解，分别为，，则有，．
19．（2025秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为_______________．
【答案】/0.5
【分析】先根据根与系数的关系得到，，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，．
20．（2025秋·江西鹰潭·九年级校考期末）当_________时，关于的一元二次方程有两个实数根.
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.
【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，当时，有两个实数根；当时，没有实数根.
21．（2025·四川巴中·统考中考真题）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________．
【答案】x2=-2
【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2=-2，解答出即可．
【详解】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1，
则1×x2= =-2，
解得x2=-2．
故答案为：x2=-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1 x2=．
22．（2025秋·四川成都·九年级统考期末）已知实数a，b是一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】18
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=4，ab=2，将多项式变形代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=4，ab=2，
∴
=
=
=18，
故答案为：18．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形计算，熟记根与系数的关系是解题的关键．
23．（2025春·河北唐山·九年级统考阶段练习）若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______．
【答案】5
【分析】先根据根与系数的关系得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得
故答案为：
【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，则
24．（2025秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）设，，已知方程有两个不等的实根、；方程有两个根、，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据韦达定理，将两个一元二次方程根与系数的关系分别表示出来，再利用进行求解即可．
【详解】解：根据韦达定理：在中，，
在中，有两个根、，
所以，
化简为，即
，即，
，
解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练应用韦达定理是解题的关键．
25．（2025·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
【答案】
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
三、解答题
26．（2025秋·福建泉州·九年级统考期中）若关于y的方程的两个实数根互为相反数，求的值．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，利用两根之和为0得到，然后求出m后利用乘方的意义计算的值．
【详解】解：设的两实数根为α，β，
则，
∵关于y方程有两个实数根互为相反数，
∴，
∴，
解得，
经检验，时，原方程有两个不等实数根，
∴．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两个根互为相反数，则”是解本题的关键．
27．（2025秋·全国·九年级专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
若，试说明此方程有两个负根．
在的条件下，若，求的值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1 x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1 x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数；
（3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可．
【详解】（1）根据题意得，
解得；
（2）∵，，
∴，，
∴，都为负数，即此方程有两个负根；
（3）∵，都为负数，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
28．（2025春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）0，
【分析】（1）△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+7＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数关系可得：（2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0.
【详解】（1）证明：△=（m-2）2-4×（m-3），
=m2-6m+16，
=（m-3）2+7＞0，
∴无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2=-（m-2），
2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，
∴x1=m+1+m-2=2m-1，
把x1代入方程有：
（2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0，
整理得：
6m2-m=0，
6m（m-）=0，
∴m 1=0，m 2=．
【点睛】一元二次方程有两个同号的实数根，即此方程的实数根有两个，并且这两个根符号相同，则判别式△>0．运用根与系数关系.
29．（2025秋·四川自贡·九年级校考期中）已知关于的一元二次方程有两根分别为，，且满足求的值？
【答案】k的值为1
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合根的判别式求解即可．
【详解】解：原方程化为
∵，
∵
∴
∴，
当时，，不符合题意，应舍去；
∴的值为1
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式（△=b2-4ac）与原方程的解的情况．（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
30．（2025·全国·八年级假期作业）已知关于的方程．
（1）求证：无论取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根、满足，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-4．
【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=4x2=-2（2-m）=2m-4，以及x1 x2=3x22=3-6m即可求得m的值．
【详解】解：（1）证明：∵关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0中，△=4（2-m）2-4（3-6m）=4（m+1）2≥0，
∴无论m取什么实数，方程总有实数根．
（2）如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=3x2，则x1+x2=4x2=-2（2-m）=2m-4
∴x2=-1 ①
∵x1 x2=3x22=3-6m，
∴x22=1-2m②，
把①代入②得m（m+4）=0，
即m=0，或m=-4．
答：实数m的值是0或-4
【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=-，x1x2=．
31．（2025秋·江苏苏州·九年级期中）已知关于x的方程有两个实数根、．
求k的取值范围．
若，求k的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】由方程有两个实数根，根据判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
由根与系数的关系可用k表示出和的值，代入已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
【详解】方程有两个实数根，，即，解得：；
方程两个实数根为、
，解得：或
．
【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
32．（2025春·安徽六安·八年级校考阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根.
(1)求.
(2)求此方程的另一个根.
【答案】(1)0或8
(2)
【分析】（1）把代入一元二次方程得出关于c的方程，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系，求出方程的另外一个根即可．
【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
即，
解得：，．
（2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
∵方程的一个根为，
∴此方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程的两个根分别为，，则，．
33．（2025秋·湖北武汉·九年级校联考期中）是关于的一元二次方程的两个实数根，求代数式，的值．
【答案】；
【分析】先由根与系数的关系得出a+b=6，ab=-15，再将所求式子变形后整体代入计算可得．
【详解】∵是关于的一元二次方程的两个实数根
∴，
∴
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
34．（2025秋·天津·九年级校考期末）（ 1）解方程：；
（2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）运用配方法解方程即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到再把变形为，然后整体代入代数式计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
∴
（2）∵，是一元二次方程的两根，
∴
又，
∴
∴
解得，
又
∴
∴
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．
35．（2025春·浙江·八年级专题练习）设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）5；3；（2）；（3）35；（4）410
【分析】（1）根据韦达定理得出α+β=5，αβ=3．
（2）将变形为，再代入数值计算即可；
（3）根据一元二次方程的解的定义得出α2-5α+3=0，即α2=5α-3，则2α2-3αβ+10β变形为10（α+β）-3αβ-6，再代入数值计算即可．
（4）根据已知得到α+β=5，，，再代入中逐步变形，即可计算．
【详解】解：（1）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴α+β=5，αβ=3．
故答案为：5；3；
（2）
=
=；
（3）∵α方程x2-5x+3=0的根，
∴α2-5α+3=0，即α2=5α-3，
∴2α2-3αβ+10β=10α-6-3αβ+10β=10（α+β）-3αβ-6=10×5-3×3-6=35．
（4）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴，α+β=5，
∴，，
∴
=
=
=
=
=410
【点睛】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．
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