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专题10 实际问题与一元二次方程
新知预习
（一）一元二次方程的实际应用
（1）解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用的类型
（1）传播问题（2）增长率问题（3）几何面积问题（4）销售利润问题（5）单双循环问题
新知训练
考点1：传播问题
典例1：（2025·广东汕头·校联考一模）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】15人
【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x人，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感．
(1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？
(2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？
【答案】(1)8人
(2)729人
【分析】（1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感列出方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人会传染x个人，
依题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会传染了8个人．
（2）解：第三轮的患病人数为：（人）．
答：三轮感染后，共有729人患流感．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列式计算等知识点，读懂题意、设出合适的未知数、找出等量关系，列方程求解是解答本题的关键．
【变式2】（2025秋·广东汕头·九年级统考期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？
【答案】9
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是91，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得 ，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（2025春·全国·八年级专题练习）有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？
【答案】每轮转发中平均一个人转发给11人
【分析】设每轮转发中平均一个人转发给x人，根据题意可得出第一轮转发共有人收到短信，则第二轮转发共有人收到短信，由此可列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】解：设每轮转发中平均一个人转发给x人，
由题意得：，
解得：（舍），
∴每轮转发中平均一个人转发给11人．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
考点2：单双循环问题
典例2：（2025春·全国·八年级专题练习）无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？
【答案】参加这次数学交流会的学生有人
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设参加此会的学生为名，则每个学生都要握手次，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：参加这次数学交流会的学生有人．
【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
【变式1】（2025春·全国·八年级专题练习）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
【答案】8
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场”列方程并求解即可．
【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，
由题意得，，
整理得，，
解得，，（不合题意，舍去），
答：比赛组织者应邀请8个队参加比赛．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【变式2】（2025春·八年级课时练习）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
(2)
(3)8
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场；
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：
场；
（2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：；
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（2025·福建厦门·厦门五缘实验学校校考模拟预测）在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
【答案】10人
【详解】试题分析：设共有x名同学参加了聚会，根据“每两名同学之间都互送了一件礼物，共送了90件礼物”即可列方程求解.
解：设共有x名同学参加了聚会，由题意得
x(x-1)=90
解得x1=-9，x2=10
经检验x=-9不符合实际意义，舍去
∴x=10
答: 共有10人参加了聚会.
考点：一元二次方程的应用
点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意舍去不符合题意的解.
考点3：增长率问题
典例3：（2025·广东佛山·统考模拟预测）富强村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．
(1)求富强村人均收入的年平均增长率；
(2)如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．
【答案】(1)富强村人均收入的年平均增长率为
(2)估计今年富强村的人均收入为万元
【分析】（1）设富强村人均收入的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）根据（1）的结果，列出算式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：设富强村人均收入的年平均增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）或，
答：富强村人均收入的年平均增长率为；
（2）解：依题意，万元
答：估计今年富强村的人均收入为万元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式1】（2025·安徽蚌埠·校考二模）某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了．
(1)设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：
月份 1 2 3
游客人数/万人 a
(2)求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；
（2）设该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵2月份的游客人数比1月份增加，1月份的游客人数为
∴2月份的游客人数为，
∵3月份的游客人数比2月份减少了，
∴3月份的游客人数为
故答案为：．
填表如下：
月份 1 2 3
游客人数/万人 a
（2）解：该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）或，
答：该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率为．
【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出代数式与方程是解题的关键．
【变式2】（2025秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【答案】(1)10%
(2)5件
【分析】（1）设该商品每次降价的百分率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出件，根据题意列出关于a的一元一次不等式，求出a的解集，再确定最小值即可求解．
【详解】（1）解：设该商品每次降价的百分率为x，
，
解得，（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%．
（2）解：设第一次降价售出a件，则第二次降价售出件，
由题意可得，，
解得，
∴a的最小值是5，
答：第一次降价至少售出5件后，方可进行第二次降价．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，明确题意，找出等量关系是解题的关键．
【变式3】（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【答案】(1)
(2)能，第四阶段水稻亩产量为公斤．
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据等量关系：第三阶段水稻亩产量第一阶段水稻亩产量（1+增长率），即可得出方程，进行解答．
（2）利用求出的增长率，计算第四阶段水稻亩产量，进行对比即可解答．
【详解】（1）解：设水稻亩产量的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（舍去），，
水稻亩产量的平均增长率为．
答：水稻亩产量的平均增长率为．
（2）解：（公斤），
，
他们的目标能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程关于增长率的应用，找准等量关系是解题的关键．
考点4：几何面积问题
典例4：（2025秋·新疆·九年级校考期中）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？
【答案】道路宽应为2米
【分析】设道路宽为x米，由平移的性质可得草坪部分可合成长米，宽米的矩形，由此利用矩形面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设道路宽为x米，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵，
∴，
∴．
答：道路宽应为2米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【变式1】（2025·福建南平·统考一模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)矩形的面积不能为，理由见详解
【分析】（1）根据题中条件即可求出的长；
（2）先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案．
【详解】（1）解：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），
米，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴矩形的面积不能为．
【点睛】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．
【变式2】（2025秋·福建泉州·九年级统考期末）利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成矩形花圃，已知篱笆、两边中，，所用篱笆总长为，若篱笆围成的矩形的面积为，求边的长．
【答案】
【分析】设，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案．
【详解】解：设，依题意，得，
即，
解得，．
∵，
即，
解得，
∴不合舍去，则．
答：边长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式3】（2025春·浙江丽水·八年级青田县第二中学校联考阶段练习）如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
(1)若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
(2)问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】(1)长方形鸡舍的长为，宽为
(2)，解有两个；，解有一个；无解
【分析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合；
（2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解．
【详解】（1）解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
（2）解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程．
考点5：销售利润问题
典例5：（2025秋·山东济南·九年级校联考期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)每件降价20元
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式1】（2025·全国·九年级专题练习）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得：，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
（2）解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得：，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
【变式2】（2025·贵州毕节·统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
【变式3】（2025秋·全国·九年级专题练习）水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；
(2)每千克应涨价5元；
(3)每千克应涨价15元或元
【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；
（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．
（1）
解：设每千克盈利x元，可售y千克，
设y=kx+b，
则当x＝10时，y＝600，
当x＝11时，y＝600﹣20＝580，
由题意得，，
解得．
所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，
当x＝17时，y＝460，
则每天的毛利润为17×460＝7820元；
（2）
解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，
由题意得x（﹣20x+800）＝7500，
解得：x1＝25，x2＝15，
∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，
∴每千克应涨价15﹣10＝5元；
（3）
解：设每千克盈利x元，
由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，
解得：x1＝25，x2，
则每千克应涨价25﹣10＝15元或10元．
【点睛】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．
新知检测
1．（2025秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
2．（2025秋·河北廊坊·九年级校考期末）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据两天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．
【详解】解：依题意得1+x+x（1+x）=64，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．（2025·江苏·九年级专题练习）城市书房是扬州市从2015起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据增长率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，18(1+x)2=36，
故答案选择B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程——增长率问题在实际生活中的应用，难度不大，认真审题理清题目意思是解决本题的关键．
4．（2025秋·山东临沂·九年级校考期中）山西省某口罩厂六月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，八月份的产量提高到144万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均增长率为（ ）
A．12% B．14.4% C．20% D．40%
【答案】C
【分析】根据增长率问题可直接进行列方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
5．（2025秋·广东揭阳·九年级统考期末）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】第一天为3，根据增长率为x，得出第二天为3(1+x)，第三天为3(1+x)2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：
3+3(1+x)+3(1+x)2=10
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2025·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
7．（2025秋·广东梅州·九年级统考期中）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程即可．
【详解】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
8．（2025秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）河北省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”，现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩，设每年平均增长率为x，则列方程为（ ）
A．20（1+x）×2=24.2 B．20（1+x）2=24.2×2
C．20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
【答案】D
【分析】根据题意得到一年后绿化面积为20（1+x），则两年后为20（1+x）2，然后列出方程即可.
【详解】解：根据题意可得一年后绿化面积为20（1+x），
两年后为20（1+x）2，
则方程为20（1+x）2=24.2.
故选D.
【点睛】本题考查列一元二次方程，理解题意找到题中相等的量是解此题的关键.
9．（2025·安徽阜阳·校考一模）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2025秋·四川广元·九年级统考期末）独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )
A．2620(1﹣x)2＝3850 B．2620(1+x)＝3850
C．2620(1+2x)＝3850 D．2620(1+x)2＝3850
【答案】D
【详解】试题解析：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，
那么根据题意得2016年人均纯收入为：，
列出方程为：
故选：D.
11．（2025秋·湖北黄冈·九年级校联考期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个……，若前n行的点数之和为55，则n的值为（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】先根据图形得到前n行的点数之和为，再由三角点阵前n行的点数之和是55，即可得出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值．
【详解】由图可知前2行的点数之和为；
前3行的点数之和为；
前4行的点数之和为；
……，
前n行的点数之和为；
当时，
解得（舍去），
故选B．
【点睛】本题考查图形的变化，解题的关键是正确理解题意列出方程，本题属于基础题型．
12．（2025春·全国·八年级专题练习）某水果园2019年水果产量为50吨，2021年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】2021年的产量=2019年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：2020年的产量为50（1+x），
2021年的产量为50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2=75．
故选：C．
【点睛】考查列一元二次方程；得到2021年产量的等量关系是解决本题的关键．
13．（2025秋·山东德州·九年级统考期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2=8 B．2（1﹣x）2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D．2（1+x）+2（1+x）2=8
【答案】D
【分析】分别得出今年和明年的投资额，根据今明两年的投资总额为8万元列方程即可得答案.
【详解】∵去年实验器材的投资为2万元，这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，
∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2(1+x)2；
∵预计今明两年的投资总额为8万元，
∴2(1+x)+2(1+x)2=8．
故选:D.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到相关量的等量关系是解题关键.
14．（2025秋·九年级课时练习）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15．（2025秋·九年级课时练习）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】B
【分析】设年平均增长率为，根据该款APP在2019年底及2021年底的用户数，可列出关于的一元二次方程，解之可得及的值，将其代入与中，可求得2022年级2023年底的用户数，将其与10000万比较即可求解．
【详解】解：设年平均增长率为，
依题意得，，
∴，
∴或（不合题意舍去），
∴（万），（万），
∵7200万＜10000万＜10417万，
∴该款APP用户在2023年首次突破一亿．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
16．（2025春·八年级课时练习）某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．
【答案】
【分析】根据题意可求出第三年的可变成本为(7.146-4)万元，再用x表示出第三年的可变成本，即可列出等式，即得出答案．
【详解】设可变成本平均每年增长的百分率为x，
则可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
17．（2025秋·上海浦东新·八年级统考期中）2022年3月，某单位发放防疫物品总计5万元，5月发放防疫物资增加到9万元，设每月发放金额平均增长率为x，则根据题意可列出方程 _____．
【答案】
【分析】利用该单位5月发放防疫物资金额该单位3月发放防疫物资金额每月发放金额平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2025春·浙江嘉兴·八年级校考期中）制造某种产品，原来每件的成本是200元，由于连续两次降低成本，现在的成本是128元，则平均每次降低成本的百分率为____________．
【答案】20%
【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为200（1-x）元，再经过一次下降后成本变为200（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是128元列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设平均每次降低成本的百分率为x，则
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴平均每次降低成本的百分率为20%；
故答案为：20%
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x后就变为原来的（1±x）倍，调整2次就是（1±x）2倍．
19．（2025秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有121人参与了传播活动，则n=____．
【答案】10
【详解】解：根据n个好友转发n个人，共经过两轮转发，即可列方程求解.
由题意得
解得或（舍去）.
【点睛】解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，再求解，最后要注意解的取舍.
20．（2025春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，计划在2019年投入资金2880万元．设年平均增长率为，根据题意可列出方程为_______________．
【答案】
【分析】根据：2017年投入的资金×(1+增长率)2=2019年投入的资金，列出方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为，则根据题意可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据已知条件，找出等量关系，列出方程．
21．（2025·新疆乌鲁木齐·校考三模）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打__________折．
【答案】九
【分析】根据题意列出一元二次方程并解方程即可；
【详解】解：设这件商品每次打x折，
依题意得：100×（）2＝81，
解得：x1＝9，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
即这件商品每次打九折销售．
故答案为：九．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
22．（2025秋·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
【答案】
【分析】先用x表示出长，再利用长方形面积公式列方程即可得答案．
【详解】设长方形的宽是米，
∵长是宽的2倍多6米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
【点睛】本题考查实际问题与一元二次方程，正确表示出长方形的长是解题关键．
23．（2025·山西·校联考模拟预测）近年来，某扶贫工作队对果农进行了精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果，水果产量逐年提高，去年的亩产量为1000千克，预计明年的亩产量为1210千克，设这种水果去年到明年平均每年的增长率为，根据题意可列方程为________．
【答案】
【分析】根据明年的亩产量＝去年的亩产量×（1+平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2025秋·七年级单元测试）若某件商品的原价为 a 元，提价 10%后，欲恢复原价，应降价_________．
【答案】
【分析】提价10%后的价格为：（1+10%）a=1.1a，欲恢复原价是在1.1a的基础上降价．等量关系为：1.1a×（1-降价百分比）=原价．
【详解】设应降价x．
则：（1+10%）a （1-x）=a，
解得：x=．
故答案是：．
【点睛】考查一元一次方程的应用，百分率问题等知识，解题的关键是学会构建一元一次方程，搞清楚售价、原价之间的关系.
25．（2025秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为___________．
【答案】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解
【详解】如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键
三、解答题
26．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第二实验中学校考期末）某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率
【答案】每次下降的百分率为20%
【分析】设每次下降的百分率为a，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：
50（1－a）2＝32
解得：a＝1.8（舍去）或a＝0.2＝20%，
答：每次下降的百分率为20%，
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
27．（2025秋·全国·九年级专题练习）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题．
（2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40
答：销售单价应定为30元或40元．
（2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
28．（2025秋·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
【答案】（1）x2－20x＋64＝0；（2）y －y－90＝0
【分析】（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为，然后根据矩形的面积公式列出方程，最后化为一般形式即可；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送张，然后根据一共赠送了90张列出方程，最后化为一般式即可．
【详解】解：（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为，
由题意得，
；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送张，
由题意得
化成一般形式为．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程和一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系列出方程．
29．（2025秋·江苏泰州·九年级校联考期中）为了保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2021年6月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商4至6月份统计，某品牌头盔4月份销售175个，6月份销售343个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为35元/个，测算在新市场中，当售价为45元/个时，求5月份的销售利润．
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为40%；（2）5月份的销售利润是2450元．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量进行计算即可．
【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：175（1+x）2＝343，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为40%；
（2）依题意知，5月份的销售量为：175×（1+40%）＝245（个）．
所以，（45﹣35）×245＝2450（元）．
答：5月份的销售利润是2450元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2025春·全国·八年级专题练习）无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？
【答案】参加这次数学交流会的学生有人
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设参加此会的学生为名，则每个学生都要握手次，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：参加这次数学交流会的学生有人．
【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
31．（2025春·浙江·八年级期中）为向“建党100周年”献礼，某个体经销商以每件30元的价格购进400件印有“建党100周年”的文化恤，第一个星以单价60元销售，售出了100件；第二个星期如果单价不变，预计仍可售出100件，该个体经销商为尽可能增加第二个星期的销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出5件，第二个星期结束后，该个体经销将对剩余的文化恤进行一次性清仓销售，清仓时销售单价为20元．设第二个星期销售单价降低元．
时间 第一个星期 第二个星期 清仓
售价（元件） 60 20
销售量（件） 100
（1）填表（用含的代数式表示）
（2）该个体经销商希望通过销售这批文化恤共获利4420元，那么第二个星期的单价应是多少元？
（3）在整个销售过程中，该个体经销商获得的总利润最多为_______元（直接写出答案）．
【答案】（1）60-x，100+5x，200-5x；（2）60-x，100+5x，200-5x；（3）4500
【分析】（1）根据单价每降低1元，可多售出5件，则当单价降低x元时，可多售5x件，此时单价为（60-x）元，则最后清仓销售的数量为（400-100-100-5x）；
（2）根据（1）中求解的数据，列出方程求解即可得到答案；
（3）设利润为W，根据（2）中求解的数据，列出关于利润W的函数关系式，然后求解即可.
【详解】解：（1）根据单价每降低1元，可多售出5件，则当单价降低x元时，可多售5x件，则第二星期可售（100+5x）件，此时单价为（60-x）元，则最后清仓销售的数量为（400-100-100-5x），
故答案为：60-x，100+5x，200-5x；
（2）第一星期获利=（60-30）×100=3000元
第二星期获利=（60-x-30）（100+5x）=（30-x）（100+5x）元
第三星期获利=（20-30）（200-5x）=-50（40-x）
∴3000+（30-x）（100+5x）-50（40-x）=4420
∴
解得：或
∵为了尽可能增加销量
∴
∴此时第二星期的单价=60-14=46元
答：第二星期的单价为46元；
（3）设利润为W
由（2）得：
∴
∴当时，W有最大值4500
∴总利润最多为4500元.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
32．（2025春·全国·八年级专题练习）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x,根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得，
解得（舍去）．
答：平均增长率为；
（2）设售价应降低m元，则每天的销量为个．
根据题意可得，
解得．
∵让游客尽可能得到优惠 ,
∴（舍去），
答：售价应降低元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
33．（2025春·全国·八年级专题练习）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率是
(2)①每个应降价3元；②每个应降价2元，利润有最大值，最大利润为360元
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）①设下调 元，则售价为元，销售量为个，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；
②设下调 元后，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是；
（2）①假设下调元，依题意得：
．
整理得：
解得或．
∵，故舍去，
答：每个应降价3元．
②设下调元后，利润为W元，则：
W=
，
∵，
∴当时，利润有最大值，最大利润为360元
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
34．（2025秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）如图，有长为12的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x，面积为S．
(1)要围成面积为9的花圃，的长是多少米？
(2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【答案】(1)3米
(2)米
【分析】（1）根据为x，就为，利用长方体的面积公式，可求出关系式．将代入解析式，可求出x即的长．
（2）根据题意求得的范围，根据（1）的结论，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意，，则就为 ，
∴，
即．
当时，，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴要围成面积为9的花圃，的长是3米；
（2）由题意，可知，
∴，
∵，
∵，抛物线开口向下，且对称轴为直线，
∴在范围内，y随着x的增大而减小，
∴当的长是米时，围成的花圃的面积最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
35．（2025春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
【答案】(1)①②长为米，宽为米
(2)或
【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
②根据题意，得，
又∵，
，
原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
（米），
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
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专题10 实际问题与一元二次方程
新知预习
（一）一元二次方程的实际应用
（1）解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用的类型
（1）传播问题（2）增长率问题（3）几何面积问题（4）销售利润问题（5）单双循环问题
新知训练
考点1：传播问题
典例1：（2025·广东汕头·校联考一模）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【变式1】（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感．
(1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？
(2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？
【变式2】（2025秋·广东汕头·九年级统考期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？
【变式3】（2025春·全国·八年级专题练习）有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？
考点2：单双循环问题
典例2：（2025春·全国·八年级专题练习）无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？
【变式1】（2025春·全国·八年级专题练习）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
【变式2】（2025春·八年级课时练习）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【变式3】（2025·福建厦门·厦门五缘实验学校校考模拟预测）在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
考点3：增长率问题
典例3：（2025·广东佛山·统考模拟预测）富强村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．
(1)求富强村人均收入的年平均增长率；
(2)如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．
【变式1】（2025·安徽蚌埠·校考二模）某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了．
(1)设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：
月份 1 2 3
游客人数/万人 a
(2)求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．
【变式2】（2025秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【变式3】（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
考点4：几何面积问题
典例4：（2025秋·新疆·九年级校考期中）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？
【变式1】（2025·福建南平·统考一模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【变式2】（2025秋·福建泉州·九年级统考期末）利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用篱笆围成矩形花圃，已知篱笆、两边中，，所用篱笆总长为，若篱笆围成的矩形的面积为，求边的长．
【变式3】（2025春·浙江丽水·八年级青田县第二中学校联考阶段练习）如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
(1)若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
(2)问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
考点5：销售利润问题
典例5：（2025秋·山东济南·九年级校联考期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【变式1】（2025·全国·九年级专题练习）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【变式2】（2025·贵州毕节·统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【变式3】（2025秋·全国·九年级专题练习）水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
新知检测
1．（2025秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025秋·河北廊坊·九年级校考期末）新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后64人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025·江苏·九年级专题练习）城市书房是扬州市从2015起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋·山东临沂·九年级校考期中）山西省某口罩厂六月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，八月份的产量提高到144万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均增长率为（ ）
A．12% B．14.4% C．20% D．40%
5．（2025秋·广东揭阳·九年级统考期末）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025秋·广东梅州·九年级统考期中）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）河北省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”，现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩，设每年平均增长率为x，则列方程为（ ）
A．20（1+x）×2=24.2 B．20（1+x）2=24.2×2
C．20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
9．（2025·安徽阜阳·校考一模）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025秋·四川广元·九年级统考期末）独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )
A．2620(1﹣x)2＝3850 B．2620(1+x)＝3850
C．2620(1+2x)＝3850 D．2620(1+x)2＝3850
11．（2025秋·湖北黄冈·九年级校联考期中）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个……，若前n行的点数之和为55，则n的值为（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12
12．（2025春·全国·八年级专题练习）某水果园2019年水果产量为50吨，2021年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025秋·山东德州·九年级统考期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2=8 B．2（1﹣x）2=8
C．2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D．2（1+x）+2（1+x）2=8
14．（2025秋·九年级课时练习）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025秋·九年级课时练习）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
二、填空题
16．（2025春·八年级课时练习）某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．
17．（2025秋·上海浦东新·八年级统考期中）2025年3月，某单位发放防疫物品总计5万元，5月发放防疫物资增加到9万元，设每月发放金额平均增长率为x，则根据题意可列出方程 _____．
18．（2025春·浙江嘉兴·八年级校考期中）制造某种产品，原来每件的成本是200元，由于连续两次降低成本，现在的成本是128元，则平均每次降低成本的百分率为____________．
19．（2025秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有121人参与了传播活动，则n=____．
20．（2025春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，计划在2019年投入资金2880万元．设年平均增长率为，根据题意可列出方程为_______________．
21．（2025·新疆乌鲁木齐·校考三模）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打__________折．
22．（2025秋·七年级课时练习）长方形场地的面积是80平方米，它的长是宽的2倍多6米，若设长方形的宽是米，那么可以列出方程为_______．
23．（2025·山西·校联考模拟预测）近年来，某扶贫工作队对果农进行了精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果，水果产量逐年提高，去年的亩产量为1000千克，预计明年的亩产量为1210千克，设这种水果去年到明年平均每年的增长率为，根据题意可列方程为________．
24．（2025秋·七年级单元测试）若某件商品的原价为 a 元，提价 10%后，欲恢复原价，应降价_________．
25．（2025秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为___________．
三、解答题
26．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第二实验中学校考期末）某商场经销种高档水果 ，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同求每次下降的百分率
27．（2025秋·全国·九年级专题练习）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
28．（2025秋·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
29．（2025秋·江苏泰州·九年级校联考期中）为了保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2021年6月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商4至6月份统计，某品牌头盔4月份销售175个，6月份销售343个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为35元/个，测算在新市场中，当售价为45元/个时，求5月份的销售利润．
30．（2025春·全国·八年级专题练习）无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？
31．（2025春·浙江·八年级期中）为向“建党100周年”献礼，某个体经销商以每件30元的价格购进400件印有“建党100周年”的文化恤，第一个星以单价60元销售，售出了100件；第二个星期如果单价不变，预计仍可售出100件，该个体经销商为尽可能增加第二个星期的销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出5件，第二个星期结束后，该个体经销将对剩余的文化恤进行一次性清仓销售，清仓时销售单价为20元．设第二个星期销售单价降低元．
时间 第一个星期 第二个星期 清仓
售价（元件） 60 20
销售量（件） 100
（1）填表（用含的代数式表示）
（2）该个体经销商希望通过销售这批文化恤共获利4420元，那么第二个星期的单价应是多少元？
（3）在整个销售过程中，该个体经销商获得的总利润最多为_______元（直接写出答案）．
32．（2025春·全国·八年级专题练习）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
33．（2025春·全国·八年级专题练习）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
34．（2025秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）如图，有长为12的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x，面积为S．
(1)要围成面积为9的花圃，的长是多少米？
(2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
35．（2025春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
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