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专题11 二次函数与y=ax 的图像性质
新知预习
（一）二次函数的概念
（1）概念：一般地，形如（a,b,c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而b,c可以为零．
（二）二次函数的一般形式
（1）二次函数一般形式：y=ax +bx+c（a≠0）
①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
②a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
（三）函数图像的画法
(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点两侧对称取点;
(2)描点:先把y轴右侧的点描出来,然后根据对称性描出左侧的点;
(3)连线:按照从左到右的顺序,用平滑的曲线连接
（四）二次函数y=ax 的的图像与性质
新知训练
考点1：列二次函数关系式
典例1：（2025秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为________．（结果保留）
【答案】
【分析】根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键．
【变式1】（2025春·九年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．
【答案】
【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．
【详解】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式．
【变式2】（2025秋·九年级校考课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米，则S与x 的函数关系式为________________．
【答案】
【分析】广告牌的一边长是x米，根据周长再用x表示出另一边，矩形广告牌的面积等于长宽．
【详解】解：另一边长为米，．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是找到题目中的等量关系，并用x表示变量来列式．
【变式3】（2025春·九年级课时练习）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．
【答案】
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
考点2：二次函数的辨别
典例2：（2025春·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：①为一次函数；
②为二次函数；
③自变量次数为3，不是二次函数；
④为二次函数；
⑤ 函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．
【变式1】（2025春·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax +bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．
【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③是二次函数，故③是二次函数；
④，时，该式不是二次函数；
⑤，该式不是二次函数；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．
【变式2】（2025秋·山东德州·九年级校考阶段练习）关于的二次函数，当时，它是______函数；当时，它是______函数.
【答案】 二次 一次
【分析】将和代入到中即可.当时，，是二次函数；当时，，是一次函数.
【详解】当时，，是二次函数；当时，，是一次函数.
故答案为二次 一次
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的定义，掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键.
【变式3】（2025春·九年级课时练习）下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号）
【答案】②⑤⑥
【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．
故答案是：②，⑤，⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．
考点3：根据二次函数的定义求字母
典例3：（2025·四川南充·统考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于______ ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
【变式1】（2025春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 _____．
【答案】
【分析】把代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：把代入函数解析式，得
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．
【答案】二
【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断．
【详解】∵函数是关于 的二次函数，
∴且，
解得：，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．
【变式3】（2025秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据题意，得，求解即可．
【详解】因为函数是二次函数，
所以，
解得．
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次数为2是解题的关键．
考点4：画函数图像
典例4：（2025秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
【变式1】（2025春·全国·九年级专题练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小；
当时，，即当时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【变式2】（2025秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当时，，
当x＝4时，，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，
∴当时，；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键
【变式3】（2025秋·九年级课时练习）在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 向下 y轴 ；（2）x；（3）≠ > 低 > 高．
【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像；
（1）根据所画的与图像可得答案；
（2）根据所画的与图像可得答案；
（3）根据所画的与图像可得答案；
【详解】列表如下：
x … 0 1 …
… 4 0 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数与的图像可得：
抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；
故答案为：向上 y轴 向下 y轴
（2）由图像可得：
抛物线与抛物线的图象关于轴对称；
故答案为：x．
（3）由图像可得：
抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
考点5：二次函数y=ax 的图形与性质
典例5：（2025春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为______．
【答案】
【分析】可设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，将代入抛物线，即可求出B点坐标，再根据正方形对角线相等的性质，可得，根据B点的坐标求出，即可解题．
【详解】解：如图，连接，,
四边形是正方形，
，
设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，
将代入抛物线，
得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，正方形的性质，求出点B是解题的关键．
【变式1】（2025秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由当时，y随x的增大而减小，可知：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2025秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________．
1
【答案】
3
【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．
【详解】和对称轴都为轴，
可将表格中的数表示为坐标
两点纵坐标相等，且
横坐标关于轴对称
故答案为：；3
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．
【变式3】（2025秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考阶段练习）二次函数．当时．与的大小关系为___________．
【答案】/
【分析】由解析式可知对称轴为，开口向上，再根据，在对称轴的位置判断，的大小．
【详解】解：∵中，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴在y轴右侧，y随x 的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
新知检测
1．（2025秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞0 C．x＞﹣2 D．x＜0
【答案】D
【详解】解：∵y=x2-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．
2．（2025秋·河北石家庄·九年级校考期末）自由落体公式（为常量），与之间的关系是( )
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：形如（为常数，）的函数叫做二次函数，即可得出答案．
【详解】解：∵在（为常量）中，最高次是次，
∴与之间的关系是二次函数．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数，解本题的关键在熟练掌握二次函数的定义．
3．（2025秋·广东韶关·九年级校考阶段练习）将抛物线的图象绕原点旋转，则旋转后的抛物线的函数关系式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据顶点坐标绕原点旋转后,由（0,1）变为（0,-1）即可解题.
【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0,1）,
将图像绕原点180°后,顶点坐标变为（0,-1）,排除A和D选项,
图像由开口向上变为开口向下,排除C,
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图形的变换,属于简单题,中心对称是解题关键.
4．（2025秋·浙江金华·九年级校考期中）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，就是二次函数，依据定义即可判断．
【详解】A、是二次函数，故正确；
B、是一次函数，故错误；
C、是反比例函数，故错误；
D、不是二次函数，故错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，是一个基础题目．
5．（2025秋·浙江杭州·九年级统考期末）若二次函数的图象经过点P（2，8），则该图象必经过点
A．（2，-8） B．（-2，8） C．（8，-2） D．（-8，2）
【答案】B
【详解】试题分析：∵二次函数的图象经过点P（2，8），∴.
∴二次函数解析式为.∴该图象必经过点（-2，8）.
故选B.
考点：曲线上点的坐标与方程的关系.
6．（2025秋·湖北十堰·九年级统考阶段练习）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．= B．y＝ C．y=k D．y=k2x
【答案】A
【详解】试题分析：A、一定是二次函数；
B、自变量x在分母上，不是二次函数；
C、当k＝0时不是二次函数；
D、当k≠0时是正比例函数，当k＝0时是常函数．
故选A．
点睛：本题考查二次函数的定义，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）是二次函数．
7．（2025春·九年级课时练习）若是二次函数，且开口向下，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m的关系式，求m即可．
【详解】解：∵是二次函数，且开口向下，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键．
8．（2025秋·四川绵阳·九年级统考期末）下列关于的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义分析判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、一定是二次函数，故本选项正确；
C、，当a＝0时，是一次函数，故本选项错误；
D、是三次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，且a≠0）的函数是x的二次函数，牢记此定义是解题的关键．
9．（2025秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，若四边形AOBC为正方形，则顶点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【答案】C
【分析】根据题意和正方形的性质可以得到点C所在的位置和点C的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：∵点A是抛物线y=x2在第一象限上的一点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，四边形AOBC为正方形，
∴点B和点A关于y轴对称，点C在y轴上，
设点A的坐标为（a，a2），
则a=a2（a＞0），
解得，a=1，
∴点C的坐标为（0，2），
故选C．
【点睛】考查二次函数的图象与性质，正方形的性质，设点A的坐标为（a，a2）是解题的关键.
10．（2025秋·福建南平·九年级统考期中）设A（－1，）、B（1，）、C（3，）是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（ ）
A．<< B．<< C．<< D．<<
【答案】C
【分析】先确定x＞时，是减函数，再找出A（﹣1，y1）对应A′的坐标，即可判定y1、y2、y3的大小关系．
【详解】∵此函数的对称轴为x=，且开口向下，∴x＞时，是减函数．
∵A（﹣1，y1）对应A′（2，y1），∴y3＜y1＜y2．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定函数的增减性质及A′的坐标．
11．（2025秋·九年级课时练习）函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是( )
A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0
C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0
【答案】D
【详解】试题解析：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选D．
12．（2025春·九年级课时练习）与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y=﹣x2 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2+1
【答案】D
【分析】与抛物线y=-x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数．
【详解】与抛物线y=-x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数．
即y=x2+1，
故选D．
【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．
13．（2025秋·江苏苏州·九年级校联考期末）关于二次函数，下列说法中正确的是( )
A．它的开口方向是向上 B．当时，随的增大而增大
C．它的顶点坐标是(－2, 1) D．当时，有最大值是
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，a＝﹣2，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B正确，
它的顶点坐标为（0，1），故选项C错误，
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．（2025春·九年级课时练习）如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即时；②当P点在AB上时，即时，求出这两种情况下的PC长，则y=PC OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．
【详解】∵△AOB是等腰直角三角形，，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即时，
PC=OC=，S△POC=y=PC OC=，
是开口向上的抛物线，当时，；
②当P点在AB上时，即时，
OC=，则BC=，PC=BC=，
S△POC=y=PC OC=，
是开口向下的抛物线，当时，．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
15．（2025春·陕西延安·九年级专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．
【详解】解：如图：
设点，
则：直线的表达式为：
直线的表达式为：
直线的表达式为：
，
过点分别作轴垂线，交轴于点
则：∽
则直线的表达式为：
直线必过点
当与轴平行时，边上的高有最大值，为
故选B
【点睛】本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键．
二、填空题
16．（2025秋·贵州黔西·九年级校考期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
【答案】
【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
17．（2025·上海·九年级专题练习）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．
【详解】解：图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
18．（2025秋·陕西西安·九年级校考期末）若函数是二次函数，则m的值为_________．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义即可求出m的值．
【详解】根据题意可知且，
∴．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
19．（2025·全国·九年级统考假期作业）抛物线的顶点坐标__________
【答案】×
【分析】利用抛物线顶点式，顶点坐标为（h，k），求出抛物线顶点坐标，再判断即可.
【详解】利用抛物线顶点式，顶点坐标为（h，k），可知二次函数的顶点坐标为（-2，-3）
故原题目错误.
【点睛】本题考查利用抛物线顶点式求顶点坐标，熟练掌握该知识点是解题关键.
20．（2025·安徽·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答．
【详解】解：根据题意得：
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．
21．（2025·河南洛阳·统考一模）二次函数y=x2+a的图象过点（1，4），则a=______．
【答案】3.
【详解】试题分析：直接把原点坐标代入二次函数解析式中得到关于a的方程，然后解方程即可．
试题解析：把（1，4）代入y=x2+a得a+1=4，
解得a=3．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
22．（2025·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
【答案】3
【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n的等式进一步整理得出答案即可．
【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．
23．（2025秋·河南濮阳·九年级统考期中）y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为_____．
【答案】2
【分析】根据二次函数的定义求解即可得．
【详解】解：，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数的定义，深刻理解二次函数的定义是解题关键．
24．（2025春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】线段PQ在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当经过点求出a的最小值；当经过点求出a的最大值．
【详解】解：由题意可知：线段PQ在第一象限，当a＜0时开口向下，显然的图象与线段没有交点；
当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知：
当经过点时，a有最小值，此时，解出，
当经过点时，a有最大值，此时，解出，
故a的取值范围为：．
【点睛】本题考查抛物线的性质：a的正负决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．
25．（2025秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为____．
【答案】
【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解．
【详解】依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上（如图），
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∵，
当，代入，
解得：，
当，代入，
解得：，
∵时，可控点Q（，）满足，
∴实数的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象应用问题，解决此类问题：首先根据题意，大致画出函数图象，依据图象确定数值的取值范围．
三、解答题
26．（2025秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）当为何值时，函数是二次函数．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：，
即当为时，函数是二次函数．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键．
27．（2025秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
28．（2025春·全国·九年级专题练习）画出二次函数y＝x2的图象．
【答案】图像见解析.
【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．
【详解】函数y＝x2的图象如图所示：
【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
29．（2025春·九年级课时练习）若函数y＝(m-4) 是二次函数，求m的值．
【答案】m＝-
【分析】根据自变量x的指数等于2，且系数不等于0列式求解即可.
【详解】由题意得
，且m-4≠0，
解之得
m＝-.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
30．（2025秋·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知函数与的图象交点的横坐标为－1，求a的值．
【答案】3
【分析】根据交点横坐标，代入中，可得交点纵坐标，再代入中计算可得．
【详解】解：将x=-1代入中，
得：y=3，
∴（-1，3）在图像上，
则有，
解得：a=3．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像上的点，掌握图像上的点满足函数关系式是解题的关键．
31．（2025春·湖南·九年级校考期中）给定关于的二次函数 ，
学生甲：当时，抛物线与 轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；
学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；
请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.
【答案】甲错误，乙正确
【详解】试题分析：甲的观点是错误的，乙的观点是正确的．分别求出抛物线y=2x2+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时m的值以及抛物线在x轴上方时该抛物线的最低点的位置即可．
试题解析：甲的观点是错误的.
理由如下：当抛物线与轴只有一个交点时
即：
解得或
即或时抛物线与轴只有一个交点
乙的观点是正确的
理由如下：当抛物线在轴上方时，
由上可得
即：
∴
而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点
顶点的横坐标为
，且抛物线在轴上方，
即抛物线的最低点在第二象限
【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点问题以及和二次函数有关的性质，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
32．（2025春·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．
33．（2025春·全国·九年级专题练习）二次函数与直线的图象交于点
求，的值；
写出二次函数的表达式，并指出取何值时该表达式随的增大而增大？
写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）a=1；m=1;（2）, 当时，随的增大而增大；（3）顶点坐标为，对称轴为轴．
【分析】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x-1即可求出未知数的值；
（2）把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；
根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．
（3）根据二次函数的性质直接写出即可．
【详解】点在的图象上
∴代入
∴；
（2）二次函数表达式：
因为函数的开口向上，对称轴为轴，当时，随的增大而增大；
（3）的顶点坐标为，对称轴为轴．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．
34．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级统考期中）作图并完成解答：
(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段M的垂直平分线，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线，记，的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，求y与x的函数关系式．
【答案】(1)见解析；
(2)PA=PM，．
【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可；
（2）连接AP，过点A作AN⊥PM，根据线段垂直平分线的性质得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出．
(1)
解：如图所示：
(2)
；
∵P在AM的垂直平分线上
∴，
∵P点坐标为，轴
∴，
由勾股定理知：或
∴或
∴关系式：．
【点睛】此题考出来复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
35．（2025秋·广东东莞·九年级期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点C的坐标是(-1，)．
【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，可知∠BOD=60°，求出B点坐标，再用待定系数法求解析式即可；
（2）确定抛物线的对称轴，连接AB，与对称轴交于点C，此时，△BOC的周长最小，再用AB解析式求C点坐标即可．
【详解】(1)过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴OD=1，DB=，
∴点B的坐标是(1，)．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，
解得：，
∴直线AB的解析式为
（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x=-1
∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO，
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA，△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，
BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
∴当x=-1时，代入直线AB的解析式得y=，
∴点C的坐标是(-1，)．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数对称轴、最短路径问题，解题关键是根据已知条件确定点的坐标和两点一线求最短的轴对称做法．
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专题11 二次函数与y=ax 的图像性质
新知预习
（一）二次函数的概念
（1）概念：一般地，形如（a,b,c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而b,c可以为零．
（二）二次函数的一般形式
（1）二次函数一般形式：y=ax +bx+c（a≠0）
①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
②a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
（三）函数图像的画法
(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点两侧对称取点;
(2)描点:先把y轴右侧的点描出来,然后根据对称性描出左侧的点;
(3)连线:按照从左到右的顺序,用平滑的曲线连接
（四）二次函数y=ax 的的图像与性质
新知训练
考点1：列二次函数关系式
典例1：（2025秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为________．（结果保留）
【变式1】（2025春·九年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____．
【变式2】（2025秋·九年级校考课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米，则S与x 的函数关系式为________________．
【变式3】（2025春·九年级课时练习）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．
考点2：二次函数的辨别
典例2：（2025春·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．
【变式1】（2025春·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【变式2】（2025秋·山东德州·九年级校考阶段练习）关于的二次函数，当时，它是______函数；当时，它是______函数.
【变式3】（2025春·九年级课时练习）下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号）
考点3：根据二次函数的定义求字母
典例3：（2025·四川南充·统考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于______ ．
【变式1】（2025春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过点，则代数式的值为 _____．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．
【变式3】（2025秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为______．
考点4：画函数图像
典例4：（2025秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【变式1】（2025春·全国·九年级专题练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【变式2】（2025秋·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【变式3】（2025秋·九年级课时练习）在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
考点5：二次函数y=ax 的图形与性质
典例5：（2025春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为______．
【变式1】（2025秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是____．
【变式2】（2025秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________．
1
【变式3】（2025秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考阶段练习）二次函数．当时．与的大小关系为___________．
新知检测
1．（2025秋·河南周口·九年级校考阶段练习）已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞0 C．x＞﹣2 D．x＜0
2．（2025秋·河北石家庄·九年级校考期末）自由落体公式（为常量），与之间的关系是( )
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
3．（2025秋·广东韶关·九年级校考阶段练习）将抛物线的图象绕原点旋转，则旋转后的抛物线的函数关系式（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋·浙江金华·九年级校考期中）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025秋·浙江杭州·九年级统考期末）若二次函数的图象经过点P（2，8），则该图象必经过点
A．（2，-8） B．（-2，8） C．（8，-2） D．（-8，2）
6．（2025秋·湖北十堰·九年级统考阶段练习）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．= B．y＝ C．y=k D．y=k2x
7．（2025春·九年级课时练习）若是二次函数，且开口向下，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2025秋·四川绵阳·九年级统考期末）下列关于的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，若四边形AOBC为正方形，则顶点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
10．（2025秋·福建南平·九年级统考期中）设A（－1，）、B（1，）、C（3，）是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（ ）
A．<< B．<< C．<< D．<<
11．（2025秋·九年级课时练习）函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是( )
A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0
C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0
12．（2025春·九年级课时练习）与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y=﹣x2 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2+1
13．（2025秋·江苏苏州·九年级校联考期末）关于二次函数，下列说法中正确的是( )
A．它的开口方向是向上 B．当时，随的增大而增大
C．它的顶点坐标是(－2, 1) D．当时，有最大值是
14．（2025春·九年级课时练习）如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
15．（2025春·陕西延安·九年级专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2025秋·贵州黔西·九年级校考期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．
17．（2025·上海·九年级专题练习）如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
18．（2025秋·陕西西安·九年级校考期末）若函数是二次函数，则m的值为_________．
19．（2025·全国·九年级统考假期作业）抛物线的顶点坐标__________
20．（2025·安徽·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
21．（2025·河南洛阳·统考一模）二次函数y=x2+a的图象过点（1，4），则a=______．
22．（2025·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
23．（2025秋·河南濮阳·九年级统考期中）y=（m+1）﹣3x+1是二次函数，则m的值为_____．
24．（2025春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么a的取值范围为__________．
25．（2025秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为____．
三、解答题
26．（2025秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）当为何值时，函数是二次函数．
27．（2025秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
28．（2025春·全国·九年级专题练习）画出二次函数y＝x2的图象．
29．（2025春·九年级课时练习）若函数y＝(m-4) 是二次函数，求m的值．
30．（2025秋·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知函数与的图象交点的横坐标为－1，求a的值．
31．（2025春·湖南·九年级校考期中）给定关于的二次函数 ，
学生甲：当时，抛物线与 轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；
学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；
请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.
32．（2025春·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
33．（2025春·全国·九年级专题练习）二次函数与直线的图象交于点
求，的值；
写出二次函数的表达式，并指出取何值时该表达式随的增大而增大？
写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
34．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级统考期中）作图并完成解答：
(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段M的垂直平分线，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线，记，的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，求y与x的函数关系式．
35．（2025秋·广东东莞·九年级期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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