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专题12 二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
新知预习
（一）二次函数y=ax +k的图像性质
二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y轴向上(或下)平移|k|个单位长度得到.二次函数y=ax2+k的图象与性质总结如下:
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 (0,k) (0,k)
增减性 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时, y 随x的增大而增大 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时, y 随x的增大而减小
最值 当x=0时,y有最小值,y最小值=k 当x=0时,y有最大值,y最大值=k
（二）二次函数y=a（x-h） 的图像性质
二次函数y=a（x-h）2的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y轴向左(或右)平移|h|个单位长度得到.二次函数y=a（x-h）2的图象与性质总结如下:
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 x=h x=h
顶点坐标 (h,0) (h,0)
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y有最小值,y最小值=0 当x=h时,y有最大值,y最大值=0
（三）二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度得到。二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质总结如下
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h
顶点坐标 （h，k）
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
（四）二次函数图像的平移
平移的规律可总结为:“左加右减自变量,上加下减常数项”.由二次函数 y=ax2的图象到y=a(x-h)2+k的图象的过程如图:
新知训练
考点1：二次函数y=ax +k的图像性质
典例1：（2025秋·广东广州·九年级统考期末）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：_________（填写“”“”或“”）
【答案】
【分析】分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
【变式1】（2025秋·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）写出一个对称轴为轴．且过点的抛物线的函数表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意可知，对称轴为轴，则一次项系数为0，经过点，可以得出常数项为，即可写出符合题意得二次函数的解析式．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，
一次项系数为0，
又二次函数经过点，
常数项为，
满足题意的抛物线的函数表达式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数上点的坐标的特点，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】（2025·上海青浦·校考一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可得出的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点，
∴二次函数的图像开口向下，且函数值有最大值．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式3】（2025秋·全国·九年级专题练习）抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小．
【答案】 向下 轴
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：向下，轴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
考点2：二次函数y=a（x-h） 的图像性质
典例2：（2025·上海崇明·统考一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么___________．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】<
【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点的横坐标代入二次函数解析式求出、值，再比较即可
【详解】解：当时，
，
当时，
，
．
故答案为：<．
【点睛】本题考查了二次函数图像上的两点值的大小，这类题目的一种算法是将两点的横坐标代入二次函数解析式求出值．
【变式1】（2025秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论．
【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，即，
二次函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．
【变式2】（2025秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______.
【答案】0或7/7或0
【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若h＞5，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为0或7，
故答案为：0或7．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
【变式3】（2025春·九年级课时练习）二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
【答案】 ②③ ①③⑤ ⑤⑥
【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．
【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．
（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥．
故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键．
考点3：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例3：（2025秋·四川广安·九年级统考期末）当时，函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】函数的开口向上，顶点坐标为，根据函数图像的性质即可求解．
【详解】解：根据题意可知，函数的开口向上，顶点坐标为，
∴当时，函数值随的增大而减小，
∵当时，函数的函数值随的增大而减小，
∴，即函数的对称轴在大于或等于的位置，满足当时，函数的函数值随的增大而减小，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解并掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
【变式1】（2025春·九年级课时练习）若，为抛物线上两点，则_______．
【答案】2016
【分析】，是抛物线上两点，可得，，当时，．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，解得，
∴，，
当时，，
故答案为：2016．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到，是解题的关键．
【变式2】（2025秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为： ___________（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
【答案】<
【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，随的增大而减小．
【详解】解：二次函数的解析式为，
该抛物线开口向上，且对称轴为直线：．
点，在二次函数的图象上，且，
．
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
【变式3】（2025秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______．
【答案】/
【分析】先确定函数图像的对称轴，然后再判定开口方向向上，最后根据离对称轴越远，函数值越大即可解答
【详解】解：∵
∴对称轴为直线，开口方向向上
∴A点到对称轴的距离为1，B点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为3
∵，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，掌握“抛物线开口方向向上，离对称轴越远，函数值越大”是解答本题的关键．
考点4：二次函数函数图像的平移（几种特殊形式的平移）
典例4：（2025·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是_____．
【答案】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为，
∴得到的抛物线顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像的平移，掌握函数图像平移的法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．
【变式1】30．（2025·广东惠州·惠州市河南岸中学校考一模）将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数关系式为____________．
【答案】
【分析】根据左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：将抛物向左平移5个单位，再向下平移3个单位，
所得的抛物线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
【变式2】（2025春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为___．
【答案】3
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点代入即可求得．
【详解】解：将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线为，
∵新抛物线经过点，
∴,
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的平移知识内容等，解题的关键是得出平移后的表达式．
【变式3】（2025·辽宁鞍山·统考一模）已知下列函数①；②；③．其中图象通过平移可以得到函数的图象的是__________．（填序号）
【答案】②
【分析】根据二次函数图象的平移，逐项判断即可求解．
【详解】解：，
①的图象不能通过平移可以得到函数的图象，故①不符合题意；
②的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位可以得到函数的图象，故②符合题意；
③的图象不能通过平移可以得到函数的图象，故③不符合题意；
故答案为：②
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握二次函数的图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题的关键．
新知检测
1．（2025·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点在第四象限，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】依据点关于原点对称的点在第四象限，可判断a、b的符号，再根据顶点坐标公式，可判定顶点所在的象限．
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴，，
∴，，
∴，，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了点关于原点的对称点、各象限内点的坐标特征及顶点坐标公式，解题的关键是通过a、b符号判定顶点横、纵坐标的符号．
2．（2025·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
【答案】B
【分析】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．
【详解】解：∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0）．
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝4k，
解得，k＝1，
∴该函数解析式为：y＝x2，
把x＝﹣3代入得，y＝9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
3．（2025秋·浙江·九年级期中）二次函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到新的图像的二次函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（3，23），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（3，2），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y=（x-3）2+2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4．（2025秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=2（x﹣1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3
C．y=2（x﹣1）2﹣1 D．y=3（x﹣1）2+1
【答案】C
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是：y=2(x﹣1)2﹣1
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．
5．（2025秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对称轴为直线，可得，由此可判断B选项；由抛物线的开口方向以及与y轴的交点位置可判断A选项；由抛物线与x轴的交点个数可判断C选项；根据抛物线上x＝－2的点在第三象限可判定D选项．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故B选项正确；
由图象可知：抛物线的开口向下，
∴，
∴，
由图象可知：抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，故A选项错误；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴，故C选项错误；
由图象可知：当时，，
∴，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x＝1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．
6．（2025秋·山东临沂·九年级统考期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴两交点分别是（﹣1，0），（5，0），先求对称轴，再借助对称轴求解．
【详解】解：由抛物线与x轴交点坐标可知，对称轴是直线，
∵x＝1，x＝3对应的两点也关于直线x＝2对称，
∴函数值也相等．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的对称性．
7．（2025秋·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可．
【详解】解：A、由一次函数图象知，二次函数开口向下，此选项错误；
B、由于一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项错误；
C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，又一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项正确；
D、由一次函数图象知，二次函数开口向上，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
8．（2025·贵州铜仁·统考一模）二次函数的图象如图所示，给出的下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵二次函数的开口向上，
∴，
∴①错误；
②二次函数对称轴，
则，
又∵，
∴，
当时，，
∴，
故②错误，
③当时，，
故③正确，
④二次函数顶点的纵坐标为，
由图形可知，
又∵，
∴，
故④正确，
故答案为：B．
【点睛】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，根的判别式的熟练运用，会利用特殊值代入是解题的关键．
9．（2025·陕西·九年级专题练习）抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位 B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位 D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
【答案】A
【详解】试题分析：根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
∵抛物线y=-（x-2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=-（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），
∴顶点由（2，1）到（-1，-2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
10．（2025秋·云南保山·九年级阶段练习）二次函数y=a2+b+c(a≠0)的图象如图所示，对于下列结论①abc<0 ②b+2a="0" ③a+b+c<0 ④b2－4ac>0 ⑤方程a的两根分别是－1，3，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】试题分析：由抛物线开口向下知：a＜0；抛物线与y轴的正半轴相交知c＞0；对称轴在y轴的右侧知：b＞0；
所以：abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x=1,∴-=1，即b=-2a，所以b+2a=0.故②正确；
当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③错误；
因抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，故④正确；
因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点的横坐标为-1，所以另一个交点的横坐标为3.因此方程a的两根分别是－1，3.故⑤正确
故选D.
考点：二次函数的图象与性质.
11．（2025秋·江苏扬州·九年级阶段练习）二次函数（为常数且）中的x与x的部分对应值如下表：
给出了结论：（1）二次函数有最小值，最小值为-4；（2）若 ，则x的取值范围为；（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】从表格分析，根据二次函数的基本性质进行逐个分析即可.
【详解】由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数有最小值，最小值为-4；故（1）错误；根据表格数据，当-1＜x＜3时，，
所以，时，正确，故（2）正确；二次函数的图象与x轴有两个交点，分别为（-1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．
故选:C．
【点睛】考核知识点：二次函数的性质．理解二次函数性质是关键.
12．（2025秋·全国·九年级阶段练习）已知a、b为实数，则a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】观察a2+ab+b2﹣a﹣2b式子要求其最小值，只要将所有含有a、b的式子转化为多个非负数与常数项的和的形式．一般常数项即为所求最小值．
【详解】解：a2+ab+b2 a 2b=a2+(b 1)a+b2 2b=a2+(b 1)a++b2 2b =(a+）2+ (b 1)2 1 1，
当a+=0，b 1=0，即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，
则所求式子的最小值为 1.
故选B
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是注意配方时不能漏掉任何一项，细心.
13．（2025·安徽合肥·九年级合肥一六八中学阶段练习）抛物线 的对称轴是 （ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=-2 D．x=4
【答案】A
【分析】根据抛物线在对称轴处能取最高点或者最低点即可求出此题的答案.
【详解】抛物线=(x+1)2-5，故此抛物线的对称轴为x=-1.
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，掌握抛物线对称轴的定义是解决此题的关键.
14．（2025·云南玉溪·统考一模）抛物线y＝x2＋2x－1，与x轴的交点个数是（ ）
A．1个交点 B．2个交点
C．1个或2个交点 D．没有交点
【答案】B
【详解】试题分析：△=4-4×1×（-1）=4+4=80，则抛物线与x轴有两个交点.
考点：抛物线与一元二次方程
15．（2025秋·江苏扬州·九年级校考期末）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题．
【详解】设，则高为，设面积为S
，
的面积最大，
，
即，
过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，
，
，
，
的周长最小值为：．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键．
二、填空题
16．（2025·江苏盐城·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（，y1），B（，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）．
【答案】②④⑤．
【分析】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0，
对称轴：x= >0，
∴b>0
∴abc<0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2 4ac>0，
即b2>4ac，故②正确；
③由于对称轴为x=1，
∴( 1,0)与(3,0)关于x=1对称，
令x=2时，
∴y=4a+2b+c>0，故③错误；
④令x= 1，
∴y=a b+c<0，
∵ =1，
∴a= ,
∴ b+c<0，
∴2c<3b，故④正确；
⑤由于x=1，y=a+b+c，a<0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y=am2+bm+c，
∴a+b+c> am2+bm+c，
∴a+b> am2+bm，
即a+b>m(am+b)，故⑤正确；
⑥（，y1）与(, y1)关于x=1对称，
∵>,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x>1上，y随着x的增大而减小，
∴y1< y2，故⑥错误；
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系.
17．（2025·浙江绍兴·九年级统考期末）请写出一个二次函数，使它的图象经过点（1，2），你写出的函数表达式是_____
【答案】y＝x2+1
【分析】根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可．
【详解】解：由题意可得，
图象经过点的二次函数的表达式是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数表达式求法，答案不唯一，只要满足表达式即可.
18．（2025·广东肇庆·四会市四会中学校考二模）抛物线的在对称轴的_____侧的部分上升．（填“左”或“右”）
【答案】右
【详解】试题解析：
对称轴的右侧的部分上升.
故答案为右.
19．（2025秋·吉林白城·九年级统考期末）用配方法将抛物线化成顶点式得_____________．
【答案】
【分析】根据配方法将抛物线化成顶点式．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查了将抛物线的一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．
20．（2025秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）抛物线上的点到x轴最短距离是____________．
【答案】13
【详解】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-2，13），
∴抛物线与x轴没有交点，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离即为顶点的纵坐标的值，为13，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，解题的关键在于能够正确求出抛物线的顶点坐标．
21．（2025秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）已知抛物线，点A(1，﹣5)、B(7，﹣5)、C(m，)、D(n，)均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则与的大小关系是____________．
【答案】
【分析】先根据点A、B的坐标可得a的取值范围，从而可得抛物线的开口方向，再根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】，且，
抛物线在处取得最小值，
，即抛物线的开口向上，
又 均在此抛物线上，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
22．（2025春·九年级课时练习）在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
【答案】4
【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．
【详解】解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．
23．（2025·宁夏吴忠·统考一模）将抛物线y=x2-2x+3先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为___________________________．
【答案】y=（x-3）2+3.
【详解】试题解析：y=x2-2x+3
=（x-1）2+2，
则将抛物线y=x2-2x+3先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=（x-3）2+3．
考点：二次函数的图象与几何变换.
24．（2025·江苏常州·统考二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，设l＝a+b﹣c，则l的取值范围是_______．
【答案】l≤﹣3
【分析】将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看作常数解此方程组得，将其代入得l=a+b-c=2a-2，结合二次函数的图象与性质知a＜0、c=2a+1≤0，据此得出a的范围，继而可得l的范围，即可得出答案．
【详解】由题意，得，解得，
则l＝a+b﹣c＝a+（3a﹣1）﹣（2a+1）＝2a﹣2，
由抛物线过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限知a＜0，c＝2a+1≤0，
解得a≤，
∴l＝2a﹣2≤﹣3，
故答案为：l≤﹣3．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（2025·广东·广东实验中学校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．
其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【答案】①④．
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x=-4时，y＜0，即16a-4b+c＜0；②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3，1确定对称轴是：x=-1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，所以y1＜y2；③根据对称轴和x=1时，y=0可得结论；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【详解】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确，符合题意；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确，不符合题意；
③∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
故③错误，不符合题意；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＝ ，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＝，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中，BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①④．
故答案是：①④．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）．
三、解答题
26．（2025秋·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2＋c.当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝5，求该二次函数的表达式．
【答案】y＝2x2－3.
【分析】将x与y的两对值代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出解析式．
【详解】解：由题意，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝2x2－3.
【点睛】考核知识点：用待定系数法求函数解析式.
27．（2025春·浙江·九年级专题练习）已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）；（2）（1，-4）．
【分析】（1）利用待定系数法把（-1，0），（3，0），（0，-3）代入二次函数中，即可算出a,b,c的值，进而得到函数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【详解】（1）∵二次函数过点（-1，0），（3，0），（0，-3），
∴解得：
∴二次函数的解析式为；
（2）∵＝（x-1）2 4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1， 4）．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
28．（2025秋·北京西城·九年级校考期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；（2）见解析；（3）﹣1≤y＜3．
【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），顶点坐标为（2，﹣1），过点（0，3），（4，3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
29．（2025秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学分校校考期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ……
求这个二次函数的表达式．
【答案】y＝x2+2x﹣3．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可．
【详解】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3．
【点睛】本题考查的是求二次函数的表达式，求二次函数表达式常采用待定系数法.
30．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)y=－(x－2)2＋4;(2) 对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)
【分析】（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；
（2）根据y＝a(x－h)2＋k的形式直接得出其对称轴和顶点坐标．
【详解】(1)y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.
(2)由(1)得，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是知道二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
31．（2025秋·安徽芜湖·九年级阶段练习）已知抛物线解析式为y＝ (x－1)2－4.
（1）在所给的平面直角坐标系内描点作出该抛物线的图象；
（2） 设该抛物线与y轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于B，顶点为C.试证明：∠CAB=90°.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据解析式是顶点式，得顶点坐标为，对称轴为，求出抛物线与轴的交点坐标，，根据三点的坐标和对称轴画出函数图象即可.
（2）根据函数解析式求出A、B、C三点坐标，再根据勾股定理证明AC2+AB2=BC2即可.
【详解】(1)
(2)
∵A（0，-3），B（3，0），C（1，-4）
∴AC=，AB=，BC=
∴AC2+AB2=BC2
∴∠CAB=90°
【点睛】本题主要考查抛物线的作图和勾股定理.
32．（2025秋·福建龙岩·九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B左侧，与y轴交于点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
将抛物线在B，C之间的部分记为图象包含B，C两点，若直线与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）．；（2）；（3）
【分析】根据图象与y轴的交点，可得m的值，可得函数解析式；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点在线段AB上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
根据一次函数图象与区域抛物线的交点，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】解：由题意可得，．
抛物线的解析式为：．
如图
，
点A关于抛物线的对称轴对称的点是B，
连接BC交对称轴于点P，
则点P就是使得的值最小的点．
由，得对称轴是，
由，，得
直线BC的解析式为，
当时，，
点P的坐标为．
当时，直线，
解得；
直线与抛物线相切时，得
，
，
解得，
符合题意的b的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出M在对称轴上是解题关键．
33．（2025秋·湖北恩施·九年级校联考期末）把下列函数化为形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）顶点坐标是，对称轴为，最小值为；（2）顶点坐标是，对称轴为，最大值为．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的对称轴及顶点坐标及最值．
【详解】解：（1）．
顶点坐标是，对称轴为，最小值为；
（2）．
顶点坐标是，对称轴为，最大值为．
【点睛】本题主要考查了利用配方法将一般式转化为顶点式的方法以及函数图象的对称轴、顶点坐标公式．
34．（2025·江苏无锡·九年级校联考期末）已知，点A（1，﹣），点B（﹣2，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．
（1）求a的值与点B的坐标；
（2）将抛物线y=ax2（a≠0）平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B'，若四边形ABB′A′为正方形，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】（1）a=﹣，点B坐标（﹣2，﹣2）．（2）y=﹣x2﹣x+或y=﹣x2+x﹣．
【分析】(1)由点A、B在抛物线上，可得a的值与点B的坐标；
(2)由平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B'，可得A′、B'，利用四边形ABB′A′为正方形的性质求解即可.
【详解】解：（1）把点A（1，﹣）代入y=ax2，得到a=﹣，
∴抛物线为y=﹣x2，
∴x=﹣2时，y=﹣2，
∴点B坐标（﹣2，﹣2），
∴a=﹣，点B坐标（﹣2，﹣2）．
（2）∵四边形ABB′A′是正方形，
∴A′（﹣，），B′（﹣，1）或A′（，﹣），B′（﹣，﹣5），
设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c，
则有或，
解得或，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+或y=﹣x2+x﹣．
【点睛】本题主要考查二次函数图像上的点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式.
35．（2025秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．
（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
【答案】（1）（0，1）；（2）（，）．
【分析】(1)先求得点 C的坐标，判断出CD∥AB，求出CD=3，进而判断出点E在y轴上，进而求出CE=3，即可得出结论；
(2)先判断出∠CBD=∠PBF，进而判断出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，进而得出，进而设出PF得出BF，OF，得出点P的坐标，代入抛物线解析式中，即可得出结论．
【详解】(1)将点(，)代入中，得：
，
解得：或3，
∵点在第一象限，
∴，
∴点D的坐标为(3，4)；
令，则，
解得：，
令，则，
由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，
∴OC=OB=4，BC=，CD=3，
∵点C、点D的纵坐标相等，
∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，
∴点D关于直线BC的对称点E在轴上．
根据对称的性质知：CD=CE=3 ，
∴，
∴点关于直线对称的点E的坐标为(0，1)；
(2)作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，
由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．
∵，
∴∠CBD=∠PBF．
∵CD=3，∠DCB=45°，
∴CG=DG=，
∵BC=，
∴BG=
∴．
设，则，．
∴，
∵P点在抛物线上，
∴
解得：或t=0(舍去)．
∴点P的坐标为(，)．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键
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专题12 二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
新知预习
（一）二次函数y=ax +k的图像性质
二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y轴向上(或下)平移|k|个单位长度得到.二次函数y=ax2+k的图象与性质总结如下:
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 (0,k) (0,k)
增减性 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时, y 随x的增大而增大 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时, y 随x的增大而减小
最值 当x=0时,y有最小值,y最小值=k 当x=0时,y有最大值,y最大值=k
（二）二次函数y=a（x-h） 的图像性质
二次函数y=a（x-h）2的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y轴向左(或右)平移|h|个单位长度得到.二次函数y=a（x-h）2的图象与性质总结如下:
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 x=h x=h
顶点坐标 (h,0) (h,0)
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y有最小值,y最小值=0 当x=h时,y有最大值,y最大值=0
（三）二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度得到。二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质总结如下
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h
顶点坐标 （h，k）
增减性 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小
最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
（四）二次函数图像的平移
平移的规律可总结为:“左加右减自变量,上加下减常数项”.由二次函数 y=ax2的图象到y=a(x-h)2+k的图象的过程如图:
新知训练
考点1：二次函数y=ax +k的图像性质
典例1：（2025秋·广东广州·九年级统考期末）已知点、在抛物线上，则、的大小关系为：_________（填写“”“”或“”）
【变式1】（2025秋·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）写出一个对称轴为轴．且过点的抛物线的函数表达式：______．
【变式2】（2025·上海青浦·校考一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 _____．
【变式3】（2025秋·全国·九年级专题练习）抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小．
考点2：二次函数y=a（x-h） 的图像性质
典例2：（2025·上海崇明·统考一模）已知点、为二次函数图像上的两点，那么___________．（填“>”、“=”或“<”）
【变式1】（2025秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______．
【变式2】（2025秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为______.
【变式3】（2025春·九年级课时练习）二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
考点3：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例3：（2025秋·四川广安·九年级统考期末）当时，函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______．
【变式1】（2025春·九年级课时练习）若，为抛物线上两点，则_______．
【变式2】（2025秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为： ___________（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
【变式3】（2025秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知点，，在函数的图像上，试确定，，的大小关系是______．
考点4：二次函数函数图像的平移（几种特殊形式的平移）
典例4：（2025·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是_____．
【变式1】30．（2025·广东惠州·惠州市河南岸中学校考一模）将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数关系式为____________．
【变式2】（2025春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为___．
【变式3】（2025·辽宁鞍山·统考一模）已知下列函数①；②；③．其中图象通过平移可以得到函数的图象的是__________．（填序号）
新知检测
1．（2025·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点在第四象限，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
3．（2025秋·浙江·九年级期中）二次函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到新的图像的二次函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y=2（x﹣1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3
C．y=2（x﹣1）2﹣1 D．y=3（x﹣1）2+1
5．（2025秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋·山东临沂·九年级统考期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
7．（2025秋·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·贵州铜仁·统考一模）二次函数的图象如图所示，给出的下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025·陕西·九年级专题练习）抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位 B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位 D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
10．（2025秋·云南保山·九年级阶段练习）二次函数y=a2+b+c(a≠0)的图象如图所示，对于下列结论①abc<0 ②b+2a="0" ③a+b+c<0 ④b2－4ac>0 ⑤方程a的两根分别是－1，3，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025秋·江苏扬州·九年级阶段练习）二次函数（为常数且）中的x与x的部分对应值如下表：
给出了结论：（1）二次函数有最小值，最小值为-4；（2）若 ，则x的取值范围为；（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2025秋·全国·九年级阶段练习）已知a、b为实数，则a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
13．（2025·安徽合肥·九年级合肥一六八中学阶段练习）抛物线 的对称轴是 （ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=-2 D．x=4
14．（2025·云南玉溪·统考一模）抛物线y＝x2＋2x－1，与x轴的交点个数是（ ）
A．1个交点 B．2个交点
C．1个或2个交点 D．没有交点
15．（2025秋·江苏扬州·九年级校考期末）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2025·江苏盐城·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（，y1），B（，y2）在该函数图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）．
17．（2025·浙江绍兴·九年级统考期末）请写出一个二次函数，使它的图象经过点（1，2），你写出的函数表达式是_____
18．（2025·广东肇庆·四会市四会中学校考二模）抛物线的在对称轴的_____侧的部分上升．（填“左”或“右”）
19．（2025秋·吉林白城·九年级统考期末）用配方法将抛物线化成顶点式得_____________．
20．（2025秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）抛物线上的点到x轴最短距离是____________．
21．（2025秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）已知抛物线，点A(1，﹣5)、B(7，﹣5)、C(m，)、D(n，)均在此抛物线上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，则与的大小关系是____________．
22．（2025春·九年级课时练习）在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
23．（2025·宁夏吴忠·统考一模）将抛物线y=x2-2x+3先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为___________________________．
24．（2025·江苏常州·统考二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，设l＝a+b﹣c，则l的取值范围是_______．
25．（2025·广东·广东实验中学校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．
其中正确的有_____．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
三、解答题
26．（2025秋·九年级课时练习）已知二次函数y＝ax2＋c.当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝5，求该二次函数的表达式．
27．（2025春·浙江·九年级专题练习）已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
28．（2025秋·北京西城·九年级校考期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
29．（2025秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学分校校考期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ……
求这个二次函数的表达式．
30．（2025春·九年级课时练习）已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标．
31．（2025秋·安徽芜湖·九年级阶段练习）已知抛物线解析式为y＝ (x－1)2－4.
（1）在所给的平面直角坐标系内描点作出该抛物线的图象；
（2） 设该抛物线与y轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于B，顶点为C.试证明：∠CAB=90°.
32．（2025秋·福建龙岩·九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B左侧，与y轴交于点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
将抛物线在B，C之间的部分记为图象包含B，C两点，若直线与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．
33．（2025秋·湖北恩施·九年级校联考期末）把下列函数化为形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：
（1）；
（2）．
34．（2025·江苏无锡·九年级校联考期末）已知，点A（1，﹣），点B（﹣2，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．
（1）求a的值与点B的坐标；
（2）将抛物线y=ax2（a≠0）平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B'，若四边形ABB′A′为正方形，求平移后的抛物线的解析式．
35．（2025秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．
（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
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