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专题13 二次函数y=ax +bx+c的图像性质
新知预习
（一）一般式化顶点式
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线,与抛物线y=ax2的形状相同,位置不同.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
（二）二次函数y=ax +bx+c的图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时 y最小值= 当 时 y最大值=
（三）待定系数法求解解析式
形式 内容 适用条件
一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解
顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程
（四）函数图像与各系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
新知训练
考点1：一般式化顶点式
典例1：（2025·江苏苏州·模拟预测）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ___________．
【答案】4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为，
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
【变式1】（2025秋·广东湛江·九年级校考期末）将二次函数化为的形式是______．
【答案】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，解题的关键是掌握配方法．
【变式2】（2025·安徽滁州·统考一模）已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为_________；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为_________．
【答案】 9
【分析】（1）将点代入抛物线，求出m的值，再将抛物线解析式表示成顶点式即可求解；
（2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可．
【详解】（1）将点代入抛物线，得，
解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）联立，整理得，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的顶点式，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）关于函数，当时，该函数的顶点坐标为___________．
【答案】，
【分析】把代入求得解析式，利用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：当时，函数解析式为，
，
顶点坐标是，．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，把一般式化为顶点式是关键．
考点2：二次函数y=ax +bx+c的图像性质
典例2：（2025年吉林省长春市净月高新区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数 的图像上，且总满足，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】把点，分别代入二次函数 得，，，进一步得到，根据总满足且，得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：把点，分别代入二次函数 得，，，
，
即，
∵总满足，
∴总有，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的性质、一元一次不等式、求函数值等知识，求得是解题的关键．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题关键．
【变式1】（2025秋·广西南宁·九年级统考期中）已知抛物线中的满足下表：
… 0 1 2 …
… 0 …
下列结论：抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线；抛物线与轴交点坐标为，﹔当大于2时，随着增大而减小．其中正确结论有___________个．
【答案】1
【分析】将，代入抛物线，求出抛物线的解析式，再根据可判断；根据抛物线的对称轴为，可判断；令，求出交点坐标，可判断；根据开口方向和对称轴的位置，可判断．
【详解】解：将，代入抛物线可得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
抛物线的开口向上，故错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为，
故错误，不符合题意；
令，
解得：，
抛物线与轴交点坐标为，，
故正确，符合题意；
，抛物线的对称轴为，
当大于2时，随着增大而增大，
故错误，不符合题意；
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的相关性质是解题的关键．
【变式2】（2025春·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）已知二次函数为常数），则下列结论正确的有________
①抛物线开口向下；
②抛物线与轴交点坐标为；
③当时，随增大而增大；
④抛物线的顶点坐标为．
【答案】①②④
【分析】利用二次项系数判断开口方向；代入求出与轴交点坐标；计算出对称轴判断增减性；利用对称轴算出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数（为常数），
该抛物线开口向下，故①正确；
抛物线与轴交点坐标为，故②正确；
该抛物线的对称轴是直线，故无法判断当时，随增大如何变化，故③错误；
抛物线的顶点坐标为，故④正确；
故选：①②④．
【变式3】（2025秋·湖北武汉·九年级校联考期末）已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论：
①：
②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
③当时，随的增大而减小；
④为任意实数，若，则代数式 的最小值是．
其中正确的是________(填写序号)．
【答案】①②④
【分析】将点代入解析式得出，即可判断①，进而计算，即可判断②，根据题意，得出对称轴为，即可判断③，根据题意求得对称轴进而得出函数的最小值，即可判断④
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵，
∵，
∴，故②正确，
∵，则，
∴对称轴为 ，即对称轴为直线，故③不正确；
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴的最小值为
∴代数式 的最小值是．故④正确，
故正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点3：求二次函数的对称轴
典例3：（2025秋·九年级单元测试）已知抛物线经过点，，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据、的坐标特征确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】解：点，的纵坐标相同，
、是对称点，
对称轴，
当时，随的增大而减小；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据、的坐标求得对称轴．
【变式1】（2025秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【答案】
【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
【详解】解：由图表可知：时，，时，，
二次函数的对称轴为，
故答案为：．
【点睛】题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
【变式2】（2025春·北京西城·九年级北京市第一六一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．则抛物线的对称轴是直线______；用含a的代数式表示b，则有______．
【答案】
【分析】先求出点A的坐标，再根据平移方式求出点B的坐标，根据对称性求出抛物线对称轴即可得到答案．
【详解】解：在抛物线中，当时，，
∴，
∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，二次函数的对称性，二次函数的对称轴公式，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式3】（2025秋·河南三门峡·九年级统考期中）已知点，在二次函数的图象上，则_____．
【答案】2026
【分析】根据二次函数的对称性用、表示出二次函数图象的对称轴，可得，然后代入解析式求解即可．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线，
∵点A，B的纵坐标相等且都在二次函数的图象上，
∴点A，B关于二次函数图象的对称轴对称，
∴=1，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，根据题意用、表示出抛物线的对称轴并得出是解题的关键．
考点4：求二次函数的最值
典例4：（2025春·内蒙古鄂尔多斯·九年级校联考阶段练习）海伦公式，也叫三斜求积公式．即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积 ．若，，则此三角形面积的最大值为____________．
【答案】
【分析】利用求得，然后代入 ，利用配方法分析求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法的应用，二次函数的性质，理解题意，准确代入计算，掌握配方法是解题关键．
【变式1】（2025·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为 4，则______．
【答案】 1 4或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可得，再代入对称轴进行计算即可；
（2）根据二次函数的图象与性质可知当 当时，在，函数有最小值，当时，在中，当时，函数有最小值，再根据y的最小值为 4代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由抛物线可知，，
对称轴，
故答案为：1；
（2）当时，在，函数有最小值，
∵y的最小值为，
，
；
当时，在中，当时，函数有最小值，
，解得；
综上所述：a的值为4或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值及对称轴，熟练掌握二次函数的性质和对称轴公式是解决问题的关键．
【变式2】（2025秋·四川凉山·九年级校考期中）已知二次函数，当，函数的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 2
【分析】化为顶点式表示的二次函数，结合考虑，即可求解此题．
【详解】解：由题意可得：，，
∵开口向下，
∴当时，有最大值：，
当时，．
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
【变式3】（2025秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_______．
【答案】
【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值．
【详解】解：设，四边形面积为，则，
则：，
当时，；
所以时，四边形的面积最大，且为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
考点5：根据函数图像判断式子的符号
典例5：（2025春·广东惠州·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴②错误．
∵，
∴③正确．
∵当时，，
∴．
∴④错误．
当时，有最大值为，
∴对于任意实数m，总有，
∴对于任意实数m，总有．
∴⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
【变式1】（2025·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴相交于点，下列结论：①﹔②B点坐标为，③抛物线的顶点坐标为，④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有_________．
【答案】①②④⑤
【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点，
∴可得：，
∴，故①正确；
②∵函数函数值为0，
∴，
∴，
∴时，，
∴B点坐标为，故②正确；
③抛物线的顶点坐标为，故③错误；
④把带入后，，
解得：，
∴h的取值范围是，故④正确；
⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，
直线 和对称轴联立方程组，
可得，
解得，
∴Q点坐标为，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴x=为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（），（）；是抛物线上的两点，则⑤其中正确的结论有________．
【答案】①②/②①
【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及与之间的关系：；根据二次函数图象经过点，可得出；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，即，②正确．
时，，
③不正确．
，
，到对称轴距离小于，到对称轴距离，
，④不正确．
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线取得最大值，
当时，，且，
即，
故⑤不正确，
综上，结论①②正确，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
【变式3】（2025秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期末）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】判断出的正负，可判断①；利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可判断②；由图象可知函数的最小值为，所以对于任意m都有，可判断③；由图象可知 ，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
当时，，
∴，
∴，故②正确，
由图象可得，对于任意m都有，
即，
∴，
故③不正确；，
∵点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
∵点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握函数图像上点的特征，属于中考常考题型．
考点6：待定系数法求解解析式
典例6：（2025·安徽亳州·统考模拟预测）已知二次函数中的x和y满足下表：
x 0 1 2
y 0 3 4 3 m
(1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
(2)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)二次函数的对称轴为直线；
(2)
【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m的值；
（2）设顶点式，然后把代入求出a的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和所对应的函数值相等，
∴；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
【变式1】（2025春·安徽宿州·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线与x轴相交于点，，利用待定系数法即可求解；
（2），，得到的函数表达式，即可求出结果．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，熟练掌握求二次函数解析式的方法、用配方法求函数的最值及函数的对称性是解题的关键．
【变式2】（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）一抛物线与轴的交点是，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标，并求当时，二次函数的最大值．
【答案】(1)
(2)，，8
【分析】（1）设交点式为，然后把代入求出的值即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式可得该抛物线的顶点坐标，然后根据二次函数的性质求当时，二次函数的最大值．
【详解】（1）
解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）
，
抛物线的顶点坐标为，，
∵，
∴抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，则时，函数值最大，最大值为8．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【变式3】（2025春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案；
（3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）在中，令时，得：，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
过点作轴交直线于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
则是等腰直角三角形，
∴当以为底的等腰三角形，则，
∴在的角平分线上，即上
联立得
解得：或
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键．
新知检测
1．（2025春·全国·九年级专题练习）某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把分别代入四个选项中的解析式，即可判断．
【详解】解：．把代入得，故函数经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
2．（2025秋·广西崇左·九年级统考阶段练习）将二次函数化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把解析式配方即可．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，掌握配方法是关键．
3．（2025秋·九年级单元测试）已知二次函数的图象经过与两点，若，是关于的一元二次方程的两根，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先把关于x的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断．
【详解】解：关于x的一元二次方程的解就是直线y=-m2与函数的两个交点的横坐标，
∴把（-2,0）与（1,0）代入得
，解得
∴抛物线开口向下，
∵，
如图所示：
∴
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点．
4．（2025·山东烟台·中考真题）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．
5．（2025秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）设二次函数，是常数，，已知，则该函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据得出，异号，然后判断即可．
【详解】解：，
，异号，
即时，或时，，
∴如果图象开口向上，则与y轴负半轴相交；
如果开口向下，则与y轴正半轴相交；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数性质．
6．（2025·湖北咸宁·统考一模）二次函数(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 3 …
y … -3 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．抛物线的顶点为(1，3) D．一元二次方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
【答案】D
【分析】根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、根据x=0时，y＝1与x=3时，y＝1可得对称轴x=
又x＝1时，y＝3；x＝3时，y＝1；
∴抛物线开口向下，故本选项错误；
B、∵x＝0时，y＝1，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故本选项错误；
C、对称轴x= ，顶点错误，故本选项错误；
D、根据对称性，当x＝4时与x＝ 1时的函数值相同，y＝ 3＜0，
故一元二次方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与y轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键．
7．（2025秋·浙江温州·九年级校考期中）已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值
【答案】D
【分析】直接根据函数图象即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．
8．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级校考期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴x=，且经过点（2，0），下列说法：
①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b=-a；
③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（-，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x=﹣，
∴b=﹣a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵由①中知b=﹣a，
∴a+b=0，
故②正确；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
故③错误；
④∵（﹣，y1）关于对称轴x=的对称点的坐标是（，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜，
∴y1＜y2，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
9．（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是
A．b2>4ac B．ac>0 C．a–b+c>0 D．4a+2b+c<0
【答案】A
【分析】略
【详解】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．
∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确； ∵抛物线开口向下，
∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，所以B选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以C选项错误； ∵当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．
故选A.
【点睛】二次函数图象与系数的关系．
10．（2025秋·山东烟台·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时y<0，即a-b+c<0，故②正确；
由图象可知：对称轴=1，对任意实数都有，即，故③正确；
④由图象可知：对称轴=1，即b=-2a，a-b+c<0，所以，即，故④正确．
综上可得：②③④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
11．（2025春·天津和平·九年级统考阶段练习）如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴, 故③错误；
∵.
∴B（-c，0）
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，
∴ ， ac2-bc+c=0
∴ ，ac-b+1=0，
∴，故②正确；
∴，b=ac+1
∴,
∴2b-c=2，故①正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．（2025春·湖南长沙·八年级长沙市第十五中学校考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当y=﹣2时，x的值只能取0；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．
【详解】由函数图象可得，
a＞0，b＜0，即a、b异号，故①错误，
x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，
∵-＝2，得4a+b=0，故③正确，
由图象可得，当y=-2时，x=0或x=4，故④错误，
由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜0，故⑤正确，
故选A．
【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．（2025·广西防城港·统考二模）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
当时，．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质．
14．（2025·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x【 】
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
【答案】B
【详解】∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点的坐标为（﹣a，b）．
又∵点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，
∴，即．∴二次函数y=﹣abx2+（a+b）x为．
∵二次项系数为＜0，∴函数有最大值，最大值为y=．故选B．
15．（2025秋·山东威海·九年级校联考期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2） ；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于0，则，即；由图象过点，知，易得，再根据抛物线开口向下得，可得；利用抛物线的对称性得到，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线，然后依据函数图象进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
由函数图象可知，当时，，即：，
∴，故②正确；
∵图象过点，
∴
又∵
∴，
∴，即：
∴
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故③错误，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴在图象上的对称轴点坐标为：
∵
∴
而在对称轴的左侧，
∴随的增大而增大，
∴，故④错误，
则：方程的两根为或，交抛物线与的两交点的横坐标，
过作轴的平行线，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
二、填空题
16．（2025·上海·九年级专题练习）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 _______．
【答案】
【分析】根据点的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．
【详解】解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点睛】此题主要考查二次函数的对称轴，解题的关键是熟知对称轴公式的运用．
17．（2025秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则C的值是_______．
【答案】5
【分析】把代入求得c的值即可．
【详解】解：把代入可得：，解得
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数图像上点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．
18．（2025秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）二次函数y=（x﹣4）2﹣5的最小值是____．
【答案】-5
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵二次函数，抛物线开口向上，顶点坐标为(4，-5)，
∴二次函数有最小值，最小值为-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质-最值问题，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．
19．（2025·四川雅安·中考真题）从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________．
【答案】
【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：.
【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
20．（2025秋·河北唐山·九年级统考期末）如图所示，抛物线的顶点为点，与y轴交于点．若平移该抛物线使其顶点P由移动到，此时抛物线与y轴交于点，则的长度为 _____．
【答案】
【分析】先求出平移前抛物线解析式，进而根据平移规律求出平移后的抛物线解析式，求出点即可得到答案．
【详解】解：设平移前抛物线解析式为，
代入得，
∴，
∴平移前抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与y轴的交点坐标，求二次函数解析式，正确求出平移后的二次函数解析式是解题的关键．
21．（2025秋·浙江杭州·九年级期末）y=x2+(1-a)x+1是关于的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是______．
【答案】a≥5
【分析】分二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时和对称轴在1≤x≤3内时两种情况，根据二次函数的增减性及x的取值范围分别求出a的取值范围即可得答案．
【详解】∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，
①当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，
∵在x=1时取得最大值，
∴对称轴一定在1≤x≤3的右边，
∴x=＞3，即a＞7，
②当对称轴在1≤x≤3内时，
∵在x=1时取得最大值，
∴对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，
∴，即5≤a≤7，（若a取5时，函数在x=1和x=3时都取得最大值）
综上所述：a≥5．
故答案为：a≥5
【点睛】本题考查二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
22．（2025·湖北武汉·统考二模）无论x为何值，关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，则代数式a+b的最大值为_____．
【答案】
【分析】因为关于的代数式的值都是非负数，所以，从而可以用含的不等式表示，将其代入中，变成关于的二次函数，利用配方法可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴＝，
∴的最大值为．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题以及一元二次方程根的问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键.
23．（2025秋·吉林四平·九年级统考期末）抛物线的对称轴为__________．
【答案】
【分析】根据抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x=
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确抛物线的对称轴是直线x= ．
24．（2025秋·山东东营·九年级胜利一中阶段练习）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，对称轴是直线，给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________（把你认为正确的序号都填上，答案格式如：“”）．
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵抛物线的开口方向向下，
∴a<0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 4ac>0,即b2>4ac，
由图象可知：对称轴x= = 1，
∴2a b=0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
由图象可知：当x= 1时y>0，
∴a b+c>0，
∴①②④正确.
故填空答案：①②④.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练的掌握二次函数图象与系数的关系是本题解题的关键.
25．（2025春·九年级单元测试）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则抛物线的解析式为_____．
【答案】或
【详解】如图，设点C的坐标为，则OC=，由已知可得：OA=1，OB=4.
则由勾股定理可得：AC2=OA2+OC2=1+m2，BC2=OB2+OC2=16+m2，AB2=25.
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，即1+m2+16+m2=25，解得m1=2，m2=-2.
∴点C的坐标为(0，2)或(0，-2).
由已知可设抛物线的解析式为：，
分别代入点(0，2)和(0，-2)，解得和，
∴抛物线的解析式为：即或
即.
点睛：（1）本题画出草图可以帮助我们分析寻找解题思路；（2）点C可能在轴的正半轴，也可能在负半轴，两种情况都要考虑，不要忽略了任何一种情况.
三、解答题
26．（2025秋·福建南平·九年级校考期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0
（1）求这个二次函数的解析式
（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）设二次函数为，由题意可得，，，将代入求解即可；
（2）由（1）得，开口向上，即可求解．
【详解】解：（1）设二次函数为，
由题意可得，，，即二次函数为
将代入得
解得
即
故答案为：
（2）由（1）得，开口向上，
由题意可得：当x＝－2与时，y＝0
∴当或时，
故答案为：或
【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质．
27．（2025秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；
（2）令，求出或，则可求出，的坐标，由图象可求出自变量的取值范围．
【详解】解：（1）将代入得，
，
，
，
顶点坐标为；
（2）令得，
解得，，
，，
当时，自变量的取值范围是或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图象与轴的交点．
28．（2025秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，需在公园外的一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示，已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，．
(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离．
(2)若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？
【答案】(1)1
(2)5
【分析】（1）根据题意求得，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（2）令，即，解方程得到，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意得：，，
把B，C代入得，
解得：，
∴拋物线的函数关系式为；
∴图案最高点到地面的距离；
（2）令，即，
∴，
∴，
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
29．（2025春·安徽蚌埠·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)若，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当时，或
【分析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把点代入，得，从而可得抛物线解析式；
（2）由（1）知，抛物线顶点为，对称轴为直线，过原点，根据抛物线的对称性，抛物线过，根据描点法绘制抛物线图像即可；
（3）当时，，解得：，结合函数图象，当时，或．
【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
抛物线解析式为，
即；
（2）解：抛物线的图象如图所示：
（3）解： 当时，，
解得：，
结合函数图象，当时，或．
【点睛】此题考查了二次函数解析式和图像的性质，解题关键是利用待定系数法求二次函数解析式．
30．（2025秋·广东·九年级广州市广外附设外语学校校考阶段练习）已知一个二次函数当时，函数有最大值9，且图象过点．
（1）求这个二次函数的关系式．
（2）设是抛物线上的三点，画出草图，直接写出的大小关系．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据二次函数的性质设，再把代入解析式求解即可；
（2）根据二次函数的解析式画二次函数的简易图象，利用图象比较的大小即可.
【详解】解：（1） 一个二次函数当时，函数有最大值9，
所以设
把 代入得
（2）根据（1）可知抛物线的对称轴为直线x=8
<0，函数图象开口向下，
如图，
则可得y2是函数的最大值；
又 与 是关于对称轴对称，
∴y1=y3
∴
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的图象比较二次函数值的大小，画二次函数的简易图象利用数形结合解题是关键.
31．（2025秋·江苏苏州·九年级统考期末）已知函数y＝－x2＋2x－．
(1)用配方法求它的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出它的简图：
(3)根据图象回答：x取什么值时，y>0．
【答案】(1)(2,);(2)见解析；（3）1【详解】分析：（1）利用配方法步骤得出二次函数的顶点坐标即可；
（2）利用图象与x轴，y轴交点坐标以及顶点坐标，即可得出图象；
（3）利用函数图象，当函数大于0得出，x轴上方部分大于0，即可得出答案．
详解：
（1）y=﹣x2+2x﹣，
=﹣（x2﹣4x）﹣，
=﹣（x2﹣4x+4﹣4）﹣，
=﹣（x﹣2）2+，
∴它的顶点坐标为：（2，）；
（2）∵二次函数的顶点坐标为：（2，）；
∴0=﹣（x﹣2）2+，
∴x=3或1，
∴图象与x轴交点坐标为（3，0），（1，0），
x=0，y=﹣，
∴图象与y轴交点坐标为（0，﹣），如图所示；
（3）利用函数大于0得出，x轴上方部分大于0，
∴当1＜x＜3时，y＞0．
点睛：考查了二次函数的性质以及配方法求二次函数的顶点坐标，利用数形结合得出图象在x轴上方部分y＞0是解题关键．
32．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第五十二中学校考阶段练习）若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围．
【答案】（1）y=-2（x+4）2+3；（2）
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（-5，1）代入求出a的值，即可确定出解析式；
（2）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标（﹣4，3），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2+3，
∵抛物线经过点（-5，1），
∴1=a（-5+4）2+3，
解得：a=-2，则该抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3；
（2）由（1）知抛物线解析式为y=-2（x+4）2+3；．
则抛物线的开口方向向下，且对称轴是直线x=-4，
所以当x=-4时，y有最大值为3，且x>-4时，y随x的增大而减小．x<-4时，y随x的增大而增大，
所以当x=-6时，y=－5，
当x=-1时，y=-15，
所以当当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围．
【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质．
33．（2025秋·广东广州·九年级校考期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求此二次函数解析式和点的坐标；
(2)点在二次函数图象上，且位于第一象限，连接，若，求的面积．
【答案】(1)，．
(2)的面积为6．
【分析】（1）由二次函数的图象与轴交于，两点，再直接写出二次函数的解析式即可，再令，可得，从而可得的坐标；
（2）如图，过作于，而，证明，设，再构建方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴二次函数为：，
令，则，
∴．
（2）如图，过作于，而，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，即，
解得：，
∵位于第一象限，则舍去，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的计算，掌握“利用待定系数法求解二次函数的解析式”是解本题的关键．
34．（2025秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点．
(1)判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
(2)若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点．
① 求a，c的值；
② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围．
【答案】(1)存在且坐标为
(2)① ②
【分析】（1）根据“慧泉”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案；
（2）①根据“慧泉”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值②先根据对称性求出二次函数与的另一交点，再结合图像及二次函数性质可求n的范围
【详解】（1）解：由“慧泉”点定义得：
解得：
当时，
所以存在“慧泉”点，坐标为
（2）解：①∵的图像上有且只有一个“慧泉”点
即有两个相等实根
由根与系数的关系可得：
解得：
②由①得，求得对称轴为，最大值为
画出与的图像，如下图所示
由对称性易求另一交点坐标为
∴由图像可求得：
【点睛】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“慧泉”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键．
35．（2025·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．
（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；
（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．
【答案】（1）x＝4，y＝x2﹣4x+6；（2）(3，-)；（3）4或2+
【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；
（2）根据E点在抛物线y＝x2﹣4x+6上，设E（m，m2﹣4m+6），作EN⊥y轴于N，利用面积的和差：S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE建立方程求解，即可得出结论；
（3）①当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；
②当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出，进而判断出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论．
【详解】解：（1）对称轴为直线x＝﹣，则CD＝4，
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴DC＝AB＝4，
∴A（2，0），B（6，0），
把点 A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；
（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，
∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，
∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，
化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），
∴点E的坐标为（3，﹣）；
（3）①当点Q在对称轴右侧时，如图2，
过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，
∵∠PQE＝∠PME，
∴点E，M，Q，P四点共圆，
∵PE⊥PQ，
∴∠EPQ＝90°，
∴∠EMQ＝90°，
∴∠EMF+∠HMG＝90°，
∵∠HMG+∠HGM＝90°，
∴∠EMF＝∠HGM，
在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，
∴tan∠HGM＝2，
∴，
∴HG＝HM＝1，
∴点G（5，0），
∵M（4，﹣2），
∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，
∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，
联立①②解得，（舍）或，
∴Q（8，6），
∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；
②当点Q在对称轴左侧时，如图3，
过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，
∴∠DQP+∠QPD＝90°，
∵∠EPQ＝90°，
∴∠DPQ+∠FPE＝90°，
∴∠DQP＝∠FPE，
∵∠PDQ＝∠EFP，
∴△PDQ∽△EFP，
∴，
由①知，tan∠PQE＝＝2，
∵EF＝1，
∴＝，
∴DP＝，PF＝2QD，
设Q（n，n2﹣4n+6），
∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，
∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，
∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），
∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，
∴DQ＝4﹣n＝2+，
即点Q到对称轴的距离为4或2+．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像中三角形面积的计算，二次函数与一次函数结合并根据三角形相似等知识计算点（抛物线上的）到直线（对称轴）的距离的综合型题目，难度较大，属于中考压轴题类；在解决此类题目时，一定要分小题进行，具体问题具体分析，一般地：（1）第一小题，用待定系数法求函数解析式，难度不大，只要我们熟练掌握解题方法即可；（2）第二小题，难度加大，一般求解步骤也较繁琐，具有一定的挑战性，需要平时多积累解题方法，在具体问题上灵活变通运用之；（3）属于拔高题, 一般答案不唯一, 需要分类讨论, 需要敏锐的观察能力和高效快捷的数据处理能力.
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专题13 二次函数y=ax +bx+c的图像性质
新知预习
（一）一般式化顶点式
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线,与抛物线y=ax2的形状相同,位置不同.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
（二）二次函数y=ax +bx+c的图像性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时 y最小值= 当 时 y最大值=
（三）待定系数法求解解析式
形式 内容 适用条件
一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解
顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程
（四）函数图像与各系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
新知训练
考点1：一般式化顶点式
典例1：（2025·江苏苏州·模拟预测）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ___________．
【变式1】（2025秋·广东湛江·九年级校考期末）将二次函数化为的形式是______．
【变式2】（2025·安徽滁州·统考一模）已知抛物线（m是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为_________；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，且，则的最大值为_________．
【变式3】（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）关于函数，当时，该函数的顶点坐标为___________．
考点2：二次函数y=ax +bx+c的图像性质
典例2：（2025年吉林省长春市净月高新区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数 的图像上，且总满足，则m的取值范围是______．
【变式1】（2025秋·广西南宁·九年级统考期中）已知抛物线中的满足下表：
… 0 1 2 …
… 0 …
下列结论：抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线；抛物线与轴交点坐标为，﹔当大于2时，随着增大而减小．其中正确结论有___________个．
【变式2】（2025春·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）已知二次函数为常数），则下列结论正确的有________
①抛物线开口向下；
②抛物线与轴交点坐标为；
③当时，随增大而增大；
④抛物线的顶点坐标为．
【变式3】（2025秋·湖北武汉·九年级校联考期末）已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论：
①：
②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
③当时，随的增大而减小；
④为任意实数，若，则代数式 的最小值是．
其中正确的是________(填写序号)．
考点3：求二次函数的对称轴
典例3：（2025秋·九年级单元测试）已知抛物线经过点，，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值范围是___________．
【变式1】（2025秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【变式2】（2025春·北京西城·九年级北京市第一六一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．则抛物线的对称轴是直线______；用含a的代数式表示b，则有______．
【变式3】（2025秋·河南三门峡·九年级统考期中）已知点，在二次函数的图象上，则_____．
考点4：求二次函数的最值
典例4：（2025春·内蒙古鄂尔多斯·九年级校联考阶段练习）海伦公式，也叫三斜求积公式．即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积 ．若，，则此三角形面积的最大值为____________．
【变式1】（2025·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为 4，则______．
【变式2】（2025秋·四川凉山·九年级校考期中）已知二次函数，当，函数的最小值是___________，最大值是___________．
【变式3】（2025秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_______．
考点5：根据函数图像判断式子的符号
典例5：（2025春·广东惠州·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号）
【变式1】（2025·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴相交于点，下列结论：①﹔②B点坐标为，③抛物线的顶点坐标为，④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有_________．
【变式2】（2025秋·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴x=为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（），（）；是抛物线上的两点，则⑤其中正确的结论有________．
【变式3】（2025秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期末）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，在该函数图象上，，其中正确结论有________．（填序号）
考点6：待定系数法求解解析式
典例6：（2025·安徽亳州·统考模拟预测）已知二次函数中的x和y满足下表：
x 0 1 2
y 0 3 4 3 m
(1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
(2)求该二次函数的表达式．
【变式1】（2025春·安徽宿州·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【变式2】（2025秋·甘肃陇南·九年级校考阶段练习）一抛物线与轴的交点是，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标，并求当时，二次函数的最大值．
【变式3】（2025春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
新知检测
1．（2025春·全国·九年级专题练习）某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋·广西崇左·九年级统考阶段练习）将二次函数化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025秋·九年级单元测试）已知二次函数的图象经过与两点，若，是关于的一元二次方程的两根，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2025·山东烟台·中考真题）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）设二次函数，是常数，，已知，则该函数图象可能是（ ）
A．B．C． D．
6．（2025·湖北咸宁·统考一模）二次函数(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 3 …
y … -3 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．抛物线的顶点为(1，3) D．一元二次方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
7．（2025秋·浙江温州·九年级校考期中）已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值
8．（2025秋·内蒙古赤峰·九年级校考期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴x=，且经过点（2，0），下列说法：
①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
9．（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是
A．b2>4ac B．ac>0 C．a–b+c>0 D．4a+2b+c<0
10．（2025秋·山东烟台·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2025春·天津和平·九年级统考阶段练习）如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025春·湖南长沙·八年级长沙市第十五中学校考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当y=﹣2时，x的值只能取0；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2025·广西防城港·统考二模）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2025·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x【 】
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
15．（2025秋·山东威海·九年级校联考期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2） ；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
二、填空题
16．（2025·上海·九年级专题练习）抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 _______．
17．（2025秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则C的值是_______．
18．（2025秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）二次函数y=（x﹣4）2﹣5的最小值是____．
19．（2025·四川雅安·中考真题）从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________．
20．（2025秋·河北唐山·九年级统考期末）如图所示，抛物线的顶点为点，与y轴交于点．若平移该抛物线使其顶点P由移动到，此时抛物线与y轴交于点，则的长度为 _____．
21．（2025秋·浙江杭州·九年级期末）y=x2+(1-a)x+1是关于的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是______．
22．（2025·湖北武汉·统考二模）无论x为何值，关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，则代数式a+b的最大值为_____．
23．（2025秋·吉林四平·九年级统考期末）抛物线的对称轴为__________．
24．（2025秋·山东东营·九年级胜利一中阶段练习）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，对称轴是直线，给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________（把你认为正确的序号都填上，答案格式如：“”）．
25．（2025春·九年级单元测试）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则抛物线的解析式为_____．
三、解答题
26．（2025秋·福建南平·九年级校考期中）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0
（1）求这个二次函数的解析式
（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）
27．（2025秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．
28．（2025秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，需在公园外的一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示，已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，．
(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离．
(2)若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？
29．（2025春·安徽蚌埠·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)若，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ．
30．（2025秋·广东·九年级广州市广外附设外语学校校考阶段练习）已知一个二次函数当时，函数有最大值9，且图象过点．
（1）求这个二次函数的关系式．
（2）设是抛物线上的三点，画出草图，直接写出的大小关系．
31．（2025秋·江苏苏州·九年级统考期末）已知函数y＝－x2＋2x－．
(1)用配方法求它的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出它的简图：
(3)根据图象回答：x取什么值时，y>0．
32．（2025秋·吉林长春·九年级长春市第五十二中学校考阶段练习）若抛物线的顶点坐标是（﹣4，3），且过点（﹣5，1）．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）直接写出当﹣6＜x＜﹣1时，y的取值范围．
33．（2025秋·广东广州·九年级校考期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求此二次函数解析式和点的坐标；
(2)点在二次函数图象上，且位于第一象限，连接，若，求的面积．
34．（2025秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点．
(1)判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
(2)若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点．
① 求a，c的值；
② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围．
35．（2025·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．
（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；
（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．
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