期末真题重组检测卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版

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期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 曲靖期末）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠3 B．x＝3 C．x≠3且x≠0 D．x≠0
2．（2024春 大同期末）将不等式2（x+1）﹣1＞3x的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 集宁区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　）
A．255025 B．255024 C．257048 D．257049
4．（2021秋 余姚市期末）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024春 新郑市期末）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
6．（2024秋 项城市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
7．（2024秋 河源期末）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
8．（2024秋 重庆期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
9．（2024秋 龙马潭区期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
10．（2023春 临朐县期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，连接AE，BD，添加下列条件后不一定使四边形ABDE既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BC C．AC D．AC⊥BC
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 志丹县期末）因式分解：x2﹣4x＝　 　 ．
12．（2021秋 鱼台县期末）　 　 ．
13．（2022春 峄城区期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　 　 ．
14．（2023秋 东营区期末）定义a b＝2a．则方程3 x＝4 2的解为x＝　 　 ．
15．（2025春 天山区校级期末）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 　 　 ．
16．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　 　 个．
三．解答题（共10小题）
17．（2023秋 宁江区校级期末）解方程：．
18．（2019春 东湖区期末）解不等式组．
19．（2024秋 恩施市期末）先化简，再求值，其中x＝2．
20．（2024秋 项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
21．（2024秋 天河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（3，2），B（1，1），C（4，0），△DEF各顶点的坐标为D（3，﹣4），E（5，﹣3），F（2，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 　 　 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
22．（2024秋 旬阳市期末）[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
23．（2023春 永春县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE＝DF．
24．（2024秋 渠县期末）达州市推进“四城同创”，同住一座城，共爱一个家，为了让街道环境更加干净，达州市环卫处决定再购买一批高压清洗车和洗扫车；已知去年一辆高压清洗车比洗扫车少2万元，如果买进相同数量的两种车，高压清洗车需40万元，洗扫车需50万元．
（1）高压清洗车和洗扫车去年每辆售价各为多少万元？
（2）若环卫处用不低于128万元，且不高于134万元资金购进两种车共15辆，试问共有哪些进货方案？
（3）在（2）的条件下，若今年销售公司对高压清洗车每辆涨价1.2万元，为打开洗扫车的销路，公司决定每售出一辆洗扫车，返还顾客现金a（0＜a≤1）万元．请问现在购进这15辆车，采用哪种方案可以使环卫处更节约资金？
25．（2024秋 如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
【方法应用】
（2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长．
26．（2024秋 南漳县期末）【提出问题】
已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即．
【探究验证】
（1）对于，我们可以用“作差法”进行证明：
．
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴，即．
∴
（2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是　 　 （填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1km/h，v2km/h，水流速度为v0km/h，且v1＞v2＞v0＞0，两船同时顺流航行1h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，请通过比较t1，t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D B D C D B A
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 曲靖期末）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠3 B．x＝3 C．x≠3且x≠0 D．x≠0
【解答】解：根据题意得x﹣3≠0，
∴x≠3，
故选：A．
2．（2024春 大同期末）将不等式2（x+1）﹣1＞3x的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：2（x+1）﹣1＞3x，
去括号，得：2x+2﹣1＞3x，
移项，得：2x﹣3x＞﹣2+1，
合并同类项，得：﹣x＞﹣1，
系数化为1，得：x＜1，
解集表示在数轴上如下所示：
故选：D．
3．（2024秋 集宁区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　）
A．255025 B．255024 C．257048 D．257049
【解答】解：设相邻的两个奇数为2n+1，2n﹣1，
则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2024，解得：n≤253，
∴n＝253时，2n+1＝507，2n﹣1＝505，
则在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
32﹣12+52﹣32+…+5072﹣5052＝5072﹣12＝257048，
故选：C．
4．（2021秋 余姚市期末）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，
∴直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣2，0）且y随x增大而减小，
故选：D．
5．（2024春 新郑市期末）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），
∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，
∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，
故选：B．
6．（2024秋 项城市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
【解答】解：A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
D、x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）属于因式分解，符合题意．
故选：D．
7．（2024秋 河源期末）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
∴OB，
∴这个点表示的示数是，
故选：C．
8．（2024秋 重庆期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【解答】解：∵m、n满足，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝4，
∵直角三角形的两直角边长分别为m，n，
∴第三边即斜边的长为：5．
故选：D．
9．（2024秋 龙马潭区期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
【解答】解：∵
＝2，
∴若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
10．（2023春 临朐县期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，连接AE，BD，添加下列条件后不一定使四边形ABDE既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BC C．AC D．AC⊥BC
【解答】解：由题意得，△ABC≌△DEC，A、C、D三点共线，B、C、E三点共线．
∴AC＝DC，BC＝EC．
∴四边形ABDE是平行四边形．
A．根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AB＝BC，四边形ABDE不一定是轴对称图形，那么A符合题意
B．根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AC＝BC，得BE＝AD，此时四边形ABDE是矩形，故四边形ABDE是轴对称图形，那么B不符合题意．
C．根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形，得AC；添加AC，得AD＝BE，故平行四边形ABDE是矩形，则四边形ABDE是轴对称图形，那么C不符合题意．
D．根据中心对称图形的定义，平行四边形ABDE一定是中心对称图形；添加AC⊥BC，故平行四边形ABDE是矩形，则四边形ABDE是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 志丹县期末）因式分解：x2﹣4x＝　x（x﹣4）　 ．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
12．（2021秋 鱼台县期末）　a﹣3　 ．
【解答】解：．
故答案为a﹣3．
13．（2022春 峄城区期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　30　 ．
【解答】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，
∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米．
依题意，得：30．
故答案为：30．
14．（2023秋 东营区期末）定义a b＝2a．则方程3 x＝4 2的解为x＝　　 ．
【解答】解：根据题中的新定义得：
3 x＝2×3，
4 2＝2×4，
∵3 x＝4 2，
∴2×32×4，
解得：x，
经检验，x是分式方程的根．
15．（2025春 天山区校级期末）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 　　 ．
【解答】解：设这些图书有x本，
∵如果每人分5本，那么剩余 12本，
∴这些学生的人数为：5x+12，
∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，
∴可列不等式组为：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，即．
故答案为：．
16．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　5　 个．
【解答】解：在直线AB的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5．
三．解答题（共10小题）
17．（2023秋 宁江区校级期末）解方程：．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1，得
3+2（x﹣1）＝x，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣1＝﹣2≠0，
∴x＝﹣1是原方程的解．
18．（2019春 东湖区期末）解不等式组．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣5，得：x，
则不等式组的解集为：
19．（2024秋 恩施市期末）先化简，再求值，其中x＝2．
【解答】解：原式
，
当x＝2时，原式．
20．（2024秋 项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
21．（2024秋 天河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A（3，2），B（1，1），C（4，0），△DEF各顶点的坐标为D（3，﹣4），E（5，﹣3），F（2，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 　（3，﹣1）　 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小，并写出Q点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【解答】解：（1）如图所示：
∴△A′B′C′即为所求；
（2）由△ABC与△DEF关于点P成中心对称，如图所示，则B与E是对称点，
∵B（1，1），E（5，﹣3），
∴P点的横坐标为，纵坐标为，即点P的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）；
（3）如图所示：
∴点Q即为所求，Q（0，﹣1）．
22．（2024秋 旬阳市期末）[阅读材料]
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用”3+1”分组；若无法构成，则采用”2+2”“分组．
例如，x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．
[应用知识]
（1）因式分解：a2﹣ab+bc﹣ac；
（2）因式分解：﹣a2﹣6ab﹣9b2+9；
[拓展应用]
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）a2﹣ab+bc﹣ac
＝（a2﹣ab）+（bc﹣ac）
＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣c）；
（2）﹣a2﹣6ab﹣9b2+9
＝（﹣a2﹣6ab﹣9b2）+9
＝9﹣（a2+6ab+9b2）
＝32﹣（a+3b）2
＝（3+a+3b）（3﹣a﹣3b）；
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
∵2a2＝c（2a﹣c）+b（2a﹣b），
∴2a2＝2ac﹣c2+2ab﹣b2，
∴2a2﹣2ac+c2﹣2ab+b2＝0，
（a2﹣2ac+c2）+（a2﹣2ab+b2）＝0
（a﹣c）2+（a﹣b）2＝0，
∴a﹣c＝0，a﹣b＝0，
∴a＝c，a＝b，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
23．（2023春 永春县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
24．（2024秋 渠县期末）达州市推进“四城同创”，同住一座城，共爱一个家，为了让街道环境更加干净，达州市环卫处决定再购买一批高压清洗车和洗扫车；已知去年一辆高压清洗车比洗扫车少2万元，如果买进相同数量的两种车，高压清洗车需40万元，洗扫车需50万元．
（1）高压清洗车和洗扫车去年每辆售价各为多少万元？
（2）若环卫处用不低于128万元，且不高于134万元资金购进两种车共15辆，试问共有哪些进货方案？
（3）在（2）的条件下，若今年销售公司对高压清洗车每辆涨价1.2万元，为打开洗扫车的销路，公司决定每售出一辆洗扫车，返还顾客现金a（0＜a≤1）万元．请问现在购进这15辆车，采用哪种方案可以使环卫处更节约资金？
【解答】解：（1）设高压清洗车去年每辆售价为x万元，则洗扫车去年每辆售价为（x+2）万元，
由题意得：，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8+2＝10，
答：高压清洗车去年每辆售价为8万元，洗扫车去年每辆售价为10万元；
（2）设购进高压清洗车m辆，则购进洗扫车（15﹣m）辆，
由题意得：128≤8m+10（15﹣m）≤134，
解得：8≤m≤11，
∵m为正整数，
∴m＝8或m＝9或m＝10或m＝11，
当m＝8时，15﹣m＝15﹣8＝7；
当m＝9时，15﹣m＝15﹣9＝6；
当m＝10时，15﹣m＝15﹣10＝5；
当m＝11时，15﹣m＝15﹣11＝4；
∴共有4种进货方案：
方案1：购进高压清洗车8辆，购进洗扫车7辆；
方案2：购进高压清洗车9辆，购进洗扫车6辆；
方案3：购进高压清洗车10辆，购进洗扫车5辆；
方案4：购进高压清洗车11辆，购进洗扫车4辆；
（3）设总购车费为w万元，购进洗扫车n辆，则购进高压清洗车（15﹣n）辆，
由题意得：w＝（10﹣a）n+（8+1.2）（15﹣n）＝（0.8﹣a）n+138，
当0＜a＜0.8时，则0.8﹣a＞0，w随n的增大而增大，
∴方案4：购进高压清洗车11辆，购进洗扫车4辆，可以使环卫处更节约资金；
当a＝0.8时，w＝138时，（2）中所有方案相同；
当0.8＜a≤1时，0.8﹣a＜0，w随n的增大而减少，
∴方案1：购进高压清洗车8辆，购进洗扫车7辆，可以使环卫处更节约资金．
25．（2024秋 如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
【方法应用】
（2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD；
（2）解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠F，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5，
由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴DF＝AD＝6，
∴CF＝DF﹣CD＝6﹣3.5＝2.5．
26．（2024秋 南漳县期末）【提出问题】
已知m＞n＞0，a＞0，分式的分子、分母都加上a后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数a时，所得分数的值变大，即．
【探究验证】
（1）对于，我们可以用“作差法”进行证明：
．
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴，即．
∴
（2）由（1）我们可猜想：若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系是　＜　 （填“＞”或“＜”），请用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1km/h，v2km/h，水流速度为v0km/h，且v1＞v2＞v0＞0，两船同时顺流航行1h后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1，t2，请通过比较t1，t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
【解答】解：（2）根据作差法求解可得：
＜；证明如下：
，
∵q＞p＞0，
∴p﹣q＜0．
∵c＞0，c（p﹣q）＜0．
∴，即．
∴若q＞p＞0，c＞0，则与的大小关系．
故答案为：＜，见解答；
（3）若p＞q＞0，c＞0时，（2）中的不等式不成立．
∵p＞q＞0，c＞0，
∴p﹣q＞0，p+c＞0，
∴，即，
∴，
正确的式子为．
（4）t1＜t2的大小，甲船先返回A港，理由如下：
，．
∴，
，
∵v1＞v2＞v0＞0，
∴v2﹣v1＜0，
∵v0＞0，
∴2v0（v2﹣v1）＜0．
∴，即t1﹣t2＜0．
∴t1＜t2．
∴甲船先返回A港．
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