期末真题重组检测卷（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组检测卷（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-09 13:04:28 | ||
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文档简介
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期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 大余县期末）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
2．（2024秋 西山区期末）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 文昌期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
4．（2024秋 徐水区期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF
5．（2024秋 阳江期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水
6．（2024秋 重庆期末）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春 同安区期末）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中A（0，2），B（2，1），C（5，3），点M（x1，y1），N（x2，y2）是这两条线段上的点，则正确的结论是（ ）
A．当x1＞x2＞0时，y1＞y2
B．当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2
C．当1＜x1＜x2＜3时，y1＜y2
D．当2＜x1＜x2＜5时，y1＜y2
8．（2024秋 河口区期末）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
9．（2024秋 安次区期末）如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（ ）
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
10．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 饶平县期末）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ ．
12．（2024秋 阜平县期末）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”）
13．（2024秋 天津期末）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是 ．
14．（2025春 天山区校级期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ．
15．（2024秋 临颍县期末）如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，CD＝5，△BCE的周长为22，则BE＝ ．
16．（2024秋 丰城市期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 房山区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
18．（2024秋 东湖区期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）若2×4x×8x＝216，求x的值．
19．（2024秋 项城市期末）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
20．（2024秋 长春期末）补全下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB、EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝ （ ）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴， ＝ （角平分线的定义）．
∴∠1＝ （等式的性质）．
∴CD∥EF（ ）．
21．（2024秋 巫山县期末）如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝ °；
（2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝ °；
（3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）；
（4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 ．
22．（2024秋 埇桥区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
23．（2024秋 吴桥县期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 ＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得BO＝1.2m，DO＝2.5m，求AC的长度．
24．（2024秋 醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C C D A A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 大余县期末）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10．
故选：B．
2．（2024秋 西山区期末）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3．（2024秋 文昌期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a4，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
D、（a3）3＝a9，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2024秋 徐水区期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E＝∠B，
A、∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故B不符合题意；
C、∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
∴EF＝BC，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故C不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故D不符合题意；
故选：A．
5．（2024秋 阳江期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水
【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意；
B、画饼充饥，是不可能事件，不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，符合题意；
D、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
6．（2024秋 重庆期末）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中∠1与∠2是对顶角，
故选：C．
7．（2023春 同安区期末）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中A（0，2），B（2，1），C（5，3），点M（x1，y1），N（x2，y2）是这两条线段上的点，则正确的结论是（ ）
A．当x1＞x2＞0时，y1＞y2
B．当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2
C．当1＜x1＜x2＜3时，y1＜y2
D．当2＜x1＜x2＜5时，y1＜y2
【解答】解：A、当x1＞x2＞0时，y随x的增大先减小后增大，不能比较y1与y2的大小，故A选项不符合题意；
B、当0＜x1＜x2＜2时，y随x的增大而减小，y1＞y2，故B选项不符合题意；
C、当1＜x1＜x2＜3时，y随x的增大先减小后增大，不能比较y1与y2的大小，故C选项不符合题意；
D、当2＜x1＜x2＜5时，y随x的增大而增大，y1＜y2，故D选项符合题意．
故选：D．
8．（2024秋 河口区期末）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
【解答】解：设，将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为1Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
9．（2024秋 安次区期末）如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（ ）
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
【解答】解：要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：A．
10．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
【解答】解：如图：
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠3＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝70°，
∴∠3+∠4＝40°+70°＝110°，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 饶平县期末）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 16 ．
【解答】解：∵3m＝4，3n＝2，
∴3m+2n＝3m 32n＝3m （3n）2＝4×22＝16．
故答案为：16．
12．（2024秋 阜平县期末）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 黄 灯．（填“红、绿、黄”）
【解答】解：∵遇到红灯的概率；
遇到绿灯的概率；
遇到黄灯的概率，
∴遇到黄灯的可能性最小．
故答案为：黄．
13．（2024秋 天津期末）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是 a2﹣9 ．
【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣32＝a2﹣9．
故答案为：a2﹣9．
14．（2025春 天山区校级期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 112° ．
【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，
∵AB∥MN，
∴AB∥DG∥EH∥MN，
∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE，
∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，
∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°，
∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°，
故答案为：112°．
15．（2024秋 临颍县期末）如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，CD＝5，△BCE的周长为22，则BE＝ 6 ．
【解答】解：由条件可知BC＝2CD＝10，CE＝BE，
∵△BCE的周长为22，
∴BC+BE+CE＝BC+2BE＝22，即10+2BE＝22，
∴BE＝6，
故答案为：6．
16．（2024秋 丰城市期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ 1或或12 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【解答】解：①当E在BC上，D在AC上时，即0＜t，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1；
②当E在AC上，D在AC上时，即t＜6，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t；
③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12．
综上所述，当t＝1或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 房山区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
18．（2024秋 东湖区期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）若2×4x×8x＝216，求x的值．
【解答】解：（1）根据题意可知，am＝2，an＝3，
∴a3m+2n
＝a3m a2n
＝（am）3 （an）2
＝23×32
＝8×9
＝72；
（2）∵2×4x×8x
＝2×（22）x×（23）x
＝21+2x+3x
＝216，
∴1+2x+3x＝16，
5x＝15，
解得：x＝3．
19．（2024秋 项城市期末）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
【解答】解：（1）绿化的面积是（2a+b） （a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．
20．（2024秋 长春期末）补全下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB、EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝ ∠DEB （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴， ∠2 ＝ ∠DEB （角平分线的定义）．
∴∠1＝ ∠2 （等式的性质）．
∴CD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【解答】证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等式的性质）．
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
21．（2024秋 巫山县期末）如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝ 15 °；
（2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝ 30 °；
（3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）；
（4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 ∠AOC＝2∠DOE ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝15°．
故答案为：15；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝30°．
故答案为：30；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α（90°＜α＜180°），
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣90°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴；
（4）设∠AOC＝x（0°＜x＜180°），
①如图1，图2，当0°＜x≤90°时，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝x，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣x，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴，
即∠AOC＝2∠DOE；
②如图3，当90°＜x＜180°时，
同（3）可得：，
则∠AOC＝2∠DOE；
综上，∠AOC与∠DOE的数量关系为∠AOC＝2∠DOE，
故答案为：∠AOC＝2∠DOE．
22．（2024秋 埇桥区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面积为．
23．（2024秋 吴桥县期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 ∠DCO ＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 OD 的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得BO＝1.2m，DO＝2.5m，求AC的长度．
【解答】（1）解：第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量OD的长度，即为点A距地面的高度．
理由如下：
∵AO⊥OD，
∴∠AOB＝∠DOC＝90°，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，
故答案为：∠DCO，OD；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC＝1.2m，OA＝OD＝2.5m，
∴OA﹣OC＝OD﹣OB＝2.5﹣1.2＝1.3m，
即AC＝1.3m．
24．（2024秋 醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD∠BAD∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
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期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 大余县期末）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
2．（2024秋 西山区期末）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 文昌期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
4．（2024秋 徐水区期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF
5．（2024秋 阳江期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水
6．（2024秋 重庆期末）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春 同安区期末）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中A（0，2），B（2，1），C（5，3），点M（x1，y1），N（x2，y2）是这两条线段上的点，则正确的结论是（ ）
A．当x1＞x2＞0时，y1＞y2
B．当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2
C．当1＜x1＜x2＜3时，y1＜y2
D．当2＜x1＜x2＜5时，y1＜y2
8．（2024秋 河口区期末）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
9．（2024秋 安次区期末）如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（ ）
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
10．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 饶平县期末）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ ．
12．（2024秋 阜平县期末）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 灯．（填“红、绿、黄”）
13．（2024秋 天津期末）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是 ．
14．（2025春 天山区校级期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ．
15．（2024秋 临颍县期末）如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，CD＝5，△BCE的周长为22，则BE＝ ．
16．（2024秋 丰城市期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 房山区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
18．（2024秋 东湖区期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）若2×4x×8x＝216，求x的值．
19．（2024秋 项城市期末）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
20．（2024秋 长春期末）补全下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB、EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝ （ ）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴， ＝ （角平分线的定义）．
∴∠1＝ （等式的性质）．
∴CD∥EF（ ）．
21．（2024秋 巫山县期末）如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝ °；
（2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝ °；
（3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）；
（4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 ．
22．（2024秋 埇桥区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
23．（2024秋 吴桥县期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 ＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得BO＝1.2m，DO＝2.5m，求AC的长度．
24．（2024秋 醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
期末真题重组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C C D A A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 大余县期末）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10
C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10．
故选：B．
2．（2024秋 西山区期末）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3．（2024秋 文昌期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a4，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
D、（a3）3＝a9，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2024秋 徐水区期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E＝∠B，
A、∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故B不符合题意；
C、∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
∴EF＝BC，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故C不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故D不符合题意；
故选：A．
5．（2024秋 阳江期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水
【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意；
B、画饼充饥，是不可能事件，不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，符合题意；
D、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
6．（2024秋 重庆期末）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中∠1与∠2是对顶角，
故选：C．
7．（2023春 同安区期末）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中A（0，2），B（2，1），C（5，3），点M（x1，y1），N（x2，y2）是这两条线段上的点，则正确的结论是（ ）
A．当x1＞x2＞0时，y1＞y2
B．当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2
C．当1＜x1＜x2＜3时，y1＜y2
D．当2＜x1＜x2＜5时，y1＜y2
【解答】解：A、当x1＞x2＞0时，y随x的增大先减小后增大，不能比较y1与y2的大小，故A选项不符合题意；
B、当0＜x1＜x2＜2时，y随x的增大而减小，y1＞y2，故B选项不符合题意；
C、当1＜x1＜x2＜3时，y随x的增大先减小后增大，不能比较y1与y2的大小，故C选项不符合题意；
D、当2＜x1＜x2＜5时，y随x的增大而增大，y1＜y2，故D选项符合题意．
故选：D．
8．（2024秋 河口区期末）某电路图如图1所示．结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
【解答】解：设，将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为1Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
9．（2024秋 安次区期末）如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（ ）
A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
【解答】解：要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：A．
10．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
【解答】解：如图：
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠3＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝70°，
∴∠3+∠4＝40°+70°＝110°，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 饶平县期末）若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 16 ．
【解答】解：∵3m＝4，3n＝2，
∴3m+2n＝3m 32n＝3m （3n）2＝4×22＝16．
故答案为：16．
12．（2024秋 阜平县期末）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 黄 灯．（填“红、绿、黄”）
【解答】解：∵遇到红灯的概率；
遇到绿灯的概率；
遇到黄灯的概率，
∴遇到黄灯的可能性最小．
故答案为：黄．
13．（2024秋 天津期末）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是 a2﹣9 ．
【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣32＝a2﹣9．
故答案为：a2﹣9．
14．（2025春 天山区校级期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 112° ．
【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，
∵AB∥MN，
∴AB∥DG∥EH∥MN，
∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE，
∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，
∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°，
∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°，
故答案为：112°．
15．（2024秋 临颍县期末）如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，CD＝5，△BCE的周长为22，则BE＝ 6 ．
【解答】解：由条件可知BC＝2CD＝10，CE＝BE，
∵△BCE的周长为22，
∴BC+BE+CE＝BC+2BE＝22，即10+2BE＝22，
∴BE＝6，
故答案为：6．
16．（2024秋 丰城市期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ 1或或12 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【解答】解：①当E在BC上，D在AC上时，即0＜t，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1；
②当E在AC上，D在AC上时，即t＜6，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t；
③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12．
综上所述，当t＝1或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 房山区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
18．（2024秋 东湖区期末）将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值；
（2）若2×4x×8x＝216，求x的值．
【解答】解：（1）根据题意可知，am＝2，an＝3，
∴a3m+2n
＝a3m a2n
＝（am）3 （an）2
＝23×32
＝8×9
＝72；
（2）∵2×4x×8x
＝2×（22）x×（23）x
＝21+2x+3x
＝216，
∴1+2x+3x＝16，
5x＝15，
解得：x＝3．
19．（2024秋 项城市期末）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
【解答】解：（1）绿化的面积是（2a+b） （a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．
20．（2024秋 长春期末）补全下面的证明：
已知：如图，AC∥DE，CD平分∠ACB、EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝ ∠DEB （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴， ∠2 ＝ ∠DEB （角平分线的定义）．
∴∠1＝ ∠2 （等式的性质）．
∴CD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【解答】证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等式的性质）．
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
21．（2024秋 巫山县期末）如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝ 15 °；
（2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝ 30 °；
（3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）；
（4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 ∠AOC＝2∠DOE ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝15°．
故答案为：15；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝30°．
故答案为：30；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α（90°＜α＜180°），
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣90°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴；
（4）设∠AOC＝x（0°＜x＜180°），
①如图1，图2，当0°＜x≤90°时，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝x，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣x，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD＝45°，
∴，
即∠AOC＝2∠DOE；
②如图3，当90°＜x＜180°时，
同（3）可得：，
则∠AOC＝2∠DOE；
综上，∠AOC与∠DOE的数量关系为∠AOC＝2∠DOE，
故答案为：∠AOC＝2∠DOE．
22．（2024秋 埇桥区期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面积为．
23．（2024秋 吴桥县期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到 ∠DCO ＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 OD 的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得BO＝1.2m，DO＝2.5m，求AC的长度．
【解答】（1）解：第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量OD的长度，即为点A距地面的高度．
理由如下：
∵AO⊥OD，
∴∠AOB＝∠DOC＝90°，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，
故答案为：∠DCO，OD；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC＝1.2m，OA＝OD＝2.5m，
∴OA﹣OC＝OD﹣OB＝2.5﹣1.2＝1.3m，
即AC＝1.3m．
24．（2024秋 醴陵市期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD∠BAD∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
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