华师大版数学八年级上册第13章第二节13.3.1等腰三角形的性质同步练习
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八年级上册第13章第二节13.3.1等腰三角形的性质同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 162.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-23 08:55:04 | ||
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文档简介
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华师大版数学八年级上册13.3.1等腰三角形的性质同步练习
一.选择题
1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A.12 B.9 C.12或9 D.9或7
答案：A
解答：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
分析：利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
答案：C
解答：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°，
故选：A．
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
答案：C
解答：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=(180°-70°)=55°．
故选C．
分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A.36° B.54° C.18° D.64°
答案：B
解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-36°=54°．
故选：B．
分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
5.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A.50° B.80° C.50°或80° D.40°或65°
答案：C
解答：
如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
分析：先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
6.在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A.1cm＜AB＜4cm B.3cm＜AB＜6cm
C.4cm＜AB＜8cm D.5cm＜AB＜10cm
答案：C
解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（16-2x）cm，
∴，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．
分析：设AB=AC=x，则BC=16-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
7.如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
A.55° B.45° C.35° D.65°
答案：A
解答：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°-125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
分析：首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．
8.已知等腰三角形的腰长为2，底边长不可能的是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解答：∵等腰三角形腰长是2，
∴2+2=4
∴底边不可能是4．
故选D．
分析：根据等腰三角形的性质与三角形三边关系，可确定答案．
9.在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
答案：C
解答：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC的平分线长为16．
故选C．
分析：根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长．
10.等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.35°或110° B.35°或20° C.20°或55° D.35°或55°
答案：B
解答：
如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高．
①当∠A=70°时，
则∠ABC=∠C=55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-55°=35°；
②当∠C=70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-70°=20°；
故选B．
分析：题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
11.等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A.40° 40° B.80° 20°
C.50° 50° D.50° 50°或80° 20°
答案：D
解答：∵一个外角等于100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-100°=80°，
①80°角是顶角时，底角是（180°-80°）=50°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°；
②80°角是底角时，顶角是180°-80°×2=20°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°，
综上所述，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°或80°，20°．
故选D．
分析：先求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等分情况讨论求解．
12.等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）
A.4 B.10 C.4或10 D.以上答案都不对
答案：C
解答：根据题意，分两种情况：
当腰长大于底边时，腰长为7+3=10；
当腰长小于底边时，腰长为7-3=4．
故选C．
分析：根据已知条件结合等腰三角形的性质进行分析，注意分腰长大于底边和腰长小于底边求解．
13.已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A.6 B.22 C.6或22 D.10或18
答案：A
解答：如图：
设AD=x则，当2x+x=15时，x=5，即AB=AC=10，
∵周长是15+27=42，
∴BC=22（不符合三角形三边关系，舍去）；
当2x+x=27时，x=9，即AB=AC=18，
∵周长是15+27=42，
∴BC=6，
综上可知，底边BC的长为6．
故选：A．
分析：分两种情况讨论：当AB+AD=15，BC+DC=27或AB+AD=27，BC+DC=15，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为10，10，22（不合题意，舍去）或18，18，6．所以BC的长为6cm．
14.如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：D
解答：∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，
∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选D．
分析：根据全等三角形对应边相等可得BP=CP，AP=DP，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，然后利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠PBC=15°；再根据等腰直角三角形的性质可得∠PAD=45°，再根据同旁内角互补求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判断出PC与AB垂直．
15.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
答案：C
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选C．
分析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
二.填空题
16.等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 .
答案： 120°
解答：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
17.等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是 .
答案： 0＜x＜12
解答：根据三边关系可知：6-6＜x＜6+6，
即0＜x＜12．
故答案为：0＜x＜12．
分析：由已知条件腰长是6，底边长为x，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为 .
答案： 36°
解答：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故答案为：36°．
分析：根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=
.
答案： 25°
解答：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴∠BAD=∠BAC=25°．
故答案为：25°
分析：根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可．
20.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，则∠DPC=
答案： 20°
解答：在△APD中，AP=AD
∴∠APD=∠ADP=80°
∴∠PAD=180°-80°-80°=20°
∴∠BAP=60°-20°=40°
∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°，
故答案为：20°．
分析：在△APD中，求得∠PAD的度数，进而求得∠APC的度数，进而即可求解．
三.解答题
21.若点D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．
答案： 108°
解答：设∠B=x，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=x，
∵AB=AC=CD，
∴∠C=∠B=x，
∠CAD=∠CDA=∠B+∠BAD=x+x=2x，
在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°.
分析：设∠B=x，根据等边对等角表示出∠BAD，∠C，∠CAD=∠CDA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDA，然后利用三角形的内角和定理列方程求出x，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
22.证明：等腰三角形底边中点到两腰距离相等．（请画出图形并写出已知.求证及证明过程）
答案： 略.
解答：已知：如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AD=BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E.F，
求证：DE=DF，
证明：∵AC=BC，AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF.
分析：作出图形，根据文字叙述写出已知，求证，然后根据等腰三角形三线合一可得∠ACD=∠BCD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明．
23.如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
答案： 100°
解答：设∠BAD=x．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=2x．
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴2x+x=60°，
∴x=20°，
∴∠B=∠BAC=40°．
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.
分析：设∠BAD=x．由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．由AC=BC，得出∠B=∠BAC=2x．根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=60°，即2x+x=60°，求得x=20°，那么∠B=∠BAC=40°．然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠C=180°-∠B-∠BAC=100°．
24.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B.∠C.∠BAD.∠CAD的度数．
答案： ∠B=∠C=40°，∠BAD=∠CAD=50°
解答：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°；
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=50°.
分析：先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由三角形内角和定理即可求出∠B的度数，根据等腰三角形三线合一的性质即可求出∠BAD的度数．
25.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE是中线，AD与BE交于点M．
（1） 猜想线段AM与DM的数量关系，并证明．
答案：AM=2DM，理由略.
解答：AM=2DM．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥BC，BE是中线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴AM=BM，
在Rt△BDM中，∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM，
∴AM=2DM；
（2）请你写出（1）证明过程中所用到的两条定理的详细内容．
答案：等腰三角形顶角的平分线.底边上的高和底边的中线互相重合；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
解答：等腰三角形顶角的平分线.底边上的高和底边的中线互相重合；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：（1）先根据等边三角形的性质得到BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，再根据等腰三角形的“三线合一”，由AD⊥BC，BE是中线得到∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的判定得AM=BM，然后在Rt△BDM中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BM=2DM，于是有AM=2DM；
（2）可写出等腰三角形的性质定理和含30度的直角三角形的性质．
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华师大版数学八年级上册13.3.1等腰三角形的性质同步练习
一.选择题
1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A.12 B.9 C.12或9 D.9或7
答案：A
解答：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
分析：利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
答案：C
解答：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°，
故选：A．
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
答案：C
解答：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=(180°-70°)=55°．
故选C．
分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A.36° B.54° C.18° D.64°
答案：B
解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-36°=54°．
故选：B．
分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
5.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A.50° B.80° C.50°或80° D.40°或65°
答案：C
解答：
如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
分析：先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
6.在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A.1cm＜AB＜4cm B.3cm＜AB＜6cm
C.4cm＜AB＜8cm D.5cm＜AB＜10cm
答案：C
解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（16-2x）cm，
∴，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．
分析：设AB=AC=x，则BC=16-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
7.如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
A.55° B.45° C.35° D.65°
答案：A
解答：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°-125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
分析：首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．
8.已知等腰三角形的腰长为2，底边长不可能的是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解答：∵等腰三角形腰长是2，
∴2+2=4
∴底边不可能是4．
故选D．
分析：根据等腰三角形的性质与三角形三边关系，可确定答案．
9.在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
答案：C
解答：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC的平分线长为16．
故选C．
分析：根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长．
10.等腰三角形的一个内角是70°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A.35°或110° B.35°或20° C.20°或55° D.35°或55°
答案：B
解答：
如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高．
①当∠A=70°时，
则∠ABC=∠C=55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-55°=35°；
②当∠C=70°时，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-70°=20°；
故选B．
分析：题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．
11.等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A.40° 40° B.80° 20°
C.50° 50° D.50° 50°或80° 20°
答案：D
解答：∵一个外角等于100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-100°=80°，
①80°角是顶角时，底角是（180°-80°）=50°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°；
②80°角是底角时，顶角是180°-80°×2=20°，
与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°，
综上所述，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°或80°，20°．
故选D．
分析：先求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等分情况讨论求解．
12.等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）
A.4 B.10 C.4或10 D.以上答案都不对
答案：C
解答：根据题意，分两种情况：
当腰长大于底边时，腰长为7+3=10；
当腰长小于底边时，腰长为7-3=4．
故选C．
分析：根据已知条件结合等腰三角形的性质进行分析，注意分腰长大于底边和腰长小于底边求解．
13.已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A.6 B.22 C.6或22 D.10或18
答案：A
解答：如图：
设AD=x则，当2x+x=15时，x=5，即AB=AC=10，
∵周长是15+27=42，
∴BC=22（不符合三角形三边关系，舍去）；
当2x+x=27时，x=9，即AB=AC=18，
∵周长是15+27=42，
∴BC=6，
综上可知，底边BC的长为6．
故选：A．
分析：分两种情况讨论：当AB+AD=15，BC+DC=27或AB+AD=27，BC+DC=15，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为10，10，22（不合题意，舍去）或18，18，6．所以BC的长为6cm．
14.如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：D
解答：∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，
∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选D．
分析：根据全等三角形对应边相等可得BP=CP，AP=DP，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，然后利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠PBC=15°；再根据等腰直角三角形的性质可得∠PAD=45°，再根据同旁内角互补求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判断出PC与AB垂直．
15.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
答案：C
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选C．
分析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
二.填空题
16.等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 .
答案： 120°
解答：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
17.等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是 .
答案： 0＜x＜12
解答：根据三边关系可知：6-6＜x＜6+6，
即0＜x＜12．
故答案为：0＜x＜12．
分析：由已知条件腰长是6，底边长为x，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为 .
答案： 36°
解答：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故答案为：36°．
分析：根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=
.
答案： 25°
解答：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴∠BAD=∠BAC=25°．
故答案为：25°
分析：根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可．
20.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，则∠DPC=
答案： 20°
解答：在△APD中，AP=AD
∴∠APD=∠ADP=80°
∴∠PAD=180°-80°-80°=20°
∴∠BAP=60°-20°=40°
∴∠APC=∠B+∠BAP=60°+40°=100°
∴∠DPC=∠APC-∠APD=100°-80°=20°，
故答案为：20°．
分析：在△APD中，求得∠PAD的度数，进而求得∠APC的度数，进而即可求解．
三.解答题
21.若点D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．
答案： 108°
解答：设∠B=x，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=x，
∵AB=AC=CD，
∴∠C=∠B=x，
∠CAD=∠CDA=∠B+∠BAD=x+x=2x，
在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°.
分析：设∠B=x，根据等边对等角表示出∠BAD，∠C，∠CAD=∠CDA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDA，然后利用三角形的内角和定理列方程求出x，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
22.证明：等腰三角形底边中点到两腰距离相等．（请画出图形并写出已知.求证及证明过程）
答案： 略.
解答：已知：如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AD=BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E.F，
求证：DE=DF，
证明：∵AC=BC，AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF.
分析：作出图形，根据文字叙述写出已知，求证，然后根据等腰三角形三线合一可得∠ACD=∠BCD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明．
23.如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
答案： 100°
解答：设∠BAD=x．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=2x．
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴2x+x=60°，
∴x=20°，
∴∠B=∠BAC=40°．
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.
分析：设∠BAD=x．由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．由AC=BC，得出∠B=∠BAC=2x．根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=60°，即2x+x=60°，求得x=20°，那么∠B=∠BAC=40°．然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠C=180°-∠B-∠BAC=100°．
24.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B.∠C.∠BAD.∠CAD的度数．
答案： ∠B=∠C=40°，∠BAD=∠CAD=50°
解答：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°；
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=50°.
分析：先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由三角形内角和定理即可求出∠B的度数，根据等腰三角形三线合一的性质即可求出∠BAD的度数．
25.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE是中线，AD与BE交于点M．
（1） 猜想线段AM与DM的数量关系，并证明．
答案：AM=2DM，理由略.
解答：AM=2DM．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥BC，BE是中线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，
∴AM=BM，
在Rt△BDM中，∵∠DBM=30°，
∴BM=2DM，
∴AM=2DM；
（2）请你写出（1）证明过程中所用到的两条定理的详细内容．
答案：等腰三角形顶角的平分线.底边上的高和底边的中线互相重合；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
解答：等腰三角形顶角的平分线.底边上的高和底边的中线互相重合；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：（1）先根据等边三角形的性质得到BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，再根据等腰三角形的“三线合一”，由AD⊥BC，BE是中线得到∠BAD=30°，∠ABE=∠CBE=30°，根据等腰三角形的判定得AM=BM，然后在Rt△BDM中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BM=2DM，于是有AM=2DM；
（2）可写出等腰三角形的性质定理和含30度的直角三角形的性质．
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