华师大版数学八年级上册第13章第二节13.3.2等腰三角形的判定同步练习

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华师大版数学八年级上册第13.3.2等腰三角形的判定同步练习
一.选择题
1.在△ABC，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80° D.∠A=40°，∠B=80°
答案：C
解答：当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，
当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，
当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，
所以B选项错误．
当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，
所以C选项正确．
当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，
当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°
所以D选项错误．
故选C．
分析：根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
2.下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（　　）
A.1，1，2 B.2，2，5 C.3，3，5 D.3，4，5
答案：C
解答：A.∵1+1=2，无法构成三角形，故此选项错误；
B.∵2+2＜5，无法构成三角形，故此选项错误；
C.∵3+3＞5，3=3，故组成等腰三角形，此选项正确；
D.∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
分析：根据三角形三边关系以及等腰三角形的判定分别分析得出即可．
3.如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解答：∵∠A=36°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°-36°-72°=72°，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠A=36°．
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠AEC=180°-36°-36°=108°，
∴∠BEC=72°．
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC．
∴△BEC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC，△ABE，△BEC，
故选：B．
分析：根据∠A=36°，∠B=72°利用三角形内角和定理求出∠ACB=72°，故可得AB=AC，利用由DE垂直平分AB，求出∠ACE的度数，然后可得∠BEC=∠B，同理即可证明：△ABE，△BEC是等腰三角形．
4.有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解答：由题意可得，
3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；
6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；
12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，
故最多能组成3个等腰三角形，
故选：C．
分析：由题意，可分情况：3cm作腰，6cm作底或12cm作底；6cm作腰，3cm作底或12cm作底；12cm作腰，3cm或6cm作底；再根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，判定等腰三角形的个数．
5.如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A.B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
答案：B
解答：如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故选B．
分析：分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A.B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
6.如图，点A.B分别在两条坐标轴上，且AB=2BO，在坐标轴上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
答案：D
解答：当P在x轴上时，AB=AP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一个，AB=BP时，P点有一个
当P在y轴上时，AB=BP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一个，AB=AP时，P点有一个，
综上所述：符合条件的P点有8个，
故答案为：D．
分析：分类讨论：P在x轴上，P在y轴上，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E.D，则DE的长为（　　）
A.14 B.16 C.18 D.20
答案：A
解答：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6 BC=10 根据勾股定理，得AB=8，
∵DE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE．
同理可得：AD=AC，
∴DE=AD+AE=AB+AC=14．
故选A
分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB=10；然后由平行线的性质.角平分线的性质推知∠E=∠ABE，则AB=AE．同理可得，AD=AC，所以线段DE的长度转化为线段AB.AC的和．
8.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解答：
（1）∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故选B．
分析：根据在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=75°，然后可得等腰三角形．
9.在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（　　）
A.有两个内角分别为110°，40°的三角形
B.有两个内角分别为70°，55°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形
D.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
答案：A
解答：A.有两个内角分别为110°，45°的三角形，第三个角是25°，不可以构成等腰三角形，故本选项错误；
B.有两个内角分别为70°，55°的三角形，第三个角是55°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；
C.有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形，与外角相邻的内角是80°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；
D.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形，故本选项正确．
故选A．
分析：根据等腰三角形判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可．
10.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A=30°.∠B=60° B.AB=3.BC=7，周长为13
C.AB=AC=2，BC=4 D.∠A=50°.∠B=80°
答案：D
解答：解：A.∠C=180°-30°-60°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
B.AC=13-3-7=3，不能构成三角形，选项错误；
C.AB+AC=BC，则不能构成三角形，选项错误；
D.∠C=180°-∠A-∠B=50°=∠A，则三角形是等腰三角形，选项正确．
故选D．
分析：判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断．
11.在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是（　　）
A.∠A：∠B：∠C=1：1：3 B.a：b：c=2：2：3
C.∠B=50°，∠C=80° D.2∠A=∠B+∠C
答案：D
解答：A.∵∠A：∠B：∠C=1：1：3，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
B.∵a：b：c=2：2：3
∴a=b，即BC=AB，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
C.∵∠A=180°-∠B-∠C=50°
∴∠A=∠B
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故选项正确；
D.由2∠A=∠B+∠C不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项错误．
故选D．
分析：根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断．
12.下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
答案：D
解答：A.两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B.三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D.两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选D．
分析：根据等边三角形的定义可知：满足三边相等.有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．
13.三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
解答：如图，
AD是△ABC的角平分线和中线，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF．
∵AD是中线，
∴BD=CD．
∴Rt△BDE≌Rt△CDF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．
故选：C．
分析：画出图形，从点D向两边作垂线段DE和DF，由角平分线的性质知DE=DF，易证Rt△BDE≌Rt△CDF，有∠B=∠C，由等角对等边知AB=AC，故三角形是等腰三角形．
14.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）
A.10 B.15 C.20 D.25
答案：D
解答：∵BO平分∠CBA，
∴∠EBO=∠OBC，
∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，
∵AB=10，AC=15，
∴△AEF的周长为25．
故选D．
分析：由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△OEB和△OFC是等腰三角形，△AEF的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△AEF的周长.
15.如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　）
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
答案：A
解答：
∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE
又∵∠A=∠B=∠C=60°
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）
∴DF=ED=EF
∴△DEF是一个等边三角形
故选A．
分析：根据题意证得以△ADF≌△BED≌△CFE即可求证．
二.填空题
16.若三角形三边长满足+|a-c|=0，则△ABC的形状是 .
答案：等边三角形
解答：∵+|a-c|=0，
∴a-b=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形，
故答案为：等边三角形．
分析：由非负数的性质可得到a=b=c，可判定其形状．
17.在△ABC中，∠B=∠C=45°，AD是边BC上的中线，那么图中等腰三角形的个数为
.
答案： 3
解答：∵∠B=∠C=45°，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∵AD是边BC上的中线，
∴AD=BC=BD=DC，
∴图中等腰三角形有△ACB，△ADC，△ADB．
故答案为：3．
分析：根据等角对等边得出AB=AC，根据直角三角形斜边上中线性质得出AD=BD=CD，根据等腰三角形的判定推出即可．
18.△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC= .
答案： 1：1
解答：∵∠A=65°，∠B=50°
∴∠C=65°=∠A
∴AB=BC
∴AB：BC=1：1．
故填1：1．
分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据等角对等边得到，AB=BC，从而不难求得两者的比值．
19.如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
答案： A
解答：∵∠AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：A．
分析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
20.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是 个.
答案： 7
解答：
①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，
∵∠B=∠C，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故答案是：7个．
分析：根据题中条件，结合图形可得△ABC，△AOB，△AOC，△BOD，△DOE，△COE，△BOC共7个等腰三角形．
三.解答题
21.如图，AD平分∠BAC，AB∥CD，求证：△ACD为等腰三角形．
答案：
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴△ACD为等腰三角形.
分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠ADC，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后求出∠ADC=∠CAD，再根据等腰三角形的判定证明即可．
22.如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形．
答案：
解答：根据折叠的性质：△ACE≌△ADE，AC=AD，∠ADE=∠ACB=90°，
∵AE=BE，
∴AD=BD，
∴AB=2AD=2AC，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形．
分析：根据折叠的性质：△ACE≌△ADE，AC=AD，∠ADE=∠ACB=90°，根据等腰三角形三线合一得出点D恰为AB的中点，从而得出AB=2AD=2AC，又∠C=90°，故∠B=30°，所以∠CAB=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证得．
23.如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
答案：
解答：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∵BD⊥AD
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD+∠B=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
分析：由AD平分∠BAC，得出∠EAD=∠CAD，DE∥AC，得出∠CAD=∠ADE，进一步得出∠EAD=∠ADE，再进一步利用等角的余角相等得出∠BDE=∠B，证得结论．
24.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
答案：
解答：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
分析：首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD=∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案
25.如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形．
答案：
解答：∵BD=BE，
∴∠D=∠BED，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF，
∵DF⊥AC，
∴∠A+∠D=90°，∠CEF+∠C=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
分析：先根据BD=BE得出∠D=∠BED，再利用对顶角相等和等角的余角相等证明即可．
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