华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.1互逆命题与互逆定理同步练习

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华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.1互逆命题与互逆定理同步练习
一、选择题
1. 下列说法错误的是（　　）
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题不一定为真
D．任何命题都是由条件和结论构成的
答案：B
解答：A．任何命题都有逆命题，正确，故本选项错误；
B．任何定理不一定都有逆定理，故本选项正确；
C．真命题的逆命题不一定为真，正确，故本选项错误；
D．任何命题都是由条件和结论构成的，正确，故本选项错误．
故选B．
分析：根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
2. 下列说法正确的是（　　）
A．“相等的角是对顶角”不是命题
B．“两直线平行，同位角相等”是公理
C．“三角形外角和等于360°”没有逆命题
D．“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是假命题
答案：B
解答：A，不正确，因为存在某些角相等但不是对顶角；
B，正确，因为它是平行线性质中的公理；
C，不正确，因为存在逆命题；
D，由等边三角形的判定知“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”是真命题，故选项错误．
故选B．
分析：根据常用的定理对各个选项进行分析，从而得到正确答案．
3．下列说法错误的是（　　）
A．任意一个命题都有逆命题
B．定理“全等三角形的对应角相等”有逆定理
C．正方形都全等是假命题
D．“画平行线”不是命题
答案：B
解答：A．命题都有题设和结论，交换题设和结论，就得到逆命题，正确；
B．定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误；
C．所有正方形形状相同，但大小不一样，故不一定全等，正确；
D．画平行线是作图，没有题设与结论，不是命题，正确．
故选B．
分析：根据命题、逆命题的定义，正方形的性质，逐一检验．
4．下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等
D．同位角相等，两直线平行
答案：C
解答：A、两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行；
B、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；
C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题；
D、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等；
故选：C．
分析：分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理．
5．对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③公理是由基本定义出发，通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理，其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
解答：“对顶角相等”逆命题是“相等的角是对顶角”从这个例子可看出①对②错．
定理是由基本定义出发，通过推理判断为正确的命题，故③错．
“同位角相等”是假命题，定理都是真命题．故④错．
故选A．
分析：通过举“对顶角相等”说明①是正确的②是错误的；公理也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律；定理都是真命题．
6．下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
答案：B
解答：A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；
B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选B．
分析：先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
7．下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．两个锐角互余的三角形是直角三角形
B．等腰三角形两腰上的高相等
C．全等三角形的周长相等
D．有一个锐角对应相等的两直角三角形全等
答案：C
解答：A．其逆命题是“直角三角形的两个锐角互余”，正确，所以有逆定理；
B．其逆命题是“如果一个三角形两腰上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”正确，所以有逆定理；
C．其逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形，错误，所以没有逆定理；
D．其逆命题是“两直角三角形全等，它的一个锐角对应相等”，正确，所以有逆定理；
故选C．
分析：先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
8．下列定理有逆定理的是（　　）
A．直角都相等
B．若a=b，则|a|=|b|
C．末位数是2的整数被2整除
D．两直线平行，内错角相等
答案：D
解答：A．直角都相等的逆命题是：相等的角都是直角，是假命题，故本选项错误；
B．若a=b，则|a|=|b|的逆命题是：若|a|=|b|，则a=b，是假命题，因为|a|=|b|时，a也可能等于-b，故本选项错误；
C．末位数是2的整数被2整除的逆命题是：被2整除的整数末位数是2，是假命题，末尾数是0也可以被2整除，故本选项错误；
D．两直线平行，内错角相等的逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题，故本选项正确．
故选D．
分析：先求出各选项定理的逆命题，再分别进行判断，然后利用排除法求解．
9．下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．内错角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．相反数的绝对值相等
D．同位角相等，两直线平行
答案：C
解答：内错角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行的逆定理为两直线平行，同旁内角互补；相反数的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两数相等，它为假命题；同位角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，同位角相等．
故选C．
分析：根据平行线的判定与性质对A、B、D进行判断；根据相反数和绝对值的意义对C进行判断．
10．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．对顶角相等
D．等边三角形的三个内角相等
答案：C
解答：A、原命题与逆命题均正确，不符合题意；
B、原命题与逆命题均正确，不符合题意；
C、原命题正确，逆命题错误，符合题意；
D、原命题与逆命题均正确，不符合题意；
故选C．
分析：分别判断每个命题与其逆命题的正确与否后即可得到正确的选项．
11．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　　）
A．若a=b，则
B．若ab=1，则a与b互为倒数
C．若a+b=0，则a与b互为相反数
D．全等三角形的三对对应边相等
答案：A
解答：A．错误，逆命题是“若，则a=b”，因为当时a，b可以相等，也可以互为相反数；
B．正确，逆命题是“若a与b互为倒数，则ab=1”，是真命题；
C．正确，逆命题是“若a与b互为相反数，则a+b=0”，是真命题；
D．正确，逆命题是“三对边相等的两个三角形全等”，是真命题．
故选A．
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
12．下列命题中，为真命题的是（　　）
A．六边形的内角和为360度
B．多边形的外角和与边数有关
C．三角形的内角和为360度
D．三角形两边的和大于第三边
答案：D
解答：A．六边形的内角和为720°，错误；
B．多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；
C．三角形的内角和等于180°，错误；
D．三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选D．
分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
13．下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．三角形的高的交点都在三角形的内部
C．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
D．相等的角是对顶角
答案：D
解答：A.各边相等、各角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；
B.只有锐角三角形高的交点在三角形的内部，所以B选项错误；
C.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，所以C选项正确；
D.相等的角不一定是对顶角，所以D选项错误．
故选D．
分析：根据正多边形的定义对A进行判断；根据三角形高的定义画图对B进行判断；根据三角形中线性质对C进行判断；根据对顶角的性质对D进行判断．
14．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的对应角相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．等边三角形的三边相等
答案：D
解答：A，其逆命题是：面积相等的三角形全等．两个面积相等但形状不同的三角形不全等，因为面积有两个变量底和高，故是假命题；
B，其逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形．大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等，故是假命题；
C，其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．三个角不全是60°的锐角三角形不是等边三角形，故是假命题；
D，其逆命题是：三边相等的三角形是等边三角形，符合等边三角形的定义，故是真命题；
故选D．
分析：分别写出各个选项的逆命题然后根据全等三角形和等边三角形的性质进行判定真假．
15．下列命题中，逆命题正确的是（　　）
A．如果两个角的和等于90°，则这两个角互余
B．全等三角形的周长相等
C．全等三角形面积相等
D．全等三角形对应角相等
答案：C
解答：A．原命题的逆命题是：如果两个角互余，则这两个角的和等于90°，真命题；
B．原命题的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，假命题；
C．原命题的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；
D．原命题的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；
故选A．
分析：先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．
二、填空题
16. “等角的补角相等”的逆命题是 .
答案：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等
解答：“等角的补角相等”的题设是：两个角相等，结论是：这两个角的补角相等，所以逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
17. 所给命题的逆命题能否成为逆定理：如果三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角一定是锐角． （填能成为逆定理或不能成为逆定理）.
答案：不能成为逆定理
解答：逆命题是：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么三角形另一个角是钝角，是假命题，故不能成为逆定理；
故答案为：不能成为逆定理；
分析：首先得出命题的逆命题，进而得出是否是逆定理；
18. “同位角相等”的逆命题是 .
答案：相等的角是同位角
解答：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．
故答案为：相等的角是同位角．
分析：“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．
19. 请写出定理：“等腰三角形的两条腰相等”的逆定理为： .
答案：有两条边相等的三角形是等腰三角形
解答：定理：“等腰三角形的两条腰相等”的逆定理为：有两条边相等的三角形是等腰三角形．
分析：将已知定理的条件和结论部分互换，即可得到结果．
20. 命题“如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题是
，这个逆命题是 命题（填“真”或“假”）
答案：直角三角形的两个锐角互余|真
解答：命题“如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题是直角三角形的两个锐角互余，这是真命题，
故答案为：直角三角形的两个锐角互余，真．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
三、解答题
21. 写出下列命题的逆命题，并判断真假性．
（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
答案：若a＞0，b＞0，则a+b＞0|真命题
解答：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0的逆命题是若a＞0，b＞0，则a+b＞0，正确，故是真命题.
（2）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等．
答案：若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称|假命题
解答：两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等的逆命题是若两个图形全等，则这两个图形关于某条直线对称，错误，故是假命题.
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
22. 请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．
答案： 对应角相等的三角形是全等三角形|假命题
解答：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，
举例证明：
如图DE∥BC，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，
但△ADE与△ABC不全等．
分析：根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题，进而判断它的真假，再举例证明即可．
23. 写出命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
答案：两个角相等时，这两个角的两边互相垂直|原命题和逆命题都是假命题．
解答：命题“若两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”的题设是“两个角的两边互相垂直”，结论是“这两个角相等”，
故其逆命题是两个角相等时，这两个角的两边互相垂直．
原命题和逆命题都是假命题．
举例证明：如图1，∠1与∠2的两边互相垂直，但是∠1≠∠2，
所以原命题是假命题；
如图2，OC平分∠AOB，∠AOC=∠BOC，但是∠AOC与∠BOC的两边不是互相垂直，
所以原命题的逆命题也是假命题．
图1 图2
分析：根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而判断它的真假，再举反例即可．
24. 已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
答案：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形|成立
解答：已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：∠BAD=∠CAD．
证明：
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
它的逆命题是：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形，成立．
分析：根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可．
25. 已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
（1）写出逆命题；
答案：逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
解答：逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
答案：真命题
解答：真命题．
已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等，
求证：这个三角形ABC是等腰三角形．
证明：如图：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AD，
∵∠A=∠A，
∵BD=CE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC，
∴AB=AC，
∴三角形ABC是等腰三角形．
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；判断逆命题是真命题，画出图形判断即可．
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