华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.2线段的垂直平分线同步练习
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.2线段的垂直平分线同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 208.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-23 09:03:07 | ||
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文档简介
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华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.2线段的垂直平分线同步练习
一、选择题
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
答案：B
解答：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
2．如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
答案：C
解答：∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB
∴∠B=∠DAB
∵∠C=90°，∠CAD=20°
∴∠B=（180°-∠C-∠CAD）÷2=35°
故选C
分析：由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°-∠ADB）÷2答案可得．
3．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：C
解答：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
答案：A
解答：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°-24°=48°，
故选：A．
分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
答案：D
解答：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=（180°-100°）÷2=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
分析：首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
6．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
答案：C
解答：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7-4=3（cm）．
故选：C．
分析：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
答案：D
解答：
【解答】解：在Rt△ACE中，由勾股定理，得
AE==13
由线段垂直平分线的性质，得
BE=AE=13，
故选：D．
分析：根据勾股定理，可得AE的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得答案．
8．等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．9
答案：B
解答：设AB的中点为D，
∵DG为AB的垂直平分线
∴GA=GB （垂直平分线上一点到线段两端点距离相等），
∴三角形GBC的周长=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17，
又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC，
∴AB+BC=17，
∴BC=17-AB=17-10=7．
故选B．
分析：根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，得GB=GA，即△GBC的周长=AC+BC，从而就求得了BC的长．
9．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．115° B．75° C．105° D．50°
答案：A
解答：∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，
∴∠EBD=∠ABC=25°，
∵AD垂直平分线段BC，
∴EB=EC，∠ADC=90°，
∴∠C=∠EBD=25°，
∴∠AEC=∠ADC+∠C=115°．
故选A．
分析：由BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，可求得∠EBD的度数，然后由AD垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质，可得EB=ED，继而求得∠C的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．
10．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
答案：C
解答：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴EC+ED+CD=24①，（AB+AC+BC）-（AE+ED+CD+AC）=（AE+BE+2CD）-（AE+ED+CD）=BE+CD-ED=12②，
①-②得：2ED=12，
解得：ED=6．
故选C．
分析：由DE是BC边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，BD=CD，又由△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可得EC+ED+CD=24①，BE+CD-ED=12②，继而求得答案．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE
答案：C
解答：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE=AB，
∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A、B正确；
∴∠CAD=30°，
∴AD是∠BAC的平分线
∵CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故D正确；
故选C．
分析：分别根据线段垂直平分线及角平分线的性质对四个答案进行逐一判断即可．
12．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
答案：A
解答：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°．
故选A．
分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分AB．若AD=6，则CD的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：B
解答：连接BD，
∵DE垂直平分AB，AD=6，
∴BD=AD=6，∠DBA=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD=3，
故选：B．
分析：根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD=6，∠DBA=∠A=30°，根据直角三角形的性质求出CD的长．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．13 B．19 C．10 D．16
答案：B
解答：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，
故选B．
分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出三角形ABD周长=AB+BC=13cm，即可求出答案．
15．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
答案：C
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴NB=NA，∴∠NBA=∠A=36°，
∴∠NBC=∠ABC-∠NBC=36°，
∴BN平分∠ABC，①正确；
∠BNC=∠A+∠NBC=72°，
∴∠BNC=∠ACB，
∴△BCN是等腰三角形，②正确；
△BMN是直角三角形，△BCN是锐角三角形，∴△BMN≌△BCN不正确，③错误；
△BCN的周长等于BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=AB+BC，④正确，
故选：B．
分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质证明NB=NA，进行判断即可．
二、填空题
16. 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= .
答案：5
解答：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB=PA=5．
故答案为：5．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PA．
17．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
答案：16
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16（cm）．
故答案为：16．
分析：首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于
答案：4
解答：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，
∴BD=AD=5，
∵BC=8，
∴CD=BC-BD=3，
∴AC=4，
故答案是：4．
分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点G、F，若∠BAC=115°，则∠EAF= ．
答案：50°
解答：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=2∠BAE，∠AFE=∠CAF+∠C=2∠CAF，
∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=65°，
∴2∠B+2∠C=130°，
∴∠AEF+∠AFE=130°，
∴∠EAF=180°-130°=50°．
故答案为：50°
分析：由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，AF=CF，即可得∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，又由∠BAC=115°，易求得∠B+∠C=65°，继而求得∠EAF的度数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F分别在AB，AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C=70°，则∠EDF= ．
答案：50°
解答：由DF垂直平分AB，得
∠BDF=90°，AD=BD．
又由E是BC的中点，得
DE∥AC，
∠DEB=∠C=70°．
由AB=AC，得
∠B=∠C=70°．
由三角形的内角和定理，得
∠BDE=180°-∠B-∠DEB=180°-70°-70°=40°．
由余角的定义，得
∠EDF=∠BDF-∠BDE=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
分析：根据线段垂直平分线的性质，可得∠BDF度数，根据等腰三角形的性质，可得∠B的度数，根据三角形中位线的性质，可得∠DEB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠BDE的度数，根据余角的定义，可得答案．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线上交AB于点D，交AC于点E，已知△EBC的周长为10，AC-BC=2，求AB与BC的长．
答案：AB=6| BC=4
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+EC=AC，
∵△EBC的周长为10，
∴AC+BC=10，
∵AC-BC=2，
∴AC=6，BC=4
∴AB=6，BC=4．
分析：首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而得到BE+EC=AC，再由△EBC的周长为10可得AC+BC=10，然后与AC-BC=2联立，组成方程组，解方程组即可．
22．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．
答案：20°
解答：在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠BAE=∠B，
同理可得∠CAF=∠C，
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=20°．
分析：在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠EAG．
23．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，DE垂直平分AC交AB于点D，交AC于点E．求证：AD=BC．
答案：
解答：∵△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，
∴∠ACB=∠B=2∠A，
∴5∠A=180°，解得∠A=36°，
∴∠B=72°，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=36°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=BC，
∴AD=BC．
分析：先根据△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求出∠A的度数，进而得出∠ACB与∠B的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出∠A=∠ACD，再根据三角形外角的性质即可求出∠CDB的度数，进而得出结论．
24．如图，△ABC中，∠BAC=135°，点P、Q在边BC上，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，并且AP=8，AQ=6，求BC的长．
答案：20
解答：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=135°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=90°．
∵AP=8，AQ=6，
∴PQ=10，
∴BC=20．
分析：由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB，QA=QC，继而可得∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，再利用勾股定理计算出PQ的长，进而可求得答案．
25．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB，△BEC周长为22，BC=9．
（1）求∠EBC的度数；
答案：36°
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°；
（2）求三角形ABC周长．
答案：35
解答：∵△BEC周长为22，EA=EB，
∴AC+BC=22，
又∵BC=9，
∴AC=13，
∴三角形ABC周长=13+13+9=35．
分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质求出∠ABE的度数，计算得到答案；根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，求出AC的长，求出三角形ABC周长．
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华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.2线段的垂直平分线同步练习
一、选择题
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
答案：B
解答：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
2．如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
答案：C
解答：∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB
∴∠B=∠DAB
∵∠C=90°，∠CAD=20°
∴∠B=（180°-∠C-∠CAD）÷2=35°
故选C
分析：由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°-∠ADB）÷2答案可得．
3．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
答案：C
解答：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
4．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
答案：A
解答：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-60°-24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°-24°=48°，
故选：A．
分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
答案：D
解答：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=（180°-100°）÷2=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
分析：首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
6．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
答案：C
解答：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7-4=3（cm）．
故选：C．
分析：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
答案：D
解答：
【解答】解：在Rt△ACE中，由勾股定理，得
AE==13
由线段垂直平分线的性质，得
BE=AE=13，
故选：D．
分析：根据勾股定理，可得AE的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得答案．
8．等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．9
答案：B
解答：设AB的中点为D，
∵DG为AB的垂直平分线
∴GA=GB （垂直平分线上一点到线段两端点距离相等），
∴三角形GBC的周长=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17，
又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC，
∴AB+BC=17，
∴BC=17-AB=17-10=7．
故选B．
分析：根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，得GB=GA，即△GBC的周长=AC+BC，从而就求得了BC的长．
9．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．115° B．75° C．105° D．50°
答案：A
解答：∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，
∴∠EBD=∠ABC=25°，
∵AD垂直平分线段BC，
∴EB=EC，∠ADC=90°，
∴∠C=∠EBD=25°，
∴∠AEC=∠ADC+∠C=115°．
故选A．
分析：由BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，可求得∠EBD的度数，然后由AD垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质，可得EB=ED，继而求得∠C的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．
10．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
答案：C
解答：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴EC+ED+CD=24①，（AB+AC+BC）-（AE+ED+CD+AC）=（AE+BE+2CD）-（AE+ED+CD）=BE+CD-ED=12②，
①-②得：2ED=12，
解得：ED=6．
故选C．
分析：由DE是BC边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，BD=CD，又由△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可得EC+ED+CD=24①，BE+CD-ED=12②，继而求得答案．
11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC=AE=BE B．AD=BD C．AC=BD D．CD=DE
答案：C
解答：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE=AB，
∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A、B正确；
∴∠CAD=30°，
∴AD是∠BAC的平分线
∵CD⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故D正确；
故选C．
分析：分别根据线段垂直平分线及角平分线的性质对四个答案进行逐一判断即可．
12．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
答案：A
解答：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°．
故选A．
分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分AB．若AD=6，则CD的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：B
解答：连接BD，
∵DE垂直平分AB，AD=6，
∴BD=AD=6，∠DBA=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD=3，
故选：B．
分析：根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD=6，∠DBA=∠A=30°，根据直角三角形的性质求出CD的长．
14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．13 B．19 C．10 D．16
答案：B
解答：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，
故选B．
分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出三角形ABD周长=AB+BC=13cm，即可求出答案．
15．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，下面结论：①BN平分∠ABC；②△BCN是等腰三角形；③△BMN≌△BCN；④△BCN的周长等于AB+BC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
答案：C
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴NB=NA，∴∠NBA=∠A=36°，
∴∠NBC=∠ABC-∠NBC=36°，
∴BN平分∠ABC，①正确；
∠BNC=∠A+∠NBC=72°，
∴∠BNC=∠ACB，
∴△BCN是等腰三角形，②正确；
△BMN是直角三角形，△BCN是锐角三角形，∴△BMN≌△BCN不正确，③错误；
△BCN的周长等于BN+CN+BC=AN+CN+BC=AC+BC=AB+BC，④正确，
故选：B．
分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，根据线段垂直平分线的性质证明NB=NA，进行判断即可．
二、填空题
16. 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= .
答案：5
解答：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB=PA=5．
故答案为：5．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PA．
17．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
答案：16
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16（cm）．
故答案为：16．
分析：首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于
答案：4
解答：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，
∴BD=AD=5，
∵BC=8，
∴CD=BC-BD=3，
∴AC=4，
故答案是：4．
分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点G、F，若∠BAC=115°，则∠EAF= ．
答案：50°
解答：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=2∠BAE，∠AFE=∠CAF+∠C=2∠CAF，
∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=65°，
∴2∠B+2∠C=130°，
∴∠AEF+∠AFE=130°，
∴∠EAF=180°-130°=50°．
故答案为：50°
分析：由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，AF=CF，即可得∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，又由∠BAC=115°，易求得∠B+∠C=65°，继而求得∠EAF的度数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F分别在AB，AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C=70°，则∠EDF= ．
答案：50°
解答：由DF垂直平分AB，得
∠BDF=90°，AD=BD．
又由E是BC的中点，得
DE∥AC，
∠DEB=∠C=70°．
由AB=AC，得
∠B=∠C=70°．
由三角形的内角和定理，得
∠BDE=180°-∠B-∠DEB=180°-70°-70°=40°．
由余角的定义，得
∠EDF=∠BDF-∠BDE=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
分析：根据线段垂直平分线的性质，可得∠BDF度数，根据等腰三角形的性质，可得∠B的度数，根据三角形中位线的性质，可得∠DEB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠BDE的度数，根据余角的定义，可得答案．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线上交AB于点D，交AC于点E，已知△EBC的周长为10，AC-BC=2，求AB与BC的长．
答案：AB=6| BC=4
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+EC=AC，
∵△EBC的周长为10，
∴AC+BC=10，
∵AC-BC=2，
∴AC=6，BC=4
∴AB=6，BC=4．
分析：首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而得到BE+EC=AC，再由△EBC的周长为10可得AC+BC=10，然后与AC-BC=2联立，组成方程组，解方程组即可．
22．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．
答案：20°
解答：在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠BAE=∠B，
同理可得∠CAF=∠C，
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=20°．
分析：在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠EAG．
23．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，DE垂直平分AC交AB于点D，交AC于点E．求证：AD=BC．
答案：
解答：∵△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，
∴∠ACB=∠B=2∠A，
∴5∠A=180°，解得∠A=36°，
∴∠B=72°，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=36°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=BC，
∴AD=BC．
分析：先根据△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求出∠A的度数，进而得出∠ACB与∠B的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出∠A=∠ACD，再根据三角形外角的性质即可求出∠CDB的度数，进而得出结论．
24．如图，△ABC中，∠BAC=135°，点P、Q在边BC上，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，并且AP=8，AQ=6，求BC的长．
答案：20
解答：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=135°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=90°．
∵AP=8，AQ=6，
∴PQ=10，
∴BC=20．
分析：由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB，QA=QC，继而可得∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，再利用勾股定理计算出PQ的长，进而可求得答案．
25．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB，△BEC周长为22，BC=9．
（1）求∠EBC的度数；
答案：36°
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°；
（2）求三角形ABC周长．
答案：35
解答：∵△BEC周长为22，EA=EB，
∴AC+BC=22，
又∵BC=9，
∴AC=13，
∴三角形ABC周长=13+13+9=35．
分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质求出∠ABE的度数，计算得到答案；根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，求出AC的长，求出三角形ABC周长．
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