华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.3角平分线同步练习

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华师大版数学八年级上册第13章第五节13.5.3角平分线同步练习
一、选择题
1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
答案：D
解答：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．
故选D．
分析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：A
解答：如图，
过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
分析：过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）
A． B．2 C．3 D．+2
答案：C
解答：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
分析：根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．2
答案：C
解答：
过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
分析：首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．
5．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：A
解答：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于CD，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=10-6=4，
∴点D到AB的距离是4．
故选A．
分析：由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．
6．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（　　）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
答案：D
解答：∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．
故选D．
分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，则AC长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
答案：D
解答：∵DE=3，AB=6，
∴△ABD的面积为×3×6=9，
∵=15，
∴△ADC的面积=15-9=6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴AC边上的高=DE=3，
∴AC=6×2÷3=4，
故选D．
分析：先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解．
8．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
答案：D
解答：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，
∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．
故选D．
分析：根据角平分线的定义与性质即可判断．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
答案：B
解答：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，
故选B
分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
10．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
答案：D
解答：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选D．
分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
答案：D
解答：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选D．
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
12．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
答案：A
解答：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
分析：根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
13．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OP=26，PE=10，则OD的长为（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
答案：D
解答：∵∠POA=∠POB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，∠PDO=90°，
∵PE=10，
∴PD=10，
∵OP=26，
∴OD=24，
故选D．
分析：根据角平分线性质求出PE=PD=10，再进一步求解即可．
14．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD
答案：D
解答：A．∵∠POB=∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，正确，故本选项错误；
B．∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，
∵OP=OP，PE=PD，
∴OE=OD，正确，故本选项错误；
C．∵∠PEO=∠PDO=90°，∠POB=∠POA，
∴由三角形的内角和定理得：∠DPO=∠EPO，正确，故本选项错误；
D．根据已知不能推出PD=OD，错误，故本选项正确；
故选D．
分析：由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得PD=PE，∠1=∠2，∠DPO=∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．
15. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：C
解答：如图，
过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF=PE，
同理可得PG=PE，
∵AD∥BC，
∴点F、P、G三点共线，
∴EG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为2+2=4．
故选C．
分析：过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，PG=PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离．
二、填空题
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是 ．
答案：6
解答：∵BC=15，BD：DC=3：2
∴CD=6
∵∠C=90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=6．
故答案为：6．
分析：首先由线段的比求得CD=6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离．
17．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=10，则PE的长度为 ．
答案：10
解答：∵点P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴PD=PE，
∵PD=10，
∴PE=10，
故答案为：10．
分析：根据角平分线性质得出PE=PD，代入求出即可．
18．如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为 cm．
答案：4
解答：∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，
∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵AD=AC-CD=10-6=4cm，
∴DE=4cm．
故填4．
分析：由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得DE=AD，而AD=AC-CD=10-6=4cm，即可求解．
19．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=7cm，当PE= cm时，点P在∠AOB的平分线上．
答案：7
解答：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=7cm，
∴当PE=PD，即PE=7cm时，P在∠AOB的平分线，
故答案为：7．
分析：根据角平分线性质得出PD=PE，代入求出即可．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．
答案：5
解答：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，
∴AD=3，
∵AB=4，
∴BD=5．
分析：根据角平分线的性质得到AD=3，进一步求得BD．
三、解答题
21. 在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
答案：
解答：
已知：点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
求证：PE=PF．
证明：在△POE和△POF中，
∠POE=∠POF，∠PEO=∠PFO=90°，OP=OP，
∴△POE≌△POF，
∴PE=PF．
分析：根据题意画出图形，写出已知和求证，根据确定三角形的判定和性质证明结论．
22．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
答案：
解答：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
分析：根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
23．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
答案：
解答：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
答案：
解答：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△DCF中
BD=DC，BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．
分析：首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
25．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；
答案：
解答：∠PCD=∠PDC．
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．
答案：
解答：OP是CD的垂直平分线．
理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
PC=PD，OP=OP，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD，
由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线．
分析：∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；
根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．
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