14.3 角的平分线
知识点1 角平分线的性质
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
内心:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
知识点2 角平分线的判定
判定:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
例1 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于点E,CD=4,则DE 的
长为 .
解析:∵BD 平分∠ABC,∠ACB=90°,DE⊥AB 于点E,∴DE=CD=4.故答案:4.
例2 如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC,交AC 于点D,若AD=2,BC=6,则
△BCD 的面积为 .
解析:如图,过点D 作DE⊥BC 交于点E,∵DE⊥BC,∠A=90°,BD 平分∠ABC,∴DE=
AD=2,∵BC=6,∴S△BCD=
1
2BC
·DE=12×6×2=6.
例3 如图,AB=AC,BD=CD,DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N.求证:DM=DN.
79
DB=DC,
解析:连接AD,在△ABD 和△ACD 中, BA=CA,∴△ABD≌△ACD SSS ,∴∠BAD=
AD=AD,
∠CAD,又∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN.
例4 如图,△ABC 中,D,E 分别是边AB,AC 延长线上的点,AP 平分∠BAC,BP 平分
∠CBD,求证:CP 平分∠BCE.
证明:过点P 分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC.
∵AP 平分∠BAC(已知),
且PF⊥AD,PG⊥AE,
∴ (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∵BP 平分∠CBD,
且 ,
∴PF=PH,
∴ (等量代换).
又∵PG⊥AE,PH⊥BC,
∴CP 平分∠BCE( ).
解析:过点P 分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC.∵AP 平分∠BAC(已知),且PF⊥AD,
PG⊥AE,∴PG=PF(角平分线上的点到角的两边的距离相等).∵BP 平分∠CBD,且PH⊥
BC,∴PF=PH,∴PH=PG(等量代换).又∵PG⊥AE,PH⊥BC,∴CP 平分∠BCE(角的内
部到角的两边距离相等的点在角平分线上).
例5 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,CE⊥AD,垂足为点E.如果CE=1BC,2 ∠CAD=
18°,那么∠B= °.
解析:过点A 作AF⊥CB,∵AB=AC,∴CF=12BC
,∵CE=12BC
,∴CE=
CF,∵CE⊥AD,∴AC 平 分∠EAF,∴∠EAC=∠FAC,∵AB=AC,
∴△ACB 为等腰三角形,∴AF 平分∠CAB,∵∠CAD=18°,∴∠FAB=18°,
80
∴∠B=180°-90°-18°=72°.故答案:72.
例6 如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,∠BAD=120°,∠ABC 的平分线BE 交AC 于点E,
过点E 作EF⊥AB 交BA 的延长线于点F,且∠AEF=60°,连接DE.求证:DE 平分∠ADC.
解析:如图,过点E 作EG⊥AD 于点G,EH⊥BC 于点H.
∵EF⊥AB,∠AEF=60°,∴∠EAF=90°-60°=30°.∵∠BAD=120°,∴∠CAD=180°-
120°-30°=30°,∴∠EAF=∠CAD=30°,即AC 平分∠DAF.又∵EF⊥AF,EG⊥AD,∴EF
=EG.∵BE 是角平分线,EF⊥AB,EH⊥BC,∴EF=EH,∴EG=EH,∴点E 在∠ADC 的
平分线上,∴DE 平分∠ADC.
例7 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,
AC 于点M 和N,再分别以点M 和N 为圆心,大于1MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,作射2
线AP 交BC 于点D,则下列结论:①AD 是△ABC 的角平分线;②点D 在线段AB 的垂直平分
线上;③∠ADC=60°;④S△ABC∶S△ADC=3∶1,其中正确结论的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①根据尺规作角平分线的知识可知AD 是∠BAC 的平分线,故①正确;②∵在△ABC 中,
∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠CAD=∠BAD=
1
2∠CAB=30°.∴∠BAD=∠B=30°
,∴AD=BD,∴点D 在AB 的垂直平分线上,故②正确;
③∵∠CAD=30°,∠C=90°.∴∠ADC=90°-∠CAD=60°,故③正确;④∵在Rt△ACD 中,
∠CAD=30°,∴CD=1AD,∵AD=BD,2 BD+CD=BC
,∴BC=32AD
,∵S 1△ABC= AC·2
BC=3AC·AD,S 1△DAC= AC·CD=
1AC·AD,∴S△ABC∶S△ADC=3∶1,故④正确4 2 4 .
综上所
述,正确的结论:①②③④,共有4个.故选D.
例8 某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园,使其到三条公路的距
离相等,请问物流园所建位置应是 ( )
A.三角形三条角平分线的交点 B.三角形三边垂直平分线的交点
81
C.三角形三条中线的交点 D.三角形三条高的交点
解析:∵角平分线上的点到角两边的距离相等,∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分
线的交点上.故选:A.
1.如图,在△ABC 中,BP 平分∠ABC,AP⊥BP 于点P,连接PC,若△PAB 的面积为10,
△PAC 的面积为4,则△PBC 的面积为 ( )
A . 9 B . 12 C . 14 D.18
第1题 第2题 第3题
2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,ED⊥AB 于D 且ED=EC,如果∠A=40°,那么∠EBD 的
度数是 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.如图,在△ABC 中,D,E 为边AC 上两点,连接BD,BE,DF⊥BE 于点F,若∠A=90°,AD
=DF,∠DBF=25°,则∠BEC 的度数为 ( )
A.115° B.120° C.125° D.140°
4.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O,过O 点作EF∥BC 交AB 于点
E,交AC 于点F,过点O 作OD⊥AC 于D,下列四个结论.①EF=BE+CF;②∠BOC=90°
+12∠A
;③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S 1△AEF=2mn
,
正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第4题 第5题 第6题
5.某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条
公路的距离相等,则可供选择的地址 ( )
A.仅有一处 B.有四处 C.有七处 D.有无数处
6.如图,已知在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,且CD=7,则点D 到AB 边的距离
为 .
82
7.在Rt△ABC 中,∠C=90°,作∠CAB 的平分线AP 交BC 于点D.若AB=10,S△ABD=20,则
CD 的长为 .
第7题 第8题 第9题 第10题
8.如图,在△ABC 中,∠CAB=50°,点D 在△ABC 的外部,且AD 平分∠BAC,过点D 作
DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC 于点F,连接BD.若∠BCE=104°,DE=
DF,则∠DBC的度数为 .
9.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点F,过点F 作DE∥BC,交
AB 于点D,交AC 于点E,下列结论:
①DE=BD+CE;
②∠BFC=90°+∠A;
③点F 一定在BC 的垂直平分线上;
④点F 到AB,AC,BC 三边的距离相等.
其中所有正确的结论是 .(填序号)
10.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面积
分别为50和38,则△EDF 的面积为 .
11.如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点E,点F 在AC 上,BD=DF.
(1)求证:BE=FC;
(2)若AB=15,AF=9,求FC 的长.
12.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC 于点F,交CD 于点E,连接EA,
若EA 平分∠DEF.
(1)求证:△ABF≌△ACD;
(2)若BF=7,DE=3,求CF 的长.
83
13.如图,铁路OA 和铁路OB 交于O 处,河道AB 与铁路分别交于A 处和B 处,试在河岸上建
一座水厂M,要求M 到铁路OA,OB 的距离相等,则该水厂M 应建在图中什么位置 请在
图中标出M 点的位置.
14.如图,已知OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.求证:
(1)PO 平分∠APB;
(2)OP 是AB 的垂直平分线.
15.如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE⊥AB 于点E,∠B+∠AFD=180°,点F 在AC 上,
BD=DF.
(1)求证:AD 平分∠BAC;
(2)求证:AB=AF+2BE.
16.如图,△ABC 中,点D 在BC 边上,∠DAC=40°,∠ABC 的平分线交AC 于点E,过点E 作
EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求证:DE 平分∠ADC;
(2)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE 的面积.
84第一部分 回溯精学 ∠COE+∠COD+∠BOD=180°
,∴90°+
3∠BOD=180°,∴∠BOD=30°;
(3)七年级上册 ∠EOF=2∠DOG或∠EOF+∠DOG=45°.
理由:①当OE 在∠COD 内部时,如图,
过关测试卷(一)
1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.B
8.A 9.D 10.C 11.> 12.8 13.3
14.35 15.22 16.360或440 17.44° 18.-24 由(1)可得, ∠DOE=∠BOD,设∠DOE=
19.(1)-27 (2)27
∠BOD=x,则∠AOE=180°-2x,∠BOC=
20.(1)x=-1 (2)x=13 90°+x,∵OF 是∠AOE 的平分线, 是
21.(1)∵A=a2
OG
-2ab+b2,B=a2+2ab+b2,
∴A-B=(a2-2ab+b2)-(a2+2ab+b2)= ∠BOC 的平分线,∴∠EOF=
1
2∠AOE=
a2-2ab+b2-a2-2ab-b2=-4ab; 1 1
(2)∵|a-2|+(b+3)2=0,∴a-2=0,b+3= (2180°-2x
)=90°-x,∠BOG=2∠BOC=
0,解得:a=2,b=-3,∴A-B=-4ab=-4× 1
2×(-3)=24. (2 90°+x
),∴∠DOG=∠BOG-∠BOD=
22.(1)∵AB=8cm,M 是AB 的中点,∴AM= 1
1 (290°+x
)-x=1(2 90°-x
),∴∠EOF=
2AB=4cm.∵AC=3cm
,∴CM=AM-
2∠DOG;
AC=4cm-3cm=1cm; ②当OE 在∠AOC 内部时,如图,
(2)∵AB=8cm,AC=3cm,M 是AB 的中点,
N 是AC 的中点,∴AM=12AB=4cm
,AN=
1
2AC=1.5cm
,∴MN=AM-AN=4cm-
( )
1.5cm=2.5cm. 由 2 可 得 ∠AOE = ∠BOD
,设 ∠AOE =
23.(1)如图, ∠BOD =x
,则∠BOC=90°+x,∵OF 是
∠AOE 的平分线,OG 是∠BOC 的平分线,
∴∠EOF = 12 ∠AOE =
1
2x
,∠BOG =
1
2∠BOC=
1(
2 90°+x
),∴∠DOG=∠BOG-
∵射线OE 是∠AOD 的“好线”,∴∠AOD+ 1
∠DOE=180°,∵∠AOD+∠BOD=180°, ∠BOD= (290°+x
)-x=45°-12x
,∴∠EOF
∴∠DOE = ∠BOD =26°,∵OC ⊥OD, 1 1
∴∠COD=90°,∴∠COE=∠COD-∠DOE= +∠DOG=2x+45°- x=45°
;综上,当
2 OE
在
90°-26°=64°,故答案为64; ∠COD 内部时,∠EOF=2∠DOG;当 OE 在
(2)如图,OE 平分∠AOC, ∠AOC内部时,∠EOF+∠DOG=45°.
24.(1)根据题意得n=60-4040 ×100%=50%
;
m-50
50 ×100%=50%
,解得m=75;
∵射线OE 是∠AOD 的“好线”,∴∠AOE+ (2)设购进乙种商品x 件,则购进甲种商品
∠AOD=180°,∵∠AOD+∠BOD=180°, (2x-10)件,
∴∠AOE=∠BOD,∵OE 恰好平分∠AOC, 根据题意得(60-40)(2x-10)+(75-50)x=
∴∠AOE= ∠COE = ∠BOD,∵ ∠AOE + 3050,解得x=50,∴2x-10=2×50-10=90
1
(件).所以购进甲种商品90件,乙种商品 或85秒;
50件; 3
(3)设购买甲种商品y 件,则购买乙种商品 (3)存在,由30+45+3t=180得t=35,∴当
(40-y)件.当0
y)=2400≠2280,不符合题意,舍去;当y= 旋转,当OD 平分∠BOC 时,则∠BOD=∠COD
15时,60×15+75×0.88×(40-15)=2550≠ =30°,
2280,不符合题意,舍去;当150.85y+75×0.88(40-y)=2280,解得y=24,
∴40-y=40-24=16(件);当y≥25时,60×
0.85y+75(40-y)=2280,解得y=30,∴40-
y=40-30=10(件),∴小华的爸爸共有2种购买 ∴75-3t-2t=30,解得t=9;当OB 平分
方案,方案1:购买甲种商品24件,乙种商品16 ∠COD 时,则∠BOD=∠COB=15°,
件;方案2:购买甲种商品30件,乙种商品10件.
25.(1)∵点A 表示的数为-15,AB=4OA,∴AB=
60,∵点O 为原点,点B 在点A 的右侧,∴点B
表示的数是-15+15×4=45,∵AC+BC=72,
∴C 在A,B 的两侧,∵(72-60)÷2=6,∴点C ∴75-3t+30-2t=15,解得t=18;
点A 左侧时,点C 表示的数是-15-6=-21; 当OC平分∠BOD时,则:∠BOC=∠COD=30°,
点C 在点B 右侧时,点C 表示的数是45+6=
51;综上所述,点C 表示的数为-21或51,故答
案为45,-21或45;
(2)①设当点P 与点Q 之间的距离为4个单位
长度时,运动时间为x 秒,相遇前相距4个单长
, ( ) , ∴3t-75+2t-30=30
,解得t=27;综上所述,
度 依题意有45-7x- -15-3x =4 解得 t=9或t=18或t=27.
x=14,则点P 表示的数为45-7×14=-53,
点Q 表示的数为-15-3×14=-57,相遇后相 过关测试卷(二)
距4个单位长度,依题意有-15-3x-(45-
) , , 1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 7x =4解得x=16 则点P 表示的数为45- 9.C 10.B 11.-5℃ 12.160° 13.1 14.a
7×16=-67,点Q 表示的数为-15-3×16= 15.5或11 16.-3 17.(1)-10 (2)7
-63; 18.(1)如图,直线AB 即为所作;(2)如图,射线BC
②设点M 表示的数为y,依题意有y-(-15- 即为所作;(3)如图,点P 即为所求作的点.理由
3t)=3(45-7t-y),解得y=30-6t,∵PQ= 是两点之间线段最短.故答案为两点之间线段
45-7t-(-15-3t)=60-4t,∴3 最短.2PQ-OM=
3(
260-4t
)-(30-6t)=90-6t-30+6t=60,
∴3PQ-OM 的值不发生变化,其值为2 60.
26.(1)∵∠AOM=∠COD=30°,∠AOB=45°, 19.(1) 4a2b-3ab + 5a2b+2ab
∴∠BOD=180°-30°-30°-45°=75°,故答案 =4a2b-3ab+5a2b+2ab=9a2b-ab;
为75; (2)A-2B=x3+2xy+3-2 2x3-xy+2 =
(2)当OB 在∠COD 外部,且∠BOC=2∠BOD x3+2xy+3-4x3+2xy-4=-3x3+4xy-1.
时,∵∠BOC=∠BOD+∠COD,∴2∠BOD= 当x=-1,y=2时,原式=-3×(-1)3+4×
∠BOD+∠COD,∴∠BOD=∠COD=30°, (-1)×2-1=3-8-1=-6.
∴75-3t=30,解得t=15;当OB 在∠COD 内
, () ()部 且∠BOC=2∠BOD 时,∵2∠BOD + 20.1x=-1 2x=
7
5
∠BOD=30°,∴∠BOD=10°,∴3t-75=10, 21.(1)∵EO⊥CD,∴∠COE=90°,∠BOE=52°,
85; , ∴∠AOC=180°- ∠COE- ∠BOE=38°
,
解得t= 综上所述 旋转时间t的值为3 15
秒
∴∠AOC 的度数为38°;
2
(2)∠AOC∶∠BOC=1∶5,∠AOC+∠BOC= 30或t=12.即此时三角板绕点O 旋转的时间
是 或 秒
180°,∴∠AOC=16×180°=30°
,∵∠COE=90°, 30 12 .
24.(1)由图可知,C 表示的数是10,∵点A 在C 的
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°,∴∠AOE 左边距C 点12个单位长度,∴点A 表示的数是
的度数为120°. 10-12=-2,线段 AC 的中点对应的数为
22.(1)需交纳水费10×2.6+ 12-10 ×3.5+ -2+10 ,
12×0.8=42.6(元); =4故答案为2 -2
,4;
(2)设小明家11月份用水x吨, (2)运动t秒后,A 表示的数是-2+t,C 表示的
∵10×2.6+ 18-10 ×3.5+18×0.8=68.4> 数是10-2t,根据题意得-2+t=10-2t,解得
64.1,∴x<18,∴10×2.6+ x-10 ×3.5+ t=4;即运动4秒时,A,C 两点能相遇;
0.8x=64.1,解得x=17,小明家11月份用水 (3)当Q 未到D 时,Q 表示的数是10-3t,
17吨; ∴QD=10-3t-2=8-3t,由PD=QD 可得
(3)设12月份小聪家用水y 吨,则小明家用水 2- -2+t =8-3t,解得t=2,当Q 到达D 后
(23-y)吨,且y<10,当0返回时, 表示的数是 10-2
y>18,2.6y+10×2.6+ 18-10 ×3.5+ Q 2+3 t- 3 =3t-
23-y-18 ×4.3+23×0.8=81.8,解得y= 6,∴QD=3t-6-2=3t-8.由PD=QD 可得
121(舍去);当 时, , 2- -2+t =3t-8,解得t=3.综上所述,t=2
17 5≤y<10 10<23-y≤18 或t=3.
2.6y+10×2.6+ 23-y-10 ×3.5+23×
0.8=81.8,解得y=9,∴23-9=14,小聪家12 七年级下册
月份用水9吨,小明家12月份用水14吨.
23.(1)∵∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,∵OM 恰好 第七章过关测试卷
1 (相交线与平行线)平分∠BOC,∴∠COM=∠BOM=2∠BOC= 1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A
120°÷2=60°,∴∠CON=∠COM+∠MON= 9.x=-1,y=1(答案不唯一,只要x 与y 为不为
60°+90°=150°; 零的相反数即可) 10.两个角是对顶角 这两个角
(2)∵∠AOD=∠BON(对顶角),∠BON=
13
∠CON-∠BOC=150°-120°=30°.∴∠AOD= 相等 11.① 12. 或3 13.70° 110° 14.34
30°,又∵∠AOC=60°,∴∠DOC=∠AOC- 15.105° 16.①②③
∠AOD=60°-30°=30°.∴∠AOD=∠DOC, 17.(1)如图,射线AC 即为所求;(2)如图,直线BD
∴OD 平分∠AOC; 即为所求;(3)如图,线段BE 即为所求.
(3)30或12.如图,当ON 的反向延长线OF 平
分∠AOC 时,
18.(1)∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD.∵CD⊥
1 AB,GF⊥AB,∴CD∥GF,∴∠BGF=∠BCD,∠AOF=2∠AOC=30°
,∴∠BON=∠AOF= ∴∠CDE=∠BGF;
30°,∴ON 旋转的角度是90°+180°+30°= (2)是真命题,理由:∵DE∥BC,∴∠CDE=
300°,∴10t=300,∴t=30;如图,当ON 平分 ∠BCD.∵∠CDE=∠BGF,∴∠BCD=∠BGF,
∠AOC 时, ∴CD∥GF.∵CD⊥AB,∴GF⊥AB.
19.(1)∵AM∥BN,∠A=60°,∴∠ABN=120°,
∵BC 平分∠ABP 交AM 于点C,BD 平分
∠PBN 交AM 于点D,∴∠PBD=12PBN
,
∠CBP=1 ∠ABP,2 ∴ ∠CBD = ∠PBD +
∠AON=1∠AOC=30°,∴ON 旋转的角度是2
90°+30°=120°,∴10t=120,∴t=12,综上,t= ∠CBP=
1
2 ∠PBN+∠ABP =
1
2∠ABN=60°
;
3
(2)∠APB=2∠ADB,理由如下: (2)∵MN∥BC,∴∠NDE+∠2=180°,而
∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB= ∠2=60°,∴∠NDE=180°-∠2=180°-60°=
∠NBD,∵BD 平 分 ∠PBN,∴ ∠PBN = 120°.∵DC 是∠NDE 的角平分线,∴∠EDC=
2∠NBD,∴∠APB=2∠ADB. 1
20.(1)过点P 作PE∥AB,如图, ∠NDC=2∠NDE=60°.∵MN∥BC
,∴∠C=
∠NDC=60°,∴∠ABC=∠C=60°;
(3)∵∠ADC+∠NDC=180°,∠NDC=60°,
∴∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°.
∵BD ⊥DC,∴∠BDC=90°,∴ ∠ADB=
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PE,∴∠A+∠APE= ∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°.∵MN∥
180°,∠C+∠CPE=180°,∴∠A+∠APC+ ,
BC ∴∠DBC=∠ADB=30°.∵∠ABC=∠C=
∠C =∠A+∠APE+∠CPE+∠C=360°; 60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.
(2)过点F 作FH∥AB,如图, 23.(1)∵ED⊥OA,∴∠ODE=90°,∵DF 平分
∠ODE,∴∠ODF=∠EDF=1∠ODE=45°,2
∵DP 平分∠ODF,∴∠PDF=12∠ODF=
22.5°,∴∠PDE=∠PDF+EDF=22.5°+
∵EF⊥AB 于点M,∴∠EMB=90°,∵AB∥ 45°=67.5°,故答案为67.5°;
CD,FH∥AB,∴AB∥CD∥FH,∴∠MFH= (2)∵DP∥OB,∠AOB=40°,∴∠PDO+
∠EMB=90°,∠2=∠NFH,∵∠1=135°, ∠AOB=180°,∴∠PDO=180°-∠AOB=
∴∠2=∠NFH =∠1-∠MFH =135°- 180°-40°=140°,∵ED⊥OA,∴∠ODE=90°,
90°=45°. ∴ ∠PDE = ∠PDO - ∠ODE =140°-
21.(1)EM∥FN.理由如下:∵∠1+∠2=180°, 90°=50°;
∠EFD+∠2=180°,∴∠1=∠EFD,∴AB∥ (3)∵DP⊥FD,∴∠FDP=90°,∵DF 平分
CD,∴∠BEF=∠CFE.∵EM,FN 分别平分 ∠ODE,∠ODE=90°,∴∠ODF=1∠ODE=
∠BEF 和∠CFE,∴∠3=∠4,∴EM∥FN; 2
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题:如果 45°,∴∠ADP=180°-∠ODF-∠FDP=180°-
两条直线平行,那么内错角的平分线互相平行, 45°-90°=45°,故答案为45°;
故答案为平行,平行; (4)如图,当∠PDF 在∠EDF 的外部时,
(3)如图所示,假设EM,FM 分别平分∠BEF
和∠DFE.
∵∠EDF=45°,∠PDF=2∠EDF,3 ∴∠PDF=
2 ,
() , 3×45°=30°∴∠PDE=∠PDF+∠EDF=由 1 可得 AB∥CD ∴∠BEF+∠DFE=
180°.∵EM,FM 分别平分∠BEF 和∠DFE. 30°+45°=75°;如图,当∠PDF 在∠EDF 的内
部时,
∴∠MEF=12∠BEF
,∠EFM =12∠DFE
,
∴∠MEF+∠EFM=12 ∠BEF+∠DFE =
90°,∴∠EMF=90°,∴由此可以探究并得到:
如果两条直线平行,那么同旁内角的平分线互
相垂直,故答案为平行,垂直.
同理,
22.(1)AB∥DE.理由如下:∵MN∥BC,∠1=60°, ∠PDF=
2
3×45°=30°
,∴∠PDE=
∴∠ABC=∠1=60°.又∵∠1=∠2,∴∠ABC= ∠EDF-∠PDF=45°-30°=15°;综上可知,
∠2=60°,∴AB∥DE; ∠PDE 的度数为75°或15°.
4
第八章过关测试卷 变化,理由如下:当点C 在点A 左侧时,如图:
(实 数) ∵M 为CA 的中点,N 为CB 的中点,∴MC=
1.B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.B
MA=1AC,NC=1BC,又∵MN=NC-
3 3 或 2 28.8 -8 9.±5 10.< 11.16 1 1 1
(
12.∵x-2的平方根是±1,2x+ +6的立方根是 MC=2BC-2AC=2BC-AC
)=1 ;
y 2
AB=15
2,∴x-2=1,2x+y+6=8,∴x=3,y=-4, 当C 点在线段AB 上时,如图:
∴x2+y2=32+(-4)2=25,∴25的平方根为
±5.即x2+y2的平方根±5. ∵M 为CA 的中点,N 为CB 的中点,∴MC=
13.由题意,得 2a-1=9, a=5,3a+2b+4=27,解得 b=4, MA=12AC,NC=12BC,又∵MN=NC+
∴a+b=9,∴a+b的算术平方根为3. 1
, ;( ) MC=2BC+
1AC=1(BC+AC)=1AB=15;
14.均正确 举例如下 举例不唯一 2 2 2
① 3-2 × 3+2 = 3 2- 2 2= 当点C在点B右侧时,如图:
3-2=1;故存在两个不同的无理数,它们的积
是整数; ∵M 为CA 的中点,N 为CB 的中点,∴MC=
② 3+1 - 3-1 =3+1-3+1=2; MA=1AC,NC=12 2BC,又∵MN=MC-
故存在两个不同的无理数,它们的差是整数; 1 1 1
2 1 ( )
1 ;
;2 1 2 NC= AC- BC=③ + =1 ÷ = ×3=2. 2 2 2
AC-BC =2AB=15
3 3 3 3 3 综上,点C在运动过程中,线段MN 的长度不发生
故存在两个不同的非整数的有理数,它们的和 变化,线段MN 的长度为15.
与商都是整数.
15.如图所示: 第九章过关测试卷
(平面直角坐标系)
1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.A
9.C 10.D 11.-3 12.三 13.(1,1)
14.-2或 4 15.12 16.-4或7
16.(1)∵2a+3的立方根是3,∴2a+3=27,解得 17.(1)如图,建立平面直角坐标系.
a=12,∵a+b-1的算术平方根是4,∴a+b-1=
16,解得b=5,∵3< 11<4,∴ 11的整数部分是
3,∴c=3,综上所述:a=12,b=5,c=3;
(2)∵a=12,b=5,c=3.∴a-4b+3c=12-20+
9=1,∵1的平方根是±1,∴a-4b+3c的平方根是
±1.
17.(1)> < < (2)a-c + a+b +
c-b =a-c+a+b+b-c=2a+2b-2c
18.(1)-π≈-3.1,9=3,在数轴上表示为 (2)小明家→学校→奶奶家→宠物店→医院→
公园→邮局→游乐场→消防站→小明家.
18.(1)∵A(-5,-1),B(1,-1),∴AB=1-
(2)-π<-1<0<1.6<9 (-5)=6.S =1AB·h=1△ABC ×6h=15,解2 2 2
19.(1)20; 得h=5.当点C 在y 轴的正半轴时,点C 的坐
(2)∵AC+BC=58,∴C 在A,B 的两侧,又∵ 标为(0,4),当点C 在y 轴的负半轴时,点C 的
(58-30)÷2=14,∴点C 在点A 左侧时,点C 坐标为(0,-6);
表示的数为-10-14=-24,点C 在点B 右侧 (2)∵到直线AB 的距离等于5的点有无数个,
时,点C 表示的数为20+14=34.综上所述,点 ∴在平面直角坐标系中,使三角形ABC 的面积
C 表示的数为-24或34; 为15的点有无数个,这些点到直线AB 的距离
(3)点C 在运动过程中,线段MN 的长度不发生 等于5.
5
19.(1)∵点M(2m+4,m-1)在y 轴上,∴2m+ 故答案为 7,2 ;4=0.∴m=-2.∴m-1=-3.∴点M 的坐标 3
为(0,-3); (2)点T 的横坐标为3+m,点T 的纵坐标为(2)∵点M(2m+4,m-1)的纵坐标比横坐标小 3
2,∴2m+4-2=m-1,∴m=-3.∴2m+4= m+2,∴点T 的坐标为 3+m,m+2 ;-2,m-1=-4.∴点M 的坐标为(-2,-4); 3 3 3
(3)∵点M 在过点A(3,-4)且与y轴平行的直 (3)如图,∵∠DHT=90°,∴点E 与点T 的横
, 1 3+m线上 ∴2m+4=3.∴m=- .∴m-1= 坐标相同.∴ =m,解得3 m=
3
2 2
.∵m+2=
7 3 7
-3.∴点M 的坐标为2 3,-3 ,2 . 2 ∴点E 的坐标为 ,2 2 .
20.(1)如图,A,B,C 三点的坐标分别为A(0,4),
B(0,0),C(6,0).它们都不在任何象限内;
23.(1)∵C(-1,-3),|-3|=3,∴点C 到x 轴的
距离为3;
(2)∵A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3),∴AB=
4-(-2)=6,点C到边AB的距离为3-(-3)=
(2)如图,A,C,D 三点的坐标分别为A(-3, 1
2),C(3,-2),D(3,2).其中点A 在第二象限, 6.∴三角形ABC的面积为2×6×6=18
;
点C 在第四象限,点D 在第一象限. (3)设点P的坐标为(0,y),∵三角形ABP 的面
积为6,A(-2,3),B(4,3),∴12×6×|y-3|=
6.∴|y-3|=2.∴y=1或y=5.∴点P 的坐标
为(0,1)或(0,5).
24.(1)-1 3;
(2)如图,过点M 作MN⊥x轴于点N.
21.(1)点A 3,-1 为“好点”.理由如下:2 2
当A 3,-1 时,2 2 m-1=3,n+22 2 =-1,得2
m=5,2n=-3.
则2m=5,8+n=5.所以2m= 因为A(-1,0),B(3,0),所以AB=3-(-1)
3 =4.又因为点 M(-2,m)在第三象限,所以8+n.所以A ,2 -1 是“好点”.点2 B(4,10) 1 ·
MN=|m|=-m.所以S = AB MN=
不是“好点”.理由如下:当B(4,
△ABM
10)时,m-1= 2
4,n+2=10,得m=5,
1
2 n=18.
则2m=10,8+ 2×4×
(-m)=-2m;
18=26.所以2m≠8+n.所以点B(4,10)不是 (3)当“ ”; m=-
3时, , 3 ,所以
好点 2
M -2-2 S△ABM=
(2)点 M 在第三象限.理由如下:∵点 M (a, -2× -32 =3.
2a-1)是“好点”,∴m-1=a,n+22 =2a-1. 分两种情况讨论:
∴m=a+1,n=4a-4.代入2m=8+n,得2a+ ①如图,当点P 在y 轴正半轴上时,设点P(0,
2=8+4a-4.∴a=-1,2a-1=-3.∴M (-1, k).过点P,M,B 作辅助线构造长方形DMFE.
-3).∴点M 在第三象限. 则S △BMP=S长方形DMFE-S△DPM-S△MFB-S△PEB
22.(1)3+4=7,0+6=2,∴点3 3 3 T
的坐标为 7,2 ,3 =[3-(-2)]× k- -32 -12×2× k-
6
-32
, ,
-12×[3-(-2)]×3-12 2×3k= 16.(1)由题意得 -3×4+b=-2 a=-15a+5×4=15, ∴ b=10;
5
2k+
9
4. () ()
,
2由1得原方程组为 -x+5y=15① 用4x-10y=-2,② ①
因为S△BMP=S△ABM, ×2+②得:2x=28,解得x=14,把x=14代入
所以5 9 ,解得
2k+4=3 k=0.3. ①得:-14+5y=15,解得y=
29,∴原方程组5
所以点P 的坐标为(0,0.3). x=14,
的解为 =29y 5.
17.(1)∵f(m,n)=(am+bn,am-bn),∴当a=
2,b=-1时,f(m,n)=(2m-n,2m+n),∴当
m=2,n=2时,2m-n=2×2-2=2,2m+n=
②如图,当点P在y轴负半轴上时,设点P(0,n). 2×2+2=6,f(2,2)=(2,6);
过点P,M,B 作辅助线构造长方形DEFB. 2
则S△BMP=S长方形DEFB-S△DMB-S , ,△MEP-S△PFB (2)由题意得 3a+b=-3解得a=-31 3 3a-b=-1,=-n[3-(-2)]- ×[3-(-2)]× - b=-1;2 2
( ) ( )3 由 题 意 得 am-1+2bn=m-1,1×2× -32 2-n -1 解( ) 5 9 a(m-1)-2bn=n,2×3× -n =-2n-4.
5 9 因为S =S a=
m+n-1,
△BMP △ABM,所以-2n-
,解得
4=3 得 2m-2
n=-2.1.所以点P 的坐标为(0,-2.1).综上, b=m-n-1
4n .
点P 的坐标为(0,0.3)或(0,-2.1). 18.(1)设每只A 型球的质量为x千克,每只B 型球
的质量为y千克,
依题意得 x+y=8, 解得 x=5,所以每只2x+y=13, y=3, A
型球的质量为5千克,每只B 型球的质量为
3千克;
第十章过关测试卷 (2)设A 型球有m 只,B 型球有n只,由题意得
(二元一次方程组) 5m+3n=21,∵m,n为正整数,∴m=3,n=2,
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.3 0 所以A 型球有3只,B 型球有2只.
8.x2-5x+6=0 9.6.5 10.63 11.3 12.520 19.(1)点A,B 对应的数分别是-5和1,设点P 对
x=-2, 应的数为x,则PA=x+5,PB=1-x,∵PA=
,
13.(1) x=3 (2) 2 PB,∴x+5=1-x,解得x=-2,∴点P 对应y=-2 y=5 的数为-2;
14.(1)把x=3,y=5;x=-1,y=1代入y=kx+ (2)P 对应的数为-5+2t,∴PA=2t,PB=
3k+b=5, k=1, |-5+2t-1|=|2t-6|,∵PA=2PB,∴2t=b得: 解得-k+b=1, b=2,∴k=1,b=2; 2|2t-6|,当t=2t-6时,t=6,当t+2t-6=0
(2)由(1)得y=x+2,∴当x=2时,y=2+ 时,t=2,所以当t=2或6时,恰好使得P 到点
2=4. A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍;
15.将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程 (3)设P 点的运动速度为m 单位长度/秒,Q 点
组中的第一个方程联立,组成新的方程组 的运动速度为n 单位长度/秒,根据题意得
2x-y=-3, ,解得 x=-6 将 x=-6, 2m+2n=6
,
解得 m=2
,
代入 所以P 点的运动速度
x-y=3, y=-9, y=-9 6m-6n=6, n=1,
第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组 为2单位长度/秒,Q 点的运动速度为1单位长
中的第二个方程,得-6a-45=4,-30-9b= 度/秒.
20.(1)设A 种型号的汽车每辆进价为x万元,B 型
1.解得a=-49,6b=-
31
9. 号的汽车每辆进价为y 万元,由题意可得
7
3x+2y=95,
,解得 x=25,,所以A,B 两种型 15.解不等式①,得x>-2,4x+y=110 y=10 5
号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元; 解不等式②,得x<2a.
(2)设购买A 型号的汽车m 辆,B 型号的汽车n ∵不等式组恰有三个整数解,∴2<2a≤3.
辆,由题意可得25m+10n=250且m,n均为正 3
,
, m=2 m=4, m=6,
∴1整 数 解 得 或 或 或
n=20 n=15 n=10 16.设小林家每月“峰电”用电量为x 千瓦时,则
m=8, : 0.56x+0.28(140-x)<0.53×140,解得,∴该公司共有四种购买方案 x当m=2,n=20时,获得的利润:1.2×2+ 谷电”比较合算.
0.8×20=18.4(万元),当m=4,n=15时,获 17.(1)设购进篮球x 个,购进排球y 个,根据题意
得的利润:1.2×4+0.8×15=16.8(万元),当 x+y=80, x=60, m ,n 时,获得的利润: 得 解得 所以购进篮=6 =10 1.2×6+0.8× 80x+50y=5800, y=20.
10=15.2(万元),当m=8,n=5时,获得的利 球60个,购进排球20个;
润:1.2×8+0.8×5=13.6(万元),由上可得, (2)设购进篮球m 个,则购进排球(40-m)个,
最大利润为18.4万元. 根据题意得80m+50(40-m)≤2810,解得:
2x+ =4,①
21.(1) y m≤27.所以篮球最多能购进27个.x+2y=5,② 18.(1)设每个B 型转运站每天处理生活垃圾x吨,
①-②得:x-y=-1,①+②得:3x+3y=9 则每个A 型转运站每天处理生活垃圾(x+7)
等式两边同时除以3得:x+y=3,故答案为 吨.根据题意可得,12(x+7)+10x=920,解得
-1,3; x=38,x+7=38+7=45(吨).所以每个A 型
() x+3y=4-a,①2 转运站每天处理生活垃圾45吨,每个B 型转运x-5y=3a,② 站每天处理生活垃圾38吨;
①+②得2x-2y=4+2a,等式两边同时除2 (2)设需要增设y 个A 型转运站才能当日处理
得x-y=2+a③,①+③得2x+2y=6,等式 完所有生活垃圾,由(1)得每个A,B 型转运站
两边同时除以2得x+y=3,因此不论a 取什 每天处理生活垃圾分别为45吨、38吨,分类要
么实数,x+y的值始终不变; 求提高后,每个A 型转运站每天处理生活垃圾
(3)设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x,y,z 45-8=37(吨),每个B 型转运站每天处理生活
, 3x+5y+z=21,①元 由题意得 垃圾38-8=30(吨),根据题意可得:37(12+4x+7y+z=28,② 16
②-①得x+2y=7,等式两边同时乘2得: y)+30(10+5-y)≥920-10,解得y≥ ,7 ∵y
2x+4y=14③,①-③得:x+y+z=7,故 是正整数,∴符合条件的y 的最小值为3,所以
10x+10y+10z=70,即购买10支铅笔、10块 至少需要增设3个A 型转运站才能当日处理完
橡皮、10本笔记本共需70元. 所有生活垃圾.
第十一章过关测试卷 第十二章过关测试卷
(不等式与不等式组) (数据的收集、整理与描述)
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A
1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D
9.-2,-1,0,1,2 10.m≥-3 11.67 12.4
9.B 10.C 11.B 12.118.8° 13.A 在A 餐
13.33 厅用餐非常满意和较满意的人员比例更大 14.9
3x+3>5(x-1)①,
15.乙 16.120 17.③ 18.200 19.(1)抽样14.2x-2-1≤3x②, 调查 (2)抽样调查 (3)抽样调查3 2
, , 20.(1)图略 64 18 (2)答案不唯一,合理即可解不等式① 得x<4
, , (例:选择平均数,由表知,去年“声呐鲟”到达下解不等式② 得x≥-2
游监测点的平均时间为 小时,而今年“声呐
则不等式组的解集:-2≤x<4, 64.2
鲟”到达下游监测点的平均时间为
将不等式组的解集表示在数轴上如图: 56.2小时,缩
短了8小时,所以今年中华鲟从长江到海洋的适
应情况更好) (3)1100尾
8
21.(1)80 40 (2)15 (3)90° (3,-3),(4,1);
22.(1)200 (2)图略 (3)25 36 (2)如图,三角形A'B'C'即为所求.
23.(1)200 (2)5% 90 108° (3)如图所示:
72
综合过关测试卷 22.(1)调查的学生总人数为8÷ =40(人),D 组360
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 所对应扇形圆心角的度数为360°×12× 1-
9.A 10.C 11.5 12.135° 13.-12 4 72 ;40-360-60% =18°
14.- 2+3或- 2-3 15.70° 16.-1≤a<0 (2)C 组的人数为40×60%=24(人),D,E 组
17.- 3 18.(1)x=0 (2)x=3或x=-5
的人数都是40-4-8-24=2(人).
() x-2y=-1,① 219.1 4x+3y=7.② 补全频数分布直方图如图所示:
由①可得x=2y-1.③
把③代入②,得4(2y-1)+3y=7,解得y=1.
把y=1代入③,得x=2×1-1=1.
x=1,故方程组的解是 y=1.
() 2x+32 y=3,①2x-3y=9.② (3)选择20min,理由如下:样本中有36人能在
由①+②可得4x=12,解得x=3. 20min内完成用餐,占比90%,有利于食堂提高
把x=3代入①,得2×3+3y=3,解得y=-1. 运行效率
, .x=3
故方程组的解是 23.(1)设甲种服装每件的进价为x 元,乙种服装每y=-1. 件的进价为 元
2x+6>7x-4,
y .
①
,
20. 20x+15y=2000 x=40,4x+2≥x-1 由题意得.② 10x+30y=2800,解得 故甲5 2 y=80.
, 种服装每件的进价为40元,乙种服装每件的进解不等式① 得x<2.
解不等式②,
价为 元;
得x≥-3. 80()设购进甲种服装 件,则购进乙种服装(
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来,如 2 a 100-)
图所示 a 件.由题意得.
(50-40)a+(100-80)(100-a)≥1600,40a+80(100-a)≤6480,
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分, 解得38≤a≤40.∵a 为正整数,∴a=38,39,
得到不等式组的解集为-3≤x<2. 40.故共有3种购货方案.方案一:购进甲种服装
21.(1)∵点A 的坐标是(-4,2),点A'的坐标是 38件,购进乙种服装62件;方案二:购进甲种服
(1,-1),∴点A 向右移动5个单位长度,向下 装39件,购进乙种服装61件;方案三:购进甲种
移动3个单位长度,可得到点 A',∴三角形 服装40件,购进乙种服装60件.
ABC 向右移动5个单位长度,向下移动3个单 x+ +3=10,①
24.(1) y
位长度得到三角形A'B'C'.又∵点B(-2,0), 4(x+y)-y=25.②
C(-1,4),∴点B'(3,-3),C'(4,1).故答案为 由①,得x+y=7.③
9
把③代入②,得4×7-y=25,解得y=3. 22.A 23.A 24.A 25.A 26.C 27.D
把y=3代入③,得x+3=7,解得x=4. 28.C 29.A 30.D 31.B 32.A
故方程组的解为 x=4,; 专项训练三 计 算y=3
2077x-2078y=2079,① (2) 1.4 2.1 3.16 4.x=1 5.x=4 2078x-2079y=2080.② 5
②-①,得x-y=1.③ 6.x=2450
,
7.y≤3 8.x<1 数轴表示略
③×2077,得2077x-2077y=2077.④ y=350
④-①,得y=-2. 9.(1)AC+BD=9cm,MN=10.5cm (2)a+b
把y=-2代入③,
2
得x=-1.
x=-1, 10.6
4
9 11.∠AOC=67.5° ∠BOD=90°故方程组的解为
=-2. y 12.①×2+②,得x=3.把x=3代入①,得y=
第二部分 融汇跃升 ,-2.所以这个方程组的解是 x=3y=-2.
13.化简,得4+3x≤2( )专项训练一 填 空 1+2x +6.
去括号,得4+
3x≤2+4x+6.移项,得3x-4x≤2+6-4.
1.公元前20年 2.原点 2 3.7cm3 x=1, 非正整数解为-4, -3,-2,-1,0.9或11 4.8 -
13 5.> < 6. 5 y=2 14.解不等式①,得x≥-4.解不等式②,得x<
-1.把不等式①和②的解集在数轴上表示出
7.1 8.2 12 y+1=2x 9.
3
2 10.108 11.6 来,得不等式组的解集为-4≤x<-1.
12.900 75 13.8 14.20°40'56″ 15.6.7×106
16.21千克 11
千克 17.垂直4 2 CD⊥EC
18.0,1,2,3 4 7 6 6 19.110° 110° 20.2 15.同位角:∠EAD=∠EBC;内错角:∠ADB=
105° 21.17 22.> 23.π,5,0.01020304… ∠DBC
;同旁内角:∠DAF+∠ABC=180°.
(合理即可)
24.< > 25.1.773 4.344 26.0 27.-2,
16.(1)方案三
-1,0,1,2 28.x-35 >3 29.3 30.56° 31.10
(2)
26 32.x=1 x<1 33.28 34.∠2,∠3,∠4
35.小于
36.(1)该校七年级所有学生视力情况的全体
(2)该校七年级每个学生的视力情况 (3)从中
抽取的50人的视力情况 (4)50
37.(1)50 (2)16% (3)40
38.33…3(共n个3)
39.(1)3 0.7 6 12 0.28 0
(2)不一定等于a.规律:当a≥0时,a2=a,当
a<0时,a2=-a; (3)500×30%=150(名) 即七年级约有150名
学生比较了解“低碳”知识
(3)由3.14-π<0得 (
.
3.14-π)2=-(3.14-
π)=π-3.14. 专项训练四 判断与说理
专项训练二 选 择 1.平行,理由:∵∠1+∠4=180°,∠1=∠3,∴∠3+
∠4=180°,∴l1∥l2.
1.D 2.A 3.D 4.A 5.D 6.D 7.D 2.有,∠AOB 与∠AOC,先求出∠AOB,然后根据
8.D 9.C 10.A 11.C 12.A 13.B 14.C 补角定义可以得到.
15.C 16.D 17.C 18.B 19.A 20.B 21.C 3.(1)设圆珠笔买了x 支,钢笔买了y 支.据题意,
10
得 x+y=22, 解这个方程组,得 x=12,所 20a+30(8-a)≥210,5x+6y=120. y=10. (90-20)a+(130-30)(8-a)≤770,
以圆珠笔买了12支,钢笔买了10支; a≤3,
(2)设购买圆珠笔x 支,
解得 ,即 ,, 即有 种改
购买钢笔(22-x)支.依 a≥1,∴1≤a≤3 a=123. 3
题意得5×0.9x+6×0.8(22-x)≤100.解这个 造方案:方案一:A 类学校1所,B 类学校7所;
不等式,得x≥56.因为x 为整数,所以x=19,
方案二:A 类学校2所,B 类学校6所;方案三:A
3 类学校3所,B 类学校5所.
20,21,22.所以一种方案是购买圆珠笔19支,购
买钢笔3支.(答案不唯一) 专项训练六 新题型
4.EG⊥EF,理由略. 5.AD∥BC,理由略. 1.A 2.C 3.D
6.正确,理由略. 7.两点确定一条直线. 4.
8.OE⊥OD,理由略.
9.E,O,F 在一条直线上,理由略.
10.∠A=∠C,∠B=∠D,理由:∵AD∥BC, 将一个三角板的一条直角边紧贴材料的下底边,
∴∠A+∠B=180°,又∵AB∥CD,∴∠B+
, 平移至另一直角边经过已知点A,沿已知点 所∠C=180°∴∠A=∠C.同理∠B=∠D. A
在直角边画直线即可
11.AE∥CF,理由:∵∠B=∠D=90°,∠DAB+ .
( )( )
∠B+ ∠BCD + ∠D =360°,∴ ∠DAB + 5.90° 6.略 7.28个,n+2 n+1个2 8.720
度
∠BCD=180°,∵AE 平分∠DAB,CF 平分
∠DCB,∴∠DAE+∠DCF=90°,又∵∠DAE+ 第三部分 探究先飞
∠DEA=90°,∴∠DEA=∠DCF,∴AE∥CF.
专项训练五 实践与应用 第十三章 三角形
1.(1)b=0.8×(220-14)=164.8(次) 13.1 三角形的概念
(2)没有危险
2.(100a+60b)元 3.略 1.A 2.C 3.B 4.C
() ()
4.五边形:3个 4个 5个 图略 n边形:(n- 5.18 2AB ∠CAD
2)个 (n-1)个 n个 6.
(1)6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,
△ADC,36 △AEC 5.(1)3+7=19
(分钟),19分钟>15分钟,∴王老 (2)△ABE,△ADE,△AEC
师应选择绕道而行去学校; 7.(1)图中有7个三角形,分别是△ABD,△ABE,
36-3t 36 △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG;(2)设维持秩序时间为t分钟,则t+ 9 =3- (2)△ABD 的边是AB,BD,AD;顶点是点A,
6,解之得t=3,∴维持秩序的时间为3分钟. B,D;三个内角是∠B,∠BDA,∠BAD;
6.(1)设甲种笔记本的单价是x 元,乙种笔记本的 (3)以 ∠C 为 内 角 的 三 角 形 有 △AEC,
, △ADC,△ABC;
单价是y 元.根据题意可得 20x+10y=110 解30x+10=20y, (4)以 AB 为 边 的 三 角 形 有 △ABD,
x=3, △ABE
,△ABC.
得
y=5; 与三角形有关的线段
( 13.2 2)设本次购买乙种笔记本m 本,则甲种笔记本
(2m - 10) 本, 根 据 题 意 可 得 1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.B
2m-10+m≥80, 9, 7.11cm 8.11
或4 9.2,3,4 10.3.53(2m-10)
解得 因
+5m≤320, 30≤m≤3111 11.8 12.7或9 13.9 14.< 15.7
为m 为正整数,所以m=30或m=31,当m=30 16.BE
时,2m-10=50;当m=31时,2m-10=52. 17.如图,AD 为所作.
7.(1)设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元,
改造一所B 类学校的校舍需资金y万元,
则 x+3y=480, x=90, 3x+y=400,解之得 y=130; 18.∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∴S△ABC=
(2)设A 类学校有a 所,则B 类学校有(8-a) 1
, : AB·所 则 2 BC=
1
2×6×8=24.∵AC
边上的高
11
BD=24
,∴S 1 1△ABC= AC·BD= AC·
24
5 2 2 5= 第十四章 全等三角形
24,解得AC=10. 14.1 全等三角形及其性质
13.3 三角形的内角与外角 1.D 2.D 3.A 4.B 5.A
1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 6.3 7.2 8.3 9.15
9.直角三角形 10.75 11.25° 12.22 13.60° 10.当△OBM≌△AMN 时,∴AM=OB= 7,
14.1α 90°+1α ∵OA=4,∴OM=OA-AM=4- 7,∴点M2 2 表示的数为4- 7;当△OBM≌△ANM 时,
15.(1)∵∠AFE=∠ABE+∠BAD,∠BAD= ∴OM=AM,∵AO=4,∴OM=2,∴点M 表
∠EBC,∴ ∠AFE = ∠ABE + ∠EBC = 示的数为
, 2
,∴点M 表示的数为4-7或2.
∠ABC 即∠ABC=∠AFE; 11.设点P 的运动时间为t秒,如图1,当点Q 在BC
(2)∵∠BFD=∠AFE=∠ABC=35°,又∵ 上时,此时AP=tcm,BQ=2tcm,∴PC=
EG∥AD,∴∠BEG=∠BFD=35°,∵EH⊥ (7-t)cm,CQ=(8-2t)cm,
BE,∴∠BEH=90°,∴∠HEG=∠BEH -
∠BEG=55°.
16.∵∠DFE=∠B+∠BEF,∠B=42°,∠DFE=
73°,∴∠BEF=73°-42°=31°,∵EF 平分
∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°,∵DE∥ 图1
AC,∴∠C=∠DEB=62°,∵∠A+∠B+ ∵△PMC≌△CNQ,∴PC=CQ,∴7-t=8-
∠C=180°,∴∠A=180°-42°-62°=76°. 2t,∴t=1;即点P 的运动时间为1秒;
17.(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+ 如图2,当点Q 在AC 上时,此时点P 与点Q 重
∠COD=180°,∠AOB = ∠COD,∴ ∠A + 合,AP=tcm,BC+CQ=2tcm,∴PC=(7-
∠B=∠C+∠D; t)cm,CQ=(2t-8)cm,
(2)结论:∠B+∠C=2∠P,理由如下,∵AP,DP
分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,∴∠BAP=
∠PAC = 1 ,2 ∠BAO ∠BDP = ∠PDC =
1∠CDO,由(1)可知,2 ∠BAO+∠B=∠CDO+
图2
, , ∵△PCM≌△QCN
,∴PC=CQ,∴7-t=2t-
∠C ∠B+∠BAP=∠BDP+∠P ∠PDC+ 8,∴t=5;即点P 的运动时间为5秒,综上所
∠C=∠PAO+∠P,即∠B+ 12∠BAO=
述,当△PMC 与△QNC 全等时,点P 的运动时
间为1秒或5秒.
1
2∠ODC+∠P
,∠C+12∠CDO=
1
2∠BAO+ 14.2 三角形全等的判定
∠P,∴∠B+∠C=2∠P; 1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B
(3)结 论:2∠P = ∠B + ∠C.理 由 如 下, 9.OC=OD(答案不唯一) 10.ASA或角边角
∵∠BAO 与∠CDO 的相邻补角平分线交于点
1 11.80 12.6 13.
1
P,∴∠PAB= (2 180°-∠BAO
),∠PDB= 2
14.∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB=
1( ,
2180°-∠BDC
),∵∠P+∠PAB=∠B+ AB=ED
ED,在 △ABC 和 △EDF 中, ∠A=∠E,
,
∠PDB,∴∠P+1(2 180°-∠BAO
)=∠B+ AC=EF
∴△ABC≌△EDF(SAS).
1( ), 15.()180°-∠BDC 即2∠P-∠BAO=2∠B- 1 ∵DF⊥AC
于点F,BE⊥AC 于点E,
2 ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°,
∠BDC①,又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C,
①+②得2∠P=∠B+∠C. ∴AD∥BC;
12
(2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 PA=PB,, OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP HL ,∠A=∠C
AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠D=∠B, ∴∠APO=∠BPO,即PO 平分∠APB;AF=CE, (2)∵Rt△AOP≌Rt△BOP,∴OA=OB,又∵
∴△AFD≌△CEB(AAS). PA=PB,∴OP 是AB 的垂直平分线.
16.∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 15.(1)∵DE⊥AB,∴∠BED=∠AED=90°,
角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵∠CFD+∠AFD=180°,∠B+∠AFD=
DE=EC, ( ) 180°,∴∠CFD=∠EBD,∵∠C=90°,∴∠C=∵ AE=BC,∴Rt△ADE≌Rt△BEC HL . ∠BED =90°,∴ 在 △CDF 和 △EDB 中,
BC=EF, ∠C=∠BED=90°,
17.(1)在 △ABC 与 △DEF 中, AB=DE, ∠CFD=∠EBD, ∴ △CDF ≌ △EDBAC=DF, DF=DB,
∴△ABC ≌ △DEF (SSS),∴ ∠BCA = AAS ,∴DC=DE,∵DE⊥AB,DC⊥AC,
∠EFD,∴BC∥EF; ∴点D 在 ∠BAC 的 平 分 线 上,∴AD 平
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D,∵AC= 分∠BAC;
DF,∴AC-CF=DF-CF,∴AF=DC, (2)∵AD 平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB,
∵AB=DE,∴ △ABF ≌ △DEC (SAS), 在△CDA 和△EDA 中,
∴CE=BF. ∠C=∠AED=90°,
∠DAC=∠DAB,∴△CDA≌△EDA AAS ,
14.3 角的平分线 AD=AD,
1.C 2.A 3.D 4.D 5.A ∴AC=AE,∴AC=AE=AF+FC,由(1)得
6.7 7.4 8.63° 9.①④ 10.6 △CDF≌△EDB,∴CF=BE,∴AE=AF+
11.(1)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB, FC=AF+BE,∴AB=AE+EB=AF+2BE,
∴DE=DC.∵∠DCF=∠DEB=90°,BD= ∴AB=AF+2BE.
FD,DC=DE,∴Rt△DBE≌Rt△DFC HL . 16.(1)过点E 作EG⊥AD 于G,EH⊥BC 于H,如
∴BE=FC; 图:
(2)∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DE=DC,∵∠ACD=∠AED=90°,AD=
AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED HL ,
∴AC=AE,∴AB-BE=AF+FC,∵BE=
FC,
,
∴AB-FC=AF+FC.∵AB=15,AF= ∵EF⊥AB ∠AEF=50°
,∴∠FAE=90°-
AB-AF 50°=40°
,∵∠DAC=40°,∴∠FAE=∠DAC,
9,∴FC= 2 =3. ∴CA 平分∠DAF,又∵EF⊥AB,EG⊥AD,
12.(1)∵EA 平分∠DEF,∠D=90°,BE⊥AC, ∴EF=EG,∵BE 是∠ABC 的平分线,EH⊥
AF , , , ,∴ =AD,∵AB =AC,∴Rt△ABF ≌ BC EF⊥AB ∴EF=EH ∴EG=EH ∴点
ACD ; E 在∠ADC 的平分线上,Rt△ HL ∴DE 平分∠ADC;
(2)由(1)可知:
()
△ABF≌△ACD,AF=AD, 2设EG=x
,由(1)得:EF=EH=EG=x,
∴BF=CD=7,∵DE=3,∴CE=4,∵AE= ∵S△ACD=15,AD=4,CD=8,∴
1AD·EG+
AE,AF=AD,∴Rt△AEF≌Rt△AED HL , 2
1
∴EF=DE=3,∴CF= CE2-EF2=7. 2CD
·EH=15,即:4x+8x=30,解得:x=
13.如图所示,作∠AOB 的平分线交AB 于点M,点
M 即为水厂的位置. 2.5,∴EF=x=2.5,∴S
1
△ABE=2AB
·EF=
1
2×7×2.5=
35
4.
第四部分 新知测效
() , , , 暑期学情测评(一)14.1 ∵OP 平分∠AOB PA⊥OA PB⊥OB
∴PA=PB,在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中, 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B
13
作 于 , , ,
9.B 10.D 11.125° 12.20 13.13AG⊥BC G ∵EF⊥BC ∴EF∥AG
∴∠DEF= ∠DAG,由 (1)知:∠DAG =
14.(0,10) 15.-2≤x<-1 16.118° 17.140 1( ), 1(
2 ∠C-∠B ∴∠DEF=2 ∠C-∠B
).
18.(-1013,1013) 19.(1)-1- 2 (2)2 3-1
20.(1) 4a+2b=3,①9a+3b-9=0,②
①×3-②×2,得-6a+18=9,解得a=1.5.
把a=1.5代入①,得6+2b=3,解得b=-1.5,
,
所以方程组的解是 a=1.5 b=-1.5; 24.(1)5÷10%=50(名),即本次共调查了50名
, 学生;(2)整理,得 x+5y=12①x-5y=-8,② (2)a=50×40%=20.补充条形图如答图所示;
①+②,得2x=4,解得x=2. (3)360°×15=108°,即扇形图中喜爱《朗读者》
①-②,得10y=20,解得y=2, 50
x=2, 节目对应的圆心角是108°;所以方程组的解是 (y=2. 4)600×40%=240(名).即估计该校最喜爱
, , 《中国诗词大会》节目的学生有240名.
21.不等式组可化为 3x+3<2x+3即 x<02x-2≤3x, x≥-2.
∴不等式组的解集为-2≤x<0.
在数轴上可表示为如答图所示.
22.(1)如答图所示;
(2)如答图所示,三角形 A1B1C1 即为所求,点
A1的坐标为(1,-1);
(3)三角形ABC 的面积为4×5-1×2×5- 25.(1)120 90;2 (2)①∵∠ABC=60°,∴∠ABE=180°-∠ABC
1×2×4-1×2×3=8. -∠CBF=120°-n.∵DG∥EF,∴ ∠1=2 2 ∠ABE=120°-n,∠BCD=∠CBF=n.又∵
∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-n,∴∠2=
180°-∠ACD=180°- 90°-n =90°+n;
②存在.当n=30°时,AB⊥DG(EF);当n=90°
时,BC⊥DG(EF),AC⊥DE(GF);当n=120°
时,AB⊥DE(GF).
暑期学情测评(二)
1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.D 7.C 8.A
23.(1)∵AD 平分∠BAC,∴∠CAD=1∠BAC, 9.D 10.A 11.B 12.A 2 13.∠ABD=∠D 或∠ABE=∠DEC 或∠ABE+
∵AE 是 △ABC 的 高,∴ ∠AEC =90°, ∠DEB=180°
, ∴∠CAE=90°-∠C ∴∠DAE=∠CAD- 14.4 15.(5,-2) 16.30° 17.-1 18.9+
∠CAE=1∠BAC-(90°-∠C),
∵∠BAC= 3 19. x=3,2 y=-1
180°-∠B-∠C,∴∠DAE=1(180°-∠B- x-3(x-1)≥7,①2 20.
1 解不等式①得x≤-2,解1-2-5x1 不等式②得x<-
1,解集在数轴上表示为:
45°,∠C=65°,∴∠DAE=2×
(65°-45°)=10°; 2
(2)∠DEF=1(2 ∠C-∠B
),理由如下:过A
14
∴这个不等式组的解集:x≤-2. 9.B 10.B 11.30° 12.12 13.9 14.18°或
21.(1)如图所示, 30° 15.30° 16.-5() x=3,17.1 (2) m=
2,
3
y=-3 n=1
18.(1)3x-5>x+1,移项,得3x-x>5+1,合并
同类项,得2x>6,系数化1,得x>3,
解集在数轴上表示如图:
2x+6>7x-4,①
(2) 4x+2 x-1, 由①得:x<2;由②得:△A1B1C1即为所求; 5 ≥ 2 ②
(2)由(1)得,A1 4,0 ,B1 1,3 ,C1 2,-2 ; 2 4x+2 ≥5 x-1 ,8x+4≥5x-5,x≥-3.∴不
() 1 等式组的解集为 ,不等式组的解集在数3 △A1B1C1 的面积为5×3- ×1×5-
-3≤x<2
2 轴表示如图:
1
2×2×2-
1
2×3×3=6. .
22.(1)根据题意得46÷23%=200(人),A 等级的 19.(1)∵AD⊥CE,∠ACB=90°,∴∠ADC=
人数为200-(46+70+64)=20(人), ∠ACB=90°,∴∠BCE=∠CAD(同角的余角相
补全条形统计图,如图所示: 等),∵BE⊥CE,∴∠CEB=90°=∠ADC.在△ADC
∠ADC=∠CEB,
与 △CEB 中, ∠CAD=∠BCE,∴△ADC ≌AC=BC,
△CEB(AAS);
(2)由(1)知,△ADC≌△CEB,则AD=CE=
5cm,CD=BE.∵CD=CE-DE,∴BE=AD
20 -DE=5-3=2(cm),即BE 的长度是2cm.(2)由题意得a%= ,即 ; 等级占的 200 a=10D 20.(1)∵∠1=∠BDC,∴AB∥CD,∴∠2=
圆心角度数为(1-35%-23%-10%)×360°= ∠ADC,∵∠2+∠3=180°,∴∠ADC+∠3=
115.2°. 180°,∴AD∥CE;
23.∠AED=∠C;理由:∵∠1+∠2=180°,∠1+ (2)∵CE⊥FE,∴∠CEF=90°,由(1)得,AD∥
∠4=180°,∴∠2=∠4,∴AB∥EF,∴∠ADE= CE,∴∠FAD=∠CEF=90°,∵∠FAB=55°,
∠3,∵∠3=∠B,∴∠ADE=∠B,∴DE∥ ∴∠2=90°-55°=35°,∵AB∥CD,∴∠ADC=
BC,∴∠AED=∠C. ∠2=35°,∵DA 平分∠BDC,∴∠BDC=
24.(1)AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,在△ABC 和 2∠ADC=70°.
∠ABC=∠DEF, 21.(1)根据三角形ABC 内任意点P x,y 对应点
△DEF 中, ∠ACB=∠DFE,∴ △ABC ≌ 为P' x+3,y-4 可知,A -1,4 的对应点为AC=DF, A' 2,0 ,B -4,-1 的对应点为 B'(-1,
△DEF(AAS); -5),C 1,1 的对应点为C' 4,-3 ,根据坐标
(2)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,∠ABC= 作出△A'B'C';
∠DEF, 在 △ABE 和 △DEB 中,
AB=DE,
∠ABE=∠DEB,∴△ABE≌△DEB(SAS),BE=EB,
∴AE=DB,∠AEB=∠DBE,∴AE∥BD,即
AE=BD,AE∥BD.
暑期学情测评(三)
1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B
15
(2)线段AB 扫过的面积为S ABED+S DEB'A'= (3)过点P作PF∥AB,过点N 作NM∥AB,
3×5+3×4=27;
(3)将AB 向右平移6个单位长度,与x 轴交于
P,如图所示:
图2
∵AB∥CD,∴PF∥MN∥AB∥CD,与(2)同理,
得 ∠APC = ∠PAB - ∠PCD,∠ANC =
∠BAN - ∠DCN.依 题 意,设 ∠PAN =x,
∠PCN=y,则∠BAN =3x,∠PAB=4x,
∠DCN=3y,∠PCD=4y .
∴∠APC=4x-4y,∠ANC=3x-3y,
6× 4+1 ∠APC 4x-4y 4此时三角形PAB 面积为 2 =15.
∴∠ANC=3x-3y=3.
() ()设 , , , , , ,22.1设购进甲种钢笔需x元/支,乙种钢笔需 元/ 24.1 D xy y ∵A
-4a B 1a+1
, C 0,-2 ,由平移的规律得
支,依题意得 100x+50y=100050x+30y=550, 1- -4 =x-0, ∴ x=5,, ,∴D 5, ;, a+1 -a=y- -2 y=-1 -1
解得 x=5 所以购进甲种钢笔需5元/支,乙 (2)分别过点y=10. A,B,C 向坐标轴作平行线,构造
种钢笔需10元/支; 梯形AMNB
,如图所示:
(2)设购进甲种钢笔x支,乙种钢笔y支.根据题
意,得 5x+10y=1000,解得2226 ≤y≤x≤7y. 9 y≤25.∵y为
正整数,∴y=23,24,25.∴x=154,152,150.∴文具
店有三种进货方案;
(3)方案一利润为154×2+23×3=377(元);方案 ∵A -4,a ,B 1,a+1 ,C 0,-2 ,∴AM=
二利润为152×2+24×3=376(元);方案三利润为 a+2,BN=a+3,CM=4,CN=1,
150×2+25×3=375(元).∵377>376>375.∴方 ∴S△ABC=S梯形AMNB-S△ACM-S△BCN
案一获利最大.即购进甲种钢笔154支,乙种钢笔 =123支时,
(
获利最大,最大利润是377元. 2a+2+a+3
)×5-1 (2×4a+2
)-1(2a+3
)
23.(1)过点P作PE∥AB, =1( ),25a+14
依题意1(5a+14)2 ≤12
,解得a≤2.∵点
A -4,a 在第二象限内,∴a>0,∴0图1 (3)过C 作AB∥CE 交x轴于E,则点E 即为点
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,∴∠DPE=∠D= A 的对应点,设E(m,0),
130°,∠APE+∠A=180°,∵∠A=100°,∴∠APE
=80°,∴∠APD=∠DPE-∠APE=130°-80°
=50°;
(2)过点P作PE∥AB,
由(1)得点D 5,-1 在直线CE 上,连接OD.
∵C 0,-2 ,D 5,-1 ,
由S +S 1 1
图 △COD △DOE
=S△COE 得2×2×5+2m×1
∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,∴∠APE+∠A= 1=1×2m,解得m=10.∴E(10,0),
180°,∠DPE=∠D=β,
∴n=
∵∠A=α,∴∠APE= 2
180°-α,∴∠APD=∠DPE-∠APE=β- 10- -4 =14.
180°-α =α+β-180°;
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