河北省保定市部分重点高中2024-2025学年高二下学期期中（6月）考试数学试卷（含答案）

高二数学考试
试卷满分150分 考试时间120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ）
A．- 60 B．- 20 C．20 D．60
3．已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则（　　）
A．－1 B．－3 C．1 D．3
4．某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
5．为了研究某校男生的脚长(单位；)和身高(单位：)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于的经验回归方程为.已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．甲班的平均分比乙班的平均分高
B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散
C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的
D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等
8．已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分必要条件
B．若，，且，则的最大值为9
C．不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是
D．已知，其中a，b为常数，若，则
10．定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在区间上有最大值
11．已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则
B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点（1，2）
D．若在上单调递减，则的取值范围是
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．（用数字作答）
13．若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 ．
14．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；函数取最大值时， .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数是奇函数。
(1)求b的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由.求的最值。
(3)若函数满足不等式，求出t的范围.
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间，
17．一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子．
(1)在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率；
(2)设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值．
18．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列列联表．并依据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）
上课转笔 上课不转笔 合计
优秀
合格 20
合计 55 100
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．已知函数．
(1)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(2)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D D A C B D D ACD ABC ACD
12． 13． 14．
15．【详解】（1）因为在是奇函数
验证：，，函数为奇函数；
（2）是区间上的增函数，理由如下：
设是区间上任意两个实数，且，
则
因为所以
是区间上的增函数
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由满足
，即t的范围是
16．【详解】（1）当时，则，，
所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；
（2）函数的定义域为，又，
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时（当且仅当时取等号），
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
综上可得：
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.
17．【详解】（1）因为盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽，
所以第一次取到白粽的概率；
（2）记第一次取到白粽为事件，第二次取到肉粽为事件，
则，，
所以；
（3）依题意的可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
则.
18．【详解】（1）零假设：成绩优秀与上课转笔无关，列联表如下：
上课转笔 上课不转笔 合计
优秀 5 25 30
合格 50 20 70
合计 55 45 100
，
根据小概率值独立性检验，我们推断不成立，因此认为成绩优秀与上课转笔有关．
（2）100个人中优秀的人数为，
则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格；
由题意的可能值为2,3,4,5,
,,
,,
则X的分布列为:
X 2 3 4 5
P
所以.
（3）由题意可知，则，
, 解得. 又,所以，
则当时，取最大值．
19．【详解】（1）的定义域为， ∵在上单调递增，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
∴；
（2）由题意，
∵有两个极值点，∴为方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，， ∵，∴，
又， 解得，
∴
，
设（），
则， ∴在上单调递减，
又，， ∴，
即的取值范围为.