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综合微评(一)
时间：120分钟 满分：150分
2门世2有
3厚(共36张PPT)
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
章末总结
体系整体构建 知识宏观把握
核心专题研究 要点纵横链接
2门世2有
3厚指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算
第1课时 有理指数幂
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值． 2．掌握根式与分数指数幂的互化． 3．理解有理数指数幂的含义，掌握其运算性，并用其化简、计算. 1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养． 2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养.
笔记 教材
1．n次方根
(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．
(2)表示
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝ x＝± x＝0 不存在
(3)实质：求a的n次方根是开方运算，与乘方运算互为逆运算．
2．根式
当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
3．根式的性质
(1)()n＝a(n>1且n∈N*)．
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|.
4．分数指数幂
m，n∈N*，n>1，为既约分数．
(1)规定正分数指数幂的意义是：a＝()m＝(有意义)．
(2)规定负分数指数幂的意义是：a＝＝＝(有意义且a≠0)．
5．有理指数幂的运算法则
asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈Q.
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)实数a的n次方根有且只有一个．(?)
提示：当n为偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个．
(2)＝()n.(?)
提示：当n为偶数，且a为负数时不成立．
(3)(－2)＝(－2).(?)
提示：(－2)>0，而(－2)无意义，故错误．
2．已知a>0，则＝( )
A．a B．a
C．a D．a
解析：先将分子化简，＝a，所以原式＝＝a.
答案：D
3．若a>0，a2＋a－2＝14，则a＋a－1的值为 ( )
A．9 B．7
C．6 D．4
解析：∵(a＋a－1)2＝a2＋2a·a－1＋a－2＝a2＋a－2＋2＝16，又∵a>0，∴a＋a－1＝4.
答案：D
4．设a>0，则下列运算正确的是( )
A．aa＝a B．(a)4＝a
C．aa－＝0 D．a÷a＝a
解析：对A，aa＝a＝a，故A错误；对B，4＝a＝a，故B正确；对C，aa＝a＝a0＝1，故C错误；对D，a÷a＝a＝a，故D错误．故选B．
答案：B
研习1 由根式的意义与性质求范围
[典例1] 求使等式＝(3－a)·成立的实数a的取值范围．
解：＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．
巧归纳
对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
[练习1] 若＝a－1，求实数a的取值范围．
解：∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞)．
研习2 利用根式的性质化简或求值
角度1 无限制条件的根式化简或求值
[典例2] 化简下列各式：
(1)；
(2)()2＋＋.
解：(1)＝|3－π|＝π－3.
(2)由题意知，a－1≥0，即a≥1.
所以原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
巧归纳
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点
①正确区分()n与两式；
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
[练习2] 求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋；
(4)××.
解：(1)＝－2.
(2)＝|3－3a|＝3－3a；
(3)＋＝a＋|1－a|
＝
(4)××＝5××(5×32)＝5×5×3×5×3＝5×3＝5.
角度2 有限制条件的根式化简或求值
[典例3] 设－3
解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3∴原式＝
巧归纳
当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
[练习3] 已知x∈[1,2]，化简()4＋＝________.
解析：∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
答案：1
研习3 根式与指数幂的互化
[典例4] (1)化简的结果是( )
A． B．x
C．1 D．x2
解析：＝＝x＝x0＝1.
答案：C
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式：
①(a>0)；
②；
③(b>0)．
解：①原式＝＝＝(a) ＝a.
②原式＝＝＝＝＝＝x.
③原式＝＝(b) ＝b.
巧归纳
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．
[练习4] 用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0)．
解：(1)＝＝a.
(2)＝＝＝＝ab.
研习4 分数指数幂的化简问题(数学运算)
角度1 式子化简
[典例5] (1)÷＝________.
解析：原式＝ab·(a·b)
＝ab·ab
＝ab·ab
＝ab.
答案：ab
(2)化简：.
解：原式＝＝a·b＝a－1＝.
巧归纳
将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算的常用方法．
[练习5] (1)化简：＝________.
(2)计算：8－0＋－2·＋[(－2)6].
(1)解析：(a2·)÷(·)＝(a2a)÷(aa)＝a÷a＝a＝a.
答案：a
(2)解：原式＝(23)－1＋2·＋(26)＝4－1＋2·＋23＝3＋1＋8＝12.
角度2 条件求值
[典例6] 已知x＋x＝，求的值．
解：x＋x＝，两边同时平方，得
x＋x－1＋2＝5，所以x＋x－1＝3，对x＋x－1＝3两边同时平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7，则＝＝－.
巧归纳
1．分数指数幂运算法则的应用
首先要分析式子的特点，确定化简的层次和顺序，一般从里到外依次化为分数指数幂，其次先进行乘方运算，再进行同底数幂的运算．
2．解决条件求值问题的步骤
[练习6] 已知x＋x－1＝4(0解：因为x＋x－1＝4，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝4(x－x－1)，(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝12.
因为0所以x2－x－2＝－8.
又因为(x＋x)2＝x＋x－1＋2＝6，所以x＋x＝，
所以＝＝－4.
1．下列各等式中成立的是( )
A．a＝(a＞0)
B．a＝(a＞0)
C．a＝±(a＞0)
D．a＝－(a＞0)
解析：a＝，a＝，a＝，只有B正确．
答案：B
2．(多选)下列各式正确的是( )
A．＝(m＋n)
B．2＝a－2b2
C．＝(－3)
D．＝2
答案：BD
3．()4运算的结果是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．不确定
答案：A
4.＋的值是________．
解析：＋＝|a－b|＋(a－b)＝
答案：0或2(a－b)
5．化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)4x(－3xy)÷(－6xy)(结果化为分数指数幂形式)．
解：(1)＝＝＝a.
(2) 4x(－3xy)÷(－6xy)
＝[4×(－3)÷(－6)]x·y
＝2xy.
课时作业(一) 有理指数幂
1．当有意义时，化简：－＝( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
解析：∵有意义，
∴2－x≥0，即x≤2.
∴－
＝－＝|x－2|－|x－3|
＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.
答案：C
2．设a＞0，将·表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
解析：因为a＞0，所以·＝a·a＝a＝a.故选C．
答案：C
3．计算：(－27) ×9＝( )
A．－3 B．－
C．3 D．
答案：D
4．若a＝，b＝，则a＋b＝( )
A．1 B．5
C．－1 D．2π－5
答案：A
5．(多选)下列各式错误的是( )
A．＝a B．a0＝1
C．＝－4 D．＝－5
解析：A．＝|a|，B．a0＝1，当a≠0时成立，C．＝4，D正确．故选ABC．
答案：ABC
6．化简：＝________.
解析：＝＝|－|＝－.
答案：－
7．化简：＋＝________.
答案：
8．(1) ＋＝________；
(2) ＝________.
解析：(1) ＋＝(2－2) ＋＝2＋2＝2＋4＝6；
(2)＝＝＝ab＝ab.
答案：(1)6 (2)ab
9．(2020·江苏卷)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是________．
解析：f(8)＝8＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4.
答案：－4
10．计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)·(＋1)＋(－)0.
解：(1)原式＝－＋＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝·(＋1)＋1＝(－1)·(＋1)＋1＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，所以因为a>b>0，所以>，
则2＝＝＝＝，
所以＝＝.
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
解：y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝
其图象如图所示．
由图象可知，y的最小值为4.
第2课时 实数指数幂
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程． 2．掌握实数指数幂的运算法则. 1.通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养． 2．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养.
笔记 教材
1．无理数指数幂
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．
2．实数指数幂的运算法则
(1)asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs.
(2)拓展：＝as－t，s＝.
其中a>0，b>0，s，t∈R.
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)[(－2)×(－3)]＝(－2) (－3).(?)
提示：左边＝，右边无意义．
(2)当a>0时，(ar)s＝(as)r.(√)
(3)π∈R.(√)
2．计算：(() )＝________.
解析：(() )＝()＝.
答案：
3．计算：2×16＝________.
解析：2×16＝2×2＝20＝1.
答案：1
4．计算：4＋3×＋0.
解：4＋3×＋0＝2＋3×3＋1＝6.
研习1 实数指数幂运算法则的应用
[典例1] 计算下列各式的值：
(1)3×27；
(2)(1＋)[(－－1)－2()]＋()×().
解：(1)3×27＝3×(33)
＝3×3＝3＝32＝9.
(2)(1＋)[(－－1)－2()]＋()×()＝(1＋)[(＋1)－2·()]＋() ＝(1＋)[(＋1) ()]＋()2＝(1＋)[(＋1)－1()]＋2＝()＋2＝2＋2.
巧归纳
对有理数指数幂as，若a<0，则当s＝，－(m，n互质且均为奇数)时，as为负，否则as为正或无意义．
[练习1] 化简：(1－a)[(a－1)－2(－a) ]＋[(－a)].
解：原式＝(1－a)[(1－a)－2(－a)]＋(－a)＝(1－a)(1－a) ·(－a) －a＝(1－a)0(－a) －a＝(－a) －a.
研习2 整体代换的应用
[典例2] (1)若x＝2，则(x＋3) ＝________.
(2)若x－x＝1，则x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________.
解析：(1)因为x＝2，则(x)3＝23，得x2＝23，解得x＝±2，所以(x＋3) ＝(3±2)＝[(±1)2] ＝±1.
(2)将x－x＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，
则x＋x－1＝3.
将x＋x－1＝3两边平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案：(1)±1 (2)3 7
巧归纳
利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
(2)利用整体代换法解决计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(x±x)2 2，x＋x＝(x±x)2 2.
[练习2] (1)已知x＋x＝，则x2＋x－2＝________.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：
①x＋x；②x2－x－2.
(1)解析：将x＋x＝两边平方，得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案：7
(2)解：①设m＝x＋x，两边平方，得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即x＋x＝3.
②设n＝x－x，两边平方，得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±，即x－x＝±.所以x－x－1＝(x＋x)( x－x)＝±3，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
研习3 指数幂的综合应用
[典例3] 解下列关于x的方程：
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解：(1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)，即2x＝，
解得x＝－2.
巧归纳
(1)利用指数幂的运算法则，两端化为同底数的幂，从而利用指数相等解方程．
(2)把未知数为指数的幂看作一个新未知数，用换元法求解.
[练习3] (1)已知x＞2，y＞0且满足2x·2y＝16，则＋的最小值为________；
(2)解方程：4x＋2x－2＝0.
(1)解析：由2x＋y＝24可得，x＋y＝4，所以＋＝[(x－2)＋y]＝≥＝4.当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．
答案：4
(2)解：原方程可化为(2x)2＋2x－2＝0，
解得2x＝1或2x＝－2(舍去)，∴x＝0.
1．化简[]的结果为( )
A．5 B．
C．－ D．25
解析：[]＝()＝5＝5＝25.
答案：D
2．若102x＝25，则10－x等于( )
A．－ B．
C． D．
解析：∵102x＝(10x)2＝25,10x>0，∴10x＝5，则10－x＝＝.
答案：B
3．计算4－－1＋[()]2＝________.
解析：原式＝2－2－1×(－1)＋(π)2＝2－2＋π＝π.
答案：π
4．已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，则m＋n的值为________．
解析：对于方程x2＋5x＋3＝0，Δ＝52－4×3＝13>0，由根与系数的关系可得∴m<0，n<0，因此m＋n＝m＋n＝m＋n＝－2＝－2.
答案：－2
5．已知a>1，b>0，ab＋a－b＝2，求ab－a－b的值．
解：∵a>1，b>0，∴ab－a－b>0.
∵ab＋a－b＝2，∴(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝8－4＝4，故ab－a－b＝2.
课时作业(二) 实数指数幂
1．下列等式能够成立的是( )
A．7＝n·m7(m≠n，m≠0)
B．＝(－3)
C．＝(x＋y)(x≥0，y≥0)
D．＝3
答案：D
2．化简：0－(1－0.5－2)÷＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.故选D．
答案：D
3．使代数式(|x|－1) 有意义的x的取值范围是( )
A．{x||x|≥1}
B．{x|－1C．{x||x|>1}
D．{x|x∈R，且x≠±1}
解析：∵(|x|－1) ＝，
∴|x|－1≠0，即x≠±1.
∴x的取值范围是{x|x∈R，且x≠±1}．
答案：D
4．已知x2＋x－2＝2，且x＞1，则x2－x－2＝( )
A．2或－2 B．－2
C． D．2
解析：解法一：∵x＞1，∴x2＞1，
由x2＋x－2＝2，可得x2＝＋1，
∴x2－x－2＝＋1－＝＋1－(－1)＝2.
解法二：令x2－x－2＝t，①
∵x2＋x－2＝2，②
∴由①2－②2，得t2＝4.
∵x＞1，∴x2＞x－2，
∴t＞0，于是t＝2，即x2－x－2＝2，故选D．
答案：D
5．化简(a3b)÷(ab)(a>0，b>0)的结果为( )
A．a B．b
C． D．
答案：A
6．计算：27＋16－－2－＝________.
解析：27＋16－－2－＝(33) ＋(42) －4－＝32＋4－1－4－－2＝9＋－4－＝3.
答案：3
7．若x＞0，则(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)＝________.
解析：原式＝4x－33－4x＋4＝－23.
答案：－23
8．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.
解析：∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，∴a＝m，b＝m，a＝b2.由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3(舍去)．∴m＝2，m＝24＝16.
答案：16
9．求值：(π－3)0＋(×)6－×80.25.
解：(π－3)0＋(×)6－×80.25＝1＋()6×()6－2×2＝1＋33×22－2＝1＋108－2＝107.
10．(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解：(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，
∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
(2) ＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，得＝＝－.
11．已知x＝(5－5)，n∈N*，求(x＋)n的值．
解：∵1＋x2＝1＋(5－5)2
＝1＋(5－2＋5)
＝(5＋2＋5)
＝2，
∴＝(5＋5)，
∴x＋＝(5－5)＋(5＋5)＝5.
∴(x＋)n＝(5)n＝5.
4．1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的概念、性质与图象
[新课程标准] [新学法解读]
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念． 2．掌握指数函数的性质与图象． 3．会运用指数函数的性质，求解简单的指数函数的定义域、值域问题. 1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养． 2．通过利用计算机软件作指数函数的图象，发展直观想象素养． 3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养.
笔记 教材
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
2．指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值 的变化 当x>0时， y>1； 当x<0时， 00时， 01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．(?)
提示：因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．(?)
提示：因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)函数y＝(－5)x是指数函数．(?)
提示：因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数．
2．函数y＝2－x的图象是( )
解析：y＝2－x＝x，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B．
答案：B
3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
答案：()x
4．指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________．
解析：由指数函数y＝2x的图象和性质可知，定义域为R，值域为(0，＋∞)．
答案：R (0，＋∞)
研习1 指数函数的概念
[典例1] 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；
(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a＞1且a≠2)．
[思路点拨] 严格按照指数函数的定义，逐一检查代数式前面的系数是否为1，自变量是否只有“x”的形式，底数是否是大于0且不等于1的常数．
解：只有(4)(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义．(1)中关系式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负数，所以不是指数函数；(3)中关系式2x的系数为－1，所以不是指数函数；(5)中指数为常数，所以不是指数函数．
巧归纳
1．判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数，求参数值的基本步骤
[练习1] (1)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
(2)若函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
(1)解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点(2,9)，
∴a2＝9，则a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.
答案： 3
(2)解析：∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
答案：0或1
研习2 指数函数的图象
[典例2] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
[思路点拨] 根据指数函数的底数大小与图象的关系判断．
解析：解法一：在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．
在y轴的左侧，指数函数的图象由下到上，底数依次减小．
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
所以b＜a＜1＜d＜c.
解法二：作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，如图．
由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知，b＜a＜1＜d＜c，故选B．
答案：B
巧归纳
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大，即所谓“底大图高”．
(2)处理指数函数的图象应注意的问题：
①抓住特点，指数函数图象过定点(0,1)；
②巧用图象平移变换；
③注意函数单调性的影响．
[练习2] (1)(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则( )
A．0＜a＜1，b＜0 B．0＜a＜1,0＜b≤1
C．a＞1，b＜0 D．a＞1,0＜b≤1
(2)已知函数y＝ax＋m＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P(－2,2)，则实数m＝________.
(1)解析：当00，所以b<0，若向下平移，则01时，y＝ax在R上为增函数，由题意可知，y＝ax的图象只能向上平移，所以－b＞0，即b＜0，C项正确，D项错误，故选ABC．
答案：ABC
(2)解析：a－2＋m＋1＝2，即a－2＋m＝1，则－2＋m＝0，所以m＝2.
答案：2
研习3 指数函数的定义域、值域
[典例3] (1)函数y＝的值域为________．
(2)求下列函数的定义域、值域：
①y＝2；
②y＝4x＋2x＋1＋1.
[思路点拨] 此类问题可先由所给函数的形式求其定义域，而求函数值域时应考虑指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的取值，并结合函数自身特征，利用单调性处理．
(1)答案：(0,1)
(2)解：①由x－2≠0，得x≠2，
∴y＝2的定义域是{x|x≠2}．
∵≠0，∴y≠20，即y≠1，又y＝2＞0，
∴y＝2的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
②y＝4x＋2x＋1＋1的定义域是R.
∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
由2x＞0，知2x＋1＞1，∴(2x＋1)2＞1.
∴y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(1，＋∞)．
巧归纳
1．对于y＝af(x)这类函数
(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的取值；
②利用指数函数y＝au的单调性或图象求此函数的值域．
2．对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数
(1)定义域为R.
(2)值域可以分以下两步求解：
①设t＝ax，求出t的范围；
②利用二次函数y＝t2＋bt＋c的图象和性质求函数的值域．
[练习3] 求函数y＝x2－2x－3的定义域和值域．
解：函数y＝x2－2x－3的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴ x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
1．给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
2．已知实数m＞2，集合A＝{y|y＝2x－1＋4}，集合B＝{x|x2－(m＋2)x＋2m≤0}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围为( )
A．(2,4) B．(2,4]
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：集合A＝{y|y＝2x－1＋4}＝{y|y＞4}，B＝{x|x2－(m＋2)x＋2m≤0}＝{x|(x－2)(x－m)≤0}＝{x|2≤x≤m}，由于A∩B≠ ，所以m>4，故选C．
答案：C
3．函数y＝的定义域为________．
答案：{x|x≠1}
4．若函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4,6)，则b＝________.
答案：5
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)因为函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，函数为f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1.于是0所以函数的值域为(0,2]．
[示例] 已知函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，求实数a.
[错解] ∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，
∴a2－4a＋4＝1，
解得a＝1或a＝3.
[错因分析] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)中，ax的系数为1，并且底数a要满足a＞0，且a≠1.
[正解] ∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，
∴由指数函数的定义，得
解得a＝3或a＝1(舍去)．
∴a＝3.
[防范措施] 切记指数函数的要求：形如f(x)＝ax，指数式前面的系数为1，底数a＞0，且a≠1，自变量x是指数．这三点缺一不可.
课时作业(三) 指数函数的概念、性质与图象
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
解析：由a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2，又由于a＞0，且a≠1，故a＝2.故选C．
答案：C
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：C
3．若函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D．
解析：∵y＝ax在[0,1]上为单调函数，
∴a0＋a1＝3，
∴a＝2，则y＝2ax－1＝4x－1，
∴y＝4x－1在[0,1]上的最大值为3.
答案：C
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：当a>1时，函数f(x)=ax单调递增,当x=0时,g(0)=a>1,此时两函数的图象大致为选项A.
答案：A
5．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列五个关系式：①0A．①②③ B．①②⑤
C．①③⑤ D．③④⑤
答案：B
6．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
又f(x)＝|x|＝
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
答案：D
7．(多选)下列四个命题中，正确的有( )
A．命题p：“ x≤1，x2－3x＋2≥0”，则綈p为“ x>1，x2－3x＋2<0”
B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
C．若a>b，c＞d＞0，则>
D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]
解析：对于A，特称命题否定为全称命题时，改量词否结论即可，命题p：“ x≤1，x2－3x＋2≥0”，则綈p为“ x≤1，x2－3x＋2＜0”，所以A错误；对于B，由x－1＝0得x＝1，此时f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)＝ax－1＋1的图象恒过定点(1,2)，所以B正确；对于C，若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，此时＝，所以C错误；对于D，函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时取得函数最小值f(1)＝3，又f(0)＝f(2)＝4，所以实数m的取值范围是[1,2]，所以D正确，故选BD．
答案：BD
8．若函数y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b＝________.
解析：把点(1,2)代入，得2＝a2＋b＋1，
∴a2＋b＝1恒成立，∴2＋b＝0，∴b＝－2.
答案：－2
9．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最大值是m，最小值是n，则m＋n的值为________．
解析：因为y＝x在R上为减函数，所以m＝－2＝9，n＝－1＝3，所以m＋n＝9＋3＝12.
答案：12
10．为预防某种病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝x－a(a为常数)，则含药量y随时间x变化的函数表达式为________；经过________小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125 mg以下．
解析：一次函数过点(0.2,1)，(0,0)，故k＝5，故一次函数解析式为y＝5x.又y＝x－a过点(0.2,1)，则1＝0.2－a，故a＝0.2.故含药量y随时间x变化的函数表达式为f(x)＝若x－0.2＜，则x－0.2>1，则x＞1.2.故经过1.2小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125 mg以下．
答案：f(x)＝ 1.2
11．某林区2022年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)
解：列表如下：
经过的年数 木材蓄积量(万立方米)
0 200
1 200(1＋5%)
2 200(1＋5%)2
3 200(1＋5%)3
… …
x 200(1＋5%)x
由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x.
当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米)．
故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米．
12．已知函数f(x)是定义域为{x|x≠0，x∈R}的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象写出f(x)的单调区间．
解：(1)因为函数f(x)是定义域为{x|x≠0，x∈R}的奇函数，所以当x＜0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，因此函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如下图所示．
由图象知，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间．
13．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．
解：当a>1时，通过平移变换和翻折变换作出函数y＝|ax－1|＋1的图象，如图(1)所示，则由图可知，1<2a<2，即1矛盾．当0第2课时 指数函数及性质的应用
[新课程标准] [新学法解读]
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质． 2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性． 3．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养.
笔记 教材
1．底数与指数函数图象的关系
(1)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
如图所示，指数函数底数的大小关系为02．解指数型不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0且a≠1)的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax(a>0且a≠1)，y＝bx(b>0且b≠1)的图象求解．
3．与指数函数复合的函数单调性
一般地，形如y＝af(x) (a>0且a≠1)的函数的性质有：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)y＝21－x是R上的增函数．(?)
提示：函数y＝21－x＝x－1是R上的减函数．
(2)若0.1a>0.1b，则a>b. (?)
提示：因为0<0.1<1，∴y＝0.1x为减函数，∴由0.1a>0.1b得，a(3)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(?)
提示：函数y＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数．
2．函数y＝2的定义域为________，值域为________．
解析：由x－1≥0得，x≥1，因为≥0，所以y≥1.
答案：[1，＋∞) [1，＋∞)
3．若2x＋1<1，则x的取值范围是________．
解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.
答案：(－∞，－1)
4．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为________．
解析：因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m答案：m5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)＝aex－1，则a＝________，f(x)的值域是________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝ae0－1＝a－1＝0，即a＝1.又f(x)＝ex－1在(－∞，0]上单调递增，则ex－1∈(－1,0]．因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以当x＞0时，f(x)∈(0,1)，即f(x)的值域是(－1,1)．
答案：1 (－1,1)
研习1 利用函数的单调性比较大小
[典例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.50.3和0.81.2；(4)0.30.4和0.20.5.
[思路点拨] (1)(2)底数相同，可依据指数函数的单调性比较；(3)中底数不同，指数不同，可借助中间值来比较；(4)中的两个数值应采用指数函数的排列特点比较大小．
解：(1)函数y＝1.5x在R上是增函数，
∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.
(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，
∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.
(3)由指数函数的性质，知
1．50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞0.81.2.
(4)在同一坐标系内，画出y＝0.3x，y＝0.2x两个函数的图象，如图所示．
由其排列特点，很容易得到0.30.4＞0.20.5.
巧归纳
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较，也常应用指数函数图象的排列规律，应用数形结合法比较．
(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．
[练习1] (1)已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
(2)比较大小：(a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1，且a≠2)．
(1)解析：∵c＜0，b＝53＞3,1＜a＜3，
∴b＞a＞c.故选B．
答案：B
(2)解：由于a＞1且a≠2，∴a－1＞0且a－1≠1，
若a－1＞1，即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数，
∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4，
若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数，
∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4.
研习2 形如y＝af(x)函数的单调性
[典例2] 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
[思路点拨] 先把指数看作一个函数，并求该函数的单调区间及取值范围，再根据指数函数的单调性判断f(x)的单调性，利用单调性求值域．
解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，
在[1，＋∞)上单调递增，
又y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f(x)＝x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜u≤－1＝3，
∴函数f(x)的值域为(0,3]．
巧归纳
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．一般遵循“同增异减”法则，即若两函数单调性相同，复合函数单调递增，若两函数单调性相反，复合函数单调递减．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f(φ(x))的单调性．
[练习2] (1)(多选)已知定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①f(x)是奇函数；② x∈R，f＝－f(x)；③当x∈时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)满足f(x)＝f(x＋π)
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．f(x)的最大值为2－1
(2)求函数y＝2的单调区间．
(1)解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.选项A中， x∈R，f＝－f(x)，将x＋代换x，则f＝－f＝f(x)，即f(x＋π)＝f(x)，A正确；选项B中，结合 f(0)＝0知，当x∈时，f(x)＝2x－1，易见f(x)在上单调递增，又由函数f(x)是奇函数，图象关于原点中心对称可知，f(x)在上也单调递增，即f(x)在上单调递增，B正确；选项C中，当x＝－π时，由A中结论知，f＝f＝f＝2－1，当x＝－时，f＝－f＝－≠f，故x＝－不是f(x)的对称轴，故C错误；选项D中， x∈R，f＝－f(x)＝f(－x)，将x－代入得，f＝f，则x＝是对称轴，所以f(x)在上单调递减，在x＝处取得2－1，又f(x＋π)＝f(x)，故f(x)的最大值为f＝2－1，故D正确．故选ABD．
答案：ABD
(2)解：由－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3.
∴函数的定义域为[－1,3]．
又函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
即函数y＝2的单调递增区间是[－1，1]，单调递减区间是[1,3]．
研习3 简单的指数方程、指数不等式
[典例3] (1)求方程2 x2＋x＝8x＋1的根；
(2)如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
[思路点拨] (1)方程两边都化为同底的形式．(2)因为a＞0且a≠1，故要对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合指数函数性质转化成关于x的不等式求解．
解：(1)原方程可化为2x2＋x＝23x＋3，
∴x2＋x＝3x＋3，∴x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.
(2)当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，
则－5x＜x＋7，解得x＞－；
当a＞1时，y＝ax为增函数，则－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为；
当a＞1时，x的取值范围为.
巧归纳
简单的指数方程、指数不等式的解法
对于简单的指数不等式，通过两边都转化为同底的指数型函数后，再利用指数函数的单调性求解．
例如：
af(x)>ag(x)
af(x)而对于指数方程的解法，一般也要方程两边通过底的转换化为同底的形式，如af(x)＝ag(x)，进而转化为求f(x)＝g(x)的解．
[练习3] 解不等式32x－1＞x－2.
解：原不等式可化为32x－1＞32－x.
∵y＝3x为增函数，∴2x－1＞2－x，解得x＞1.
∴原不等式的解集为(1，＋∞)．
研习4 指数函数性质的综合应用
[典例4] 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知，f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
由Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴实数k的取值范围是.
巧归纳
判定函数奇偶性要注意的问题
(1)“定义域优先”的原则
如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)变形技巧
耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0是否成立判定．
(3)图象的特征
在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定．
[练习4] (1)已知f(x)＝m＋是奇函数，则常数m的值为________．
(2)设函数f(x)＝＋(e为无理数且e＝2.718 28…)是R上的偶函数，且a>0.
①求a的值；
②判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(1)解析：∵f(x)＝m＋是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝m＋＋m＋＝0，故m＝－＝1.
答案：1
(2)解：①∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴＋＝＋，即＝ex，∴－a＝0，解得a2＝1，又a>0，∴a＝1.
②由①得f(x)＝ex＋e－x，设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，x1ex1且ex1ex2>1，∴(ex2－ex1)>0，即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
1．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A． B．(－∞，0)
C． D．
解析：由题意，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a＞1，解得a＜0.故选B．
答案：B
2．已知函数f(x)＝＋ax＋1(a∈R)，则f(2 023)＋f(－2 023)＝( )
A．－2a＋2 023 B．2a
C．4 D．4 046
解析：因为f(x)＝＋ax＋1，所以f(2 023)＋f(－2 023)＝＋2 023a＋1＋－2 023a＋1＝＋＋2＝＋2＝2＋2＝4.故选C．
答案：C
3．不等式22x－3>7的解集是________．
答案：(－2，＋∞)
4．当x∈(－1,2]时，函数f(x)＝3x的值域为________．
解析：∵y＝3x在(－1,2]上为增函数，∴3－1<3x≤32，即<3x≤9，∴函数f(x)＝3x的值域为.
答案：
5．若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明：f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(kt2)＋f(2－3t)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－x)＝－f(x)，得a＝1.
(2)证明：由(1)得，f(x)＝.
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为x1＜x2，所以2x2－2x1＞0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，
故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)为R上的减函数．
(3)因为t∈R，函数f(x)为奇函数，所以f(kt2)＋f(2－3t)<0，即f(kt2)3t－2，即kt2－3t＋2>0对于任意t∈R恒成立，所以解得k>.
[示例] 已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
[思路点拨]
[解] y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
名师批注：由于a2x＝(ax)2，故令t＝ax，可将原函数转化为关于t的二次函数求解．很多同学常因观察不出此规律而造成解题错误．
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，
∵x≥0，∴t≥1.又y＝(t＋1)2－2在[1，＋∞)上单调递增，
∴当a>1时，y≥2.
当0∵x≥0，∴0且g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0名师批注：由于x≥0，当a>1和0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0名师批注：值域[2，＋∞)和(－1,2]是a取不同范围所求出的结果，所以不能取并集．此处极易与分段函数的值域混淆，认为应取并集，从而得出值域为(－1，＋∞)的错误结论.
课时作业(四) 指数函数及性质的应用
1．函数y＝x2－2的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞， ] D．[，＋∞)
解析：函数y＝u为R上的减函数，欲求函数y＝x2－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)．故函数y＝x2－2的单调递减区间为[0，＋∞)．
答案：B
2．若当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．R
解析：∵当x＞0时，(a－1)x＜1恒成立，
∴0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
答案：B
3．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )
A．2 B．
C． D．a2
解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
答案：B
4．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是( )
A．－ B．－4
C． D．4
解析：g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－.
答案：A
5．(多选)已知f(x)＝e－x＋kex(k为常数)，那么函数f(x)的图象不可能是( )
解析：由选项的四个图象可知， 备选函数都具有奇偶性．当k＝1时，f(x)＝e－x＋ex为偶函数，当x≥0时，t＝ex≥1且单调递增，而y＝t＋在[1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝e－x＋ex在[0，＋∞)上单调递增，故选项C正确，D错误；当k＝－1时，f(x)＝e－x－ex为奇函数，当x≥0时，t＝ex≥1且单调递增，而y＝－t在[1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)＝e－x－ex在[0，＋∞)上单调递减，故选项B正确，A错误．故选AD．
答案：AD
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析：∵f(x)是R上的增函数，
∴解得4≤a<8.
答案：D
7．若关于x的方程x＝有负根，则a的取值范围为________．
解析：y＝x的定义域为x∈R.
∵x＝有负根，∴x<0.
又∵0<<1，∴y＝x是R上的减函数，∴>1，即－1>0，
∴>0，即(4a－3)(5－a)＞0，解得答案：
8．一种药在病人血液中的量保持在1 500 mg 以上时才有疗效，而低于500 mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2 500 mg，如果该药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为y mg.
(1) y关于x的函数解析式为________；
(2)要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过________小时．(精确到0.1)(参考数据： 0.20.3 ≈0.617 0,0.82.3 ≈0.598 6，0.87.2 ≈0.200 6,0.87.3 ≈0.191 6)
解析：(1)由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药2 500 mg，经过x小时后，药在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x ＝ 2 500×0.8x.即y关于x的函数解析式为y＝2 500×0.8x.
(2)因为该药在病人血液中的量低于500 mg时病人就有危险，令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.又0.87.2≈0.200 6，且指数函数y＝0.8x为减函数，所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时．
答案：(1)y＝2 500×0.8x (2)7.2
9. 已知函数f(x)＝m|x|＋n的图象过原点．
(1)当m＝1时，求该函数的解析式，判断并证明其奇偶性；
(2)若该函数图象无限接近直线y＝3但又不与该直线相交．
①求m和n的值；
②请画出该函数图象，并写出其单调区间(不必证明)．
解：(1)因为函数图象过原点，所以0＝m0＋n，即m＋n＝0，因为m＝1，所以n＝－1，故f(x)＝|x|－1，又f(x)定义域关于原点对称，且f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1＝f(x)，故f(x)是偶函数．
(2)因为|x|≥0,0＜|x|≤1，即y＝|x|无限接近直线y＝0但又不与该直线相交，故f(x)＝m|x|＋n无限接近直线y＝n但又不与该直线相交，即n＝3，又m＋n＝0，故m＝－3，所以函数f(x)＝－3|x|＋3.用图象平移、翻折等方法可画出函数图象如图，
由图象可得，f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
解：(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
因为x1又(1＋2x1)(1＋2x2) >0.
所以f(x1)－f(x2) <0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0.
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝.
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
11．已知函数f(x)＝.
(1)当a＝4，b＝－2时，解关于x的方程f(x)＝2x；
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求函数f(x)的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数g(x)满足f(x)·[g(x)＋2]＝2x －2－x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g(2x)≥m·g(x)－10恒成立，求实数m的最大值．
解：(1)当a＝4，b＝－2时，f(x)＝＝2x.即(2x)2－3·2x－4＝0，解得2x＝4或2x＝－1(舍去)，∴x＝2.
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即＝－，即(a＋b)(2－x＋2x)＋2ab＋2＝0恒成立，则解得或经检验a＝－1，b＝1满足函数的定义域为R，∴f(x)＝.
(3)当x≠0时，函数g(x)满足f(x)·[g(x)＋2]＝2x－2－x，则g(x)＝2x＋2－x.
又不等式g(2x)≥m·g(x)－10对任意x∈R且x≠0恒成立，即(2x＋2－x)2－2≥m(2x＋2－x)－10恒成立，即m≤(2x＋2－x)＋恒成立，设t＝2x＋2－x，则t＞2，即m≤t＋对任意t＞2恒成立，由均值不等式可得，当t＝2时，t＋取最小值4.
故m≤4，即实数m的最大值为4.
4．2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．知道自然对数和常用对数． 3．理解对数的底数和真数的取值范围． 4．掌握对数的基本性质及对数恒等式. 1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化． 2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
笔记 教材
1．对数的概念
(1)对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
(2)常用对数与自然对数
以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数，为了简便起见，把log10N简写为lg N.
在科学技术中，常常还使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln N.
2．对数与指数的关系
当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N.
3．对数的有关结论
(1)零和负数没有对数；
(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；
(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；
(4)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
(5)logaab＝b(a>0且a≠1)．
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(?)
提示：因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误．
(2)对数式log32与log23的意义一样．(?)
提示：log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误．
(3)对数的运算实质是求幂指数．(√)
2．若log3(2x－1)＝0，则x＝________.
解析：若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案：1
3．若logx8＝3，则x＝________.
解析：由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案：2
4．[(－4)2]＋log55＝________.
解析：[(－4)2]＋log55＝16＋log55＝4＋1＝5.
答案：5
研习1 对数的有关概念
[典例1] (1)若b＝a3(a>0且a≠1)，则有( )
A．loga3＝b B．logab＝3
C．logb3＝a D．logba＝3
[思路点拨] 对数式与指数式互化 将指数式化为对数式，将对数式化为指数式，互化过程中底数保持不变．
(2)若对数式log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A． B．
C．∪(2，＋∞) D．[2,3]
(3)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
①2－7＝；②log32＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2.
(1)答案：B
(2)答案：C
(3)解：①由2－7＝，可得log2＝－7.
②由log32＝－5，可得－5＝32.
③由lg 1 000＝3，可得103 ＝1 000.
④由ln x＝2，可得e2＝x.
巧归纳
1．指数式与对数互化的方法
(1)解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置．
(2)若是指数式化为对数式，关键是看清指数是什么，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是什么，再写成指数式．
2．巧解对数式中的求值问题
(1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算．
[练习1] 先将下列式子改写为指数式，再求各式中x的值．
(1)log2x＝－；(2)logx3＝－.
解：(1)由log2x＝－，得2＝x，∴x＝2.
(2)由logx3＝－，得x＝3，∴x＝.
研习2 对数的基本性质
[典例2] (1)求下列各式的值：
①log327＝________；
②log0.51＝________；
③ln e＝________.
(2)解方程：
①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
②log2[log3(log2x)]＝1.
[思路点拨] (1)利用对数恒等式化简，解方程．(2)利用对数的性质logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)答案：①3 ②0 ③
(2)解：①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，得
解得x＝－2.
②∵log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
巧归纳
1．巧解对数式中的求值问题
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
2．利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值．
(2)若已知的式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值．
[练习2] (1)若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
(2)已知a>0，b>0，若log4a＝log6b＝，则＝________.
(1)答案：C
(2)解析：因为log4a＝log6b＝，由对数式与指数式的互化，可得a＝4＝2，b＝6＝，所以＝＝.
答案：
研习3 对数恒等式的简单应用
[典例3] 计算：
(1)7(1－log75)；
(2)4；
(3)31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋log34.
[思路点拨] 利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求值．
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝.
(3)原式＝3×3 log36－24×2 log23＋(10lg 3)3＋3－2log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2＝18－48＋27＋＝－.
巧归纳
(1)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
(2)logaan＝n(a>0，且a≠1)的应用
①证明：设logaan＝x，则an＝ax，由指数函数的单调性知，n＝x，所以logaan＝n.
②应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的幂的形式，那么对数的值就是幂指数．
(3)用alogaN＝N(a>0，且a≠1)时必需注意是同底．
[练习3] 求值：(1)9；(2)51＋log52；(3)3log34－lg 10＋2ln 1.
解：(1)9＝(32) ＝3log34＝4.
(2)51＋log52＝5×5log52＝5×2＝10.
(3)原式＝3 log34－1＋20＝3log34÷3＋1＝＋1＝.
1．若2a＝4，则loga的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．
答案：A
2．使对数式loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a>且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
解析：由题意知解得0答案：B
3．若m＝log37，则3m＋3－m＝________.
解析：因为m＝log37，所以3m＝7，则3m＋3－m＝7＋7－1＝.
答案：
4．若log[log3(log2x)]＝0，求x的值．
解：由题意得，log3(log2x)＝1，则log2x＝3，所以x＝23＝8.
5．计算：
(1)5log510－1；
(2)已知ln 2＝m，ln 3＝n，求e2m＋3n的值．
解：(1)5 log510－1＝＝＝2.
(2)e2m＋3n＝e2m·e3n＝(em)2·(en)3＝(eln 2)2·(eln 3)3＝22×33＝4×27＝108.
[示例] 对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[答案] D
[解析] 由对数式的定义，得解得2[常见误区]
错解 错因剖析
A 在阴影处只考虑了真数而忽视了底数，导致错解成a<5
B 在阴影处忽视了对数的底数不为1，导致错解成2[防范措施] 注重隐含条件的挖掘
在解决与对数有关的问题时，要重视底数大于0且不等于1，真数大于0的条件要求，在进行对数的求值或求取值范围时不能忽略这些隐含条件，如本例中所求的a既在底数的位置又在真数的位置，故a－2要满足大于0且不等于1,5－a要满足大于0的限制．
课时作业(五) 对数运算
1．在M＝log3(x2－x－6)中，要使式子有意义，x的取值范围是( )
A．x>3
B．x<－2
C．x<－2或x>3
D．x<－3或x>－2
答案：C
2．若x＝log16，则x＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
答案：A
3．若xlog34＝1，则3(4x－4－x)＝( )
A．5 B．7
C．8 D．10
解析：因为xlog34＝1，所以log34x＝1，即4x＝3，所以3(4x－4－x)＝3×＝8.
答案：C
4．3log34－27－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0
C．1 D．6
答案：B
5．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
答案：A
6．若正数a，b满足1＋log2a＝2＋log3b＝3＋log6(a＋b)，则＋的值是( )
A． B．
C． D．
解析：依题意，设1＋log2a＝2＋log3b＝3＋log6(a＋b)＝k，则a＝2k－1，b＝3k－2，a＋b＝6k－3，所以＋＝＝＝＝＝.
答案：A
7．(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10
D．由log25x＝，得x＝±5
答案：AB
8．计算log8＋log243＝________.
答案：3
9．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx的值是________．
解析：∵x2＋y2－4x－2y＋5＝0，∴(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logxyx＝log212＝0.
答案：0
10．若a＝log92，则9a＝________，3a＋3－a＝________.
答案：2
11．计算lg 0.001＋log282＋22－log23＋ln e－3.
解：原式＝lg 10－3＋log226＋4×(2log23)－1－3＝－3＋6＋－3＝.
12．求下列各式的值：
(1)25；
(2)3－log34＋log7343＋102lg 5.
解：(1)原式＝(52)＝5log54＝4.
(2)原式＝(3log34)－1＋log773＋(10lg 5)2＝＋3＋25＝.
13．已知logax＝4，logay＝5(a>0，且a≠1)，求A＝的值．
解：由logax＝4，得x＝a4，
由logay＝5，得y＝a5，
所以A＝
＝x·
＝x·＝x·y
＝(a4)·(a5)
＝a＝a0＝1.
4．2.2 对数运算法则
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算． 2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.
笔记 教材
1．对数运算法则
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)．
2．换底公式
对数换底公式：logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1)．
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)log2x2＝2log2x.(?)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(?)
提示：必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误．
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．(?)
提示：公式应为logaM＋logaN＝loga(MN)(a>0且a≠1，M>0，N>0)．
(4)log52＝.(√)
2．设alog34＝2，则4－a＝( )
A． B．
C． D．
解析：由alog34＝2可得，log34a＝2，所以4a＝9，所以有4－a＝，故选B．
答案：B
3．log5＋log53＝________.
解析：原式＝log5＝log51＝0.
答案：0
4．log336－log34＝________.
解析：原式＝log3＝log39＝2.
答案：2
5．log35·log56·log69＝________.
解析：原式＝··＝＝＝2.
答案：2
研习1 对数的运算性质
[典例1] 计算下列各式的值：
(1)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解．
解：(1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
巧归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对数式的化简求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
[练习1] (1)若f(x)＝
则f(f(log32))的值为( )
A． B．－
C．－ D．－2
(2)求下列各式的值：
①log2(＋2)＋log2(2－)；
②22＋log25－2log23·log35.
(1)解析：f(f(log32))＝f＝f(－3－log32)＝f(－3)＝f＝3＝.故选A．
答案：A
(2)解：①log2(＋2)＋log2(2－)＝log2[(＋2)(2－)]＝log21＝0.
②22＋log25－2log23·log35＝22×2log25－2＝4×5－2log25＝20－5＝15.
研习2 利用换底公式化简和求值
[典例2] (1)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
[思路点拨]
(1)答案：9
(2)解：解法一：∵3a＝4b＝36，
∴由对数定义，得a＝log336，b＝log436.
由换底公式，得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
解法二：对3a＝4b＝36同取以6为底的对数，
得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2，
∴＝log63，＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
解法三：对3a＝4b＝36同取常用对数，
得alg 3＝blg 4＝lg 36，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1.
巧归纳
换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
(1)利用换底公式化简求值时应注意的问题：
①针对具体问题，选择恰当的底数．
②注意换底公式与对数运算法则结合使用．
③换底公式的正用与逆用．
④恰当应用换底公式的两个常用结论．
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路：
[练习2] (1)若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1 B．
C．2 D．－1
(2)设a，b，c为正数，且3a＝4b＝6c，则有( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝＋
(3)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
(1)解析：原式＝＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.
答案：A
(2)解析：设3a＝4b＝6c＝k＞0，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，∴＝＝logk3.同理＝logk4，＝logk6，而＝logk2，＝logk3＋logk2，∴＝＋，即＝＋.故选B．
答案：B
(3)解：解法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
研习3 对数的实际应用
[典例3] 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1个有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[思路点拨] 由题目可知，经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．
解：设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，
∴t＝，两边取以10为底的对数，
得lgt＝lg.
∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3，
∴t＝≈≈4(年)．
巧归纳
解决对数应用题的一般步骤
提醒：准确建模是解对数应用题的关键.
[练习3] (1)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某种流行病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制此流行病，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
(2)光线每通过一块玻璃板，其能量要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的能量为a，通过x块玻璃板以后的能量为y.
①试写出y关于x的函数关系式；
②通过多少块玻璃板以后，光线能量减弱到原来能量的以下？(lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)
(1)解析：∵I(t)＝，
∴I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，
∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C．
答案：C
(2)解：①依题意，得y＝ax＝ax，其中x≥1，且x∈N*.
②依题意，得ax≤a×，
∴x≤，两边同时取常用对数，得
xlg≤lg，整理得x(2lg 3－1)≤－lg 2，
∴x≥≈6.572，∴xmin＝7.
∴通过7块玻璃板以后，光线能量减弱到原来能量的以下．
1．(多选)若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，则下列式子错误的为( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax·logay
解析：由对数运算法则可知，A、B、C、D错误．
答案：ABCD
2.的值是( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：＝＝＝.
答案：D
3．(2020·全国卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：因为a＝log323log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A．
答案：A
4．计算3log32＋lg－lg 5的结果是________．
解析：原式＝2－lg 2－lg 5＝2－1＝1.
答案：1
5．设lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．
解析：由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得
lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
又∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，
∴＝4，∴log4＝1.
答案：1
6．计算：
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
解：(1)原式＝log78－log79＋log7
＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋2lg 5＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系，对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求值，如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易于沟通指数、对数间的关系，简化求解过程．
[示例] 已知2x＝3y＝6z，证明：＝＋或x＝y＝z.
[思路点拨] 要想证明＝＋或x＝y＝z，需将条件中的x，y，z表示出来，引入参数2x＝3y＝6z＝k，进行指数式与对数式的互化．
[证明] 令2x＝3y＝6z＝k＞0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k.
①当k＝1时，x＝y＝z＝0；
②当k≠1时，＝logk2，＝logk3，＝logk6.
∴＋＝logk2＋logk3＝logk6，故＝＋.
综上，知＝＋或x＝y＝z.
[点评] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用．
课时作业(六) 对数运算法则
1．已知55＜84,134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：由题意可知，a，b，c∈(0,1)，∵＝＝·＜·2＝2＝2＜1，∴a＜b；由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜；由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞.综上所述，a＜b＜c.故选A．
答案：A
2．lg2＝( )
A．－4 B．4
C．10 D．－10
答案：A
3．若lg x＝m，lg y＝n，则lg －lg2的值为 ( )
A．m－2n－2 B．m－2n－1
C．m－2n＋1 D．m－2n＋2
答案：D
4．已知3x＝2y＝t，且＋＝2，则t＝( )
A．2 B．
C．36 D．6
解析：根据题意，3x＝2y＝t＞0，则有x＝log3t，y＝log2t，则＝logt3，＝logt2，又＋＝2，即logt3＋logt2＝logt6＝2，所以t2＝6，解得t＝±，因为t＞0，所以t＝.故选B．
答案：B
5．若lg a－2lg 2＝1，则a＝( )
A．4 B．10
C．20 D．40
答案：D
6．已知2×9x－28＝－x，则x＝( )
A．log37－log32 B．log4
C．2log32 D．log37
答案：C
7．(多选)已知x，y为正实数，则( )
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y
B．2ln(x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y
D．2ln(xy)＝2ln x·2ln y
答案：CD
8．计算log525＋ln－0.64＝________.
答案：
9．设ln 2＝a，ln 3＝b，则ea＋2b＝________.
解析：因为ln 2＝a，ln 3＝b，所以ea＝2，eb＝3，ea＋2b＝ea×(eb)2＝2×32＝18.
答案：18
10．(1)计算：(lg 2)2＋(lg 2＋3)lg 5＋lg 4；
(2)已知log53＝a，log54＝b，用a，b表示log25144.
解：(1)原式＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋3lg 5＋lg 4
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋2(lg 2＋lg 5)
＝lg 2＋lg 5＋2＝3.
(2)因为log53＝a，log54＝b，
所以log25144＝log512＝log53＋log54＝a＋b.
11．声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕斯卡(Pa)，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的叫做声压级，声压级用S表示，单位为分贝(dB) .若S＝20 lg(其中声压的有效值表示为Pt，k＝2×10－5Pa)，根据以上材料，回答下列问题：
(1)若两人小声交谈时声压的有效值Pt＝0.000 2 Pa，求其声压级；
(2)已知我市某学校高一学生在学校礼堂开展辩论会，如果测得声级为100 dB．求该学校礼堂此时声压的有效值．
解：(1)由题意，当Pt＝0.000 2 Pa时，S＝20lg＝20lg＝20lg 10＝20(dB)，即声压级为20 dB．
(2)当声级为100 dB时，由S＝20lg可得，100＝20lg，所以＝105，即Pt＝105×2×10－5＝2 Pa，
故该学校礼堂此时声压的有效值为2 Pa.
12．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林多少年(精确到整数) ？(参考数据： lg 2＝ 0.301 0，lg 3＝ 0.477 1)
解：(1)设年增长率为x，则a(1＋x)10＝2a，即(1＋x)10＝2，解得x＝2－1，因此，森林面积的年增长率为2－1.
(2)设已植树造林n年，则an＝a，即2＝2，∴＝，解得n＝5，因此，该地已经植树造林5年．
(3)设至少需要植树造林m年，则am≥6a，可得2≥6，∴≥log26＝＝＝1＋，
∴m≥10＋＝10＋≈25.8.因此，至少需要植树造林26年．
13．若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2.
(1)求log2＋log2的值；
(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，求a，b，c的值．
解：(1)因为a2＋b2＝c2，
所以log2＋log2
＝log2
＝log2
＝log2＝log2＝1.
(2)因为log4＝1，所以＝4.
即3a－b－c＝0.①
因为log8(a＋b－c)＝，
所以a＋b－c＝4.②
因为a2＋b2＝c2，③
且a，b，c∈N*，
所以由①②③解得a＝6，b＝8，c＝10.
4．2.3 对数函数的性质与图象
第1课时 对数函数的概念、性质与图象
[新课程标准] [新学法解读]
1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域． 2．初步掌握对数函数的性质和图象. 理解对数函数的概念及对数函数的性质和图象，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.
笔记 教材
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
2．对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 (0，＋∞)，图象在y轴的右侧
值域 R
过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值 的变化 当01时，y>0 当00，当x>1时，y<0
单调性 增函数 减函数
对称性 y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)函数y＝logx是对数函数．(×)
提示：对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误．
(2)函数y＝2log3x是对数函数．(×)
提示：在解析式y＝logax(a>0且a≠1)中，logax的系数必须是1，所以错误．
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)． (×)
提示：由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得，x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以错误．
2．若对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________．
解析：设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，∴所求对数函数的解析式为y＝log3x.
答案：y＝log3x
3．函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1,2)．
答案：(1,2)
4．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．
解析：由题意得∴x＞0.故所求函数的定义域为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
研习1 对数函数的概念
[典例1] (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝logx；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③④⑥
(2)已知对数函数的图象过点，则f(4)＝________.
(1)答案：D
(2)解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，由图象过点，则有－4＝loga，解得a＝2，故函数解析式为f(x)＝log2x，则f(4)＝log24＝2.
答案：2
巧归纳
对数函数的判断
判断一个函数是不是对数函数，必须严格符合y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即满足以下条件：
(1)系数为1(或可等价转化为1)．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
[练习1] (1)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
(2)若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
(3)已知函数f(ex)＝ln x，若f(a)＝0，则a＝________.
(1)答案：－3
(2)答案：4
(3)解析：依题意知，当a＝ex时，ln x＝0，即ln x＝ln 1，x＝1，故a＝e1＝e.
答案：e
研习2 对数型函数的定义域与值域
[典例2] (1)函数f(x)＝＋log3(2x－1)的定义域是( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．
(2)求下列函数的定义域：
①y＝log5(1－x)；②y＝log(1－x)5；
③y＝；④y＝.
(1)解析：由已知得解得＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为，故选D．
答案：D
(2)解：①{x|x<1}．
②{x|x<1，且x≠0}．
③{x|x<4，且x≠3}．
④.
巧归纳
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
[练习2] (1)已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2的值域为B，又A B，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(2)求下列函数的定义域：
①y＝log3(x2－3x－4)；
②f(x)＝＋ln(x＋1)．
(1)解析：根据题意得，x＋2a＞0，解得x＞－2a，又g(x)＝log2＝log2≥log22＝1，则A＝{x|x＞－2a}，B＝{y|y≥1}，由A B，可得－2a≥1 a≤－，故选B．
答案：B
(2)解：①由x2－3x－4＞0，得x＜－1或x＞4，
故原函数的定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
②由得－1＜x＜2，故原函数的定义域为(－1,2)．
研习3 对数函数的图象
[典例3] (1)函数y＝x＋a与y＝logax(a>0且a≠1)的图象只可能是下图中的( )
(2)已知函数y=loga(x+3)－(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则b= .
(3)如图所示的曲线是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象，则a,b,c,d与1的大小关系为 .
[思路点拨] 与对数函数有关的图象 利用函数解析式的性质寻找图象的几何特征，体现了数形结合的思想方法．
(1)答案：C
(2)答案：－1
(3)答案：b>a>1>d>c
巧归纳
1．对数函数的图象应注意的两个问题
(1)对数函数的图象过定点(1,0)，且底数a与1的大小影响图象升降变化．
(2)含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
2．对数函数图象的排列规律
(1)对数函数的底数的大小决定了图象相对位置的高低，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．即底大图右．
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数．
[练习3] (1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )
(2)作出函数y＝|lg(x－1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间．
(1)答案：C
(2)解：先画出函数y＝lg x的图象(如图1)．
再向右平移1个单位得到函数y＝lg(x－1)的图象(如图2)．
最后把y＝lg(x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得到函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图3)．
其定义域为(1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，单调递减区间为(1,2]，单调递增区间为(2，＋∞)．
1．已知函数f(x)＝log2(x2－x)，则f(x)的定义域为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(0,1)
解析：函数f(x)＝log2(x2－x)的定义域应满足：x2－x＞0，解得x＞1或x＜0，故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
答案：A
3．y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域是________．
解析：由题意，得
解得∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
答案：
4．函数y＝loga(x－5)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为无论a为何值，loga1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．
答案：(6,2)
5．已知函数y＝f(x)＝loga(x2－2)(a>0且a≠1)，且f(2)＝1.
(1)求a的值；
(2)求f(3)的值．
解：(1)由f(2)＝1，得loga(22－2)＝1，
∴loga2＝1，则a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝log2(x2－2)，
∴f(3)＝log2[(3)2－2]＝log216＝4.
[示例] 已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，求函数y＝f(x)的表达式、定义域以及值域．
[错解] 因为
①
所以lg y＝3x(3－x)，
所以y＝103x(3－x)(x∈R，y＞0)．
[错因分析] 错解没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为
[正解] 因为lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
所以即
又lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，
所以lg y＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x)．
当0＜x＜3时，3x(3－x)＝－32＋∈，
所以y＝103x(3－x)∈(1,10]．
所以函数y＝f(x)的表达式为y＝103x(3－x)，定义域为(0,3)，值域为(1,10]．
课时作业(七) 对数函数的概念、性质与图象
1．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：由题意知解得x>－1且x≠1.
答案：C
2．若对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
解析：由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
答案：D
3．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
答案：C
4．已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．
因为0＜a＜b，f(a)＝f(b)，所以0＜a＜1，b＞1，
所以lg a＜0，lg b＞0.
由f(a)＝f(b)，得－lg a＝lg b，所以ab＝1.
所以b＝，所以a＋2b＝a＋.
又因为0＜a＜1，函数t＝a＋在(0,1)上是减函数，
所以a＋＞1＋＝3，即a＋2b＞3.
答案：C
5．若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
解析：由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x＜y，即y－x＞0，∴y－x＋1＞1，∴ln(y－x＋1)＞0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小关系不确定，故C、D无法确定．故选A.
答案：A
6．已知函数y＝loga(a>0，且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标为________．
解析：当＝1时，解得x＝－2，所以恒过点(－2,0)．
答案：(－2,0)
7．给出下列函数：①y＝()2；②y＝；③y＝2；④y＝log22x.则上述函数中，与函数y＝x相等的是________(填序号)．
解析：对于①，y＝()2 y＝x(x≥0)，不相等；
对于②，y＝ y＝|x|，不相等；
对于③，y＝2 y＝x(x>0)，不相等；
对于④，y＝log22x y＝x，相等．
答案：④
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
解析：由已知条件可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝
其图象如图所示．
由函数图象可得，不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知，y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
10．已知集合A＝{x|log3(x－1)<1}，集合B＝{x|2m(1)求集合 RA；
(2)若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
解：(1)由A＝{x|log3(x－1)＜1}，则0＜x－1＜3，所以1＜x＜4，集合A＝{x|1＜x＜4}，故 RA＝{x|x≥4或x≤1}．
(2)当B＝ 时，则2m≥m2，得0≤m≤2；
当B≠ 时，则或解得m＞2或－1≤m≤0.综上所述，实数m的取值范围为m≥－1.
11．已知f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解：(1)∵函数f(x)＝loga，
∴＞0，即(1＋x)(1－x)＞0，解得－1＜x＜1，
故函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数．证明如下：
由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，
且f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
12．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,81]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．
解：因为f(x)＝2＋log3x，所以y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
又因为函数f(x)的定义域为[1,81]，
所以要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，则有所以1≤x≤9，则0≤log3x≤2，
所以当log3x＝2，即x＝9时，ymax＝22.所以当x＝9时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为22.
13．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(3,1)．
(1)若函数g(x)＝f(x＋1)＋f(5－x)，求g(x)在区间[1,2]上的最值；
(2)对于(1)中的g(x)，当x∈[1,2]时，不等式f(m2－2m)－g(x)≥0有解，求m的取值范围．
解：(1)由条件可得，loga3＝1，得a＝3.
∴g(x)＝log3(x＋1)＋log3(5－x)，
即g(x)＝log3(－x2＋4x＋5)．当1≤x≤2时，－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9∈[8,9]，
∴g(x)max＝log39＝2，g(x)min＝log38＝3log32，
∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为2，最小值为3log32.
(2)由(1)知，当x∈[1,2]时，g(x)min＝3log32，不等式f(m2－2m)－g(x)≥0有解，即log3(m2－2m)≥g(x)min，x∈[1,2]．
∴log3(m2－2m)≥log38，即m2－2m≥8，得m≤－2或m≥4，∴实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞)．
第2课时 对数函数及性质的应用
[新课程标准] [新学法解读]
1.进一步理解对数函数的图象和性质． 2．能运用对数函数的图象和性质解决相关问题. 通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，提升数学抽象及数学运算素养.
笔记 教材
1．y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的取值，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)．
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的取值，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．
2．logaf(x)(1)讨论a与1的大小关系，确定单调性；
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．
自我 排查
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(?)
提示：函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}．
(2)y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数．(?)
提示：函数y＝logx2在(0，＋∞)上为减函数．
(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．(?)
提示：由ln x<1，解得02．已知a＝2 0200.2，b＝0.22 020，c＝log2 0200.2，则( )
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
解析：由指数函数的性质得a＝2 0200.2＞1,0＜b＝0.22 020＜1；由对数函数的性质得c＝log2 0200.2＜0，所以c＜b＜a.故选C.
答案：C
3．已知log7(2x)解析：由0<2x答案：(0,2)
4．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________．
解析：因为f(x)＝log0.2x在(0，＋∞)上为减函数，且0.2<0.3<1<4.
则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，
即1>a>0>c.
同理log26>log22＝1，可知b>a>c.
答案：b>a>c
研习1 对数值大小的比较
[典例1] (1)比较下列各组数的大小：
①log3与log5；
②log1.10.7与log1.20.7.
(2)已知logb＜loga＜logc，比较2a,2b,2c的大小关系．
[思路点拨] 利用对数函数的单调性和对数函数图象的排列规律进行大小比较．
(1)解：①∵log3＜log31＝0，
而log5＞log51＝0，∴log3＜log5.
②解法一