密铺
1教材分析
《密铺》是北师大版四年级下册“数学好玩”中的一节课，隶属于图形与几何领域，为综合实践范畴，也就是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径，让学生经历发现提出问题，分析解决问题的全过程，培养学生用数学眼光看待问题的能力。
综合与实践活动----《密铺》也可以理解为一种以《密铺》为例的数学探究或数学建模活动，学生综合运用所学的数学知识、思想、方法解决一些数学问题或现实问题的过程。在这个过程中，学生针对密铺的问题情境，发现和提出问题，将综合运用所学知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感受数学各领域内容之间、数学与生活实际之间以及与其他学科之间的联系，激发学生学习兴趣的同时加深对所学内容的理解，进一步发展学生的应用意识和创新意识。
综合与实践是小学阶段四大领域之一，学生在四年的学习中经历过怎样的学习历程呢？
第一学段：旅游中的数学
体育中的数学
搭配中的学问
……
第二学段 ：数学与交通
数学与体育
购物策略
数图形的学问
……
这些问题都与学生的实际生活相联系，可以引导学生初步探索问题解决的途径，积累活动经验。通过对北师大版教材的梳理，我们不难发现：综合与实践领域的内容学生并不陌生，从一年级学生经历的一些简单的寻找数列规律的探索活动，到四年级上册学生经历的《有趣的算式》《乘法结合律交换律》《商不变的规律》等探索活动，学生寻找规律的经验还只局限于数与代数领域,学生还只是关注数与数、数与式之间的规律,有过化繁为简、从简单问题入手研究复杂问题的初步经验。而到了四年级上册研究《数图形的学问》时，学生研究的视角在悄然间发生了变化，从单纯的关注数变成了在图形中发现一些规律并初步尝试运用数据来刻画图形中的规律，这与本节课的内容相似，也是体现数形结合思想的一个很好的研究素材。再看高年级段，学生的综合与实践的研究素材逐渐广泛，如五年级的《尝试与猜测》《点阵中的规律》《比赛场次》等。当我们把这些学生小学阶段经历的、研究过的内容放在一起时会发现：北师大版的综合与实践领域非常重视培养学生主动探究问题的意识和能力，基于学生的认知基础和活动经验，为他们提供了一个个富有生活情趣且有研究价值的、具有一定挑战性的问题，引导学生发现并提出问题，分析和解决问题，从而经历问题研究的全过程，并引导学生将自己前期积累的学习、活动经验有效的提取出来，进行综合应用，从中主动的发现问题，不断思考，大胆实践、反思调整，从而解决问题并重新产生新的思考，这样的探究活动对于激发学生的好奇心和求知欲，积累研究问题的经验与方法都是大有益处的，而这些积淀为学生后续的学习和发展积累了宝贵的财富。一次一次的学习，一次一次的深入，不难发现，综合与实践领域的教学中，都是引导学生经历问题解决的全过程，使学生不断探究，不断积累活动经验的过程，那么孩子们都有哪些活动经验和解决问题的策略了呢？我们又做了学生的调研。
2学情分析
纵观本册教材，图形与几何领域学习内容依次是图形分类、三角形分类、三角形内角和、三角形边的关系、四边形分类，之后就是密铺，整个领域全都是围绕着平面图形的核心特征边与角展开，所以本节内容作为图形与几何领域的最后一节综合实践，定位不简单是让学生知道什么图形可以密铺什么图形不可以密铺，更多是要让学生在活动中了解平面图形的核心要素边与角，并以此为素材经历问题解决的全过程。
对于《密铺》这样的综合运用所学知识进行探索规律的课我们应该如何把握呢？带着这个问题我走进了学生。
调研对象：我校四年级某班四十人
第一次调研：
调研目的：了解密铺时学生关注什么？学生的困难是什么。
调研题目：（出图片，这样叫做密铺）你觉得什么图形可以密铺，画一画。
调研分析：85%以上的同学认为长方形、正方形、三角形、平行四边形，梯形可以密铺，圆等曲边图形不能密铺。并能画出来，10%的同学认为平行四边形、梯形不能密铺，但是画完之后改变了想法，5%的学生不理解密铺的含义，画的图形大小不一样或者不能密铺。这部分的同学经过同学讲解明白概念后马上进行了修改，并修改正确。这次调研说明学生对较为熟悉的图形能够密铺没有太大的困难。
第二次调研：
调研目的：了解任意四边形密铺时学生的关注点在哪。
调研题目：给四个一般四边形进行密铺。
调研分析：开始时几乎所有学生都是漫无目的的瞎拼瞎凑，几分钟之后大约有40%左右的学生开始找角的关系，又过了几分钟大约有80%的学生能把角对成360度，但几乎没有学生关注边的情况。十分钟之后50%的学生开始调整边，使得边也能对齐，15分钟的时候80%的学生能将四个四边形密铺，但60%左右的学生只能把角对成360度，始终没有关注边的存在，还有10%左右的学生一直没有能够密铺成功。
调研分析：最后的时候依然有60%多的孩子没有密铺成功，他们只关注了角的维度，因为没有更多的图形，孩子们只关心四个图形能不能密铺，甚至有的学生不再去想了，因为已经“对上了”。他们关注点只是在角上，因为没有更多的图形继续拼摆，所有也不用看边的情况。
第三次调研：（换成了另外一个班的四十名同学）
调研目的：当多个四边形密铺的时候学生会关注边吗？
调研题目：八个任意四边形进行密铺。
调研分析：面对众多的任意四边形，开始学生都表现得手足无措，几分钟之后，一些学生开始尝试把角对成360度，又过了几分钟，80%的同学关注角，并将四个角对成360度，20%的学生一直尝试，没有找到突破口。因为还有许多的四边形，对出360度角的80%的同学开始继续拼摆，其中一多半的同学发现不能密铺，有缝隙，进行调整，逐渐在关注角的时候开始关注边的特点，另外一半的同学无视边的情况，一直在摆，直到摆不下去。相对于角这个维度，边的维度学生关注的较少，即使摆错了，一部分学生也不会考虑边的情况进行调整。
针对调研的情况，发现：学生摆的时候因为要“密铺”，自然会先关注角，边的特点会无意的忽略，直到摆不下去发现错误时才会想到边的维度，如果硬叫学生关注边并不符合孩子的认知，但是如果忽略边的维度一定密铺不成，要让学生自己去发现影响密铺的两个要素：角、边，尤其是边的要素。第二次调研与第一次调研相比，关注边的情况的同学明显增加，给八个一般四边形比给四个一般四边形学生更容易去想边的情况。因此教学中要设计多个四边形拼摆的活动，使学生自觉地关注边的情况。
在调研过程中，90%左右的学生能用数学的眼光观察生活，能根据实际提出一些有价值的问题，并尝试用以前的学习经验试图解决，但在活动中，大多数同学遇到错误的情况不能及时的反思，错了就推翻重来，再错还是推翻你重来，没有反思的意识，没有及时的调整，面对错误无从下手，或者不去思考错误的原因再去调整。
3教学目标
1.经历探索平面图形密铺的活动的全过程，复习学过的图形知识，初步了解边和角是影响平面图形的两个核心要素。
2.经历解决问题的全过程，通过发现生活中的现象，发现、提出问题，大胆猜想，小心验证，修正反思直到问题解决，积累活动经验。
3.结合密铺活动感受数学在生活中的广泛应用，发展学生对数学学习的兴趣，结合自我评价发展学生反思能力。
4重点难点
教学重点：经历解决问题的全过程，积累活动经验，及时反思调整自己的活动方案。
教学难点：了解边和角是影响平面图形的两个核心要素。
5教学过程
5.1 第一学时
5.1.1一、提出问题
我们来看一组图片（图片欣赏（地砖、墙面），用数学的眼光观察，看看这些图形是怎么摆放的？你有什么发现吗？（贴长方形、正方形），用同样的图形无缝隙、不重叠的摆放在一起，叫密铺。（板书：密铺），观察图片，发现长方形、正方形、正六边形可以密铺，由此你有什么猜想吗？
摆：三角形、平行四边形、梯形、圆、椭圆
这些图形能不能密铺？你打算怎么办？（板书：尝试、画图）
5.1.2教学活动
活动1【活动】探究熟悉的图形能否密铺
请同学们选其中的一个图形，看看他能不能密铺，自己画图试一试，把你想好的草图画在纸上。（教师用ipad照相后投射在屏幕上，方便全班汇报交流）
展示交流：这些曲线图形不可以，直边的图形中三角形可以、这些四边形呢？
这个时候你有什么想法吗？你还想研究什么？
活动2【活动】提出新问题
预设：
那是所有的四边形都可以吗？ 五边形可以吗？ 六边形可以吗？ 别的图形可以吗？
这么多的问题，我们从那研究起呢？选哪一个有代表的问题，研究之后就可以研究其他的问题了？
聚焦研究问题：任意四边形能密铺吗？
（设计意图：针对密铺这种司空见惯的现象，用数学的眼光观察图形，发现和提出数学问题或者猜想，并逐渐聚焦到任意四边形的密铺。引发学生思考）
活动3【活动】探究影响密铺的因素
大家提出的问题都有价值，这么多的图形，研究时间有限，我们怎样一步一步研究呢？你们四个人一组分工合作，讨论一个研究的方案，选取的材料，边讨论边说一说。
四个人一组合作。先讨论你们想怎样研究这个问题，想怎样分工？会有哪些主要研究的步骤？（板书：操作、尝试、调整）
活动要求：
小组四人合作。 先想再做，每人先拿一个图形，依次扎在板上，一旦扎上就不能动了。
3、想一想拼成、拼不成的原因，如果找到失败原因，你可以再向老师要一份学具。
学生活动，（教师用ipad照相，录像后后投射在屏幕上，需要时随时调取照片或者录像进行全班交流）
活动4【导入】全班交流，研讨影响密铺的因素
汇报：（随学生汇报，随时从ipad中调取照片或者录像）
1、摆不成的，追问原因。
提问：他们拼的有缝隙，他的错误给我们带来了什么启发？背后有什么数学道理？板书：角：360°
2、能局部摆成但是不能继续扩大的，要求同学继续摆，寻找矛盾之后调整。
提问：这组拼的没有缝隙，算成功吗？再给一个，再给一个？他的拼摆又给我们带来了什么启发？再继续摆，你会关注什么？
3、能成功摆成，说说成功的经验。
这时候能下结论了吗？是所有的四边形都能密铺吗？这背后的道理又是什么呢？
小结：拼摆的过程中，我们的目光聚焦到角和边，我们不断尝试，调整，发现小小的密铺，背后蕴含着数学的道理。
（设计意图：通过研究任意四边形，发现影响密铺的两个要素是边和角，探索发现任意四边形能够密铺的奥秘，并推想其他的图形能密铺或者不能密铺的原因，经历分析问题解决问题的过程，并不断发现问题，修正方案，及时反思。）
活动5【活动】总结交流并提出新问题
（三）提出新问题
面对那么多的图形，你还有什么想提的问题？（五边形、六边形……都能密铺吗？）
面对这个问题，你想怎么研究？你是怎么想到这样研究的？
回顾研究的过程，今天你有什么感受？整个学习过程对你今后的学习有什么启发？
解决问题重要，善于发现问题更重要你还想研究什么问题？
我们为什么要学习密铺这节课？
其实，密铺的世界很精彩（图片展示）。古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究。其中最富趣味的就是这位荷兰艺术家埃舍尔，他在密铺领域里有很高的造诣。他最有名的作品是《不可能的世界》，现在让我们一起走进埃舍尔的艺术世界，
这时再看密铺两个字，你有什么新的感受？
板书：神奇的密铺
（设计意图：提出新的猜想，引发学生继续思考，将密铺的问题研究深入。体会密铺的神奇，感受好玩的数学）
课件11张PPT。密 铺无缝隙 不重叠活动要求： 1.四人一个小组合作。 2.先想 再做，每人先拿一个图形，依次扎在板上。 3.想一想成功、不成功的原因，思考背后的数学道理。 4.如果有需要，可以第二次和老师要学具。 埃舍尔
