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第8讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识内容 说明
曲线运动 在高考中，这部分内容常以多种形式考查。选择题中常考查基本概念和规律的理解，如判断物体做曲线运动的条件、合运动与分运动的性质等；计算题则常结合实际问题考查综合应用能力，如小船渡河问题、绳（或杆）端速度关联问题等，还可能与牛顿运动定律、功和能等知识综合起来命题，以考查学生对物理知识的综合运用能力。
运动的合成与分解
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
命题点一 曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，可知
合速度方向沿轨迹的切线，加速度方向指向轨迹凹的一侧。
故选C。
一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】汽车做曲线运动，则合力方向指向轨迹的凹向，速度方向沿轨迹的切线方向，因汽车加速行驶，则合力F与速度夹角为锐角。
故选B。
2023年11月珠海航展表演中，我国自主研发的歼-35A正式亮相，展示了其卓越的飞行性能和隐身能力。如图所示，歼-35A沿着近似圆弧的曲线从a运动到b后沿陡斜线直入云霄。设此段飞行路径在同一竖直面内，飞行速率保持不变。关于战机从a运动到b这一段，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机合力可能一直竖直向上
B．战斗机的速度一直在变化
C．战斗机的加速度可能保持不变
D．战斗机做匀变速曲线连动
【答案】B
【详解】B．战斗机的速率保持不变，但方向随时在改变，所以战斗机的速度方向一直在变化，即战斗机的速度一直在变化。选项B正确。
ACD．因为战斗机的速度大小不变，所以战斗机所受合力只有垂直于速度方向的分量，没有沿着速度方向的分量，战斗机的合力方向垂直于速度方向，一直在改变，战斗机的加速度方向不可能保持不变，不可能做匀变速曲线运动。合力方向不可能一直沿竖直向上方向。选项ACD错误。
故选B。
如图所示，2024珠海航空展上，飞行员驾驶飞机沿实线轨迹在竖直面内匀速率飞行， a、b、c为飞行轨迹上的三点，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点。关于此飞机，下列说法中正确的是（ ）
A．各点的加速度方向竖直向下
B．在a点所受的合力比在c点小
C．a、c两点的重力功率相等
D．a、b、c三点的机械能相等
【答案】B
【详解】AB．质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部份，在竖直面内匀速率飞行，合力方向指向各自圆心，加速度方向也指向各自圆心，明显ac两点加速度方向不是竖直向下，a点对应的圆周半径更大，c点对应半径更小，合力提供向心力，根据向心力公式，可知a点所受的合力小于c点，A错误，B正确；
C． a、c两点的速度大小相等，但速度方向不同，速度与重力夹角不同，根据
可知重力功率不相等，C错误；
D．a、b、c三点的动能相等，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点，但b与a、c的高度不一样，故机械能a、c两点相等，且与b点不相等，D错误。
故选B。
命题点二 运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
当汽车在水平路面上匀速前进时，车轮与地面间不打滑，对于其中一个车轮，下列说法正确的是（ ）
A．车轮受地面摩擦力方向一定向前
B．气门嘴运动到最低点时所受合力为零
C．气门嘴运动过程中所受合力大小不变
D．气门嘴运动到车轮轮轴前方同一竖直高度时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．题干里没有提及此车轮是否为驱动轮，无法确定相对地面的运动趋势，无法判断摩擦力方向，故A错误；
B．气门嘴的运动为匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动，气门嘴运动到最低点时匀速圆周运动的线速度不为零，合力提供向心力，故所受合力不为零，故B错误；
C．匀速圆周运动合力大小等于向心力大小，所以气门嘴运动过程中所受合力大小不变，故C正确；
D．气门嘴运动到车轮轮轴前方同一竖直高度时，该点具有水平速度和竖直向下速度，即合速度斜向下，故D错误。
故选C。
一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行
C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动
【答案】D
【详解】A．演员在时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A错误；
B．演员在这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B错误；
C．演员在时间内的竖直速度一直不为零，可知时刻还没有上升至最高点，选项C错误；
D．演员在时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，选项D正确。
故选D。
如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，竖直方向有
有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间
水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有
联立解得，故选C。
图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．末喷头的速度大小为
B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C．末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为
D．末喷头离打印平台中心的距离为
【答案】BCD
【详解】A．由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为
由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为
末喷头在y轴的分速度大小为
末喷头的速度大小为
故A错误；
B．由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确；
C．末喷头沿y轴方向的分速度大小为
设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则
解得
故C正确；
D．末喷头沿x轴的位移大小为
在y轴方向的位移大小为
所以，末喷头离打印平台中心的距离为
故D正确。
故选BCD。
命题点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
【答案】A
【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确；
BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误；
D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。
故选A。
如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（ ）
A．小木筏在河水中的轨迹是直线
B．河的宽度为
C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短
D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，小木筏在沿水流方向上做变减速运动，垂直河岸方向上做匀速直线运动，合外力与合速度不共线，轨迹一定为曲线，故A错误；
B．设在沿河方向运动极短距离耗时，根据瞬时速度定义，则有
渡河总时间
河宽
故B正确；
C．过河时间取决于河宽和小木筏垂直河岸的分速度，由题可知小木筏前端始终垂直，则小木筏垂直河岸的分速度始终为，小木筏过河时间不受水流速度影响，故C错误；
D．当水流速度恒为时，无论如何调节小木筏前端指向，水速和木筏速度都无法合成垂直河岸的速度，故此时无法使轨迹垂直河岸渡河，故D错误。
故选B。
前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为
【答案】C
【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误；
B．运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间
该运动员渡河的时间不可能小于，故B错误；
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小
故C正确；
D．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员以最短位移渡河时，位移大于，故D错误。
故选C。
游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的点发现正下游处有一半径为的旋涡，当时水流速度为点与点的距离，该运动员为了能避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向漩涡危险区切线方向即可，如图所示
为了能避开漩涡沿直线到达安全地带，运动员在静水中的速度至少是
故选B。
命题点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速，下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为
【答案】D
【详解】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，故A错误；
B．由公式
可得，A点线速度为
将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，
由几何关系可得
故B错误；
C．同理可知，当OA与AB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故C错误；
D．同理可知，当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，则
由几何关系
联立，解得
故D正确。
故选D。
甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
【答案】BD
【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为
v2在沿杆方向的分量为
而，图示位置时，有
，
联立可得此时甲、乙两球的速度大小之比为
故A错误，B正确；
CD．当甲球即将落地时，有，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
故选BD。
如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动．若某一时刻两端阻拦索夹角是，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将飞机的速度分解为沿阻拦索方向的速度和垂直阻拦索方向的速度，如图所示
可知
故选C。
如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（ ）
A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为
C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力
【答案】B
【详解】AB．将小车的速度沿绳和垂直绳方向分解，则物体A的速度与小车的速度沿绳方向的分速度大小相等，即
故A错误，B正确；
CD．小车向右匀速运动，v不变，减小，增大，所以增大，物体A加速上升，加速度向上，合外力向上，绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故C、D错误。
故选B。
一辆汽车在水平公路上沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图中分别画出了汽车转弯所受合力F的四种方向，其中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】汽车由M向N行驶，速度逐渐减小，即汽车做减速运动，合力方向指向曲线的凹侧，且合力方向与速度方向夹角为钝角，可知，第二个图像符合要求。
故选B。
香蕉球是一项令人惊叹的足球技术，足球能在空中绕过防守人员进入球门，如图所示曲线是足球某段时间内运动轨迹的俯视图，图中所示时刻空气对香蕉球的作用力的水平分力可能是（ ）
A．方向 B．方向 C．方向 D．方向
【答案】A
【详解】足球受到重力与空气的作用力，根据曲线运动的规律，合力方向总是指向轨迹内侧，可知图中所示时刻空气对香蕉球的作用力的水平分力可能是方向。
故选A。
下列说法中正确的有（ ）
A．在某一段时间内物体运动的位移为零，则该物体一定是静止的
B．力的单位“N”是国际单位制的基本单位，加速度的单位“m/s2”是导出单位
C．曲线运动一定是变加速运动
D．速度很大的物体，其加速度可以很小，可以为零
【答案】D
【详解】A.在某一段时间内物体运动的位移为零，可能是物体恰好返回到出发点，所以物体不一定是静止的，故A错误；
B.力的单位“N”是导出单位，加速度的单位“m/s2”也是导出单位，故B错误；
C.曲线运动的速度方向沿着运动轨迹的切线方向，所以曲线运动一定是变速运动，但是加速度可以不变，可以是匀变速运动，故C错误；
D．速度与加速度没有必然的联系，速度很大的物体，其加速度也可以很小，可以为零，故D正确。
故选D。
足球被踢出后在空中运动的轨迹如图中虚线所示，其在图示位置所受合力F的方向可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】足球的轨迹不对称说明足球受到空气阻力，由图可知，足球在图示位置点时，受到竖直向下的重力和水平向左的空气阻力，合力方向偏向左下方，可能如图中的方向。
故选B。
1000米速度滑冰是冰雪运动的体育项目之一，如图为运动员经过弯道处的情景。则（ ）
A．运动员在图示位置时的加速度一定不为零
B．运动员在图示位置时受到重力、支持力和向心力作用
C．研究运动员的弯道技术时可将其看做质点
D．若某选手以1分05秒的成绩夺得1000米速度滑冰冠军，则其平均速度大小约为15.4m/s
【答案】A
【详解】A．由题图可知，运动员在图示位置时做曲线运动，是变速运动，加速度一定不是零，A正确；
B．运动员在图示位置时受到重力、支持力。重力和支持力的合力提供向心力，向心力是效果力，B错误；
C．研究运动员的弯道技术时，运动员的形体动作和大小不能忽略，因此不可将其看做质点，C错误；
D．若某选手以1分05秒的成绩夺得1000米速度滑冰冠军，1000米是路程，不是位移，因此有平均速率
D错误。
故选A。
如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球仍沿着直线运动
B．乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒
【答案】B
【详解】当乒乓球经过纸筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，乒乓球做曲线运动，故乒乓球会偏离原有的运动路径；而乒乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原有的速度合成一个斜向左下方的合速度，因此乒乓球将向左下方运动但不进入纸筒；故ACD错误，B正确。
故选B。
活塞带动飞轮转动可简化为如图模型：图中A、、三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆运动，进而带动杆以点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为，连杆与水平方向夹角为，杆与杆的夹角为。此时点做圆周运动的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设B点做圆周运动的线速度大小为，此速度为B的实际速度，根据运动合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图
沿杆方向的分速度为
A点速度为水平方向的速度为，根据运动合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如上图，沿杆方向的分速度为
又有二者沿杆方向的分速度相等，即
解得
故选B。
如图所示，光滑水平面内有一墙面，点处有两个小球，小球甲以恒定速率斜向墙面射出，小球甲与墙发生碰撞前速度方向与法线夹角为。小球甲与墙面碰撞前后速度方向关于法线对称，速度大小不变，小球甲与墙面碰撞前后均做匀速直线运动，在击出小球甲的同时将小球乙以与小球甲速度方向夹角为的方向、恒定速率射出，要使小球甲能够与小球乙发生碰撞，不计小球甲与墙面的碰撞时间，下列说法正确的是（ ）
A．当时，小球乙的最小速度，此时
B．当时，小球乙的最小速度，此时
C．当时，小球乙的最小速度，此时
D．当时，小球乙的最小速度，此时
【答案】BC
【详解】设小球甲与墙面碰撞前位移为，经历时间为，则，与墙面碰撞后与乙碰撞前的位移为，经历时间为，则
小球乙从开始运动到碰撞过程的位移为，则
根据正弦定理有
联立解得
，
令
可得
当时最小，此时有
最小速度
AB．当时，小球乙的最小速度，此时，故A错误，B正确；
CD．当时，小球乙的最小速度，此时，故C正确；D错误。
故选BC。
前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
【答案】D
【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，所以该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误；
B．运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间为
该运动员渡河的时间不可能小于200s，故B错误；
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
故C错误；
D．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员以最短位移渡河时，合速度方向应与运动员在静水中的速度方向垂直，则位移大小为
故D正确。
故选D。
如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹气，下列说法正确的是（ ）
A．沿方向1吹气，乒乓球可能进入洞内 B．沿方向2吹气，乒乓球可能进入洞内
C．沿方向3吹气，乒乓球可能进入洞内 D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内
【答案】C
【详解】分别沿方向1、方向2、方向3吹气，对乒乓球的速度分析
吹气时乒乓球在原有速度的基础上分别增加速度、、，只有沿方向3吹气时，合运动方向才可能指向洞口，乒乓球才可能进入洞内。
故选C。
小崇在一次跳伞过程中，竖直下降时穿越一段高度为24m的横风区，受到F＝150N的水平恒定风力作用，穿过横风区前后速度大小之比为3:5，已知小崇和装备总质量m＝75kg，下降过程中小崇竖直速度恒定，则小崇竖直下降时的速度大小为（ ）
A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s
【答案】B
【详解】设竖直速度为，下降过程中小崇竖直速度恒定，则竖直方向有
受到F＝150N的水平恒定风力作用，则有
水平速度为
穿过横风区后的速度为
穿过横风区前后速度大小之比为3:5，即有
联立各数据解得
故选B。
如图，不可伸长的轻绳绕过光滑的钉子，一端固定在地面上，另一端吊着一个小球。在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在竖直方向上做加速运动 B．小球在竖直方向上做减速运动
C．小球在竖直方向上做匀速运动 D．小球的运动轨迹是一条倾斜直线
【答案】A
【详解】在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中，设钉子的速度为，倾斜绳子与水平方向的夹角为，将钉子速度分解为沿倾斜绳子方向分速度和垂直倾斜绳子方向分速度，则有
小球由于受到绳子拉力与重力均处于竖直方向，所以小球水平方向做匀速直线运动，水平速度等于钉子速度，竖直方向小球的速度为
由于逐渐减小，逐渐增大，则小球在竖直方向上做加速运动；小球的合运动为曲线运动，所以小球的运动轨迹是一条曲线。
故选A。
汽车发动机的工作原理如图所示，轮轴与活塞通过连接杆连接，连接杆与轮轴的连接点为M，与活塞的连接点为N，其中轮轴可绕圆心O做圆周运动，活塞可在汽缸内做上下的直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当OM与ON垂直时，若M点的速率为，则N点的速率小于
B．当OM与ON垂直时，若N点的速率为，则M点的速率小于
C．当MN与轮轴相切时，若M点的速率为，则N点的速率等于
D．当MN与轮轴相切时，若N点的速率为，则M点的速率小于
【答案】D
【详解】AB．当OM与ON垂直时，设，若M点的速率为，此时活塞的速度为v，将M的速度分解为沿杆方向和垂直杆方向的速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直杆方向的速度，则此时
即
同理B错误，故AB错误；
CD．当与轮轴相切时，点的速度为点正交分解的分速度，则
故
故C错误，D正确。
故选D。
无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。
故选A。
一质量为0.2kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图像分别如图所示，由图可知（ ）
A．开始4s内物体的位移为8m
B．开始4s内物体的平均速度为m/s
C．从开始至6s末物体一直做曲线运动
D．开始4s内物体做直线运动，接着2s内物体做曲线运动
【答案】AB
【详解】A．根据v-t图像中图线与横轴所围面积表示位移可知开始4s内物体的分位移分别为
，
可得
故A正确；
B．开始4s内物体的平均速度为
故B正确；
CD．开始时物体初速度方向沿x方向，加速度方向沿y方向，两者不在一条直线上，所以物体做曲线运动，4s末物体的速度方向与x方向夹角的正切值为
后2s内加速度方向与x方向夹角的正切值为
可知速度方向与加速度方向在同一条直线上，所以物体后2s内做直线运动。故CD错误。
故选AB。
如图，水平木板匀速向右运动，从木板边缘将一底面涂有染料的小物块垂直木板运动方向弹入木板上表面，物块在木板上滑行一段时间后随木板一起运动。以物块弹入位置为坐标原点O，以木板运动方向为x轴、物块初速度方向为y轴建立坐标系，则物块在木板上留下的痕迹为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，以木板为参考系，物块的合初速度与所受合力如图所示
可知，物块沿方向做匀减速直线运动。
故选D。
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第8讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识内容 说明
曲线运动 在高考中，这部分内容常以多种形式考查。选择题中常考查基本概念和规律的理解，如判断物体做曲线运动的条件、合运动与分运动的性质等；计算题则常结合实际问题考查综合应用能力，如小船渡河问题、绳（或杆）端速度关联问题等，还可能与牛顿运动定律、功和能等知识综合起来命题，以考查学生对物理知识的综合运用能力。
运动的合成与分解
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
命题点一 曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2023年11月珠海航展表演中，我国自主研发的歼-35A正式亮相，展示了其卓越的飞行性能和隐身能力。如图所示，歼-35A沿着近似圆弧的曲线从a运动到b后沿陡斜线直入云霄。设此段飞行路径在同一竖直面内，飞行速率保持不变。关于战机从a运动到b这一段，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机合力可能一直竖直向上
B．战斗机的速度一直在变化
C．战斗机的加速度可能保持不变
D．战斗机做匀变速曲线连动
如图所示，2024珠海航空展上，飞行员驾驶飞机沿实线轨迹在竖直面内匀速率飞行， a、b、c为飞行轨迹上的三点，a、c为飞行过程中距离地面高度相等的两点。关于此飞机，下列说法中正确的是（ ）
A．各点的加速度方向竖直向下
B．在a点所受的合力比在c点小
C．a、c两点的重力功率相等
D．a、b、c三点的机械能相等
命题点二 运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
当汽车在水平路面上匀速前进时，车轮与地面间不打滑，对于其中一个车轮，下列说法正确的是（ ）
A．车轮受地面摩擦力方向一定向前
B．气门嘴运动到最低点时所受合力为零
C．气门嘴运动过程中所受合力大小不变
D．气门嘴运动到车轮轮轴前方同一竖直高度时的速度方向竖直向下
一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行
C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动
如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（ ）
A． B． C． D．
图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．末喷头的速度大小为
B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C．末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为
D．末喷头离打印平台中心的距离为
命题点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（ ）
A．小木筏在河水中的轨迹是直线
B．河的宽度为
C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短
D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河
前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为
游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的点发现正下游处有一半径为的旋涡，当时水流速度为点与点的距离，该运动员为了能避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A． B． C． D．
命题点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速，下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为
甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动．若某一时刻两端阻拦索夹角是，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（ ）
A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为
C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力
一辆汽车在水平公路上沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图中分别画出了汽车转弯所受合力F的四种方向，其中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
香蕉球是一项令人惊叹的足球技术，足球能在空中绕过防守人员进入球门，如图所示曲线是足球某段时间内运动轨迹的俯视图，图中所示时刻空气对香蕉球的作用力的水平分力可能是（ ）
A．方向 B．方向 C．方向 D．方向
下列说法中正确的有（ ）
A．在某一段时间内物体运动的位移为零，则该物体一定是静止的
B．力的单位“N”是国际单位制的基本单位，加速度的单位“m/s2”是导出单位
C．曲线运动一定是变加速运动
D．速度很大的物体，其加速度可以很小，可以为零
足球被踢出后在空中运动的轨迹如图中虚线所示，其在图示位置所受合力F的方向可能是（ ）
A． B． C． D．
1000米速度滑冰是冰雪运动的体育项目之一，如图为运动员经过弯道处的情景。则（ ）
A．运动员在图示位置时的加速度一定不为零
B．运动员在图示位置时受到重力、支持力和向心力作用
C．研究运动员的弯道技术时可将其看做质点
D．若某选手以1分05秒的成绩夺得1000米速度滑冰冠军，则其平均速度大小约为15.4m/s
如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球仍沿着直线运动
B．乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒
活塞带动飞轮转动可简化为如图模型：图中A、、三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆运动，进而带动杆以点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为，连杆与水平方向夹角为，杆与杆的夹角为。此时点做圆周运动的线速度大小为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，光滑水平面内有一墙面，点处有两个小球，小球甲以恒定速率斜向墙面射出，小球甲与墙发生碰撞前速度方向与法线夹角为。小球甲与墙面碰撞前后速度方向关于法线对称，速度大小不变，小球甲与墙面碰撞前后均做匀速直线运动，在击出小球甲的同时将小球乙以与小球甲速度方向夹角为的方向、恒定速率射出，要使小球甲能够与小球乙发生碰撞，不计小球甲与墙面的碰撞时间，下列说法正确的是（ ）
A．当时，小球乙的最小速度，此时
B．当时，小球乙的最小速度，此时
C．当时，小球乙的最小速度，此时
D．当时，小球乙的最小速度，此时
前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹气，下列说法正确的是（ ）
A．沿方向1吹气，乒乓球可能进入洞内 B．沿方向2吹气，乒乓球可能进入洞内
C．沿方向3吹气，乒乓球可能进入洞内 D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内
小崇在一次跳伞过程中，竖直下降时穿越一段高度为24m的横风区，受到F＝150N的水平恒定风力作用，穿过横风区前后速度大小之比为3:5，已知小崇和装备总质量m＝75kg，下降过程中小崇竖直速度恒定，则小崇竖直下降时的速度大小为（ ）
A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s
如图，不可伸长的轻绳绕过光滑的钉子，一端固定在地面上，另一端吊着一个小球。在钉子沿水平方向向左匀速运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在竖直方向上做加速运动 B．小球在竖直方向上做减速运动
C．小球在竖直方向上做匀速运动 D．小球的运动轨迹是一条倾斜直线
汽车发动机的工作原理如图所示，轮轴与活塞通过连接杆连接，连接杆与轮轴的连接点为M，与活塞的连接点为N，其中轮轴可绕圆心O做圆周运动，活塞可在汽缸内做上下的直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当OM与ON垂直时，若M点的速率为，则N点的速率小于
B．当OM与ON垂直时，若N点的速率为，则M点的速率小于
C．当MN与轮轴相切时，若M点的速率为，则N点的速率等于
D．当MN与轮轴相切时，若N点的速率为，则M点的速率小于
无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
一质量为0.2kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图像分别如图所示，由图可知（ ）
A．开始4s内物体的位移为8m
B．开始4s内物体的平均速度为m/s
C．从开始至6s末物体一直做曲线运动
D．开始4s内物体做直线运动，接着2s内物体做曲线运动
如图，水平木板匀速向右运动，从木板边缘将一底面涂有染料的小物块垂直木板运动方向弹入木板上表面，物块在木板上滑行一段时间后随木板一起运动。以物块弹入位置为坐标原点O，以木板运动方向为x轴、物块初速度方向为y轴建立坐标系，则物块在木板上留下的痕迹为（ ）
A． B．
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