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第16讲 微专题一 动力学和能量观点的综合应用
命题点一 多运动组合问题
1．抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程，将物理过程分解成几个简单的子过程．
2．两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带，也是解题的关键．很多情况下平抛运动的末速度的方向是解题的重要突破口．
如图所示，运动员以一定速度从P点沿水平方向离开平台，恰能从A点与轨道相切进入粗糙圆弧轨道AC，沿圆弧轨道在竖直平面做圆周运动。已知运动员（含装备）质量m=50kg，运动员进入圆弧轨道时的速度大小vA=10m/s，圆弧轨道的半径R=4m，圆弧轨道AB对应的圆心角∠。测得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.8倍。取重力加速度， ，。将运动员视为质点，忽略空气阻力。求：
(1)运动员从P点到A点运动过程所用时间t；
(2)运动员在B点时的动能；
(3)在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功W。
如图所示，粗糙水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定圆管轨道在同一竖直平面内，ED是竖直直径，C、E是管口，管的内壁粗糙。现让质量为m的小物块（可视为质点）以的水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，经过时间正好从管口C（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，此时小物块对下管壁的压力，已知，重力加速度为g，忽略空气阻力。求小物块：
(1)到达E点时的速度大小；
(2)沿轨道运动过程中阻力所做的功；
(3)与桌面之间的动摩擦因数。
某同学用质量m=20g、可视为质点的小石片打“水”漂的轨迹示意图如图所示，小石片从距液面高处的P点以初速度水平飞出后，从A点与液面成角射入某种液体中，然后从B点与液面成角射出液面做斜上抛运动，到达最高点D时距离液面的高度。已知小石片从A点运动到B点的过程中，水平方向的运动可视为匀变速直线运动，A、B两点间的距离L=1m，重力加速度，，不计空气阻力。求：
(1)小石片从P点运动到D点的过程中，该液体对小石片做的功W；
(2)小石片从抛出到第二次进入液面运动的时间t。
命题点二 传送带模型问题
传送带问题的分析流程和技巧
1．分析流程
2．相对位移
一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和．
3．功能关系
(1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对WF和Q的理解：
①传送带的功：WF＝Fx传；
②产生的内能Q＝Ff·x相对．
模型1 水平传送带模型
如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。
(1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小；
(2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围；
(3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。
如图所示，一游戏装置由倾斜角为的光滑轨道、水平传送带、半径为的光滑竖直圆形轨道、倾角为斜面组成，为圆弧轨道的圆心，、四点在同一水平面上。游戏时，小滑块从倾斜轨道不同高度处静止释放，经过传送带后沿圆形轨道运动，最后由点平抛后落在不同的区间获不同的奖次。已知小滑块与传送带的动摩擦因数长为是圆轨道上与圆心等高的点，距水平地面的高度，小滑块经处时速度大小不变，小滑块可视为质点，其余阻力均不计，取，传送带开始处于静止状态，求：
(1)若小滑块质量为，释放的高度，求小滑块通过点时对轨道的压力；
(2)为了使小滑块进入圆轨道且不脱离圆轨道DEF，求小滑块释放高度的范围；
(3)若小滑块释放的高度，同时调节传送带以不同速度顺时针转动，为了保证小滑块不脱离圆轨道又能从点水平飞出，试写出小滑块第1次落点（不反弹）与点的水平距离与传送带速度的关系。
某款游戏装置可简化为如图所示模型。水平传送带A、B两端间距离，传送带在电动机带动下沿顺时针方向匀速运行，速度大小可调，传送带上表面与光滑水平面BC在同一水平面内。半径为的光滑半圆弧轨道CD固定在竖直面内，圆弧面的最低点C与水平面相切。将质量为1kg的物块轻放在传送带上表面的左端，物块与传送带上表面间动摩擦因数，已知重力加速度。
(1)要使物块在圆弧面上运动时能通过最高点D，则物块进入圆弧面上C点时速度至少为多大；
(2)若将传送带的速度调为，求物块在圆弧面上运动时离开圆弧面的位置离水平面ABC的高度。
模型2 倾斜传送带模型
如图所示为某工厂的货物传送装置，倾斜传送带AB与一斜面BC平滑连接，AB、BC与水平面夹角均为37°角，B点到C点的距离为，传送带顺时针运行，速度恒为，传送带长为。现将一质量为的小货物（可视为质点）轻轻放于A点，小货物恰好能到达C点。已知小货物与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小货物从A点运动到B点所经历的时间；
(2)小货物与斜面间的动摩擦因数；
(3)传送带因传送该货物而多消耗的电能。
某娱乐节目中设计了一水上闯关轨道，其简化模型如图所示，半径的光滑圆弧轨道与一传送带平滑连接，两轨道相切于点，A点与圆心点等高。传送带长，与水平方向夹角传送带以的速度顺时针方向转动，距点水平距离为，高为处设置一水平平台，闯关者从A点静止下滑，最后要从点飞出并落入平台，某次闯关时，闯关者质量，闯关者与传送带的动摩擦因数，不计空气阻力和轨道连接处的能量损失，不考虑传送带滑轮大小，，求：
(1)闯关者在圆弧轨道上的点时的速度大小以及对圆弧轨道的压力大小。
(2)为了使闯关者能恰好水平进入平台，求平台距点的水平距离。
(3)求这次闯关时，传送带和闯关者之间因摩擦而产生的热量。
如图所示为某快递公司装货装置的简易图，倾角的传送带顶部Q与倾角的长木板平滑地衔接，长木板的另一端搭在货车上，已知传送带PQ长度，长木板OQ长度，传送带以的速率顺时针匀速传动，将一个质量为的包裹无初速度地放在传送带的底端，经过一段时间包裹刚好被运送到货车上的位置，包裹与长木板之间的动摩擦因数，，，重力加速度取。求：
(1)包裹运到传送带顶端的速度；
(2)包裹与传送带之间的动摩擦因数；
(3)由于要传送包裹，电动机多消耗的电能。
如图所示的游戏装置固定在水平地面上，该装置由水平粗糙直轨道OB、竖直光滑圆弧轨道BCDEF、水平光滑直轨道FM和水平粗糙传送带MN平滑连接而成，其中圆弧轨道BCD与水平轨道FM不交叉。传送带以恒定速度v顺时针转动。一轻质弹簧左端固定，原长时右端处于О点。已知OB段长L1=1m，滑块与OB段的动摩擦因数=0.2，圆弧BCD半径R1=0.8m，圆弧DEF半径R2=0.4m。传送带长L2=3m，滑块与传送带的动摩擦因数=0.4。一质量m=0.5kg的滑块将弹簧压缩至A处(图中未标出，AO段光滑)由静止释放，滑块可视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。
(1)若弹簧弹性势能Ep=4.5J，求滑块最终静止的位置与管道最低点B的距离；
(2)若弹簧弹性势能Ep=11.25J，求滑块到达竖直光滑圆弧轨道BCD的D点时受到管道作用力大小；
(3)若弹簧弹性势能Ep=11.25J，求滑块平抛的水平距离x与传送带速度大小v的关系。
如图所示为一种自动卸货装置的简化图，为倾斜直轨道，为水平传送带，为水平直轨道，传送带与、在B、C两点平滑相接，在水平轨道右端固定一轻弹簧。O为上一点，间距离，间的距离，与水平面的夹角，间距离，传送带始终以的速率顺时针转动。将质量的货物装入一个质量为M的货箱中，从O点由静止释放，货物在货箱中始终与货箱保持相对静止，弹簧被货箱压缩到最短时立即被锁定，工人取走货物后解除弹簧的锁定，货箱被弹回。货箱与间动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数，段可视为光滑，货箱和货物均可视为质点，重力加速度g取，，。求：
(1)货箱和货物一起下滑到B点时的速度大小；
(2)货厢和货物一起通过段所用的时间t；
(3)若货物质量不变，要使货箱能回到O点且不从A点滑出，货箱质量范围是多少（结果保留三位有效数字）。
如图1所示为遥控爬墙小车，小车通过排出车身内部空气，和外界大气形成气压差，使车吸附在平面上。如图2所示，某次遥控小车从静止出发沿着A、B、C点运动到天花板上的D点，运动到D点时速度为。然后保持速率不变从D点开始绕O点做匀速圆周运动。其中AB沿竖直方向，BC与竖直方向夹角为，CD沿水平方向，BC、CD的长度均为1m，小车在到达B点前已经匀速。小车质量为，车身内外由于大气压形成垂直墙面的压力差恒为。运动过程中小车受到墙壁的阻力f大小与车和墙壁间的弹力之间关系恒为，方向总与相对运动方向相反。小车可视为质点，忽略空气阻力，不计转折处的能量损失，重力加速度为
(1)若小车在AB段上以恒定功率启动，求小车在AB段上最大速度的大小；
(2)求小车从B经过C到D这两段直线运动过程中，小车牵引力所做的总功；
(3)遥控小车在水平天花板上以的速率做匀速圆周运动时，小车牵引力为，取，求小车运动一周牵引力做的功。
如图所示，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑。水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°的足够长的传送带与水平面在P点平滑连接，皮带轮逆时针转动速率为3m/s。一质量为1kg可视为质点的物块A压缩弹簧（与弹簧不栓接），使弹簧获得弹性势能，物块与OP段动摩擦因数。另一与A完全相同的物块B停在P点，B与传送带的动摩擦因数，传送带足够长。A与B的碰撞时间不计，碰后A、B交换速度，重力加速度g=10m/s2，现释放A，求：
(1)物块A、B第一次碰撞前瞬间，A的速率；
(2)从A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与传送带之间由于摩擦而产生的热量；
(3)A、B能够碰撞的总次数。
如图甲所示， 半径的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=1kg，长度l=1m小车的上表面与B点等高，距地面高度、质量的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放。取。试求：
(1)物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力大小；
(2)若锁定平板车并在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化，如图乙所示，求物块滑离平板车时的速率；
(3)若解除平板车的锁定并撤去上表面铺的材料后，物块与平板车上表面间的动摩擦因数，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，求物块落地时距平板车右端的水平距离。
图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点，轨道Ⅱ末端与水平面平滑连接。若将两个完全相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。已知M距离地面的高度为H，两个小球的质量都为m，重力加速度为g，不考虑小球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为，Ⅱ轨道的倾角为θ
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M运动N过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。
蹴鞠是有史料记载的最早足球活动，图甲所示是某蹴鞠活动的场景。如图乙所示，某校举行蹴鞠比赛的场地为一长方形ABCD，长，宽，E、、F、分别为各边中点，O为和交点，上竖直插有两根柱子，两柱之间挂一张大网，网的正中间有一圆形的球洞名为“风流眼”，两支球队分别在网的两侧，若蹴鞠穿过“风流眼”后落地，射门的球队得分。圆形“风流眼”的圆心Q在O点正上方，Q、O之间的高度。甲、乙两位运动员在某次配合训练中，甲将静止在地面F点的蹴鞠斜向上踢出，经时间恰好到达最高点P，P在场地上的投影为且在FO上，到F点的距离为。乙运动员紧接着从P点将蹦斜向上踢出，恰好经过“风流眼”中的Q点且经过Q点时速度方向水平，穿过“风流眼”后蹴鞠落到上的K点（蹴鞠第一次着地的位置），如图丙所示。蹴鞠的质量为0.6kg，蹴鞠可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度大小取。求：
（1）最高点P离地面的高度；
（2）甲运动员对蹴鞠做的功W；
（3）K点到O点的距离d（结果可以用根式表示）。
如图所示，整个装置竖直放置，光滑半圆轨道ABC的半径R1=0.2m，A处竖直放置弹性挡板（碰撞时不损失机械能），光滑半圆轨道CDE的半径R2=0.4m，CA、CE分别是它们的直径，EF水平台阶长为l=0.5m，紧靠F点右边放有一长木板，长木板上表面与EF水平部分在同一水平面上，开始时小物块（可视为质点）停在F点，已知小物块质量为m=0.5kg，长木板质量为M=1kg，小物块与EF水平部分和长木板的滑动摩擦因数 1=0.5，长木板与地面的滑动摩擦因数 2=0.1，现给小物块一个水平向左的速度v0，g=10m/s2，求解下列问题。
（1）要使小物块与挡板发生碰撞并确保小物块返回过程中均不脱离轨道，求v0的最小值；
（2）若，要使小物块返回F点并滑上长木板后，不滑出长木板，求长木板长度的最小值；
（3）若去掉A处的挡板，给小物块一个向左的速度v0，小物块经过两半圆后从A点水平抛出，并将落在半圆CDE上P点，求P点与E点的竖直高度差h与v0的函数关系。
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第16讲 微专题一 动力学和能量观点的综合应用
命题点一 多运动组合问题
1．抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程，将物理过程分解成几个简单的子过程．
2．两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带，也是解题的关键．很多情况下平抛运动的末速度的方向是解题的重要突破口．
如图所示，运动员以一定速度从P点沿水平方向离开平台，恰能从A点与轨道相切进入粗糙圆弧轨道AC，沿圆弧轨道在竖直平面做圆周运动。已知运动员（含装备）质量m=50kg，运动员进入圆弧轨道时的速度大小vA=10m/s，圆弧轨道的半径R=4m，圆弧轨道AB对应的圆心角∠。测得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.8倍。取重力加速度， ，。将运动员视为质点，忽略空气阻力。求：
(1)运动员从P点到A点运动过程所用时间t；
(2)运动员在B点时的动能；
(3)在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功W。
【答案】(1)0.6s
(2)2800J
(3)-100J
【详解】（1）由于运动员从P到A的运动过程为平抛运动，且vA=10m/s，故运动员在A点竖直方向速度
解得
（2）在B点由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律可知
运动员在B点的动能
解得
（3）运动员从A到B过程，由动能定理得
解得
所以在圆弧轨道AB段运动过程中，摩擦力对运动员所做的功为-100J。
如图所示，粗糙水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定圆管轨道在同一竖直平面内，ED是竖直直径，C、E是管口，管的内壁粗糙。现让质量为m的小物块（可视为质点）以的水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，经过时间正好从管口C（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E点，此时小物块对下管壁的压力，已知，重力加速度为g，忽略空气阻力。求小物块：
(1)到达E点时的速度大小；
(2)沿轨道运动过程中阻力所做的功；
(3)与桌面之间的动摩擦因数。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在E点对小物块受力分析，由牛顿第二定律得
解得
（2）小物体从B到C，做平抛运动在C点有
解得
小物块从C到E的过程，根据动能定理可得
解得
（3）由
解得
小物块从A到B的过程，根据动能定理可得
解得
某同学用质量m=20g、可视为质点的小石片打“水”漂的轨迹示意图如图所示，小石片从距液面高处的P点以初速度水平飞出后，从A点与液面成角射入某种液体中，然后从B点与液面成角射出液面做斜上抛运动，到达最高点D时距离液面的高度。已知小石片从A点运动到B点的过程中，水平方向的运动可视为匀变速直线运动，A、B两点间的距离L=1m，重力加速度，，不计空气阻力。求：
(1)小石片从P点运动到D点的过程中，该液体对小石片做的功W；
(2)小石片从抛出到第二次进入液面运动的时间t。
【答案】(1)
(2)t=1.2s
【详解】（1）小石片从P点运动到A点，由平抛运动规律可知，小石片在A点速度大小
设小石片在B点速度大小为，从B点运动到D点，由平抛运动规律可知，小石片在D点速度大小
由机械能守恒定律有
从A点运动到B点，只有液体对小石片做功，由动能定理有
代入题中数据，联立解得
（2）从P点运动到A点，
因为
从A点运动到B点，水平方向做匀减速运动
从B点运动到D点，竖直方向减速到零
根据对称性可知
联立解得t=1.2s
命题点二 传送带模型问题
传送带问题的分析流程和技巧
1．分析流程
2．相对位移
一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和．
3．功能关系
(1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
(2)对WF和Q的理解：
①传送带的功：WF＝Fx传；
②产生的内能Q＝Ff·x相对．
模型1 水平传送带模型
如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。
(1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小；
(2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围；
(3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块由A点弹出到管道最高点的过程，有
解得
在最高点有
解得
（2）①滑块超过C点的条件为
则有
②滑块到达F点时，速度恰好为零，则有
所以滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围为
（3）若弹簧的弹性势能，到E点的过程有
解得
若刚好能通过皮带的速度大小
解得
所以滑块减速通过皮带，有
解得
滑块在木块上滑行，达到共同速度后一起减速运动直到速度为0。有
，
，
解得
达到共速时的木板位移
达到共速后的木板位移
则木板位移
如图所示，一游戏装置由倾斜角为的光滑轨道、水平传送带、半径为的光滑竖直圆形轨道、倾角为斜面组成，为圆弧轨道的圆心，、四点在同一水平面上。游戏时，小滑块从倾斜轨道不同高度处静止释放，经过传送带后沿圆形轨道运动，最后由点平抛后落在不同的区间获不同的奖次。已知小滑块与传送带的动摩擦因数长为是圆轨道上与圆心等高的点，距水平地面的高度，小滑块经处时速度大小不变，小滑块可视为质点，其余阻力均不计，取，传送带开始处于静止状态，求：
(1)若小滑块质量为，释放的高度，求小滑块通过点时对轨道的压力；
(2)为了使小滑块进入圆轨道且不脱离圆轨道DEF，求小滑块释放高度的范围；
(3)若小滑块释放的高度，同时调节传送带以不同速度顺时针转动，为了保证小滑块不脱离圆轨道又能从点水平飞出，试写出小滑块第1次落点（不反弹）与点的水平距离与传送带速度的关系。
【答案】(1)4N，方向水平向右
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）A到E，由动能定理得
在点，由牛顿第二定律得
联立得
由牛顿第三定律得，方向水平向右
（2）滑块恰好到进入圆轨道，由动能定理得
解得
使小滑块进入圆轨道，则
①滑块恰好到点，由动能定理得
解得
使小滑块进入圆轨道且不脱离圆轨道，则
②滑块恰好到点，由动能定理得
在点，由牛顿第二定律得
解得
要使小滑块进入圆轨道且不脱离圆轨道，则
（3）由题意可知，滑块过最高点，则到，由动能定理得
联立得
即滑块过最高点，必须满足
滑块从点水平飞出，恰好落在点。则，
解得：
①当时，落点均在斜面上，则
解得
②当时，
③当时，
某款游戏装置可简化为如图所示模型。水平传送带A、B两端间距离，传送带在电动机带动下沿顺时针方向匀速运行，速度大小可调，传送带上表面与光滑水平面BC在同一水平面内。半径为的光滑半圆弧轨道CD固定在竖直面内，圆弧面的最低点C与水平面相切。将质量为1kg的物块轻放在传送带上表面的左端，物块与传送带上表面间动摩擦因数，已知重力加速度。
(1)要使物块在圆弧面上运动时能通过最高点D，则物块进入圆弧面上C点时速度至少为多大；
(2)若将传送带的速度调为，求物块在圆弧面上运动时离开圆弧面的位置离水平面ABC的高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）物块恰好能过圆弧最高点，有
根据牛顿第二定律有
联立解得
（2）若小物块过圆上与O点等高的位置时速度为0，则
解得
将物块从A传送到B端过程，根据牛顿第二定律有
解得
根据运动学规律有
解得
可知物块先加速，再匀速，则
结合第（1）问的结论，则有
说明物块离开圆弧面时，其高度已经超过圆心高度，但是还未达到圆弧最高点，设离开圆弧面的位置离水平面的高度为h，则有
结合牛顿第二定律有
由几何关系，可得
解得
模型2 倾斜传送带模型
如图所示为某工厂的货物传送装置，倾斜传送带AB与一斜面BC平滑连接，AB、BC与水平面夹角均为37°角，B点到C点的距离为，传送带顺时针运行，速度恒为，传送带长为。现将一质量为的小货物（可视为质点）轻轻放于A点，小货物恰好能到达C点。已知小货物与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小货物从A点运动到B点所经历的时间；
(2)小货物与斜面间的动摩擦因数；
(3)传送带因传送该货物而多消耗的电能。
【答案】(1)s
(2)
(3)J
【详解】（1）假设小货物在传送带上先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，则
得
加速距离
假设成立。货物加速时间
匀速时间
从A运动到B的时间
（2）在BC段
得
又
得
（3）小货物与传送带间因摩擦而产生的热量
由能量守恒定律，传送带因传送该货物而多消耗的电能
得
某娱乐节目中设计了一水上闯关轨道，其简化模型如图所示，半径的光滑圆弧轨道与一传送带平滑连接，两轨道相切于点，A点与圆心点等高。传送带长，与水平方向夹角传送带以的速度顺时针方向转动，距点水平距离为，高为处设置一水平平台，闯关者从A点静止下滑，最后要从点飞出并落入平台，某次闯关时，闯关者质量，闯关者与传送带的动摩擦因数，不计空气阻力和轨道连接处的能量损失，不考虑传送带滑轮大小，，求：
(1)闯关者在圆弧轨道上的点时的速度大小以及对圆弧轨道的压力大小。
(2)为了使闯关者能恰好水平进入平台，求平台距点的水平距离。
(3)求这次闯关时，传送带和闯关者之间因摩擦而产生的热量。
【答案】(1)，1440N
(2)0.768m
(3)180J
【详解】（1）从A点到点，根据动能定理有
解得
在点，根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律可知，对圆弧轨道的压力大小为1440N。
（2）由于，闯关者先做匀减速运动，在传送带上，根据牛顿第二定律有
解得
若全程匀减速，根据
解得
假设成立，故到达点时的速度为。从到，根据平抛运动规律有
，
解得
（3）在传送带上运动时，闯关者的位移
运动时间
故传送带位移
摩擦生热
如图所示为某快递公司装货装置的简易图，倾角的传送带顶部Q与倾角的长木板平滑地衔接，长木板的另一端搭在货车上，已知传送带PQ长度，长木板OQ长度，传送带以的速率顺时针匀速传动，将一个质量为的包裹无初速度地放在传送带的底端，经过一段时间包裹刚好被运送到货车上的位置，包裹与长木板之间的动摩擦因数，，，重力加速度取。求：
(1)包裹运到传送带顶端的速度；
(2)包裹与传送带之间的动摩擦因数；
(3)由于要传送包裹，电动机多消耗的电能。
【答案】(1)
(2)0.875
(3)
【详解】（1）在QO段，根据动能定理
包裹运到传送带顶端的速度为
（2）因为
所以包裹在传动带上一直做匀加速直线运动，则在传动带运动阶段，根据动能定理
包裹与传送带之间的动摩擦因数为
（3）电动机多消耗的电能等于包裹重力势能增加、动能增加与摩擦生热的总和，即
重力势能增加量为
动能增加量为
包裹运动的加速度阶段，根据牛顿第二定律
加速运动时间为
包裹与传送带的相对位移为
摩擦生热为
联立得
如图所示的游戏装置固定在水平地面上，该装置由水平粗糙直轨道OB、竖直光滑圆弧轨道BCDEF、水平光滑直轨道FM和水平粗糙传送带MN平滑连接而成，其中圆弧轨道BCD与水平轨道FM不交叉。传送带以恒定速度v顺时针转动。一轻质弹簧左端固定，原长时右端处于О点。已知OB段长L1=1m，滑块与OB段的动摩擦因数=0.2，圆弧BCD半径R1=0.8m，圆弧DEF半径R2=0.4m。传送带长L2=3m，滑块与传送带的动摩擦因数=0.4。一质量m=0.5kg的滑块将弹簧压缩至A处(图中未标出，AO段光滑)由静止释放，滑块可视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。
(1)若弹簧弹性势能Ep=4.5J，求滑块最终静止的位置与管道最低点B的距离；
(2)若弹簧弹性势能Ep=11.25J，求滑块到达竖直光滑圆弧轨道BCD的D点时受到管道作用力大小；
(3)若弹簧弹性势能Ep=11.25J，求滑块平抛的水平距离x与传送带速度大小v的关系。
【答案】(1)停在离B点0.5m处
(2)0.625N
(3)见解析
【详解】（1）设滑块能冲到的最高点高度为，则根据动能定理有
解得
故滑块无法到达C点，根据能量守恒有
解得
则停在离B点0.5m处。
（2）根据动能定理可知从释放滑块到达竖直光滑圆弧轨道BCD的D点的过程中
在最高点合外力提供向心力，有
解得
（3）从释放滑块到达M点的过程，根据动能定理有
根据平抛运动规律有
解得
，
若一直减速则有
若一直加速则有
解得
，
若，则
若，则
若，则
如图所示为一种自动卸货装置的简化图，为倾斜直轨道，为水平传送带，为水平直轨道，传送带与、在B、C两点平滑相接，在水平轨道右端固定一轻弹簧。O为上一点，间距离，间的距离，与水平面的夹角，间距离，传送带始终以的速率顺时针转动。将质量的货物装入一个质量为M的货箱中，从O点由静止释放，货物在货箱中始终与货箱保持相对静止，弹簧被货箱压缩到最短时立即被锁定，工人取走货物后解除弹簧的锁定，货箱被弹回。货箱与间动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数，段可视为光滑，货箱和货物均可视为质点，重力加速度g取，，。求：
(1)货箱和货物一起下滑到B点时的速度大小；
(2)货厢和货物一起通过段所用的时间t；
(3)若货物质量不变，要使货箱能回到O点且不从A点滑出，货箱质量范围是多少（结果保留三位有效数字）。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）货箱和货物一起从O点下滑到B点的过程中，由动能定理可得
解得
（2）货箱和货物一起在BC上运动时，根据牛顿第二定律可得
在传送带上的加速阶段有
，
在传送带上的匀速阶段有
货厢和货物一起通过BC段所用的时间为
联立解得
（3）当货箱恰好回到O点时，货箱质量最大，由能量守恒得
解得
当货箱恰好回到A点时，货箱质量最小，由能量守恒得
解得
则货箱质量范围为
如图1所示为遥控爬墙小车，小车通过排出车身内部空气，和外界大气形成气压差，使车吸附在平面上。如图2所示，某次遥控小车从静止出发沿着A、B、C点运动到天花板上的D点，运动到D点时速度为。然后保持速率不变从D点开始绕O点做匀速圆周运动。其中AB沿竖直方向，BC与竖直方向夹角为，CD沿水平方向，BC、CD的长度均为1m，小车在到达B点前已经匀速。小车质量为，车身内外由于大气压形成垂直墙面的压力差恒为。运动过程中小车受到墙壁的阻力f大小与车和墙壁间的弹力之间关系恒为，方向总与相对运动方向相反。小车可视为质点，忽略空气阻力，不计转折处的能量损失，重力加速度为
(1)若小车在AB段上以恒定功率启动，求小车在AB段上最大速度的大小；
(2)求小车从B经过C到D这两段直线运动过程中，小车牵引力所做的总功；
(3)遥控小车在水平天花板上以的速率做匀速圆周运动时，小车牵引力为，取，求小车运动一周牵引力做的功。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对小车在AB、BC、CD各段运动过程进行受力分析。小车在AB段向上运动时，小车所受阻力大小
解得
小车在AB段上达到最大速度时
解得
（2）小车沿BC运动过程中
小车与BC墙面的阻力
联立可得
，
遥控小车到水平天花板CD运动时
小车与天花板的阻力
解得
小车从B点开始运动第一次到达D点的过程中，根据动能定理
解得
（3）小车所受阻力与牵引力的合力提供圆周运动的向心力
解得
小车运动一周过程中动能不变，牵引力做的功为 W，由动能定理得
解得
如图所示，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑。水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°的足够长的传送带与水平面在P点平滑连接，皮带轮逆时针转动速率为3m/s。一质量为1kg可视为质点的物块A压缩弹簧（与弹簧不栓接），使弹簧获得弹性势能，物块与OP段动摩擦因数。另一与A完全相同的物块B停在P点，B与传送带的动摩擦因数，传送带足够长。A与B的碰撞时间不计，碰后A、B交换速度，重力加速度g=10m/s2，现释放A，求：
(1)物块A、B第一次碰撞前瞬间，A的速率；
(2)从A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与传送带之间由于摩擦而产生的热量；
(3)A、B能够碰撞的总次数。
【答案】(1)6m/s
(2)20.25J
(3)6次
【详解】（1）设物块质量为，A与B第一次碰前的速度为，由能量守恒定律有
解得
（2）设A、B第一次碰撞后的速度分别为，则
，
碰后B沿传送带向上匀减速运动直至速度为零，加速度大小设为a1，由牛顿第二定律有
解得
运动的时间
位移
此过程相对运动路程
此后B反向加速，加速度仍为a1，与传送带共速后匀速运动直至与A再次碰撞，加速时为
位移为
此过程相对运动路程
全过程摩擦产生热量
（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回与B碰撞，B沿传送带向上运动再次返回，每次碰后到再次碰前速率相等，重复这一过程直至两者不再碰撞。
则对A、B和弹簧组成的系统，从第二次碰撞后到不再碰撞
解得第二次碰撞后重复的过程数为
（取整数）
所以碰撞总次数为
次
如图甲所示， 半径的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=1kg，长度l=1m小车的上表面与B点等高，距地面高度、质量的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放。取。试求：
(1)物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力大小；
(2)若锁定平板车并在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化，如图乙所示，求物块滑离平板车时的速率；
(3)若解除平板车的锁定并撤去上表面铺的材料后，物块与平板车上表面间的动摩擦因数，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，求物块落地时距平板车右端的水平距离。
【答案】(1)30N
(2)1m/s
(3)0.2m
【详解】（1）物体从圆弧轨道顶端滑到B点的过程中根据动能定理有
解得
在B点由牛顿第二定律得
解得
N=30N
根据牛顿第三定律可知，在B点时物块对轨道的压力大小为30N，方向竖直向下。
（2）根据图乙可知，物块在小车上滑行时的摩擦力做功
从物体开始滑到滑离平板车过程中由动能定理得
解得
v=1m/s
（3）当平板车不固定时，对物块有
对平板车有
经过时间t1物块滑离平板车，则 有
解得
t1=0.5s，（舍去另一解1s）
物体滑离平板车的速度
v物=vB-a1t1=2m/s
此时平板车的速度
物块滑离平板车做平抛运动，则有
解得
物块落地时距平板车右端的水平距离
x=（v物-v车）t2
解得
x=0.2m
图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点，轨道Ⅱ末端与水平面平滑连接。若将两个完全相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a先到达终点。已知M距离地面的高度为H，两个小球的质量都为m，重力加速度为g，不考虑小球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为，Ⅱ轨道的倾角为θ
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M运动N过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。
【答案】（1）；（2）a.；b.；c.见解析
【详解】（1）由动能定理可得
解得
（2）设轨道Ⅱ与水平面的夹角为，斜面长s。
a.由受力分析可知，小球受到的摩擦力
则从M滑到N过程中，克服摩擦力做功为
b.小球从轨道Ⅰ下落过程中，所受摩擦力为变力，求摩擦力做功可以通过微元法，把Ⅰ轨道分成很多段，每一段f可认为是恒力。在第i段轨道中，设该段轨道的延长线和地面的夹角为，对应的曲率半径为，由受力分析可知，
则
小球克服摩擦力做功
c.由动能定理可知，小球滑到最底端的动能为
因此可以把比较转换成比较的大小，只需设计实验方案比较小球运动到N点的速度大小即可。比如在N点安装光电门。
蹴鞠是有史料记载的最早足球活动，图甲所示是某蹴鞠活动的场景。如图乙所示，某校举行蹴鞠比赛的场地为一长方形ABCD，长，宽，E、、F、分别为各边中点，O为和交点，上竖直插有两根柱子，两柱之间挂一张大网，网的正中间有一圆形的球洞名为“风流眼”，两支球队分别在网的两侧，若蹴鞠穿过“风流眼”后落地，射门的球队得分。圆形“风流眼”的圆心Q在O点正上方，Q、O之间的高度。甲、乙两位运动员在某次配合训练中，甲将静止在地面F点的蹴鞠斜向上踢出，经时间恰好到达最高点P，P在场地上的投影为且在FO上，到F点的距离为。乙运动员紧接着从P点将蹦斜向上踢出，恰好经过“风流眼”中的Q点且经过Q点时速度方向水平，穿过“风流眼”后蹴鞠落到上的K点（蹴鞠第一次着地的位置），如图丙所示。蹴鞠的质量为0.6kg，蹴鞠可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度大小取。求：
（1）最高点P离地面的高度；
（2）甲运动员对蹴鞠做的功W；
（3）K点到O点的距离d（结果可以用根式表示）。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）蹴鞠竖直向上逆过程就是自由落体运动
解得
（2）蹴鞠水平方向，有
解得
竖直方向上，有
解得
蹴鞠的初速度为
解得
甲运动员对蹴鞠做的功
解得
（3）的高度为
竖直方向上，有
蹴鞠从运动到的时间为
蹴鞠从运动到时，沿水平方向的速度为
可得
蹴鞠从点落到点的时间为
可得
点到的距离为
可得
如图所示，整个装置竖直放置，光滑半圆轨道ABC的半径R1=0.2m，A处竖直放置弹性挡板（碰撞时不损失机械能），光滑半圆轨道CDE的半径R2=0.4m，CA、CE分别是它们的直径，EF水平台阶长为l=0.5m，紧靠F点右边放有一长木板，长木板上表面与EF水平部分在同一水平面上，开始时小物块（可视为质点）停在F点，已知小物块质量为m=0.5kg，长木板质量为M=1kg，小物块与EF水平部分和长木板的滑动摩擦因数 1=0.5，长木板与地面的滑动摩擦因数 2=0.1，现给小物块一个水平向左的速度v0，g=10m/s2，求解下列问题。
（1）要使小物块与挡板发生碰撞并确保小物块返回过程中均不脱离轨道，求v0的最小值；
（2）若，要使小物块返回F点并滑上长木板后，不滑出长木板，求长木板长度的最小值；
（3）若去掉A处的挡板，给小物块一个向左的速度v0，小物块经过两半圆后从A点水平抛出，并将落在半圆CDE上P点，求P点与E点的竖直高度差h与v0的函数关系。
【答案】（1）5m/s；（2）3m；（3），
【详解】（1）要使小物块与挡板发生碰撞并确保小物块返回过程中均不脱离轨道，即小物块到达最高点C时，重力提供向心力，则
小物块从F到C的过程中，根据动能定理可得
解得
（2）由于
小物块从开始运动到返回F点，根据动能定理可得
解得
当小物块滑上木板，对小物块，根据牛顿第二定律有
对长木板，有
当二者共速时有
解得
，
所以长木板长度的最小值为
（3）若去掉A处的挡板，给小物块一个向左的速度v0，小物块经过两半圆后从A点水平抛出，并将落在半圆CDE上P点，则有
联立可得
，
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