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第25讲 磁场对运动电荷的作用
知识内容 说明
运动电荷在磁场中受到的力 1、能够分析带电粒子在电场、磁场等多种场共同作用下的运动问题，综合运用牛顿第二定律、运动学公式以及电场力、洛伦兹力等相关知识进行受力分析和运动过程分析，解决粒子的轨迹、速度、能量等问题。 2、会处理带电粒子在有界磁场中的运动问题，如圆形、矩形等边界的磁场。能够根据粒子的入射方向和磁场边界条件，确定粒子在磁场中的运动轨迹，找出临界条件
带电粒子在匀强磁场中的运动
一、运动电荷在磁场中受到的力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命题点一 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（ ）
A．机械能减小 B．最大上滑位移为
C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大
【答案】B
【详解】A．小球运动过程中，只受到竖直向下的重力、与杆垂直的洛伦兹力和弹力，由于洛伦兹力和弹力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误；
BC．小球上滑时，根据牛顿第二定律
下滑时，根据牛顿第二定律
所以根据可知，上滑时间等于下滑时间，小球向上滑动的最大位移为
故B正确，C错误；
D．小球向下滑动时受到竖直向下的重力、垂直杆向上的洛伦兹力、与杆垂直的弹力，小球向下加速时，根据可知，小球受到的洛伦兹力增大，若小球回到出发点加速到时，小球受到的洛伦兹力仍小于小球垂直杆方向的分力，则根据平衡条件可知，杆对小球的弹力一直垂直杆向上减小，故D错误。
故选B。
如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由左手定则可知，滑块所受洛伦兹力垂直斜面向上，滑块滑至某位置时恰好不受弹力，则
解得
故选B。
如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B两小孔中，CD虚线为AB连线的中垂线，O为A、B连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
【答案】B
【详解】根据右手螺旋定则，结合磁场的合成可知C、D之间的磁场方向沿CD向里，磁场感应强度大小先增大后减小，根据左手定则可知，带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点过程中，带正电的小球不受洛伦兹力，沿CD方向只受到滑动摩擦力作用，方向沿DC向外，滑动摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知小滑块的加速度不变，所以小滑块做匀减速直线运动。
故选B。
命题点二 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
模型1 直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中t＝＝
图b中t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中t＝T＝
模型2 平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中t1＝，t2＝＝
图b中t＝
图c中t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中t＝T＝
模型3 圆形边界磁场
沿径向射入圆形边界匀强磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
模型4 三角形边界磁场
如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为
B．若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为
C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为
D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于的粒子占总粒子数的
【答案】AD
【详解】根据
粒子在磁场中的轨道半径
ABC．入射速度与的夹角为时，打在荧光屏上的位置距点的距离为
由于
所以无论是正电还是负电，沿方向入射打在屏上的点离点最近为，沿方向入射打在屏上的点离点最远为2R，因此若带正电荷，亮线在P点左侧，长度为，若带负电荷，亮线在P点右侧长度为。
故A正确，BC错误；
D．关于做的对称线，可知入射方向在和之间的粒子，打在荧光屏上的位置距点距离大于，可知所占比例为，故D正确。
故选AD。
如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（ ）
A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度
B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为
C．若质子的速率，则质子在磁场中运动的最长时间为
D．若质子的速率，则所有质子在磁场中通过的区域的面积为
【答案】ABD
【详解】A．质子在磁场中做圆周运动，根据题意分析知，要使质子均不从圆弧边界ACD射出磁场，则质子的半径应满足；
由，解得，A正确；
B．图甲中，根据几何关系可知
解得，B正确；
C．若质子的速率，则如图乙所示，当质子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的弦为磁场区域圆的半径时，质子在磁场中有最长运动时间；
由几何关系可知，故，C错误；
D．若质子的速率，由图乙可知待求磁场区域面积为图中阴影部分面积；
则，D正确。
故选ABD。
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC为该圆形区域的水平直径，O为圆心。一带正电微粒从A点沿与AC成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．若微粒从圆形磁场边界上的D点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为
B．若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为
C．若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为
D．若将AC下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为
【答案】BD
【详解】A.如图所示
连接A、D，过磁场圆圆心O作AD连线的垂线，再过A点作速度的垂线，两垂线的交点即为轨迹圆的圆心，由几何知识可知，刚好在圆形磁场区域的边界上，且D水平，故微粒从D点离开时对应轨道半径
由
解得
A错误；
B.微粒在磁场中运动的位移最大对应为圆的直径，轨道半径
微粒入射速度大小为，B正确；
C.只改变入射微粒速度大小，微粒在磁场中运动的轨道对应的圆心角一定小于时间小于，C错误；
D．若将AC下方磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，运动位移最大的出射点仍为C点，对应的半径满足，则对应微粒速度=1，2，3，……），D正确；
故选BD。
如图所示，直角三角形区域内不包括三角形边界存在磁感应强度大小为、方向垂直三角形所在平面向外的匀强磁场，，，为的中点，为的中点，点处的粒子源可沿平行的方向射入速度大小不同的正、负电子不计电子所受的重力。电子的比荷为，不考虑电子间的作用。下列说法正确的是（ ）
A．可能有正电子从点射出磁场
B．负电子在磁场中运动的最长时间为
C．从点射出磁场的负电子的速度大小为
D．从边射出磁场的正电子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BC
【详解】A．根据题意可知，若有正电子从a点射出磁场，则该正电子途中必然从ab边射出磁场，故A错误；
B．当电子从ac边射出磁场时，电子在磁场中运动的时间最长，且最长时间为半个周期，设电子的质量为m，电荷量为e，有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得该最长时间为
故B正确；
C．设从D点射出磁场的负电子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系有
设该负电子的速度大小为，有
解得
故C正确；
D．当正电子的运动轨迹恰好与ab边相切时，该正电子在磁场中运动的时间最长，根据几何关系可知，该正电子运动轨迹对应的圆心角，则该正电子在磁场中运动的时间为
故D错误。
故选BC。
如图所示，一正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O点为ab边的中点。粒子1、2由O点以相同的速度平行于bc边射入磁场，最终粒子1由ad边的中点e离开磁场，粒子2由c点离开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知，，下列说法正确的是（ ）
A．粒子1带负电，粒子2带正电 B．粒子1、粒子2的轨道半径之比为
C．粒子1、粒子2的比荷之比为 D．粒子1、粒子2在磁场中运动的时间之比为
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知，粒子1带正电，粒子2带负电，故A错误；
B．设正方形区域的边长为，则粒子1在磁场中做圆周运动的半径为
粒子2在磁场中
解得
则
故B错误；
C．粒子在磁场中，根据牛顿第二定律
可得
因为两粒子的速度大小和磁场相同，所以
即
所以，粒子1、粒子2的比荷之比为5:2，故C正确；
D．粒子1在磁场中运动的圆心角为
粒子2在磁场中
解得
粒子在磁场中运动的周期为
又
所以，粒子1、粒子2在磁场中运动的时间之比为90:53，故D错误。
故选C。
如图所示，和是竖直圆的两条相互垂直的直径，水平，为过点且平行的直线，圆内部充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和相等、电荷量为、质量为的带正电粒子以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方。已知圆的半径为，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)求粒子的速率；
(2)若直线下方充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向和中点的两粒子进入直线下方后又均从点射出下方磁场，求点到点的距离；
(3)若直线下方、延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线和延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为，水平方向边长为。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于到之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的，求矩形磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方，由磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）结合上述分析可知，粒子进入下方后做圆周运动的半径为
由几何关系可得，两粒子从点射出圆形磁场时速度方向与延长线的夹角相等，设为，则
由几何关系可得
联立解得
（3）设矩形磁场磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力，得
解得
当时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为的圆弧，圆弧与矩形磁场的边界相切，如图所示
设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意
回旋角度为，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为，由几何关系得，，
解得，（舍）
联立解得
如图所示，边长为L的正方形abcd内、外充满磁感强度为B、方向如图所示的匀强磁场。bc边中点的粒子源P不断发出速度不等，但方向均垂直于bc指向正方形内部的质子，质子电荷量为q，质量为m。若质子最终垂直于bc回到P点。
(1)质子的最大速率；
(2)若质子速度分别为，说明质子能否垂直bc回到P点，若能，求质子从P点出发第一次回到P点的时间之差；
(3)若质子的速度大小在范围内，请写出全部符合条件的速率，不要求过程。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）如图所示，最终垂直bc能回到P点的质子
做圆周运动的半径最大，速率最大，由数学知识有
结合
联立得，
（2）由，得
由，得
轨迹如图所示：垂直于bc回到P点
周期
与速度无关，可得
如图，
得质子从P点出发第一次回到P点的时间之差
（3）由知，若质子的速度大小在范围内，
由数学知识可得全部符合条件的速率为：时，
时，
时，
时，
时，
时，
命题点三 带电粒子在磁场中运动的多解和临界极值问题
1．多解的几种情况
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
(2)磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
(3)运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
(4)临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动的时间越长．
(3)一带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
【答案】BCD
【详解】AC．若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为，运动轨迹如下图所示
由图中几何关系可得
解得
由洛伦兹力充当向心力
解得
由动量定理得
A错误，C正确；
B．若粒子的运动轨迹如下图所示
由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹最小，速度最小，由
解得
B正确；
D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示
当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为
D正确。
故选BCD。
如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出
B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90°
C．该粒子在磁场中运动的最短时间
D．该粒子运动的可能速度为
【答案】BCD
【详解】AB．带电粒子射入磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得
解得
所以粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径关系为
如图所示
由题意知OP边与x轴的夹角
可得
故带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I与OP边的夹角为53°，由带电粒子在单边磁场运动的对称性知从区域Ⅱ中射出的粒子速度方向一定为y轴负方向，故A错误，B正确；
C．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
粒子在区域Ⅰ中转过的圆心角为
粒子在区域Ⅰ中运动的时间为
粒子在区域Ⅱ中转过的圆心角为
粒子在区域Ⅱ中运动的时间为
所以该粒子在磁场中运动的最短时间
故C正确；
D．带电粒子每次从区域Ⅱ射出为一个周期，在OP边移动的距离为
其中
而
，n=1，2，3……
联立解得
故D正确。
故选BCD。
在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)；
【详解】（1）带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得
又
联立，解得
（2）如图所示，
若带电粒子不能从Oa边射出，则有
解得
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为
可知磁场使粒子每次变向的最长时间是t，带电粒子不能从Oa边射出，则有
磁感应强度的变化周期的最大值
（3）若要粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图所示
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为，其中，即
满足这一条件的磁感应强度变化的周期
每一个圆弧对应的弦长OM为
圆弧半径为
又
联立，解得
如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。
（1）求该粒子射入磁场时的速度大小；
（2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示
设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知
代入数据，解得
由
代入数据，解得
（2）因为，粒子的轨迹如图乙所示
设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得
，
由
联立上述方程可解得
，
粒子运动时间
由于周期性，粒子转过的角度为
，
代入上述公式，可解得
，
代入数据解得
，
如图所示，绝缘粗糙水平面位于垂直于纸面向里的匀强磁场中，一比荷始终保持不变的带负电小物块以初速度在绝缘粗糙水平面上滑行一段时间后停止运动，下列说法正确的是（ ）
A．物块滑动过程中，物块的加速度恒定不变
B．物块滑动过程中，物块的加速度逐渐增大
C．物块滑动过程中，洛伦兹力对物做正功
D．物块滑动过程中，物块克服洛伦兹力做功
【答案】B
【详解】AB．根据左手定则可知，小物块所受洛伦兹力竖直向上，根据牛顿第二定律有
又
联立得
根据题意可知，v逐渐减小，所以加速度逐渐增大，故A错误，B正确；
CD．物块滑动过程中，所受洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功，故CD错误。
故选B。
霍尔元件被广泛使用在新能源行业中。图中左侧线圈连接待测电压U时，霍尔元件将输出一个电压值UH。霍尔元件由载流子为正电荷的材料制成，元件中通入的称电流I0从a流向b，放大示意图见下部分。则（ ）
A．图中霍尔元件处有方向向上的磁场
B．图中霍尔元件前表面c为低电势面
C．增大待测电压U，霍尔电压UH将减小
D．霍尔电压UH的大小与霍尔电流I0无关
【答案】B
【详解】A．根据右手螺旋定则，判断出左侧线圈的上端充当条形磁铁的N极，下端充当条形磁铁的S极，在条形磁铁的外部，磁场由N极指向S极，所以霍尔元件处磁场方向向下，A错误；
B．霍尔元件由载流子为正电荷的材料制成，运动的电荷在磁场中受洛伦兹力，根据左手定则可知正电荷向后表面偏转，所以后表面为高电势面，前表面为低电势面，B正确；
C．设霍尔元件高为，面间的距离为，根据
电流的微观表达式
两式联立解得，霍尔电压
所以待测电压加大，则左侧电路中的电流增大，所产生的磁场增大，所以霍尔电压增大，C错误；
D．根据霍尔电压的公式可知，霍尔电压的大小与霍尔电流有关，D错误。
故选B。
如图甲，某笔记本显示屏、机身分别装有磁体和长、宽、高为a、c、d的霍尔元件。显示屏完全合上时，霍尔元件处于垂直于其上表面向下的匀强磁场中，如图乙。若该元件利用自由电子导电，当通以图示方向的恒定电流时，其前、后表面会产生电压U（霍尔电压），从而控制屏幕自动熄灭。则（ ）
A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电场强度大小为
C．开屏过程中，霍尔电压U变大 D．开、合屏过程中，霍尔电压U与c无关
【答案】D
【详解】A．合屏状态下，根据左手定则可知，电子偏向后表面，则前表面的电势比后表面的高，故A错误；
B．前、后表面间的电场强度大小为
故B错误；
C．开屏过程中，穿过霍尔元件的竖直方向的磁场减弱，元件前、后表面间的电压变小，故C错误；
D．根据、
解得
开、合屏过程中，霍尔电压U与c无关，故D正确。
故选D。
如图所示，在两块磁感应强度相同、同极相对放置，霍尔元件处于磁体缝隙中间位置，移动霍尔元件，可以实现微小位移的测量。则（ ）
A．元件中通z方向的电流，可测y方向的位移
B．元件中通z方向的电流，可测x方向的位移
C．元件中通y方向的电流，可测z方向的位移
D．元件中通x方向的电流，可测z方向的位移
【答案】B
【详解】A．元件中通z方向的电流，若沿y方向移动，则元件所处位置磁场仍为零不变，则不会产生霍尔电压，则选项A错误；
B．元件中通z方向的电流，若沿x方向移动，则元件所处位置磁场变得不为零，则在元件中会产生霍尔电压，则可以实现微小位移的测量，选项B错误；
CD．无论元件中通y方向的电流还是通x方向的电流，若沿z方向移动，元件所处位置的磁场均为零，则在元件中不会产生霍尔电压，选项CD错误。
故选B。
自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车车轮的运动速率。如图甲所示，自行车前轮半径R，霍尔效应传感器固定于前叉距轴r处。一块磁体安装在前轮上，轮子每转一圈，磁体就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压，若每秒触发n次脉冲。如图乙所示，电源输出电压为U1当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U2（前表面的电势低于后表面的电势）。则（ ）
A．自行车的速度为2πnr
B．车速越大A、B间电势差越大
C．霍尔元件的载流子是正电荷
D．电源长时间使用后电动势减小，A、B间电势差将减小
【答案】D
【详解】A．每秒触发n次脉冲，可知车轮每秒转n圈，则自行车的速度为v=2πnR
故A错误；
B．设霍尔元件的长（正面）、宽、高分别为a、b、h，则当平衡时满足
其中，
解得
可知A、B间电势差与车速无关，故B错误；
C．前表面的电势低于后表面的电势，即前表面集聚负电荷，载流子为负电荷，故C错误；
D．根据
电源长时间使用后电动势U1减小，A、B间电势差U2将减小，故D正确。
故选D。
如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环，直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中，将小环从A点由静止释放，已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则（ ）
A．小环不可能滑到C点
B．刚释放时，小环的加速度为g
C．弹簧原长时，小环的速度最大
D．小环滑到D点时的速度与其质量无关
【答案】D
【详解】A．小环下滑过程中只有重力和弹簧弹力做功，洛伦兹力不做功，由对称性可知，小环从A点由静止释放可以滑到C点，选项A错误；
B．刚释放时，竖直方向小环受向下的重力和弹力向下的分力作用，可知小环的加速度大于g，选项B错误；
C．小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等，可知在A点时弹簧压缩，在D点时弹簧伸长，弹簧在原长时小环在AD之间的某位置，此时弹力为零，但小环受合力不可能为零，加速度不可能为零，即小环的速度不可能最大，选项C错误；
D．小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等，则弹性势能相等，从A到D由能量关系可知
可得
即小环滑到D点时的速度与其质量无关，选项D正确。
故选D。
如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（ ）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。）
A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为
B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半
C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半
D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向
【答案】D
【详解】A．题意可知最终粒子速度为0，动能定理有
解得
故A正确，不符合题意；
B．根据
解得
可知当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半，故B正确，不符合题意；
C．阻力产生的加速度
洛伦兹力产生的加速度
故粒子合加速度
当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半,故C正确，不符合题意；
D．若没有阻力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期，经过时间，粒子的速度方向将沿着 y方向。由于存在阻力，粒子速度不断减小，运动轨迹不是标准的圆周，经过时间后，粒子的速度方向不会沿着+x方向，故D错误，符合题意。
故选D。
如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，它们之间的相互作用和重力不计，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（ ）
A．沿径迹Oc运动的电子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的电子均为负电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的速率比值为
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为4：3
【答案】BD
【详解】A．由于正电子和负电子的电荷量大小q和质量m均相等，电子在磁场中做匀速圆周运动，则有
，
解得
设偏转角为θ，则
周期相等，由题图可判断沿径迹Oc运动的电子偏转角最大，对应圆心角也最大，所以沿径迹Oc运动的电子在磁场中运动时间最长，A错误；
B．由左手定则可判断沿径迹Oc、Od运动的电子均带负电，为负电子，B正确；
C．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得，沿径迹Oa、Ob运动的电子轨迹半径分别为
、
根据可得，
C错误；
D．由上述分析可知，电子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比
D正确。
故选BD
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在磁场边界上的M点放置一个放射源，在纸面内以相同速率向各个方向发射大量同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m，所有粒子只能从磁场边界的某段圆弧射出，其圆弧长所对的圆心角为。不计粒子间相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．若仅将磁感应强度大小改为时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若仅将粒子入射速率改为原来的倍，有粒子射出的边界弧长变为
【答案】C
【详解】A．粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长所对的圆心角为，设从M点射入的粒子与磁场边界的最远交点为P，则最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，如图：
根据题意可知，圆心角为，则对应的弦长为R，所以粒子在磁场中运动的最长弦为R，则有
对粒子受力分析，根据牛顿第二定律有
解得，故A错误；
B．当粒子沿磁场圆的切线方向飞出时，粒子在磁场中将做一个完整的圆，则运动的最长时间为，故B错误；
C．将磁感应强度大小改为时，则半径变为原来的倍，则粒子在磁场中运动的最长弦长为
根据几何关系可知，此时对应的最大圆心角为，则最长弧长为，故C正确；
D．若粒子入射速率为时，则半径变为原来的倍，则粒子在磁场中运动的最长弦长为
根据几何关系可知，此时对应的最大圆心角为，则最长弧长为，故D错误。
故选C。
如图所示，为直角坐标系，第一象限的三角形范围内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，。第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，一个质量为、电荷量为的粒子从轴上的P（，）点以大小为的速度沿轴正方向射入匀强电场，经电场偏转后从轴上的Q(，)点进入匀强磁场，刚好不从边射出磁场，不计粒子的重力，求：
(1)粒子射出匀强电场时，速度与轴的夹角；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在轴方向做匀速直线运动可得
设末速度大小为，在轴方向做匀加速运动可得
离开电场时速度与轴夹角满足
解得
（2）沿轴方向有
沿轴方向有
在匀强电场中，设电场强度大小为，由牛顿第二定律可得
解得
（3）由于带电粒子刚好不从边射出磁场，则其运动轨迹与相切，如图所示
由几何关系得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径
此时洛伦兹力充当向心力，有
代入数据解得
如图所示，平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1和2，磁场方向垂直纸面向外，磁场1的磁感应强度大小为。坐标轴上、两点坐标分别为、。位于处的离子源可以发射质量为、电荷量为、速度方向与轴夹角为的不同速度的正离子。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)当时，发射的离子恰好可以垂直穿过轴，求离子的速度；
(2)当时，发射的离子第一次经过轴时经过点且恰好不离开磁场区域，求磁场2的磁感应强度B2大小；
(3)在（2）情况中仅改变磁场2的强弱，可使发射的离子两次经过点，求离子前后两次经过点的时间间隔。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）当时，离子a恰做圆周运动的半径
由
得
（2）当时，离子b再次回到磁场1中时，运动轨迹正好与y轴相切，如图所示，离子在磁场1中圆的运动半径为
另由几何关系知：OA=r1（1-cos45°），AQ=L-OA
离子在磁场2中运动半径为
两次运动满足，
得
（3）解法1：离子b两次经过Q点，情形有如下三种：
①，两次经过Q点运动总弧长，
②，两次经过Q点运动总弧长，
③，两次经过Q点运动总弧长，
解法2：设离子b在磁场2中的半径为，由几何关系可知，离子经过Q点后，再穿过k次磁场1后，可再次经过Q点，必须满足
为保证不出磁场必须满足
可得，，所以k的取值为1、2、3
离子的运动时间为（k=1、2、3）
如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求
(1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比；
(2)两粒子运动轨迹交点的坐标；
(3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。
【答案】(1)，
(2)交点在x轴上，（，0）；交点不在x轴上，[,]
(3)，或
【详解】（1）由于粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，在区域内运动时，则有
解得
同理可得，在区域内运动时的半径
粒子分别在和的区域内运动时的半径之比
根据周期可知，粒子在和的区域内运动时的周期分别为，
解得
（2）根据上述分析可知，
当时，两个粒子发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得
根据能量守恒可得
解得
两粒子运动的部分轨迹如图所示
①交点在x轴上
坐标为（，0）
②交点不在x轴上，根据对称性可得
故交点坐标为[,]
（3）在内，设，
结合上述结论可知，
两粒子在运动过程中沿y方向的距离为
对y求导可得
令 ，则有
解得，
y最大；
同样在内，时，y最大；
故当或时，其最大值
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第25讲 磁场对运动电荷的作用
知识内容 说明
运动电荷在磁场中受到的力 1、能够分析带电粒子在电场、磁场等多种场共同作用下的运动问题，综合运用牛顿第二定律、运动学公式以及电场力、洛伦兹力等相关知识进行受力分析和运动过程分析，解决粒子的轨迹、速度、能量等问题。 2、会处理带电粒子在有界磁场中的运动问题，如圆形、矩形等边界的磁场。能够根据粒子的入射方向和磁场边界条件，确定粒子在磁场中的运动轨迹，找出临界条件
带电粒子在匀强磁场中的运动
一、运动电荷在磁场中受到的力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命题点一 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
如图所示，光滑绝缘直杆倾角为，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（ ）
A．机械能减小 B．最大上滑位移为
C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大
如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的滑块从斜面的顶端由静止释放。重力加速度为，滑块滑到斜面某位置时，恰好不受斜面的弹力，则在该位置滑块的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B两小孔中，CD虚线为AB连线的中垂线，O为A、B连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
命题点二 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
模型1 直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中t＝＝
图b中t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中t＝T＝
模型2 平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中t1＝，t2＝＝
图b中t＝
图c中t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中t＝T＝
模型3 圆形边界磁场
沿径向射入圆形边界匀强磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
模型4 三角形边界磁场
如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为
B．若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为
C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为
D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于的粒子占总粒子数的
如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场（含圆形边界），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子（重力不计），则下列说法正确的是（ ）
A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度
B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为
C．若质子的速率，则质子在磁场中运动的最长时间为
D．若质子的速率，则所有质子在磁场中通过的区域的面积为
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC为该圆形区域的水平直径，O为圆心。一带正电微粒从A点沿与AC成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是（ ）
A．若微粒从圆形磁场边界上的D点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为
B．若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为
C．若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为
D．若将AC下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为
如图所示，直角三角形区域内不包括三角形边界存在磁感应强度大小为、方向垂直三角形所在平面向外的匀强磁场，，，为的中点，为的中点，点处的粒子源可沿平行的方向射入速度大小不同的正、负电子不计电子所受的重力。电子的比荷为，不考虑电子间的作用。下列说法正确的是（ ）
A．可能有正电子从点射出磁场
B．负电子在磁场中运动的最长时间为
C．从点射出磁场的负电子的速度大小为
D．从边射出磁场的正电子在磁场中运动的最长时间为
如图所示，一正方形区域abcd内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O点为ab边的中点。粒子1、2由O点以相同的速度平行于bc边射入磁场，最终粒子1由ad边的中点e离开磁场，粒子2由c点离开磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知，，下列说法正确的是（ ）
A．粒子1带负电，粒子2带正电 B．粒子1、粒子2的轨道半径之比为
C．粒子1、粒子2的比荷之比为 D．粒子1、粒子2在磁场中运动的时间之比为
如图所示，和是竖直圆的两条相互垂直的直径，水平，为过点且平行的直线，圆内部充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和相等、电荷量为、质量为的带正电粒子以相同速率平行直径射入圆，粒子均通过点进入直线下方。已知圆的半径为，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)求粒子的速率；
(2)若直线下方充满磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向和中点的两粒子进入直线下方后又均从点射出下方磁场，求点到点的距离；
(3)若直线下方、延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线和延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为，水平方向边长为。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介于到之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的，求矩形磁场的磁感应强度大小。
如图所示，边长为L的正方形abcd内、外充满磁感强度为B、方向如图所示的匀强磁场。bc边中点的粒子源P不断发出速度不等，但方向均垂直于bc指向正方形内部的质子，质子电荷量为q，质量为m。若质子最终垂直于bc回到P点。
(1)质子的最大速率；
(2)若质子速度分别为，说明质子能否垂直bc回到P点，若能，求质子从P点出发第一次回到P点的时间之差；
(3)若质子的速度大小在范围内，请写出全部符合条件的速率，不要求过程。
命题点三 带电粒子在磁场中运动的多解和临界极值问题
1．多解的几种情况
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
(2)磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
(3)运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
(4)临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动的时间越长．
(3)一带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出
B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90°
C．该粒子在磁场中运动的最短时间
D．该粒子运动的可能速度为
在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。
如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。
（1）求该粒子射入磁场时的速度大小；
（2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。
如图所示，绝缘粗糙水平面位于垂直于纸面向里的匀强磁场中，一比荷始终保持不变的带负电小物块以初速度在绝缘粗糙水平面上滑行一段时间后停止运动，下列说法正确的是（ ）
A．物块滑动过程中，物块的加速度恒定不变
B．物块滑动过程中，物块的加速度逐渐增大
C．物块滑动过程中，洛伦兹力对物做正功
D．物块滑动过程中，物块克服洛伦兹力做功
霍尔元件被广泛使用在新能源行业中。图中左侧线圈连接待测电压U时，霍尔元件将输出一个电压值UH。霍尔元件由载流子为正电荷的材料制成，元件中通入的称电流I0从a流向b，放大示意图见下部分。则（ ）
A．图中霍尔元件处有方向向上的磁场
B．图中霍尔元件前表面c为低电势面
C．增大待测电压U，霍尔电压UH将减小
D．霍尔电压UH的大小与霍尔电流I0无关
如图甲，某笔记本显示屏、机身分别装有磁体和长、宽、高为a、c、d的霍尔元件。显示屏完全合上时，霍尔元件处于垂直于其上表面向下的匀强磁场中，如图乙。若该元件利用自由电子导电，当通以图示方向的恒定电流时，其前、后表面会产生电压U（霍尔电压），从而控制屏幕自动熄灭。则（ ）
A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电场强度大小为
C．开屏过程中，霍尔电压U变大 D．开、合屏过程中，霍尔电压U与c无关
如图所示，在两块磁感应强度相同、同极相对放置，霍尔元件处于磁体缝隙中间位置，移动霍尔元件，可以实现微小位移的测量。则（ ）
A．元件中通z方向的电流，可测y方向的位移
B．元件中通z方向的电流，可测x方向的位移
C．元件中通y方向的电流，可测z方向的位移
D．元件中通x方向的电流，可测z方向的位移
自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车车轮的运动速率。如图甲所示，自行车前轮半径R，霍尔效应传感器固定于前叉距轴r处。一块磁体安装在前轮上，轮子每转一圈，磁体就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压，若每秒触发n次脉冲。如图乙所示，电源输出电压为U1当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U2（前表面的电势低于后表面的电势）。则（ ）
A．自行车的速度为2πnr
B．车速越大A、B间电势差越大
C．霍尔元件的载流子是正电荷
D．电源长时间使用后电动势减小，A、B间电势差将减小
如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环，直径AC水平、直径ED竖直。轻弹簧一端固定在大环的E点处，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中，将小环从A点由静止释放，已知小环在A、D两点时弹簧的形变量大小相等。则（ ）
A．小环不可能滑到C点
B．刚释放时，小环的加速度为g
C．弹簧原长时，小环的速度最大
D．小环滑到D点时的速度与其质量无关
如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（ ）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。）
A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为
B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半
C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半
D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向
如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，它们之间的相互作用和重力不计，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（ ）
A．沿径迹Oc运动的电子在磁场中运动时间最短
B．沿径迹Oc、Od运动的电子均为负电子
C．沿径迹Oa、Ob运动的速率比值为
D．沿径迹Ob、Od运动的时间之比为4：3
如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在磁场边界上的M点放置一个放射源，在纸面内以相同速率向各个方向发射大量同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m，所有粒子只能从磁场边界的某段圆弧射出，其圆弧长所对的圆心角为。不计粒子间相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．若仅将磁感应强度大小改为时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若仅将粒子入射速率改为原来的倍，有粒子射出的边界弧长变为
如图所示，为直角坐标系，第一象限的三角形范围内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，。第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，一个质量为、电荷量为的粒子从轴上的P（，）点以大小为的速度沿轴正方向射入匀强电场，经电场偏转后从轴上的Q(，)点进入匀强磁场，刚好不从边射出磁场，不计粒子的重力，求：
(1)粒子射出匀强电场时，速度与轴的夹角；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小。
如图所示，平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1和2，磁场方向垂直纸面向外，磁场1的磁感应强度大小为。坐标轴上、两点坐标分别为、。位于处的离子源可以发射质量为、电荷量为、速度方向与轴夹角为的不同速度的正离子。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)当时，发射的离子恰好可以垂直穿过轴，求离子的速度；
(2)当时，发射的离子第一次经过轴时经过点且恰好不离开磁场区域，求磁场2的磁感应强度B2大小；
(3)在（2）情况中仅改变磁场2的强弱，可使发射的离子两次经过点，求离子前后两次经过点的时间间隔。
如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求
(1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比；
(2)两粒子运动轨迹交点的坐标；
(3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。
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