北京人大附中朝阳学校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（含答案）

2024北京人大附中朝阳学校高二6月考
数 学
一 选择题：（每题4分，共计40分）
1.已知命题，方程有解，则为（ ）
A.，方程无解 B.，方程有解
C.，方程无解 D.，方程有解
2.设集合，若，则实数的值为（ ）
A.-4 B.4 C.-6 D.6
3.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5.某公司选择甲 乙两部门提供的方案的概率分别为，且甲 乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8.现从甲 乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀的概率为（ ）
A.0.69 B.0.7 C.0.71 D.0.72
6.现有武隆喀斯特旅游区 巫山小三峡 南川金佛山 大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲 乙随机选择其中一个景区游玩.记事件：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A. B. C. D.
7.某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则的最大值是（ ）
A.2 B.6.5 C.8.8 D.10
8.已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，假定两点以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离）.令与同时分别从出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示与的对应关系就是，其中为自然对数的底.当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
10.若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（ ）
A.已知，且，则
B.已知，则存在实数，使得
C.已知，若，则对任意，都有
D.已知，则对任意的实数，总存在实数，使得
二 填空题：（每题5分，共计30分）
11.的二项展开式中的常数项为160，则实数__________.
12.已知，则按照从大到小排列为__________.
13.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，则__________.
14.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是__________.
15.已知函数的定义域为，满足，且当时，，有以下三个结论：
①；
②当时，方程在区间上有三个不同的实根；
③函数有无穷多个零点，且存在一个零点.
其中，所有正确结论的序号是__________.
16.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的湝沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论：
①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；
②若，则存在周期为2的周期点；
③若则不存在周期为3的周期点；
④若，则对任意正整数都不是的周期为的周期点.
其中所有正确结论的序号是__________.
三 解答题：（共计80分）
17.（本小题14分）
已知命题：对于成立，命题：关于的不等式成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.（本小题16分）
某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲 乙这七天的步数情况如图1所示.
（1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
（2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望；
（3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论）
19.（本小题17分）
已知函数为正实数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数的最小值为1，求的取值范围.
20.（本小题17分）
已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（3）若存在三个实数，满足，求实数的取值范围.
21.（本小题16分）
已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.
（1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①；
②.
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.
参考答案
一 选择题：（每题4分，共计40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C C D D D D D
二 填空题：（每题5分，共计30分）
11 12 13 14 15 16
-2 0.7 ①② ①④
三 解答题：（共计80分）
17.（本小题14分6分+8分）
（1）若命题为真，则有，解得，所以实数的取值范围为：.
（2）设集合，关于的不等式成立，
若，不等式的解集为：，若，不等式的解集为：，
若，不等式的解集为：，
因为命题是命题的必要不充分条件，
若，则为的真子集，故成立，
若，需满足为的真子集，则，所以，
若，需满足为的真子集，则，所以，所以实数的取值范围为：.
18.（本小题16分5分+7分+4分）
解：（1）设“甲比乙的步数多”为事件.
在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以.
（2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天.
的所有可能取值为.
所以的分布列为
0 1 2
.
19.解：（1）当时，，则.
所以.又，因此所求的切线方程为.
（2）.
①当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.
②当，即时，令，则，所以.
因此，当时，，当时，.
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.
③当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.
当时，由（2）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为
，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是.
20.（本小题17分5分+6分+6分）
解：（1）因为，所以.
令，则.令，则.
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.所以.
因为在上是增函数，所以恒成立.则，得.
所以实数的取值范围是.
（2）当时，因为，定义域为，所以，则.
设，由（1）可知在区间上单调递增.
当时，，即，则在区间上单调递减；
当时，，即，则在区间上单调递增.所以0是的极小值点.
（3）令，
则有三个零点，.
①由（1）可知，当时，在上是增函数，
所以在上是增函数，至多有一个零点，不合题意.
②当时，因为在区间上单调递增，所以在内有唯一零点，设零点为.
当时，；当时，；
当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
从而在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以至多有两个零点，不合题意.
③当时，因为，
在区间上单调递增，所以在区间上有唯一零点，设零点为.
又因为，
令，则.
令.因为，所以在区间上单调递增.
所以.则，即.
在区间上单调递减，所以在区间上有唯一零点，设零点为.
因为，所以与的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
取，则.
当且时，；
当且时，，
所以在内各有一个零点.则存在三个实数，满足.
所以存在三个实数，满足，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
21.（本小题16分4分+6分+6分）
解：（1）①不是的一个二元基底.理由是；
②是的一个二元基底.
理由是.
（2）不妨设，则
形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.
（3）由（2）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*
假设为的一个4元基底，不妨设，则.
当时，有，这时或7.
如果，则由，与结论矛盾.
如果，则或5.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底.
综上，的最小可能值为5.
参考答案
一 选择题：（每题4分，共计40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C C C D D D D D
二 填空题：（每题5分，共计30分）
11 12 13 14 15 16
-2 0.7 ①② ①④
三 解答题：（共计80分）
17.（本小题14分6分+8分）
（1）若命题为真，则有，解得，所以实数的取值范围为：.
（2）设集合，关于的不等式成立，
若，不等式的解集为：，若，不等式的解集为：，
若，不等式的解集为：，
因为命题是命题的必要不充分条件，
若，则为的真子集，故成立，
若，需满足为的真子集，则，所以，
若，需满足为的真子集，则，所以，所以实数的取值范围为：.
18.（本小题16分5分+7分+4分）
解：（1）设“甲比乙的步数多”为事件.
在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以.
（2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天.
的所有可能取值为.
所以的分布列为
0 1 2
.
19.解：（1）当时，，则.
所以.又，因此所求的切线方程为.
（2）.
①当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.
②当，即时，令，则，所以.
因此，当时，，当时，.
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.
③当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.
当时，由（2）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为
，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是.
20.（本小题17分5分+6分+6分）
解：（1）因为，所以.
令，则.令，则.
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.所以.
因为在上是增函数，所以恒成立.则，得.
所以实数的取值范围是.
（2）当时，因为，定义域为，所以，则.
设，由（1）可知在区间上单调递增.
当时，，即，则在区间上单调递减；
当时，，即，则在区间上单调递增.所以0是的极小值点.
（3）令，
则有三个零点，.
①由（1）可知，当时，在上是增函数，
所以在上是增函数，至多有一个零点，不合题意.
②当时，因为在区间上单调递增，所以在内有唯一零点，设零点为.
当时，；当时，；
当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
从而在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以至多有两个零点，不合题意.
③当时，因为，
在区间上单调递增，所以在区间上有唯一零点，设零点为.
又因为，
令，则.
令.因为，所以在区间上单调递增.
所以.则，即.
在区间上单调递减，所以在区间上有唯一零点，设零点为.
因为，所以与的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
取，则.
当且时，；
当且时，，
所以在内各有一个零点.则存在三个实数，满足.
所以存在三个实数，满足，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
21.（本小题16分4分+6分+6分）
解：（1）①不是的一个二元基底.理由是；
②是的一个二元基底.
理由是.
（2）不妨设，则
形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.
（3）由（2）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*
假设为的一个4元基底，不妨设，则.
当时，有，这时或7.
如果，则由，与结论矛盾.
如果，则或5.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底.
综上，的最小可能值为5.